专题13 不等式-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

专题 13 不等式及线性规划 —2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化 【高频考点及备考策略】 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1)掌握不等关系与不等式解法、基本不等式的应用． (2)熟练掌握求解线性规划问题的方法，给出线性不等式组可以熟练找出其对应的可行域． (3)关注目标函数的几何意义和参数问题，掌握求目标函数最值的方法． 考向预测： (1)不等式的性质、不等关系及不等式解法；利用基本不等式求函数最值． (2)求目标函数的最大值或最小值及求解含有参数的线性规划问题． 1．不等式的四个性质 注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如 (1)a>b，c>0⇒ac>bc，a>b，c0，c>d>0⇒ac>bd. (3)a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)． (4)a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)． 2．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二 次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 f(x) g(x)>0(0(1 时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)； 当 0logag(x)⇔f(x)>g(x)>0； 当 0f(x)>0. 必备知识3．基本不等式 (1)基本不等式的常用变形 ①a＋b≥2 ab(a>0，b>0)，当且仅当 a＝b 时，等号成立． ②a2＋b2≥2ab，ab≤(a＋b 2 )2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时，等号成立． ③b a＋a b≥2(a，b 同号且均不为零)，当且仅当 a＝b 时，等号成立． ④a＋1 a≥2(a>0)，当且仅当 a＝1 时，等号成立；a＋1 a≤－2(a0，b>0，则 a2＋b2 2 ≥a＋b 2 ≥ ab≥ 2 1 a＋1 b ，当且仅当 a＝b 时取等号． (2)利用基本不等式求最值 已知 a，b∈R，则①若 a＋b＝S(S 为定值)，则 ab≤(a＋b 2 )2＝S2 4 ，当且仅当 a＝b 时，ab 取得最大值S2 4 . ②若 ab＝T(T 为定值，且 T>0)，则 a＋b≥2 ab＝2 T，当且仅当 a＝b 时，a＋b 取得最小值 2 T. 4．求目标函数的最优解问题 (1)“斜率型”目标函数 z＝y－b x－a(a，b 为常数)，最优解为点(a，b)与可行域上点的连线的斜率取最值时的 可行解． (2)“两点间距离型”目标函数 z＝ (x－a)2＋(y－b)2(a，b 为常数)，最优解为点(a，b)与可行域上点之间 的距离取最值时的可行解． 5．线性规划中的参数问题的注意点 (1)当最值已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转 化． (2)当目标函数与最值都已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函 数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可． 6．重要性质及结论 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是Error! (2)ax2＋bx＋cb，则（ ） A．ln(a−b)>0 B．3a0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【解析】取 ，满足 ， ，知 A 错，排除 A；因为 ，知 B 错， 3 1 0 3 0 x y x y − + ≤  + − ≥ ( ,4]−∞ [4, )+∞ [5, )+∞ ( , )−∞ +∞ 1 1 2 2y x z= − + 3 1 0 3 0 x y x y − + =  + − = ( )2,1A min 2 2 1 4z = + × = [ )4,+∞ 2, 1a b= = a b> ln( ) 0a b− = 9 3 3 3a b= > = 真题体验排除 B；取 ，满足 ， ，知 D 错，排除 D，因为幂函数 是增函数， ，所以 ，故选 C． 【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运 算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 3、（2019 年高考北京卷理数）若 x，y 满足 ，且 y≥−1，则 3x+y 的最大值为（ ） A．−7 B．1 C．5 D．7 【答案】C 【解析】由题意 作出可行域如图阴影部分所示. 设 , 当直线 经过点 时, 取最大值 5.故选 C． 【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础 知识､基本技能的考查. 4、（2019 年高考天津卷理数）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值 为（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距， 故目标函数在点 处取得最大值. 由 ，得 ， 所以 . 故选 C. 1, 2a b= = − a b> 1 2a b= < = 3y x= a b> 3 3a b> | 1|x y≤ − 1 ,1 1 y y x y − ≤  − ≤ ≤ − 3 , 3z x y y z x= + = − 0 : 3l y z x= − ( )2, 1− z ,x y       −≥ −≥ ≥+− ≤−+ 1 1 02 02 y x yx yx 4z x y= − + 4y x z= + y A 2 0, 1 x y x − + =  = − ( 1,1)A − max 4 ( 1) 1 5z = − × − + =【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其 次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离 等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求． 