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考点 19 平面向量的基本定理及坐标表示
考点解读
平面向量的基本定理的利用要灵活掌握，用坐标表示平面向量并进行运算是考查的重点，具体要求是：
（1）了解平面向量的基本定理及其意义.
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
一、平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数
λ1，λ2，使 .其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量
分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
二、平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底，对于平面内的一个
向量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x、y，使得 a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量 a 都可
由 x、y 唯一确定，我们把（x，y）叫做向量 a 的坐标，记作 a=（x，y），其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y
叫做 a 在 y 轴上的坐标.
三、平面向量的坐标运算
1．向量坐标的求法
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2－x1，y2－y1）.
2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设 a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），
|a|= ，|a＋b|= .
3．平面向量共线的坐标表示
1 1 2 2
λ λ+=a e e
AB
2 2
1 1+x y 2 2
1 2 1 2( + ) +( + )x x y y2
设 a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a∥b⇔x1y2－x2y1=0.
4．向量的夹角
已知两个非零向量 a 和 b，作 =a， =b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量 a 与 b 的夹角.如果向
量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
考向一 平面向量基本定理的应用
1．应用平面向量基本定理表示向量的实质
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运
算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．
2．应用平面向量基本定理的关键点
（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．
（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表
示出来．
（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、
相似等．
3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路
（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向
量的运算．
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向
量表达式.
典例 1 如图所示，在 中， ， ， 与 相交于点 ，设 ，
.
OA OB
ABO△ 1
4OC OA= 1
2OD OB= AD BC M OA = a
OB = b3
（1）试用向量 ， 表示 ；
（2）过点 作直线 ，分别交线段 ， 于点 ， .记 ， ，求证： 为
定值.
【解析】（1）由 ， ， 三点共线，可设 ，
由 ， ， 三点共线，可设 ，
∴ ，解得 ， ，
∴ .
（2）由 ， ， 三点共线，设 ，
由（1）知 ， ，
∴ ， ，
∴ ，为定值.
【名师点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，以及平面向量的线性运算，其中根据三点共线，
合理设出向量，列出方程组求解是解答本题的关键，同时要熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答
向量问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
1．如图所示，在 中，点 D 是边 上任意一点，M 是线段 的中点，若存在实数 和 ，使得
a b OM
M EF AC BD E F OE λ= a OF µ= b 1 3
λ µ+
A M D ( )1OM mOA m OD= + − 1
2
mm
−= +a b
B M C ( )1OM nOC n OB= + − ( )14
n n= + −a b
1
4
1 12
m n
m n
= − = −
1
7m = 4
7n =
1 3
7 7OM = + a b
E M F ( )1OM kOE k OF= + − ( )1k kλ µ= + −a b
1
7kλ = ( ) 31 7k µ− =
1 7kλ = 3 7 7kµ = −
1 3 7λ µ+ =
ABC BC AD λ µ4
，则 （ ）
A． B．
C． D．
考向二 平面向量的坐标运算
1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求向量的坐标．
2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的
应用.
牢记：向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在
什么位置，它们的坐标都是相同的．
典例 2 已知퐴( ― 3,0)，퐵(0,2)，푂为坐标原点，点 C 在∠AOB 内，且∠퐴푂퐶 = 45∘，设푂퐶 = 휆푂퐴 +(1 ― 휆)푂퐵
(휆 ∈ 퐑)，则휆的值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵∠퐴푂퐶 = 45∘，∴设퐶(푥, ― 푥)，则푂퐶 = (푥, ― 푥)，
又퐴( ― 3,0)，퐵(0,2)，根据向量的坐标运算知휆푂퐴 +(1 ― 휆)푂퐵 = ( ― 3휆,2 ― 2휆)，
所以 .
BM AB ACλ µ= + λ µ+ =
1− 1
2
−
2− 3
2
−
1
5
1
3
2
5
2
3
3 2
2 2 5
x
x
λ λλ
= − ⇒ =− = −5
故选 C.
