考点17 正、余弦定理及解三角形-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过

1 考点 17 正、余弦定理及解三角形 考 点 解 读 正、余弦定理是高考的必考点，题型会以选择、填空或解答题的形式进行考查，主要是利用正余弦定理对 题干中的式子进行化简转化，再结合三角函数公式或性质进行解题，重点掌握： 1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 一、正弦定理 1．正弦定理 在 中，若角 A，B，C 对应的三边分别是 a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即 .正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1） （2） （3） （4）正弦定理的推广： ，其中 为 的外接圆的半径. 3．解决的问题 （1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． ABC△ sin sin sin a b c= =A B C sin sin sin, , , sin sin , sin sin , sin sin ;sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c BB b A a C c = = = = = = ;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C + + + + += = = = = =+ + + + + : : sin :sin :sin ;a b c A B C= = = =2sin sin sin a b c RA B C R ABC△2 4．在 中，已知 ， 和 时，三角形解的情况 二、余弦定理 1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 2．余弦定理的推论 从余弦定理，可以得到它的推论： . 3．解决的问题 （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤 ABC△ a b A 2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos , 2 cos 2 cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C= + − = + − = + −， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos , cos ,cos2 2 2 b c a c a b a b cA B Cbc ca ab + − + − + −= = =3 三、解三角形的实际应用 1．三角形的面积公式 设 的三边为 a，b，c，对应的三个角分别为 A，B，C，其面积为 S. （1） (h 为 BC 边上的高)； （2） ； （3） ( 为三角形的内切圆半径)． 2．三角形的高的公式 hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA． 3．测量中的术语 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)． （3）方向角 相对于某一正方向的水平角. ①北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向(如图③)； ②北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向； ③南偏西等其他方向角类似． ABC△ 1 2S ah= 1 1 1sin sin sin2 2 2S bc A ac B ab C= = = 1 ( )2S r a b c= + + r4 （4）坡角与坡度 ①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角 θ 为坡角)； ②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． 4．解三角形实际应用题的步骤 考向一 利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求边和角的方法： （1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置． （2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不 明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. （3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 常见结论： （1）三角形的内角和定理：在 中， ，其变式有： ， 等． （2）三角形中的三角函数关系： ； ； ； . ABC△ πA B C+ + = πA B C+ = − π 2 2 2 A B C+ = − iin( s ns )A B C=+ ( ) sos coc A B C= −+ sin cos2 2 A B C+ = cos sin2 2 A B C+ =5 典例 1 在 中，内角퐴,퐵,퐶所对的边分别为푎,푏,푐，若푏sin2퐴 + 3푎sin퐵 = 0，푏 = 3푐，则 的值为 A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由푏sin2퐴 + 3푎sin퐵 = 0，结合正弦定理，可得sin퐵sin2퐴 + 3sin퐴sin퐵 = 0， 即2sin퐵sin퐴cos퐴 + 3sin퐴sin퐵 = 0， 由于sin퐵sin퐴 ≠ 0，所以cos퐴 = ― 3 2 ， 因为 0＜A＜π，所以퐴 = 5π 6 ． 又푏 = 3푐，由余弦定理可得푎2 = 푏2 + 푐2 ― 2푏푐cos퐴 = 3푐2 + 푐2 +3푐2 = 7푐2， 即푎2 = 7푐2，所以푐 푎 = 7 7 . 故选 D． 典例 2 已知 的内角퐴,퐵,퐶的对边分别为푎,푏,푐,且푎sin퐴 + 푏sin퐵 + 2푏sin퐴 = 푐sin퐶. （1）求퐶； （2）若푎 = 2,푏 = 2 2,线段퐵퐶的垂直平分线交퐴퐵于点퐷,求퐶퐷的长. 【解析】（1）因为푎sin퐴 + 푏sin퐵 + 2푏sin 퐴 = 푐sin퐶,所以푎2 + 푏2 + 2푎푏 = 푐2. 由余弦定理得cos퐶 = 푎2 + 푏2 ― 푐2 2푎푏 = ― 2 2 ， 又0 < 퐶 < π，所以퐶 = 3π 4 . （2）由（1）知퐶 = 3π 4 , 根据余弦定理可得푐2 = 푎2 + 푏2 ― 2푎푏cos퐶 = 22 + (2 2)2 ― 2 × 2 × 2 2 × ( ― 2 2 ) = 20， 所以푐 = 2 5. 由正弦定理得 푐 sin퐶 = 푏 sin퐵，即 ，解得sin퐵 = 5 5 . 从而 . ABC△ c a 3 3 5 5 7 7 ABC△ 2 5 2 2 sin2 2 B = 2 5cos 5B =6 设퐵퐶的中垂线交퐵퐶于点퐸, 因为在 中，cos퐵 = 퐵퐸 퐵퐷， 所以 ， 因为퐷퐸为线段퐵퐶的中垂线，所以퐶퐷 = 퐵퐷 = 5 2 . 1．在 中，内 角 的对边分别是 ，若 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （1）证明： ； （2）记线段 上靠近点 的三等分点为 ，若 ， ，求 . 考向二 三角形形状的判断 利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路： （1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相 应关系，从而判断三角形的形状. （2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换， 得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 这个结论． 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解. Rt BDE△ 1 5 cos 22 5 5 BEBD B = = = ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 2 2sin sin sin 0A B C+ − = 2 2 2 0a c b ac+ − − = 2c = a = 3 1 1 2 3 2 ABC△ A B C a b c (sin sin ) 2 sina A B b B+ = A B= AB B D 17CD = 5b = c πA B C+ + =7 典例 3 在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ． （1）求证： 为等腰三角形； （2）若 是钝角三角形，且面积为 ，求 的值． 