考点 11 导数的概念及计算
考点解读
导数的计算是导数模块知识掌握的基础，必须熟练掌握，高考中特别是对导数的几何意义的考查常会单独
命题，具体要求如下：
1．导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景.
（2）理解导数的几何意义.
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数 y=C（C 为常数）， 的导数.
（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的
复合函数（仅限于形如 f(ax+b)的复合函数）的导数.
• 常见基本初等函数的导数公式：
；
；
；
.
• 常用的导数运算法则：
法则 1： .
法则 2： .
法则 3： .
一、导数的概念
1．平均变化率
2 3 1, , , ,y x y x y x y y xx
= = = = =
1( ) 0( );( ) ,n nC C x nx n−
+′ ′= = ∈N为常数
(sin ) cos ;(cos ) sinx x x x′ ′= = −
(e ) e ;( ) ln ( 0, 1)x x x xa a a a a′ ′= = > ≠且
1 1(ln ) ;(log ) log e( 0, 1)a ax x a ax x
′ ′= = > ≠且
( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x± ′ ′ ± ′＝
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )·u x v x u x v x u x v x ′ ′ ′＝ ＋
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ( ) 0)( ) ( )
u x u x v x u x v x v xv x v x
′ ′−′ = ≠函数 从 到 的平均变化率为 ，若 ， ，则平
均变化率可表示为 .
2．瞬时速度
一般地，如果物体的运动规律可以用函数 来描述，那么，物体在时刻 的瞬时速度 v 就是物体在
到 这段时间内，当 无限趋近于 0 时， 无限趋近的常数.
3．瞬时变化率
定义式
实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，平均变化率趋近的值
作用 刻画函数在某一点处变化的快慢
4．导数的概念
一般地，函数 在 处的瞬时变化率是 ，我们称它为函
数 在 处的导数，记作 或 ，即 .
【注】函数 在 处的导数是 在 处的瞬时变化率.
5．导函数的概念
如果函数 在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称 在区间(a，b)内可导．这样，对开
区间(a，b)内的每一个值 x，都对应一个确定的导数 ，于是在区间(a，b)内 构成一个新的函
数，我们把这个函数称为函数 的导函数(简称导数)，记为 或 ，即
.
二、导数的几何意义
函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处的切线的斜率 ，即
.
( )y f x= 1x 2x 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
−
− 2 1x x x∆ = − 2( )y f x∆ = − 1( )f x
y
x
∆
∆
( )s s t= t
t t t+ ∆ t∆ s
t
∆
∆
0 0
0 0
( ) ( )lim lim
x x
f x + x f xy
x x∆ → ∆ →
∆ −∆ =∆ ∆
( )y f x= 0x x= 0 0
0 0
( ) ( )lim lim
x x
f x + x f xy
x x∆ → ∆ →
∆ −∆ =∆ ∆
( )y f x= 0x x= 0( )f x′
0
|x xy =′ 0 0
( ) lim
x
yf x x∆ →
∆′ = =∆
0 0
0
( ) ( )lim
x
f x + x f x
x∆ →
∆ −
∆
( )y f x= 0x x= ( )y f x= 0x x=
( )y f x= ( )f x
( )f x′ ( )f x′
( )y f x= ( )f x′ y′ ( )f x y′ ′= =
0
( ) ( )lim
x
f x+ x f x
x∆ →
∆ −
∆
( )y f x= 0x x= 0( )f x′ ( )y f x= 0 0( , ( ))x f x k
0 0
0 0
( ) ( )( ) lim
x
f x + x f xk f x x∆ →
∆ −′= = ∆【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线过点 P 的切线，则需分点 P(x0，y0)是切点
和不是切点两种情况求解．
（1）当点 P(x0，y0)是切点时，切线方程为 y−y0=f ′(x0)(x−x0)；
（2）当点 P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标 P′(x1，f (x1))；
第二步：写出过 P′(x1，f (x1))的切线方程为 y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1)；
第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1；
第四步：将 x1 的值代入方程 y−f (x1)=f ′(x1)(x−x1)，可得过点 P(x0，y0)的切线方程．
三、导数的计算
1．基本初等函数的导数公式
函数 导数
f (x)=C(C 为常数) =
f (x)=sin x
f (x)=cos x
f (x)=ln x
2．导数的运算法则
（1） .
（2） .
（3） .
( )f x′ 0
*( )= ( )nf x x n∈N 1 *( )= ( )nf x nx n−′ ∈N
( )=cosf x x′
( )= sinf x x′ −
( ) ( 0 1)xf x a a > a= ≠且 ( ) ln ( 0 1)xf x a a a > a′ = ≠且
( ) exf x = ( ) exf x′ =
( ) log ( 0 1)af x x a a= > ≠且 1( ) = ( 0 1)
ln
f x a a
x a
′ > ≠且
1( )=f x x
′
( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x± ′ ′ ± ′＝
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )·u x v x u x v x u x v x ′ ′ ′＝ ＋
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ( ) 0)( ) ( )
u x u x v x u x v x v xv x v x
′ ′−′ = ≠3．复合函数的导数
复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u
的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
考向一 导数的计算
1．导数计算的原则和方法
（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．
（2）方法：
①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.