典例 3 已知 ， ， ，设 ， ， .
（1）求 ；
（2）求满足 的实数 ， .
【解析】（1）由已知得 ， ， ，
则 .
（2）∵ ，
∴ .
2．已知 中， ， ，若 ，则 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
考向三 向量共线（平行）的坐标表示
1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量 共线的向量时，可设所求向量为
( )，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 即可得到所求的向量．
2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若 ， ，
则 的充要条件是 ”解题比较方便．
3．三点共线问题．A，B，C 三点共线等价于 与 共线．
4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变
换求解.
( 2,4)A − (3, 1)B − ( 3, 4)C − − AB = a BC = b CA = c
3 3+ −a b c
m n= +a b c m n
(5, 5)= −a ( 6, 3)= − −b (1,8)=c
3 3+ − = 3(5,−5) + (−6,−3) − 3(1,8) = (15− 6 − 3,−15− 3− 24) = (6,−42)a b c
( 6 , 3 8 )m n m n m n+ = − + − +b c
6 5 13 8 5
m n m nm n
− + = ⇒ = = −− + = −
ABC∆ (2,8)AB = ( 3,4)AC = − BM MC= AM
1( ,6)2
− 5( ,2)2
( 1,12)− (5,4)
a λa
λ ∈R λ λ λa
1 1( , )x y=a 2 2( , )x y=b
∥a b 1 2 2 1x y x y=
AB AC6
典例 4 已知 e1,e2 是平面内两个不共线的非零向量，퐴퐵=2e1+e2，퐵퐸=−e1+λe2，퐸퐶=−2e1+e2，且 A,E,C 三
点共线.
（1）求实数 λ 的值;
（2）若 e1=(2,1),e2=(2,−2),求퐵퐶的坐标;
（3）已知点 D(3,5)，在（2）的条件下，若 A,B,C,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点 A 的坐标.
【解析】（1）퐴퐸=퐴퐵+퐵퐸=(2e1+e2)+(−e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.
∵A,E,C 三点共线,
∴存在实数 k,使得퐴퐸=k퐸퐶，
即 e1+(1+λ)e2=k(−2e1+e2)，
即(1+2k)e1+(1+λ−k)e2=0.
∵e1,e2 是平面内两个不共线的非零向量,
∴1+2k=0 且 1+λ−k=0,
解得 k=− ,λ=− .
故实数 λ 的值为− .
（2）由（1）知,퐵퐸=−e1− e2,
则퐵퐶=퐵퐸+퐸퐶=−3e1− e2=−3(2,1)− (2,−2)=(−6,−3)−(1,−1)=(−7,−2).
故퐵퐶的坐标为(−7,−2).
（3）∵A,B,C,D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,∴퐴퐷=퐵퐶.
设 A(x,y)，则퐴퐷=(3−x,5−y).
由（2）知,퐵퐶=(−7,−2),
∴ ,解得 ,
∴点 A 的坐标为(10,7).