【解析】（1）由 得： ， 则 ， ， ， ， 由正弦定理可知： ， 则 为等腰三角形. （2）由题意得： ，解得： ， ∵ 为钝角三角形，且 ， 为钝角， ， 由余弦定理得： ， . 3． 中三个角的对边分别记为 a、b、c，其面积记为 S，有以下命题：① ；②若 ，则 是等腰直角三角形；③ ； ④ ，则 是等腰或直角三角形.其中正确的命题是( ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 考向三 与面积、范围有关的问题 （1）求三角形面积的方法 △ABC , ,A B C , ,a b c sintan 1 cos BC B = − △ABC △ABC 2 4 a 2b ac sintan 1 cos BC B = − sin sin cos 1 cos C B C B = − ( )sin sin cos cos sin sinC B C B C B C= + = + πA B C+ + = ( ) ( )sin sin π sinB C A A∴ + = − = sin sinC A∴ = c a= △ABC 2 21 1sin sin2 2 4 aS ac B a B= = = 1sin 2B = △ABC a c= B∴ 3cos 2B∴ = − ( )2 2 2 2 2 22 cos 2 3 2 3b a c ac B a a a= + − = + = + 2 2 2 2 3b b ac a ∴ = = + ABC△ 21 sin sin 2 sin B CS a A = 2cos sin sinB A C= ABC△ 2 2 2sin sin sin 2sin sin cosC A B A B C= + − 2 2 2 2( + )sin ( ) ( )sin ( )a b A B a b A B− = − + ABC△8 ①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套 公式求解． ②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当 选择面积公式是解题的关键． （2）三角形中，已知面积求边、角的方法 三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用 面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 典例 4 在 中，角퐴,퐵,퐶的对边分别为푎,푏,푐，且푎 = 푏cos퐶 + 푐sin퐵． （1）求角퐵； （2）若푏 = 2 2，求 面积的最大值． 【解析】（1）由已知和正弦定理得sin퐴 = sin퐵cos퐶 + sin퐶sin퐵， ∵ sin퐴 = sin(퐵 + 퐶) = sin퐵cos퐶 + cos퐵sin퐶， ∴ sin퐵 = cos퐵，解得퐵 = 450． （2）由余弦定理得：푏2 = 푎2 + 푐2 ― 2푎푐cos퐵，即(2 2)2 = 푎2 + 푐2 ― 2푎푐cos450， 整理得：푎2 + 푐2 = 8 + 2푎푐． ∵푎2 + 푐2 ≥ 2푎푐（当且仅当푎 = 푐取等号），∴8 + 2푎푐 ≥ 2푎푐，即푎푐 ≤ 4(2 + 2)， ∴ 푆Δ퐴퐵퐶 = 1 2푎푐sin퐵 ≤ 1 2 × 4(2 + 2) × 2 2 = 2 2 +2， 故 面积的最大值为2 2 +2． 【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦 定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一 的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进 行判断. 典例 5 在 中，퐴퐶 = 2 3，퐷是퐵퐶边上的一点. （1）若퐴퐷 = 1,퐴퐷 ⋅ 퐴퐶 = 3，求퐶퐷的长； （2）若∠퐵 = 120°，求 周长的取值范围. 【解析】（1）在 中，AD＝1，퐴퐶 = 2 3， 所以퐴퐷 ⋅ 퐴퐶＝|퐴퐷||퐴퐶|cos∠DAC＝1×2 3×cos∠DAC＝3, ABC△ ABC△ ABC△ ABC△ ABC△ ADC△9 所以 cos∠DAC＝ 3 2 . 由余弦定理得 ＝12＋1－2×2 3×1× 3 2 ＝7， 所以 CD＝ 7. （2）在 中，由正弦定理得 ， ∴ 퐴퐵 + 퐵퐶 = 4(sin퐴 + sin퐶) = 4[sin퐴 + sin(π 3 ― 퐴)] = 4sin(퐴 + π 3)， . ∴ 퐴퐵 + 퐵퐶 ∈ (2 3,4]，故 周长的取值范围为(4 3,4 + 2 3] . 4．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的最大值. 5．已知 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， （1）求角 的大小； （2）若点 与点 在 两侧，且满足 ， ，求平面四边形 面积的最大值. 考向四 三角形中的几何计算 几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题. 解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中. 典例 6 如图，在 中， 为 边上一点，且 ，已知 ， . 2 2 2 2 cosCD AC AD AC AD DAC= + ∠− ⋅ ⋅ ABC△ 2 3 42πsin sin sin sin 3 AB BC AC C A B = = = = π π 30 , sin ,13 3 2A A   < < ∴ + ∈       ABC△ ABC△ A B C a b c 1cos 2a C c b+ = A 3a = b c+ ABC△ A B C a b c cos cos sina C c A b B+ = 2b c= C D B AC 2AD = 1AB = ABCD ABC△ D AB DA DC= π 4B = 1BC =10 （1）若 是锐角三角形， ，求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的长. 【解析】（1）在 中， ， ， ， 由正弦定理得 ， 解得 ， 所以 或 . 因为 是锐角三角形，所以 . 又 ，所以 . （2）由题意可得 ，解得 ， 由余弦定理得 ，解得 ， 则 . 所以 的长为 . ABC△ 6 3DC = A BCD△ 1 6 AB BCD△ π 4B = 1BC = 6 3DC = sin sin BC CD BDC B =∠ 21 32sin 26 3 BDC × ∠ = = π 3BDC∠ = 2π 3 ABC△ 2π 3BDC∠ = DA DC= π 3A = 1 π 1sin2 4 6BCDS BC BD= ⋅ ⋅ ⋅ =△ 2 3BD = 2 2 2 π2 cos 4CD BC BD BC BD= + − ⋅ ⋅ = 2 2 2 51 2 19 3 2 9 + − × × × = 5 3CD = 5 2 3AB AD BD CD BD += + = + = AB 5 2 3 +11 6．如图，已知 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ，点 是 的中点， ，交 于点 ，且 ， . （1）求 ； （2）求 的面积. 考向五 解三角形的实际应用 解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可 用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角 形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几 个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解 题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦 定理求解. 典例 7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在 处测得山顶 在北偏东 方向上，匀速向 北航行 分钟到达 处，测得山顶 位于北偏东 方向上，此时测得山顶 的仰角为 ，若山高为 千米， （1）船的航行速度是每小时多少千米？ （2）若该船继续航行 分钟到达 处，问此时山顶位于 处的南偏东什么方向？ ABC△ A B C a b c sin ( )sin sina A c a C b B+ − = D AC DE AC⊥ AB E 2BC = 6 2DE = B ABC△ A P ( )15 15BAC° ∠ = ° 20 B P 60° P 60° 2 3 10 D D12 【解析】（1）在 中， ， 在 中，由正弦定理得 ， 所以 ， 故船的航行速度是每小时 千米. （2）在 中，由余弦定理得 ， 在 中，由正弦定理得 , 所以山顶位于 处南偏东 方向. 7．