专题17 常用逻辑用语-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

专题 17 常用逻辑用语 —2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化 【高频考点及备考策略】 复习备考时明确命题的条件和结论之间的关系，关注逻辑联结词和命题，明确命题的否定和否命题的 区别；掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用． 考向预测：常用逻辑用语常与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结 合在一起考查． 1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真.的语句叫做真命题, 判断为假的 语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 设集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满中条件 q}，则有 必备知识从逻辑观点看 从集合观点看 p 是 q 的充分不必要条件(p⇒q，q⇒/ p) A B p 是 q 的必要不充分条件(q⇒p，p⇒/ q) B A p 是 q 的充要条件(p⇔q) A＝B p 是 q 的既不充分也不必要条件(p⇒/ q，q⇒/ p) A 与 B 互不包含 4.简单的逻辑联结词 (1)命题 p∨q，只要 p，q 有一真，即为真；命题 p∧q，只有 p，q 均为真，才为真；¬p 和 p 为真假对立的命 题． (2)命题 p∨q 的否定是(¬p)∧(¬q)；命题 p∧q 的否定是(¬p)∨(¬q)． 5．全(特)称命题及其否定 (1)全称命题 p：∀x∈M，p(x)．它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0). (2)特称命题 p：∃x0∈M，p(x)．它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x). 【重要结论】 1.否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论. 2.(1)互为逆否命题的两个命题等价,注意转化思想的活用. (2)A 是 B 的充分不必要条件⇔﹁B 是﹁A 的充分不必要条件. 3.充要关系与集合的子集之间的关系,设 A={x|p(x)},B={x|q(x)}. (1)若 A⊆B,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2)若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件. (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件. 4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”,可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题. 5.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p 与﹁p→真假相反.6.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”. 7.“p∨q”的否定是“(﹁p)∧(﹁q)”;“p∧q”的否定是“(﹁p)∨(﹁q)”. 【易错警示】混淆命题的否定与否命题： 在求解命题的否定与否命题时，一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定，而否命题既对命题的 条件进行否定，又对命题的结论进行否定. 1.（2020 新课标Ⅱ卷·理科 T16）同（2020 新课标Ⅱ卷·文科 T16）设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p4：若直线 l 平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ① ② ③ ④ 【答案】①③④ 【解析】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ； 若 与 相交，则交点 在平面 内， 同理， 与 的交点 也在平面 内， 所以， ，即 ，命题 为真命题； ⊂ 1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬ 1p 1l 2l α 3l 1l A α 3l 2l B α AB α⊂ 3l α⊂ 1p 真题体验对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题 为假命题； 对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题 为假命题； 对于命题 ，若直线 平面 ， 则 垂直于平面 内所有直线， 直线 平面 ， 直线 直线 ，命题 为真命题. 综上可知， ， 为真命题， ， 为假命题， 为真命题， 为假命题， 为真命题， 为真命题. 故答案为：①③④. 2、（2020 北京卷·T9）已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的 （ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】(1)当存在 使得 时， 若 为偶数，则 ； 若 为奇数，则 ； (2)当 时， 或 ， ，即 或 ， 2p 2p 3p 3p 4p m ⊥ α m α  l ⊂ α ∴ m ⊥ l 4p 1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬ , Rα β ∈ k Z∈ ( 1)kkα π β= + − sin sinα β= k Z∈ ( 1)kkα π β= + − k ( )sin sin sinkα π β β= + = k ( ) ( ) ( )sin sin sin 1 sin sink kα π β π π β π β β= − = − + − = − =   sin sinα β= 2mα β π= + 2mα β π π+ = + m Z∈ ( ) ( )1 2kk k mα π β= + − = ( ) ( )1 2 1kk k mα π β= + − = +亦即存在 使得 ． 所以，“存 使得 ”是“ ”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用， 属于基础题. 3、（2020 天津卷·T3）设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】求解二次不等式 可得： 或 ， 据此可知： 是 的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 4、（2020 浙江卷·T6）已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”是“m，n，l 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】依题意 是空间不过同一点的三条直线， 当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交. 在 k Z∈ ( 1)kkα π β= + − k Z∈ ( 1)kkα π β= + − sin sinα β= a ∈ R 1a > 2a a> 2a a> 1a > 0a < 1a > 2a a> , ,m n l , ,m n l // //m n l , ,m n l当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而 ，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面. 综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中档题. 5、【2019 年高考浙江】若 a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充分 性成立； 当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立， 综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选 A. 6.【2019 年高考天津理数】设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由 可得 ，由 可得 ， 易知由 推不出 ， 由 能推出 ， 故 是 的必要而不充分条件， , ,m n l , ,m n A m l B n l C∩ = ∩ = ∩ = 2 ,m n α ,B m C nα α∈ ⊂ ∈ ⊂ 1 BC l α⊂ , ,m n l , ,m n l , ,m n l 1 2 0, 0a > b > 2a b ab+ ≥ 4a b+ ≤ 2 4ab a b≤ + ≤ 4ab ≤ =1, =4a b 4ab ≤ =5>4a+b 4a b+ ≤ 4ab ≤ x∈R 2 5 0x x− < | 1| 1x − < 2 5 0x x− < 0 5x< < | 1| 1x − < 0 2x< < 0 5x< < 0 2x< < 0 2x< < 0 5x< < 0 5x< < 0 2x< | | | + |>| - | | + |2>| - |2 · >0 与 的夹角为锐角， 故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件. 故选 C. 9.(2018·天津卷，4)设 x∈R，则“|x－1 2 |0；命题 q：若 a>b，则 a2>b2.下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．p∧(¬q) C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q) [解析]　∵x>0，∴x＋1>1， ∴ln(x＋1)>ln 1＝0. ∴命题 p 为真命题， ∴¬p 为假命题． ∵a>b，取 a＝1，b＝－2，而 12＝1，(－2)2＝4，此时 a20.给出下列结论： ①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧(¬q)”是假命题； ③命题“(¬p)∨q”是真命题； ④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题． 其中正确的结论是( ) A．②③ B．②④ C．③④ D．①②③ [解析]　∵ 5 2 >1，∴命题 p 是假命题． ∵x2＋x＋1＝(x＋1 2)2＋3 4≥3 4>0， ∴命题 q 是真命题，由真值表可以判断“p∧q”为假，“p∧(¬q)”为假，“(¬p)∨q”为真，“(¬p)∨(¬q)”为真，所以只 有②③正确，故选 A． 【备考策略】 (1)一般命题 p 的真假由涉及的相关知识辨别． (2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关． (3)形如 p∨q，p∧q，¬p 命题的真假根据真值表判定．(4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定： ①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 验证 p(x)成立，要判定 其为假命题时，只需举出一个反例即可； ②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合 M 中至少能找到一个元素 x0， 使得 p(x0)成立即可，否则，这一特称(存在性)命题就是假命题． 【类比演练】1．设 a，b，c 是非零向量．已知命题 p：若 a·b＝0，b·c＝0，则 a·c＝0；命题 q：若 a∥b， b∥c，则 a∥c.则下列命题中真命题是( ) A．p∨q　　　　　　　　　 B．p∧q C．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q) [解析]　由题意知命题 p 为假命题，命题 q 为真命题，所以 p∨q 为真命题．故选 A． 2．以下四个命题中，真命题的个数是( ) ①“若 a＋b≥2，则 a，b 中至少有一个不小于 1”的逆命题； ②存在正实数 a，b，使得 lg(a＋b)＝lga＋lgb； ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ④在△ABC 中，A