3．已知平面向量 ，且 ，则 （ ）
A． B．
1
2
3
2
3
2
3
2
1
2
1
2
3 7
5 2
x
y
− = −
− = −
10
7
x
y
=
=
(1,2), ( 2, )a b m = = − / /a b 2 3a b+ =
( 5, 10)− − ( )4, 8− −7
C． D．
1．已知 ，下列向量中，与 反向的单位向量是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点 ， ，向量 ，则向量 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ， ，若 ，则 点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1）
C．（7，0） D．（1，0）
4．已知 ，若 ，则 为（ ）
A． B．1
C． D．
5．已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ）
A．（1，2） B．（1，-2）
C．（-1，2） D．（-1，-2）
6．若向量 ， ，且 ，则 ＝( )
A． B．－
C． D．－
( )3, 6− − ( )2, 4− −
( 1, 3)a = − a
( 1
2 2 )3− ， 1 3( , )2 2
−
1 3( , )2 2
− − 1 3( , )2 2
(0,1)A (3,2)B ( 4, 3)AC = − − BC =
( 7, 4)− − (1,2)
( 1,4)− (1,4)
( )3, 2M − ( )5, 1N − NP MN= P
( ) ( )1,2 , 2,a b t= = a b a b+ = − t
1−
a b ( )1 5a b− = − ， ( )2 21a b+ = − ， b =
( )2cos , 1a α= − ( )2,tanb α= / /a b sinα
2
2
2
2
4
π
4
π8
7．在△ABC 中，D 为 BC 上一点，E 为线段 AD 的中点，若 2 ＝ ，且 ＝ ＋ ，则 x＋y
＝（ ）
A．－ B．－
C． D．－
8．如图是由等边△ 和等边△ 构成的六角星，图中的 ， ， ， ， ， 均为三等分点，
两个等边三角形的中心均为 .若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
9．已知向量 ， ，若 ，则 __________.
10．已知向量 ， ，若 ∥ ，则实数 等于__________．
11．已知平行四边形 的顶点 ， ， ，则顶点 D 的坐标为________.
12．已知向量 ， ， .若向量 与向量 共线，则实数 _________.
13．如图，在 中， ，点 在线段 上移动（不含端点），若 ，
则 的取值范围是_____．
BD DC BE xAB yAC
2
3
1
2
1
3
1
3
AIE KGC B D F H J L
O OA mOC nOJ= + m
n
=
1
2
2
3
3
4 1
( )2,a m= ( ),3b n= 2a b= m n+ =
( )1,2a = ( )1,b λ= − a b λ
ABCD ( 1, 2)A − − (3, 1)B − (6,7)C
( )1,3a = ( )2,1b = − ( )3,2c = c ka b+ k =
ABC
1
3B BCD
→→
= E AD AE AB ACλ µ
→ → →
= +
1
2
λ
µ+9
14． 是边长为 6 的正三角形，点 C 满足 ，且 ， ， ，则
的取值范围是__________．
1．【2016 新课标全国Ⅱ理科】已知向量 ，且 ，则 m=
A．−8 B．−6
C．6 D．8
2．【2017 新课标全国Ⅲ理科】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆
上.若 ，则 的最大值为
A．3 B．2
C． D．2
3．【2018 新课标全国Ⅲ理科】已知向量 ， ， ．若 ，则
________．
4．【2017 江苏】如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1，1， ， 与 的夹
角为 ，且 =7， 与 的夹角为45°．若 ，则 ．
QAB QC mQA nQB= + 0m > 0n > 2 3 4m n+ = QC
(1, ) (3, 2)m= −， =a b ( ) ⊥a + b b
AP AB ADλ µ= + λ µ+
2
5
( )= 1,2a ( )= 2, 2−b ( )= 1, λc ( )2∥c a + b λ =
OA OB OC 2 OA OC
α tanα OB OC OC mOA nOB= + ( , )m n∈R m n+ =10
1．【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量 ， ，然后结合平面向量的运算法则
即可求得最终结果.
【详解】
如图所示，因为点 D 在线段 上，所以存在 ，使得 ，
因为 M 是线段 的中点，所以：
，
又 ，所以 ， ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘
运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的
形式，再通过向量的运算来解决．
2．【答案】A
【解析】
变式拓展
BD BM
BC t R∈ ( )BD tBC t AC AB= = −
AD
( ) ( ) ( )1 1 1 112 2 2 2BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC= + = − + − = − + +
BM AB ACλ µ= + ( )1 12 tλ = − + 1
2 tµ =
1
2
λ µ+ = −11
【分析】
根据 ， ，可得 ；由 可得 M 为 BC 中点，即可求得 的坐标，
进而利用 即可求解．
【详解】
因为 ，
所以
因为 ，即 M 为 BC 中点
所以
所以
所以选 A
【点睛】
本题考查了向量的减法运算和线性运算，向量的坐标运算，属于基础题．
3．【答案】B
【解析】因为 ， ，且 ，所以 ，
，故选 B.