武汉是我国著名的“火炉”城市之一，如图，武汉某避暑山庄 为吸引游客，准备在门前两条夹角为 （即 ）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长 为 且落在小路上，要求弦长 ，记弓形花园的顶点为 ，且 ，设 ， （1）将 ， 用含有 的关系式表示出来； BCP△ tan 2PCPBC BCBC ∠ = ⇒ = ABC△ 2 sin sin sin15 sin45 BC AB AB BAC BCA = ⇒ =∠ ∠ ° ° ( )2 3 1AB = + ( )6 3 1+ BCD△ 6CD = BCD△ 2sinsin sin 2 CD BC CDBDBC CDB = ⇒ ∠ =∠ ∠ D 45° O π 6 AOB∠ AB 2 3AB = M π 6MAB MBA∠ = ∠ = OBA θ∠ = OA OB θ13 （2）该山庄准备在 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即 ， 长度）， 才使得喷泉 与山庄 距离即 值最大？ 考向六 三角形中的综合问题 1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、 余弦定理与三角形的面积公式，建立如“ ”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式 考查相关范围问题. 2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数 的化简、计算及考查相关性质等. 3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积 或基本不等式进行求解. 典例 8 在 中，已知 ，向量 ， ，且 . （1）求 A 的值； （2）若点 D 在边 BC 上，且 ， ，求 的面积． 【解析】（1）由题意知 ， 又 ， ，所以 ， 即 ，即 . 又 ，所以 ， 所以 ，即 . （2）设 ， 由 ，得 ， 由（1）知 ，所以 , . M OA OB M O OM 2 2, ,a b ab a b+ + ABC△ π 6C = (sin ,1)A=m (1,cos )B=n ⊥m n 3BD BC=  13AD = ABC△ sin cos 0A B+ =⋅ =m n π 6C = πA B C+ + = 5πsin cos( ) 06A A+ − = 3 1cos sin 0s n 2i 2A AA +− = πsin( ) 06A− = 0 5π 6A< < π π 2π( , )6 6 3A− ∈ − π 06A− = π 6A = | |BD x= 3BD BC=  | | 3BC x= π 6A C= = | | 3BA x= 2π 3B =14 在 中，由余弦定理，得 ，解得 ， 所以 ， 所以 . 典例 9 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. （1）若 a，b，c 成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； （2）若 a，b，c 成等比数列，求 cos B 的最小值． 【解析】（1）因为 a，b，c 成等差数列，所以 a＋c＝2b. 由正弦定理得 sin A＋sin C＝2sin B. 因为 sin B＝sin[ －(A＋C)]＝sin(A＋C)， 所以 sin A＋sin C＝2sin(A＋C)． （2）因为 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac. 由余弦定理得 cos B＝a2＋c2－b2 2ac ＝a2＋c2－ac 2ac ≥2ac－ac 2ac ＝1 2， 当且仅当 a＝c 时等号成立． 所以 cos B 的最小值为 . 8．在 中，已知向量 ，且 ，记角 的对边依次为 . （1）求角 C 的大小； （2）若 ，且 是锐角三角形，求 的取值范围. 1．若 的内角 满足 ，则 （ ） A． B． ABD△ 2 22 2π( 3 ) 213) ( 33 cosx x x x= + − × × 1x = 3AB BC= = · ·sin 3 3 sin1 1 2π 9 3 2 2 3 4ABCS BA BC B= = × =× ×△ ABC△ π 1 2 ABC△ cos ,12 A B+ =   m 2 5 4 =m , ,A B C , ,a b c 2c = ABC△ 2 2a b+ ABC△ , ,A B C 6sin 4sin 3sinA B C= = cos B = 15 4 3 415 C． D． 2．在△ABC 中，a2tanB=b2tanA，则△ABC 是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3． 中， ， 为 的中点， ， ，则 （ ） A． B． C． D．2 4．在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则 A 的取 值范围是 A． B． C． D． 5．在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，则角 的大小为 （ ） A． B． C． D． 6．已知 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ， ， ， 则 的面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 成等比数列，则角 的取值范围为（ ） 3 15 16 11 16 ABC△ 2 5BC = D BC 4BAD π∠ = 1AD = AC = 2 5 2 2 6 5− ABC△ 2 2 2sin sin sin sin sinA B C B C≤ + + (0, ]6 5π [ , )6 5π π (0, ]3 2π [ , )3 2π π ABC△ A B C a b c 2 2 2 sin 2 cos A bc A b c a = + − A 4 π 6 π 5 12 π 3 π ABC△ A B C a b c sin 2 sinb A c B= 1cos 4B = 3b = ABC△ 9 15 9 15 16 3 15 16 9 16 ABC△ A B C a b c sin A sin B sinC B16 A． B． C． D． 8．在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．在锐角 中，已知角 的对边分别为 ， ， ，且最短边 ，则 ( ) A． B．4 C．2 D．8 10．已知函数 ，在 中，内角 的对边分别是 ，内角 满足 ，若 ，则 的面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 11．如图所示，在平面四边形 中， ， ， ， ， ， 则 __________． 12．设 分别为 内角 的对边.已知 ， 且 ，则 _____． 13． 中， 为 平分线，若 ，且 ， π0, 3      π0, 6      π π,4 3      π π,3 2     ABC△ 2 2b a ac− = cosb A a a b + 3 ,2  +∞  3 5,2 2     3 5,2 2      5 ,2  +∞   ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 2 2sin 2 sin sin sin sinB A C A C+ = + 3 2a = 10b = c = 10 2( ) 2cos 3sin 2f x x x= − ABC△ , ,A B C , ,a b c A ( ) 1f A = − 6a = ABC△ 3 3 3 3 2 3 4 2 3 ABCD 2AB = 3BC = AB AD⊥ AC CD⊥ 3AD AC= AC = , ,a b c ABC△ , ,A B C 3A π= 1b = 2 2 2(sin 4sin ) 8(sinA B c B+ = + 2 2sin sin )C A− a = ABC△ AD BAC∠ 2 8 7ABD ACDS S= =△ △ ( )sin tan tan tan tanA B C B C+ =17 则 的周长为______. 14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上 已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即 A，B 两点间的距离)，现取两点 C，D， 测得 CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为 ________． 15．