5、（2019 年高考浙江卷）若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A． B． 1 C． 10 D． 12 【答案】C 【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。 因为 ，所以 . 平移直线 可知，当该直线经过点 A 时，z 取得最大值. 联立两直线方程可得 ，解得 . 即点 A 坐标为 ， 所以 .故选 C. 【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度， 也有可能在解方程组的过程中出错. 二、填空题 1、（2020 新课标Ⅰ卷·理科 T13）同（2020 新课标Ⅰ卷·文科 T13）若 x，y 满足约束条件 则 z=x+7y 的最大值为______________. 【答案】1 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， ,x y 3 4 0 3 4 0 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  + ≥ 3 2z x y= + 1− 3 2z x y= + 3 1 2 2y x z= − + 3 1 2 2y x z= − + 3 4 0 3 4 0 x y x y − + =  − − = 2 2 x y =  = (2,2)A max 3 2 2 2 10z = × + × = 2 2 0, 1 0, 1 0, x y x y y + − ≤  − − ≥  + ≥目标函数 即： ， 其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为： ， 据此可知目标函数的最大值为： . 故答案为：1． 【点睛】求线性目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当 b＞0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值 最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴 上截距最小时，z 值最大. 2、（2020 新课标Ⅱ卷·文科 T15）若 x，y 满足约束条件 则 最大值是 __________． 【答案】 【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示： 平移直线 ，当直线经过点 时，直线 在纵轴上的截距最大， 此时点 的坐标是方程组 的解，解得： ， 因此 的最大值为： . 故答案为： . 【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力. 的 7z x y= + 1 1 7 7y x z= − + 2 2 0 1 0 x y x y + − =  − − = ( )1,0A max 1 7 0 1z = + × = 1 1 2 1, x y x y x y + ≥ −  − ≥ −  − ≤ ， ， 2z x y= + 8 1 2y x= − A 1 1 2 2y x z= − + A 1 2 1 x y x y − = −  − = 2 3 x y =  = 2z x y= + 2 2 3 8+ × = 83、（2020 新课标Ⅲ卷·理科 T13）同（2020 新课标Ⅲ卷·文科 T13）若 x，y 满足约束条件 ， 则 z=3x+2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】不等式组所表示的可行域如图 因为 ，所以 ，易知截距 越大，则 越大， 平移直线 ，当 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大， 由 ，得 ， ，所以 . 故答案为：7. 【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想， 是一道容易题. 4、（2020 江苏卷·T12）已知 ，则 的最小值是_______． 【答案】 【解析】∵ ∴ 且 ∴ ，当且仅当 ，即 时取等号. ∴ 的最小值为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正， 二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积 最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定 义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）. 5、（2020 天津卷·T14）已知 ，且 ，则 的最小值为_________． 0, 2 0 1, x y x y x + ≥  − ≥  ≤ ， 3 2z x y= + 3 2 2 x zy = − + 2 z z 3 2 xy = − 3 2 2 x zy = − + 2 1 y x x =  = 1 2 x y =  = (1,2)A max 3 1 2 2 7z = × + × = 2 2 45 1( , )x y y x y R+ = ∈ 2 2x y+ 4 5 2 2 45 1x y y+ = 0y ≠ 4 2 2 1 5 yx y −= 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 1 4 4+ 25 5 55 5 5 y y yx y yy y y −+ = + = ≥ ⋅ = 2 2 1 4 55 y y = 2 23 1,10 2x y= = 2 2x y+ 4 5 4 5 ≥ ≤ 0, 0a b> > 1ab = 1 1 8 2 2a b a b + + +【答案】4 【解析】 ， , ，当且仅当 =4 时取等号， 结合 ,解得 ，或 时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1” 合理变换是解题的关键，属于基础题. 6、（2019 年高考北京卷理数）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销： 一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款 的 80%． ①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为 __________． 【答案】①130 ；②15. 