专题02 函数的概念与基本初等函数-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

专题 02 函数的概念与基本初等函数 —2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化 【高频考点及备考策略】 (1)深刻理解函数、分段函数及函数的单调性、奇偶性、最值、周期性等概念． (2)掌握各种基本初等函数的定义、图象和性质，以及幂和对数的运算性质． (3)掌握函数图象的作法、变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法． (4)掌握利用函数性质比较大小、求值、求参数范围等问题的方法． (5)加强对函数零点的理解，掌握函数的零点与方程根的关系．掌握研究函数零点、方程解的问题的方 法． 考向预测： 预测 2021 年命题热点为： (1)求函数定义域及与分段函数有关的求值、求范围等问题． (2)给出函数解析式选图象及利用图象解决交点个数、方程的解、不等式等问题． (3)利用函数的性质求值，求参数取值范围、比较大小等问题． (4)函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化问题．将实际背景常规化，最后归为二次 函数、高次式、分式及分段函数或指数式、对数式函数为目标函数的应用问题． 1．指数与对数式的七个运算公式 (1)am·an＝am＋n，am÷an＝am－n. (2)(am)n＝amn. (3)loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0 且 a≠1，M>0，N>0)． 必备知识(4)loga M N＝logaM－logaN(a>0 且 a≠1，M>0，N>0)． (5)logaMn＝nlogaM(a>0 且 a≠1，M>0)． (6)alogaN＝N(a>0 且 a≠1，N>0)． (7)logaN＝logbN logba(a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1，M>0，N>0)． 2．单调性定义 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，且 x1 ln | | 0x y− < 2 2 3 3x y x y− −− < − 2 3 2 3x x y y− −− < − ( ) 2 3t tf t −= −为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数， ， ， ， ，则 A 正确，B 错误； 与 的大小不确定，故 CD 无法确定. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得 到 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 3、（2020 新课标Ⅲ卷·理科 T12）已知 55所以不等式 的解集为： . 故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 11、（2020 天津卷·T3）函数 的图象大致为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点 对称，选项 CD 错误； 当 时， ，选项 B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域， 判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称 性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 12、（2020 天津卷·T6）设 ，则 的大小关系为（ ） . ( ) 0f x > ( ) ( ),0 1,−∞ ∪ +∞ 2 4 1 xy x = + ( ) ( )2 4 1 xf x f xx −− = = −+ ( )f x 1x = 4 2 01 1y = = >+ 0.8 0.7 0.7 13 , , log 0.83a b c − = = =   , ,a b cA. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 ， ， ， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数 函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0 或 1 等. 13、（2020 天津卷·T9）已知函数 若函数 恰有 4 个 零点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D a b c< < b a c< < b c a< < c a b< < 0.73 1a = > 0.8 0.8 0.71 3 33b a − = = > =   0.7 0.7log 0.8 log 0.7 1c = < = 1c a b< < < xy a= 1a > 0 1a< < logay x= 1a > 0 1a< < 3, 0,( ) , 0. x xf x x x = − = =  2y kx= − 2y x= 2 2 0x kx− + = 0∆ = 2 8 0k − = 2 2k = 2 2k > k ( ,0) (2 2, )−∞ +∞ ∈【答案】C 【解析】因为 ，所以 且 ，设 ，则 的零点 为 当 时，则 ， ，要使 ，必有 ，且 ， 即 ，且 ，所以 ； 当 时，则 ， ，要使 ，必有 . 综上一定有 . 故选：C 【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题. 二、填空题 1、（2020 新课标Ⅲ卷·理科 T16）关于函数 f（x）= 有如下四个命题： ①f（x）的图像关于 y 轴对称． ②f（x）的图像关于原点对称． ③f（x）的图像关于直线 x= 对称． ④f（x）的最小值为 2． 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】对于命题①， ， ，则 ， 0ab ≠ 0a ≠ 0b≠ ( ) ( )( )( 2 )f x x a x b x a b= − − − − ( )f x 1 2 3, , 2x a x b x a b= = = + 0a > 2 3x x< 1 > 0x ( ) 0f x ≥ 2a b a+ = 0b < = −b a 0b < 0b < 0a < 2 3x x> 1 0x < ( ) 0f x ≥ 0b < 0b < 1sin sinx x + 2 π 1 526 2 2f π  = + =   1 526 2 2f π − = − − = −   6 6f f π π   − ≠      所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称， ， 所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③， ， ，则 ， 所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确； 对于命题④，当 时， ，则 ， 命题④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. （2020 北京卷·T11）函数 的定义域是____________． 【答案】 【解析】由题意得 ， 故答案为： ( )f x y ( )f x { },x x k k Zπ≠ ∈ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1sin sin sinsin sin sinf x x x x f xx x x  − = − + = − − = − + = − −   ( )f x 1 1sin cos2 2 cossin 2 f x x x xx π π π    − = − + = +         −    1 1sin cos2 2 cossin 2 f x x x xx π π π    + = + + = +         +   2 2f x f x π π   − = +       ( )f x 2x π= 0xπ− < < sin 0x < ( ) 1sin 0 2sinf x x x = + < < 1( ) ln1f x xx = ++ (0, )+∞ 0 1 0 x x >  + ≠ 0x∴ > (0, )+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. （2020 江苏卷·T7）已知 y=f(x)是奇函数，当 x≥0 时， ，则 f(-8)的值是____. 【答案】 【解析】 ，因为 为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 考点一 函数的性质及其应用 【典例】(1)已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若 f(x－1)>0，则 x 的取值范围是 . [解析]　(1)∵f(x)是偶函数，∴图象关于 y 轴对称． 又 f(2)＝0，且 f(x)在[0，＋∞)单调递减， 则 f(x)的大致图象如图所示， 由 f(x－1)>0，得－2