设 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 a=1，b=2，cosC= . （1）求 的周长； （2）求 cos（A﹣C）的值． 16．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 ，且 . （1）求角 ； （2）若 ，求 . 17．已知 的周长为 1，并且 . （1） 是何种三角形？试判断它的形状； （2）求 的面积的最大值. ABC△ ABC△ ABC△ ABC△ A B C a b c ABC S ( )2 2 23 4S a b c= + − C 3 2a b= sin A ABC△ sin 2 sin 2 4sin sinA B A B+ = ABC△ ABC△18 18．如图, 是直角 斜边 上一点, ． （1）若 ，求角 的大小； （2）若 ，且 ，求 的长． 19．已知 同时满足下列四个条件中的三个： ① ；② ；③ ；④ ． （1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求 的面积． 20．已知 的内角 的对边分别为 ，且 ． （1）求 ； D ABC△ BC 3AC DC= 6DAC pÐ = B 2BD DC= 2 3AD = DC ABC△ π 3A = 2cos 3B = − 7a = 3b = ABC△ ABC△ , ,A B C , ,a b c sin sin 3a B b A π = +   A19 （2）若 成等差数列， 的面积为 ，求 ． 21．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量 ， ， ． （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，且 ，求 的值． 22．已知函数 ． （1）若 ，求函数 的值域； （2）设 的三个内角 所对的边分别为 ，若 为锐角且 ， 求 的值． 3, ,2b a c ABC∆ 2 3 a ABC△ A B C a b c (cos ,2 3 )m C b c= − (cos , 3 )n A a= / /m n  A ABC△ 3 3 2 2 2 21 2b a c− = b ( ) 2sin cos3f x x x π = + ⋅   0 2x π≤ ≤ ( )f x ABC△ , ,A B C , ,a b c A ( ) 3 , 2, 32f A b c= = = ( )cos A B−20 1．【2020 年高考全国 III 卷理数】在△ABC 中，cosC= ，AC=4，BC=3，则 cosB= A． B． C． D． 2．【2018 年高考全国Ⅱ理数】在 中， ， ， ，则 A． B． C． D． 3．【2018 年高考全国Ⅲ理数】 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则 A． B． C． D． 4．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥ AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则 cos∠FCB=______________. 5．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积为_________． 6．【2019 年高考浙江卷】在 中， ， ， ，点 在线段 上，若 ，则 ___________， ___________． 2 3 1 9 1 3 1 2 2 3 ABC△ 5cos 2 5 C = 1BC = 5AC = AB = 4 2 30 29 2 5 ABC△ A B C， ， a b c ABC△ 2 2 2 4 a b c+ − C = π 2 π 3 π 4 π 6 3AB AD= = ABC△ , ,A B C , ,a b c π6, 2 , 3b a c B= = = ABC△ ABC△ 90ABC∠ = ° 4AB = 3BC = D AC 45BDC∠ = ° BD = cos ABD∠ =21 7．【2018 年高考浙江卷】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 ，b=2，A=60°， 则 sin B=___________，c=___________． 8．【2020 年高考全国 II 卷理数】 中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC． （1）求 A； （2）若 BC=3，求 周长的最大值． 9．【2020 年高考江苏】在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ． （1）求 的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 ，求 的值． 10．【2020 年高考天津】在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求 的值． 7a = ABC△ ABC△ 3, 2, 45a c B= = = ° sinC 4cos 5ADC∠ = − tan DAC∠ ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 2, 5, 13a b c= = = C sin A πsin(2 )4A+22 11．【2020 年高考北京】在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知， 求： （Ⅰ）a 的值： （Ⅱ） 和 的面积． 条件①： ； 条件②： ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 12．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知 ． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 13．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下 面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ABC 11a b+ = sinC ABC 17,cos 7c A= = − 1 9cos ,cos8 16A B= = 2 sin 3 0b A a− = 3ac = sin 3c A = 3c b= c ABC△ , ,A B C , ,a b c sin 3sinA B= 6C π=23 14 ．【 2019 年 高 考 全 国 Ⅰ 卷 理 数 】 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 设 ． （1）求 A； （2）若 ，求 sinC． 15 ． 【 2019 年 高 考 全 国 Ⅲ 卷 理 数 】 △ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 ． （1）求 B； （2）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围． 16．【2019 年高考北京卷理数】在△ABC 中，a=3，b−c=2，cosB= ． （1）求 b，c 的值； （2）求 sin（B–C）的值． 17．【2019 年高考天津卷理数】在 中，内角 所对的边分别为 ．已知 ， ． （1）求 的值； ABC△ 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C− = − 2 2a b c+ = sin sin2 A Ca b A + = 1 2 − ABC△ , ,A B C , ,a b c 2b c a+ = 3 sin 4 sinc B a C= cos B24 （2）求 的值． 18．【2019 年高考江苏卷】在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． （1）若 a=3c，b= ，cosB= ，求 c 的值； （2）若 ，求 的值． 19 ． 【 2018 年 高 考 全 国 Ⅰ 理 数 】 在 平 面 四 边 形 中 ， ， ， ， . （1）求 ； （2）若 ，求 . 20．【2018年高考天津卷理数】在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 . （1）求角 B 的大小； （2）设 a=2，c=3，求 b 和 的值. sin 2 6B π +   2 2 3 sin cos 2 A B a b = sin( )2B π+ ABCD 90ADC∠ =  45A∠ =  2AB = 5BD = cos ADB∠ 2 2DC = BC ABC△ sin cos( )6b A a B π= − sin(2 )A B−25 21．