1．【答案】B
【解析】
【分析】
判断标准有两个，一是反向，二是模为 1.
【详解】
因为与 反向，所以舍去 A,C,D.
因为 的模为 1，
(2,8)AB = ( 3,4)AC = − BC BM MC= BM
AM AB BM= +
(2,8)AB = ( 3,4)AC = −
( 5, 4)BC AC AB= − = − −
BM MC=
1 5, 22 2BM BC = = − −
( ) 5 12,8 , 2 ,62 2AM AB BM = + = + − − = −
(1,2)a = ( 2, )b m= − / /a b 4 0, 4m m+ = = −
( ) ( )2 3 2 1,2 3 2, 4a b+ = + − − = ( 4, 8)− −
考点冲关
a
1 3( , )2 2
−12
故选：B.
【点睛】
与 共线的向量为 ，当 时，为同向；当 时，为反向；与 共线的单位向量为 ；与
垂直的向量为 .
2．【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，求出 ，即得 的坐标.
【详解】
设 ，
因为 ，所以
所以 ，所以 .
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．【答案】C
【解析】
【分析】
设点 的坐标为 ，根据 ，列出方程组，即可求解.
【详解】
设点 的坐标为 ，则 ， ，
因为 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：C.
a aλ 0λ > 0λ < a
| |
a
a
λ
( , )a x y= ( , )y xλ −
( , )C x y ( 4, 2)C − − BC
( , )C x y
( 4, 3)AC = − − ( , 1) ( 4, 3), 4, 1 3,x y x y− = − − ∴ = − − = −
4, 2x y= − = − ( 4, 2)C − −
( 4 3, 2 2) ( 7, 4)BC = − − − − = − −
P ( ),x y NP MN=
P ( ),x y ( 5, 1)NP x y= − + (5 3, 1 2) (2,1)MN = − − + =
NP MN= ( 5, 1) (2,1)x y− + =
5 2
1 1
x
y
− =
+ =
7
0
x
y
=
=
( )7,0P13
【点睛】
本题主要考查了平面向量的坐标表示，以及平面向量的坐标运算，其中解答中熟记平面向量的坐标表示
及运算是解答的关键，着重考查运算能力.
4．【答案】C
【解析】
【分析】
求得 的坐标，根据坐标计算向量的模长，根据模长相等即可求得参数.
【详解】
因为 ，
故可得 ，
， ，
因为 ，即 ，
整理得 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的坐标运算，涉及模长的坐标求解，属综合基础题.
5．【答案】C
【解析】
【分析】
将题目所给两个向量相减，求得 .
【详解】
两个向量相减得 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查向量的减法和数乘的坐标运算，属于基础题.
6．【答案】B
【解析】
,a b a b− +
( ) ( )1,2 , 2,a b t= =
( )3,2a b t+ = + ( )29 2a b t+ = + +
( )1,2a b t− = − − ( )21 2a b t− = + −
a b a b+ = − ( ) ( )2 29 2 1 2t t+ + = + −
8 8t = − 1t = −
b
3 ( 3,6)b = − ( 1,2)b = −14
【分析】
根据向量平行的坐标表示，列出等式，化简即可求出．
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
解得 ，故选 B．
【点睛】
本题主要考查向量平行的坐标表示以及同角三角函数基本关系的应用．
7．【答案】B
【解析】
【分析】
由图可知 ，而 E 为线段 AD 的中点，则 ，由三角形法则可知，
，又因为 2 ＝ ，所以 ，然后等量代换，可用 表示出 ，
从而可求出 的值
【详解】
解：由图可知， ，
因为 E 为线段 AD 的中点，所以 ，
因为 2 ＝ ，所以 ，
所以
因为 ＝ ＋ ，所以 ，
所以 ，
故选：B.