【解析】（1） ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元. （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为 元, 元时,李明得到的金额为 ,符合要求. 元时,有 恒成立,即 ,即 元. 所以 的最大值为 . 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活 为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 7、（2019 年高考天津卷理数）设 ，则 的最小值为__________． 【答案】 【解析】方法一： . 的 0, 0, 0a b a b> > ∴ + > 1ab = 1 1 8 8 2 2 2 2 ab ab a b a b a b a b ∴ + + = + ++ + 8 82 42 2 a b a b a b a b + += + ≥ × =+ + a b+ 1ab = 2 3, 2 3a b= − = + 2 3, 2 3a b= + = − 4 10x = ( )60 80 10 130+ − = y 120y < 80%y× 120y ≥ ( ) 80% 70%y x y− × ≥ × ( )8 7 , 8 yy x y x− ≥ ≤ min 158 yx  ≤ =   x 15 0, 0, 2 5x y x y> > + = ( 1)(2 1)x y xy + + 4 3 ( 1)(2 1) 2 2 1 2 6 62x y xy y x xy xy xy xy xy xy + + + + + += = = +因为 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号成立. 又因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，结合 可知， 可以取到 3，故 的最小值为 . 方法二： . 当且仅当 时等号成立， 故 的最小值为 . 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立. 考点 一 不等式的性质及解不等式 【典例】1、下列三个不等式：①x＋1 x≥2(x≠0)；②c ab>c>0)；③a＋m b＋m>a b(a，b，m>0 且 ac>0 得 1 a0 的解集为( ) A．{x|xln 3} 　 B．{x|ln2 ( 1)(2 1) 2 2 1 2 6 62 2 12=4 3x y xy y x xy xy xy xy xy xy + + + + + += = = + ≥ 3xy = ( 1)(2 1)x y xy + + 4 3 高频考点、热点题型强化[解析]　由题意可知，一元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下，故 f(x)>0 的解集为{x| 1 2 0　　　　　　 B．sinx－siny>0 C．(1 2)x－(1 2)y0 [解析]　因为 x>y>0，选项 A，取 x＝1，y＝1 2，则1 x－1 y＝1－2＝－1y，此时 x2，y2 的大小不确定，故选项 A，B 中的不等式不恒成立； 根据三角函数性质，选项 C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知选项 D 中的不等式恒成立． 3．设函数 f(x)＝Error!若 f(f(a))≤2，则实数 a 的取值范围是 . [解析]由题意Error!或Error! 解得 f(a)≥－2， 所以Error!或Error!，解得 a≤ 2. 考点 二 基本不等式及其应用 【典例】设 a、b、c 都是正实数，且 a、b 满足1 a＋9 b＝1，则使 a＋b≥c 恒成立的 c 的范围是( ) A．(0,8]　　　　　　 B．(0,10] C．(0,12] D．(0,16] [解析]　∵a、b 为正实数，1 a＋9 b＝1，∴a＋b＝(a＋b)(1 a＋9 b)＝10＋b a＋9a b ≥10＋2 b a·9a b ＝16，当且仅当b a＝9a b ，即 a＝4，b＝12 时等号成立，∴ (a＋b)min＝16，要使 c≤a＋b 恒成立， ∵c 为正实数，∴00，且m 3＋n 4＝1. 所以m 3·n 4≤( m 3＋n 4 2 )2(当且仅当m 3＝n 4＝1 2，即 m＝3 2，n＝2 时，取等号)．所以m 3·n 4≤1 4，即 mn≤3， 所以 mn 的最大值为 3. 2．已知关于 x 的不等式 2x＋ 2 x－a≥7 在 x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数 a 的最小值为( ) A．1　　　 B．3 2　　　　 C．2　　　 D．5 2 [解析]　2x＋ 2 x－a＝2(x－a)＋ 2 x－a＋2a≥2· 2x－a· 2 x－a＋2a＝4＋2a， 由题意可知 4＋2a≥7，得 a≥3 2， 即实数 a 的最小值为3 2，故选 B． 考点三 线性规划问题 【典例】1、设变量 x，y 满足约束条件Error!则目标函数 z＝2x＋5y 的最小值为( ) A．－4　　　　　　　 B．6 C．10 D．17 [解析]　如图，已知约束条件Error!所表示的平面区域为图中所示的三角形区域 ABC(包含边界)，其中 A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．根据目标函数的几何意 义，可知当直线 y＝－2 5x＋z 5过点 B(3,0)时，z 取得最小值 2×3＋5×0＝6. 2、若 x，y 满足约束条件Error!，且目标函数 z＝ax＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则 a 的取值范围是( ) A．[－4,2] B．(－4,2) C．[－4,1] D．(－4,1) [解析]　本题主要考查线性规划． 作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线 z＝ax＋2y 的斜率为 k＝－a 2，从图中可看出，当 －10 时，x2＋1 4≥2·x·1 2＝x， 所以 lg(x2＋1 4)≥lgx(x>0)，故选项 A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等， 而当 x≠kπ，k∈Z 时，sinx 的正负不定，故选项 B 不正确； 由基本不等式可知，选项 C 正确； 当 x＝0 时，有 1 x2＋1＝1，故选项 D 不正确． 强化训练3．关于 x 的不等式 x2－2ax－8a20)的解集为(x1，x2)，且 x2－x1＝15，则 a 等于( ) A．5 2　　　 B．7 2　　　　 C．15 4 　　　 D．15 2 [解析]　由 x2－2ax－8a2－ln3} D．{x|x0 的解集为{x|－1