【2018 年高考北京卷理数】在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=– ． （1）求∠A； （2）求 AC 边上的高． 1．【答案】B 【解析】 【分析】 先根据正弦定理化边得 C 为直角，再根据余弦定理得角 B，最后根据直角三角形解得 a. 【详解】 因为 ，所以 , C 为直角， 因为 ，所以 , 因此 ，故选 B. 【点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间 的关系，从而达到解决问题的目的. 2．【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理得 ，整理得 ，可得证. （2）设 ，则 ，由余弦定理和 ，可得 1 7 变式拓展 2 2 2sin sin sin 0A B C+ − = 2 2 2b c 0a + − = 2 2 2 0a c b ac+ − − = 2 2 2 1cosB ,2 2 3 a c b Bac π+ −= = = 13a ccos π= = 2( ) 2a a b b+ = ( 2 )( ) 0a b a b+ − = BD x= 2AD x= -CDA CDBπ∠ = ∠26 ，可求得 c. 【详解】 （1）因为 ，所以由正弦定理得 ，整理得 . 因为 ，所以 ，即 . （2）设 ，则 ， 由余弦定理可得 ， . 因为 ，所以 ，解得 ， 所以 . 【点睛】 本题考查运用正弦定理，余弦定理求解三角形，属于中档题. 3．【答案】D 【解析】 【分析】 根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等变换对各个命题进行判断． 【详解】 由 得 代入 得 ，①正确； 若 ，∴ ， ，∵ 是三角形内角，∴ ，即 ， 为等腰三角形，②错； 由余弦定理 ，又 ，∴ ，③正确； ， 则 ，∴ ，由正弦定理得 2 24 17 25 17 25 2 2 17 2 17 x x x x + − + −= − × × × × (sin sin ) 2 sina A B b B+ = 2( ) 2a a b b+ = ( 2 )( ) 0a b a b+ − = 2 0a b+ > a b= A B= BD x= 2AD x= 24 17 25cos 2 2 17 xCDA x + −∠ = × × 2 17 25cos 2 17 xCDB x + −∠ = × × -CDA CDBπ∠ = ∠ 2 24 17 25 17 25 2 2 17 2 17 x x x x + − + −= − × × × × 2x = 3 6c AB BD= = = sin sin a b A B = sin sin a Bb A = in1 2 sS ab C= 21 sin sin 2 sin B CS a A = 2cos sin sinB A C= sin( ) sin cos cos sinA B A B A B= + = + cos sin cos sin 0B A A B− = in 0( )s A B− = ,A B 0A B− = A B= ABC△ 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − sin sin sin a b c A B C = = 2 2 2sin sin sin 2sin sin cosC A B A B C= + − 2 2 2 2( + )sin ( ) ( )sin ( )a b A B a b A B− = − + 2 2 2 2 sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin a b A B A B A B a b A B A B A B − − −= =+ + + 2 2 sin cos cos sin a A B b A B =27 ，三角形中 ，则 ， ， ∴ 或 ，∴ 或 ，④正确． 故选：D． 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查三角形形状的判断，由正弦定理进行边角转化在 其中起到了重要的作用，解题时注意体会边角转换． 4．【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理完成边化角，然后根据 得出对应的等式，从而计算出 的值； （2）根据正弦定理 ，将 表示为 的形式，然后根据 的结果将 表示为关于 的三角函数，根据 的范围求解出 的最大值即可. 另解：根据余弦定理以及基本不等式求解出 的最大值，注意取等号的条件. 【详解】 （1）由 ，根据正弦定理有： . 所以 ，所以 . 因为 为三角形内角，所以 ，所以 ，因为 为三角形内角，所以 . （2）由 ， ，根据正弦定理有： ， 所以 ， . 所以 . 当 时，等号成立.所以 的最大值为 . 2 2 sin cossin sin cos sin = A B A A B B sin 0,sin 0A B≠ ≠ sin cos sin cosA A B B= sin 2 sin 2A B= 2 2A B= 2 2A B π+ = A B= 2A B π+ = 3A π= 2 3 A B C π+ + = A sin sin sin a b c A B C = = ,b c sin ,sinB C B C+ b c+ C C b c+ b c+ 1cos 2a C c b+ = 1sin cos sin sin2A C C B+ = ( )1sin cos sin sin sin cos cos sin2A C C A C A C A C+ = + = + 1 sin cos sin2 C A C= C sin 0C ≠ 1cos 2A = A 3A π= 3a = 3A π= 2sin sin sin b c a B C A = = = 2sinb B= 2sinc C= 22sin 2sin 2sin 2sin3b c B C C C π + = + = − +   3 cos 3sinC C= + 2 3sin 2 36C π = +   3C π= b c+ 2 328 另解：（2）由 ， ，根据余弦定理有： ， 即 .因为 ， 所以 .即 ，当且仅当 时，等号成立. 所以 的最大值为 . 【点睛】 本题考查解三角形的综合问题，难度一般.(1)解三角形时注意隐含条件 的使用；(2)利用正 弦定理求解边之和的最值，主要利用三角函数的有界性进行计算；利用余弦定理计算边之和的最值，主 要利用余弦定理以及基本不等式进行计算. 5．【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）先由 结合正弦定理的边化角公式得出 ，再由 结合正弦定 理的边化角公式得出角 的大小； （2）先由直角三角形的边角关系得出 ， ，再由三角形的面积公式以及正弦函数的性 质得出平面四边形 面积的最大值. 【详解】 解：（1）因为 所以由正弦定理知 ，即 又 ，所以 ，所以 因为 ，所以 ，得 ，所以 （2） ， ， ， 设 ，则四边形 的面积 3a = 3A π= ( )2 2 23 2 cos 3b c bc π= + − 2 23 b c bc= + − ( )22 2 3b c bc b c bc+ − = + − ( ) ( )22 2 3 2 4 b cb cb c ++ + − =   ( )2 3 4 b c+  2 3b c+  3b c= = b c+ 2 3 A B C π+ + = 6C π= 32 2 + cos cos sina C c A b B+ = 2B π= 2b c= C 2AC = 3BC = ABCD cos cos sina C c A b B+ = 2sin cos sin cos sinA C C A B+ = 2sin( ) sinA C B+ = A B C π+ + = sin 1B = 2B π= 2b c= sin 2sinB C= 1sin 2C = 6C π= 1AB = 6C π= 2B π= 2AC∴ = 3BC = DAC α∠ = ABCD29 当 即 时，取到最大值； 故四边形 面积的最大值为 【点睛】 本题主要考查了正弦定理的边化角公式以及三角形面积公式的应用，涉及了三角函数性质的应用，属于 中档题. 6．【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出 . （2）根据已知条件可以确定 ，并求出它们的表达式，在 中，运用外角与内角的关系、 正弦定理，可求出 ， 的大小，最后求出面积. 