/ /a b 2cos tan 2 0α α + = 2sin 2 0α + =
2sin 2
α = −
BE AE AB= − 1
2AE AD=
AD AB BD= + BD DC 1
3BD BC= ,AB AC BE
,x y
BE AE AB= −
1
2AE AD=
BD DC 1
3BD BC=
1 1 ( )2 2BE AE AB AD AB AB BD AB= − = − = + −
1 1 ( )2 6AB AC AB AB= + − −
2 1
3 6AB AC= − +
BE xAB yAC 2 1,3 6x y= − =
2 1 1
3 6 2x y+ = − + = −15
【点睛】
此题考查的是平面向量基本定理和平面向量的加法法则，属于基础题
8．【答案】B
【解析】
【分析】
以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为 ，得出
点 的坐标，由向量的运算可求得 的值，可得答案.
【详解】
由平行四边形法则， ，所以 ， ，所以
.
以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设等边三角形的边长为 .
则等边三角形的高为 ，
O OD x OA y 2 3
, ,A C J ,m n
2 2( ) 2 3OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ= + = + + = + 2m = 3n =
2
3
m
n
=
O OD x OA y
2 3
( ) ( )2 2
2 3 3 3− =16
由 ， ， ， ， ， 均为三等分点，
则 ,
所以
, ,
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于
中档题.
9．【答案】
【解析】
【分析】
利用平面向量相等可得出关于 、 的方程组，解出 、 的值，即可得出 的值.
【详解】
向量 ， ，且 ， ，解得 ， ，
因此， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用向量相等求参数，考查计算能力，属于基础题.
10．【答案】
【解析】
B D F H J L
2 3 23OA = × = 2 33OJ = ×
( ) ( )2 30,2 ,0 3,13
， ，A J C
−
( )0,2OA = ( )3,1OC = 2 3 ,03OJ
= −
( ) 2 3 2 33,1 ,0 3 ,3 3
nOA mOC nOJ m n m m
= + = + − = −
2 33 03
2
nm
m
− =
=
3
2
n
m
=
=
2
3
m
n
=
7
m n m n m n+
( )2,a m= ( ),3b n= 2a b= 2 2
2 3
n
m
=∴ = × 6m = 1n =
6 1 7m n+ = + =
7
2−17
【分析】
利用平面向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】
因为 ∥ ，由平面向量平行的坐标表示可得，
，解得 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查平面向量平行的坐标表示；考查运算求解能力；属于基础题.
11．【答案】
【解析】
【分析】
由题意得， ，再根据相等向量求得答案．
【详解】
解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
设 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
12．【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算求得向量 的坐标，然后利用平面向量共线的充分必要条件求解.
a b
( )1 1 2 0λ× − − × = 2λ = −
2−
( )2,6
AB DC=
ABCD
AB DC=
( ),D x y
( 1, 2)A − − (3, 1)B − (6,7)C
( )4,1AB = ( )6 ,7DC x y= − −
6 4
7 1
x
y
− =
− =
2
6
x
y
=
=
( )2,6
1−
ka b+ 18
【详解】
∵向量 ， ，∴向量 ,
又∵ ，且向量 与向量 共线，
∴
解得 ,
故答案为： .
【点睛】
本题考查向量的坐标运算和利用向量共线的充分必要条件求参数的值，考查运算能力，属基础题.
13．【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，设 ，根据向量的线性运算，利用 表示出 ，求出 和 ，
然后利用双钩函数的单调性求出 的取值范围.