【详解】 （1） ，由 得 ， 由余弦定理得 ， ， : （2）连接 ，如下图： 是 的中点， ， ， 1 1 3 31 3 2 2 sin 2sin 22 2 2 2ABC ADCS S S α α= + = × × + × × × = + ≤ +△ △ sin 1α = 2 πα = ABCD 32 2 + 60B °= 3 3 2 + B AE CE= BCE A BE ( )sin sin sina A c a C b B+ − = sin sin sin a b c A B C = = 2 2 2a c ac b+ − = 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac + −= = 0 B π< （ 2 2 2 cos 7c a b ab C t= + − = sin 2 3 21sin 2 77 a C tA c t = = ⋅ = ABC C 3 2 2 4 −43 【解析】 【分析】 （1）将 变形为 后，分别假 设 为钝角和锐角，都推出 不成立，可知， 只能是直角； （2）利用基本不等式可求出三角形面积的最大值. 【详解】 （1）因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 若 为钝角，则 ， ， 所以 ， ， 所以 ， ， 又 ， ，所以 不成立； 若 为锐角，则 ，则 ， ， 所以 ， ， 所以 ， ，又 ， ， 所以 不成立， 所以 必为直角， 必为直角三角形. （2）由（1）知， ，设角 所对的边分别为 ， 则 ， ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立， sin 2 sin 2 4sin sinA B A B+ = sin (cos sin ) sin (sin cos )A A B B A B− = − C sin (cos sin ) sin (sin cos )A A B B A B− = − C sin 2 sin 2 4sin sinA B A B+ = 2sin cos 2sin cos 4sin sinA A B B A B+ = sin cos sin cos 2sin sinA A B B A B+ = sin cos sin sin sin sin sin cosA A A B A B B B− = − sin (cos sin ) sin (sin cos )A A B B A B− = − C 0 2A B π< + < 0 2 2A B π π< < − < cos cos( ) sin2A B B π> − = sin sin( ) cos2A B B π< − = cos sin 0A B− > sin cos 0A B− < sin 0A > sin 0B > sin (cos sin ) sin (sin cos )A A B B A B− = − C 2A B π+ > 02A B ππ > > − > 02B A ππ > > − > cos cos( ) sin2A B B π< − = cos cos( ) sin2B A A π< − = cos sin 0A B− < cos sin 0B A− < sin 0A > sin 0B > sin (cos sin ) sin (sin cos )A A B B A B− = − C ABC 2C π= , ,A B C , ,a b c 2 2c a b= + 2 2 1a b a b+ + + = 1 2 2 (2 2)ab ab ab≥ + = + 2 2 2a b −= =44 所以 ， 所以 的面积 ， 即 的面积的最大值为 . 【点睛】 本题考查了三角形形状的判断，考查了基本不等式的应用，考查了三角形面积的计算，考查了二倍角 的正弦公式，考查了正余弦函数单调性的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 18．【答案】（1） ；（2）2. 【解析】 【分析】 （1）先根据正弦定理求得 ，由此得到 的值，进而求得 ，在直角三角形 中 求得 的大小.（2）设 ，利用 表示出 ，求得 的值，利用余弦定理列方 程，解方程求出 ，也即求得 的值. 【详解】 （1）在 中，根据正弦定理，有 ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， 于是 ， ∴ . （2）设 ，则 ， ， ， 于是 ， ， ， 21 3 2 2 22 2 ab − ≤ = +  ABC 1 3 2 2 2 4S ab −= ≤ ABC 3 2 2 4 − 60B∠ = ° sin ADC∠ ADC∠ C∠ ABC B DC x= DC ,AB BD sin ,cosB B x DC ADC∆ sin sin AC DC ADC DAC =∠ ∠ 3AC DC= 3sin 3sin 2ADC DAC∠ = ∠ = 0 060 60ADC B BAD B∠ = ∠ + ∠ = ∠ + > 0120ADC∠ = 0 0 0 0180 120 30 30C∠ = − − = 060B∠ = DC x= 2BD x= 3BC x= 3AC x= 3sin 3 ACB BC = = 6cos 3B = 6AB x=45 在 中，由余弦定理，得 ， 即 ， ，故 . 【点睛】 本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查方程的思想，属于基础 题. 19．【答案】（1） 满足①，③，④；（2） . 【解析】 【分析】 （1）通过余弦函数的性质可以判断①，②不能同时满足，也就可以判断出③，④能同时满足，最后判 断出②不能和③，④同时满足； （2）利用余弦定理可以求出 的值，再利用面积公式求出面积. 【详解】 （1）解： 同时满足①，③，④．理由如下： 若 同时满足①，②． 因为 ，且 ，所以 ． 所以 ，矛盾． 所以 只能同时满足③，④． 所以 ，所以 ，故 不满足②． 故 满足①，③，④． （2）解：因为 ， 所以 ． 解得 ，或 （舍）． 所以△ 的面积 ． 【点睛】 本题考查了余弦函数的性质、余弦定理、面积公式，考查了数学推理论证能力. ABD∆ 2 2 2 2 · cosAD AB BD AB BD B= + − ( )2 2 2 262 3 6 4 2 6 2 23x x x x x= + − × × × = 6x = 6DC = ABC△ 6 3 c ABC△ ABC△ 2 1cos 3 2B = − < − (0,π)B∈ 2 π3B > πA B+ > ABC△ a b> A B> ABC△ ABC△ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 17 3 2 3 2c c= + − × × × 8c = 5c = − ABC 1 sin 6 32S bc A= =46 20．【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理化简已知可得 sinA=sin（A+ ），结合范围 A∈（0，π），即可计算求解 A 的值； （2）利用等差数列的性质可得 b+c= ，利用三角形面积公式可求 bc 的值，进而根据余弦定理即可 解得 a 的值． 【详解】 （1）∵asinB=bsin（A+ ）． ∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+ ）． ∵sinB≠0， ∴sinA=sin（A+ ）． ∵A∈（0，π），可得：A+A+ =π， ∴A= ． （2）∵b， a，c 成等差数列， ∴b+c= ， ∵△ABC 的面积为 2 ，可得：S△ABC= bcsinA=2 ， ∴ =2 ，解得 bc=8， ∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos =（b+c）2﹣3bc=（ a）2﹣24， ∴解得：a=2 ． 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化 思想，属于中档题． 3 π 2 3 3 π 3a 3 π 3 π 3 π 3 π 3 π 3 2 3a 3 1 2 3 1 2 3bc sin π× × 3 3 π 3 347 21．【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）法一：由向量平行的坐标转化可得 ，由正弦定理转化为角的关系， 即可得出结果. 法二：由向量平行的坐标转化可得 ，由余弦定理转化为边的关系，即可 得出结果. （2）由条件和余弦定理，可得 ，利用三角形面积公式即可得出结果. 【详解】 （1）法一： 因为 ，所以 ， 由正弦定理得 ， 得 ，即 ， 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ． 法二： 因为 ，所以 ， 易知 ， ，代入上式得， ， 整理得， ，所以 ， 又 ，所以 ． （2）由（1）得 ，又 ，所以 ， 6A π= 3b = 3 cos (2 3 )cosa C b c A= − 3 cos (2 3 )cosa C b c A= − 2 3 c b= / /m n  3 cos (2 3 )cosa C b c A= − 3sin cos 2sin cos 3cos sinA C B A A C= − 3 sin( ) 2sin cosA C B A+ = 3sin 2sin cosB B A= sin 0B > 3cos 2A = (0, )A π∈ 6A π= / /m n  3 cos (2 3 )cosa C b c A= − 2 2 2 cos 2 a b cC ab + −= 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= 2 2 2 2 2 2 3 (2 3 )2 2 a b c b c aa b cab bc + − + −× = − × 2 2 23bc b c a= + − 2 2 2 3cos 2 2 b c aA bc + −= = (0, )A π∈ 6A π= 2 2 23bc b c a= + − 2 2 21 2b a c− = 2 3 c b=48 又 ，得 ，所以 ． 【点睛】 本题考查了正、余弦定理，三角形的面积公式等基本解三角形知识，考查了运算求解能力和逻辑推理 能力，属于中档题目. 22．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）由函数形式知，用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公 式化函数为一个三角函数，求出正弦号后面整个角的取值范围，结合正弦函数可得值域；（2）由（1） 的解析式可求得角 ，由余弦定理可求得边 ，由正弦定理可求得 ，利用两角差的余弦公式 可得 ． 试题解析：（1） 由 得， ， ． ∴ ，即函数 的值域为 ． （2）由 得 ， 又由 ，∴ ，∴ ． 在 中，由余弦定理 ，得 ， 由正弦定理 ，得 ， ∵ ，∴ ，∴ ， 1 1 2 1 3 3sin2 2 2 23ABCS bc A b b= = × × =  2 9b = 3b = 30,1 2  +    5 7 14 3A π= a sin B cos( )A B− ( ) ( ) 2sin 3 cos cos sin cos 3 cosf x x x x x x x= + = + 1 3 3 3sin 2 cos2 sin 22 2 2 3 2x x x π = + + = + +   0 2x π≤ ≤ 423 3 3x π π π≤ + ≤ 3 sin 2 12 3x π − ≤ + ≤   3 30 sin 2 13 2 2x π ≤ + + ≤ +   ( )f x 30,1 2  +    ( ) 3 3sin 2 3 2 2f A A π = + + =   sin 2 03A π + =   0 2A π< < 423 3 3A π π π< + < 2 ,3 3A A π ππ+ = = ABC∆ 2 2 2 2 cos 7a b c bc A= + − = 7a = sin sin a b A B = sin 21sin 7 b AB a = = b a< B A< 2 7cos 7B =49 ∴ . 1．【答案】A 【解析】 在 中， ， ， ， 根据余弦定理： ， ， 可得 ，即 ， 由 ， 故 . 故选：A． 2．【答案】A 【解析】因为 所以 ，故选 A. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵 活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 3．【答案】C 【解析】由题可知 ，所以 ， 由余弦定理 ，得 ，因为 ，所以 ，故选 C. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能 力，考查的核心素养是数学运算. ( ) 1 2 7 3 21 5 7cos cos cos sin sin 2 7 2 7 14A B A B A B− = + = × + × = 直通高考  ABC 2cos 3C = 4AC = 3BC = 2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC C= + − ⋅ ⋅ 2 2 24 3 2 24 3 3AB = + − × × × 2 9AB = 3AB =  2 2 2 9 9 16 1cos 2 2 3 3 9 AB BC ACB AB BC + − + −= = =⋅ × × 1cos 9B = 2 2 5 3cos 2cos 1 2 1 ,2 5 5 CC  = − = × − = −    2 2 2 32 cos 1 25 2 1 5 32 4 25AB BC AC BC AC C AB = + − ⋅ = + − × × × − = =   ，则 2 2 21 sin2 4ABC a b cS ab C + −= =△ 2 2 2 2 sinCa b c ab+ − = 2 2 2 2 cosa b c ab C+ − = sin cosC C= ( )0,πC ∈ π 4C =50 4．【答案】 【解析】 ， ， ， 由勾股定理得 ， 同理得 ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 5．【答案】 【解析】由余弦定理得 ，所以 ，即 ， 解得 （舍去）， 所以 ， 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确 方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于 的方程，应用 的关 系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式 子的变形及运算求解能力的考查． 6．【答案】 ， 1 4 − AB AC⊥ 3AB = 1AC = 2 2 2BC AB AC= + = 6BD = 6BF BD∴ = = ACE△ 1AC = 3AE AD= = 30CAE∠ =  2 2 2 32 cos30 1 3 2 1 3 12CE AC AE AC AE= + − ⋅ = + − × × × = 1CF CE∴ = = BCF 2BC = 6BF = 1CF = 2 2 2 1 4 6 1cos 2 2 1 2 4 CF BC BFFCB CF BC + − + −∠ = = = −⋅ × × 1 4 − 6 3 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 21(2 ) 2 2 62c c c c+ − × × × = 2 12c = 2 3, 2 3c c= = − 2 4 3a c= = 1 1 3sin 4 3 2 3 6 3.2 2 2ABCS ac B= = × × × =△ c ,a c 12 2 5 7 2 1051 【解析】如图，在 中，由正弦定理有： ，而 ， ， ，所以 . . 【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思 想.在 中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 7．【答案】 ，3 【解析】由正弦定理得 ，所以 由余弦定理得 （负值舍去）. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转 化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得 sinB，根据余弦定理解 出 c. 8．【解析】（1）由正弦定理和已知条件得 ，① 由余弦定理得 ，② 由①，②得 . 因为 ，所以 . （2）由正弦定理及（1）得 ， 从而 ， . ABD△ sin sin AB BD ADB BAC =∠ ∠ 3π4, 4AB ADB= ∠ = 2 2 5AC = AB + BC = 3 4sin ,cos5 5 BC ABBAC BACAC AC ∠ = = ∠ = = 12 2 5BD = π π 7 2cos cos( ) cos cos sin sin4 4 10ABD BDC BAC BAC BAC∠ = ∠ − ∠ = ∠ + ∠ = ABD△ 21 7 sin sin a A b B = 2 π 21sin sin ,3 77 B = × = 2 2 2 22 cos , 7 4 2 , 3a b c bc A c c c= + − ∴ = + − ∴ = 2 2 2BC AC AB AC AB− − = ⋅ 2 2 2 2 cosBC AC AB AC AB A= + − ⋅ 1cos 2A = − 0 πA< < 2π 3A = 2 3sin sin sin AC AB BC B C A = = = 2 3sinAC B= 2 3sin(π ) 3cos 3sinAB A B B B= − − = −52 故 . 又 ，所以当 时， 周长取得最大值 . 9．【解析】（1）在 中，因为 ， 由余弦定理 ，得 ， 所以 . 在 中，由正弦定理 ， 得 ， 所以 （2）在 中，因为 ,所以 为钝角， 而 ,所以 为锐角. 故 则 . 因为 ，所以 ， . 从而 . 