【详解】
解：由题可知， ，设 ，
则 ，
所以 ，
而 ，
可得： ，
所以 ，
设 ，由双勾函数性质可知， 在 上单调递减，
则 ，
( )1,3a = ( )2,1b = − ( )= 2,3 1ka b k k+ − +
( )3,2c = c ka b+
( ) ( )3 3 1 2 2 ,k k+ = −
1k = −
1−
(10 ,3 )+∞
( )0 1AE mAD m= < 0n > 2 3 4m n+ = 4 2
3
mn
−= ( )0,2m∈
2 2 236 36 36QC m n mn= + + 2 2=28 16 64QC m m− +
( )3 0A − , ( )3,0B ( )0,3 3Q
( )= 3 3 3QA − − ， ( )= 3 3 3QB − ，
( ) ( ) ( )= 3 , 3 3 3 , 3 3 3 3 , 3 3 3 3QC mQA nQB m m n n n m m n= + − − + − = − − −
( ) ( )2 2 2 2 2=9 27 36 36 36QC n m m n m n mn− + + = + +
0m > 0n > 2 3 4m n+ =20
∴ ， ，
∴ ，
∴ 由二次函数的性质知 ，∴
故答案为： .
【点睛】
本题考查向量坐标运算，模的求解，难点在于根据已知用 表示向量 的模，考查学生的数学运
算能力.
1．【答案】D
【解析】 ，由 得 ，解得 ，故选 D.
【名师点睛】已知非零向量 ， ：
几何表示 坐标表示
模 |a|＝
夹角
a⊥b 的充要条件 x1x2＋y1y2＝0
2．【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.
4 2
3
mn
−= ( )0,2m∈
( ) ( )2 2 2 2 2 2=9 27 36 36 36 =28 16 64QC n m m n m n mn m m− + + = + + − +
2 432 ,1447QC ∈
12 21 ,127QC
∈
12 21 ,127
,m n QC
直通高考
(4, 2)m+ = −a b ( ) ⊥a + b b 4 3 ( 2) ( 2) 0m× + − × − = 8m =
1 1( , )x y=a 2 2( , )x y=b
⋅a a 2 2
1 1x y= +a
cosθ ⋅= ⋅a b
a b
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos x x y y
x y x y
θ +
+ +
=
⋅
0⋅ =a b21
设 ,
易得圆的半径 ，即圆 C 的方程是 ，
，若满足 ，
则 ， ，所以 ，
设 ，即 ，点 在圆 上，
所以圆心 到直线 的距离 ，即 ，解得 ，
所以 的最大值是 3，即 的最大值是 3，故选 A.
【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量
的形式，再通过向量的运算来解决.
3．【答案】
【解析】由题可得 ， ， ， ，即 ，
故答案为 .
【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向
量共线的坐标关系计算即可.
4．【答案】3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,1 , 0,0 , 2,0 , 2,1 , ,A B C D P x y
2
5
r = ( )2 2 42 5x y− + =
( ) ( ) ( ), 1 , 0, 1 , 2,0AP x y AB AD= − = − = AP AB ADλ µ= +
2
1
x
y
µ
λ
=
− = − , 12
x yµ λ= = − 12
x yλ µ+ = − +
12
xz y= − + 1 02
x y z− + − = ( ),P x y ( )2 2 42 5x y− + =
(2 0), 1 02
x y z− + − = d r≤ 2 2
1 514
z− ≤
+
1 3z≤ ≤
z λ µ+
1
2
( )2 4,2+ =a b ( )2 ∥c a + b ( )= 1, λc 4 2 0λ∴ − = 1
2
λ =
1
222
【解析】由 可得 ， ，根据向量的分解，
易得 ，即 ，即 ，即得 ，
所以 ．
【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结
合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问
题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．
（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的
数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．
tan 7α = 7 2sin 10
α = 2cos 10
α =
cos45 cos 2
sin 45 sin 0
n m
n m
α
α
°+ = °− =
2 2 22 10
2 7 2 02 10
n m
n m
+ =
− =
5 10
5 7 0
n m
n m
+ =
− =
5 7,4 4m n= =
3m n+ =
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