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 10．【解析】（Ⅰ）在 中，由余弦定理及 ，有 ．又 因为 ，所以 ． （Ⅱ）在 中，由正弦定理及 ，可得 ． （Ⅲ）由 及 ，可得 ， 进而 ． π3 3sin 3cos 3 2 3sin( )3BC AC AB B B B+ + = + + = + + π0 3B< < π 6B = ABC△ 3 2 3+ ABC△ 3, 2, 45a c B= = = ° 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 9 2 2 3 2 cos45 5b = + − × × ° = 5b = ABC△ sin sin b c B C = 5 2=sin 45 sinC° 5sin .5C = ADC△ 4cos 5ADC∠ = − ADC∠ 180ADC C CAD∠ + ∠ + ∠ = ° C∠ 2 2 5cos 1 sin ,5C C= − = sin 1tan cos 2 CC C = = 4cos 5ADC∠ = − 2 3sin 1 cos 5ADC ADC∠ = − ∠ = sin 3tan cos 4 ADCADC ADC ∠∠ = = −∠ 3 1 tan( ) 24 2tan tan(180 ) tan( )= = =3 11 tan tan 111 ( )4 2 ADC CADC ADC C ADC C ADC C − +∠ + ∠∠ = ° − ∠ − ∠ = − ∠ + ∠ − −− ∠ × ∠ − − × ABC△ 2 2, 5, 13a b c= = = 2 2 2 2cos 2 2 a b cC ab + −= = (0,π)C ∈ π 4C = ABC△ π , 2 2, 134C a c= = = sin 2 13sin 13 a CA c = = a c< 2 13sin 13A = 2 3 13cos 1 sin 13A A= − = 212 5sin 2 2sin cos ,cos2 2cos 113 13A A A A A= = = − =53 所以， ． 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的 数学运算能力，是一道容易题. 11．【解析】选择条件①（Ⅰ） （Ⅱ） 由正弦定理得： 选择条件②（Ⅰ） 由正弦定理得： （Ⅱ） 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 12．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得 ，故 ， 由题意得 . （Ⅱ）由 得 ， π π π 12 2 5 2 17 2sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin4 4 4 13 2 13 2 26A A A+ = + = × + × = 17,cos 7c A= = − ， 11a b+ = 2 2 2 2 2 2 12 cos (11 ) 7 2(11 ) 7 ( )7a b c bc A a a a= + − ∴ = − + − − ⋅ ⋅ − 8a∴ = 21 4 3cos (0, ) sin 1 cos7 7A A A Aπ= − ∈ ∴ = − = ， 8 7 3sinsin sin sin 24 3 7 a c CA C C = ∴ = ∴ = 1 1 3sin (11 8) 8 6 32 2 2S ba C= = − × × = 1 9cos ,cos , (0, )8 16A B A B π= = ∈ ， 2 23 7 5 7sin 1 cos ,sin 1 cos8 16A A B B∴ = − = = − = 11 6sin sin 3 7 5 7 8 16 a b a a aA B −= ∴ = ∴ = 3 7 9 5 7 1 7sin sin( ) sin cos sin cos 8 16 16 8 4C A B A B B A= + = + = × + × = 1 1 7 15 7sin (11 6) 62 2 4 4S ba C= = − × × = 2sin sin 3sinB A A= 3sin 2B = π 3B = πA B C+ + = 2π 3C A= −54 由 是锐角三角形得 . 由 得 . 故 的取值范围是 . 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求 最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转 化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 13．【解析】方案一：选条件①． 由 和余弦定理得 ． 由 及正弦定理得 ． 于是 ，由此可得 ． 由① ，解得 ． 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 ． 方案二：选条件②． 由 和余弦定理得 ． 由 及正弦定理得 ． 于是 ，由此可得 ， ， ． 由② ，所以 ． 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 ． 方案三：选条件③． 由 和余弦定理得 ． 由 及正弦定理得 ． ABC△ π π( , )6 2A∈ 2π 1 3cos cos( ) cos sin3 2 2C A A A= − = − + 3 1 1 π 1 3 1 3cos cos cos sin cos sin( ) ( , ]2 2 2 6 2 2 2A B C A A A ++ + = + + = + + ∈ cos cos cosA B C+ + 3 1 3( , ]2 2 + 6C π= 2 2 2 3 2 2 a b c ab + − = sin 3sinA B= 3a b= 2 2 2 2 3 3 22 3 b b c b + − = b c= 3ac = 3, 1a b c= = = 1c = 6C π= 2 2 2 3 2 2 a b c ab + − = sin 3sinA B= 3a b= 2 2 2 2 3 3 22 3 b b c b + − = b c= 6B C π= = 2 3A π= sin 3c A = 2 3, 6c b a= = = 2 3c = 6C π= 2 2 2 3 2 2 a b c ab + − = sin 3sinA B= 3a b=55 于是 ，由此可得 ． 由③ ，与 矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在． 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现 边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意 公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 14．【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由已知得 ， 故由正弦定理得 ． 由余弦定理得 ． 因为 ，所以 ． （2）由（1）知 ， 由题设及正弦定理得 ， 即 ，可得 ． 由于 ，所以 ，故 ． 【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三 角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角 之间的关系. 2 2 2 2 3 3 22 3 b b c b + − = b c= 3c b= b c= 60A °= 6 2sin 4C += 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C+ − = 2 2 2b c a bc+ − = 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = 0 180A° °< < 60A °= 120B C°= − ( )2 sin sin 120 2sinA C C°+ − = 6 3 1cos sin 2sin2 2 2C C C+ + = ( ) 2cos 60 2C °+ = − 0 120C° °< < ( ) 2sin 60 2C °+ = ( )sin sin 60 60C C ° °= + − ( ) ( )sin 60 cos60 cos 60 sin 60C C° ° ° °= + − + 6 2 4 +=56 15．【答案】（1）B=60°；（2） . 【解析】（1）由题设及正弦定理得 ． 因为sinA 0，所以 ． 由 ，可得 ，故 ． 因为 ，故 ， 因此B=60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积 ． 由正弦定理得 ． 由于△ABC为锐角三角形，故0°