2．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤
（1）关键环节：
①中间变量的选择应是基本函数结构；
②正确分析出复合过程；
③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
④善于把一部分表达式作为一个整体；
⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.
（2）方法步骤：
①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；
②求每一层基本初等函数的导数；
③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.
典例 1 求下列函数的导函数：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【解析】（1）∵ ，∴ ；
（2）由题得 ，则 .
（3） .
（4） .
【名师点睛】熟记基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则是正确求导数的基础.
（1）运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数 在开区间(a,b)内的导数的基本步骤：
①分析函数 的结构和特征；②选择恰当的求导公式和运算法则求导；③整理得结果.
（2）对较复杂的函数求导数时，先化简再求导.如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数
转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，
使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.
1．函数 的导数为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 等于（ ）
A．1 B．
C． D．
考向二 导数的几何意义
求曲线 y=f (x)的切线方程的类型及方法
（1）已知切点 P(x0, y0)，求 y=f (x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f ′(x0)，由点斜式写出方程；
4 23 5 6y x x x− −= +
2 sin cos2 2
x x xy = +
2logy x x= −
cos xy x
=
4 23 5 6y x x x− −= + 34 6 5y x x= − −′
12 sin2
xy x= + 12 ln 2 cos2
xy x′ = +
11 ln 2y x
′ = −
2 2
( sin ) cos 1 sin cosx x x x x xy x x
− ⋅ − ⋅ ⋅ +′ = = −
( )y f x=
( )y f x=
( ) ln 2 cosf x x= +
1 sin2 x− sin x−
sin x 1 sin2 x+
( )f x ( )f x′ ( ) 2 ( ) lnf x xf e x′= + ( )f e′
1
e
−
1− e−（2）已知切线的斜率为 k，求 y=f (x)的切线方程：设切点 P(x0, y0)，通过方程 k=f ′(x0)解得 x0，再由点斜式
写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求 y=f (x)的切线方程：设切点 P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率 f ′(x0)，再
由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，
再由 k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．
（5）①在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线，P 一定在曲线上.
②过点 P 的切线即切线过点 P，P 不一定是切点．因此在求过点 P 的切线方程时，应首先检验点 P 是
否在已知曲线上．
典例 2 已知函数 .
（1）求这个函数的图象在 处的切线方程；
（2）若过点 的直线 与这个函数图象相切，求直线 的方程.
【解析】（1） ，
当 时， ，
∴这个函数的图象在 处的切线方程为 .
（2）设直线 与这个函数的图象的切点为 ，
则直线 的方程为 ，
由直线 过点 ，得 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
则直线 的斜率为 ，从而直线 的方程为 .
【规律总结】求切线方程的步骤：
(1)利用导数公式求导数．
(2)求斜率．
(3)写出切线方程．
2lny x x=
1x =
( )0,0 l l
2 lny x x x′ = +
1x = 0, 1y y′= =
1x = 1y x= −
l ( )2
0 0 0, lnx x x
l ( )( )2
0 0 0 0 0 0ln 2 lny x x x x x x x− = + −
l ( )0,0 ( )( )2
0 0 0 0 0 0ln 2 lnx x x x x x− = + −
0 0ln 2ln 1x x= + 0ln 1x = − 0
1
ex =
l 1
e
− l 1
ey x= −注意导数为 0 和导数不存在的情形．
3．已知函数 .若曲线 与直线 相切，则实数 的值为
（ ）
A． B．1
C．－1 D．
4．设 a 为实数，函数 f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x 的导函数为 f ′(x)，且 f ′(x)是偶函数，则曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))
处的切线方程为( )
A．9x－y－16＝0 B．9x＋y－16＝0
C．6x－y－12＝0 D．6x＋y－12＝0
1．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．设函数 的导函数为 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．曲线 在 处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数 在点 处的切线方程为 ，则 （ ）
A． B．
( ) ( )lnf x x ax a R= − ∈ ( )y f x= 1 ln 2 0x y− − − = a
1
2
1
2
−
( )22 2x x′ = ( )x xe e
′ =
1(ln )x x
′ = −
2
1 11x x x
′ + = +
( )f x ( )f x′ ( ) 1ln 1xf x e x x
= + − ( )1f ′ =
3e − 2e −
1e − e
sin xy x e= + 0x =
3 3 0x y− + = 2 2 0x y- + =
2 1 0x y− + = 3 1 0x y− + =
( )f x (1, (1))f 2 2 0x y+ − = (1) (1)f f ′+ =
3
2 1C． D．
5．已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A．1 B．
C． D．
6．曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（ ）
A． B．
C． 和 D． 和
7．已知函数 为偶函数，若曲线 的一条切线与直线 垂直，则切点的横
坐标为（ ）
A． B．
C． D．
8．若曲线 在 处的切线也是 的切线，则 （ ）
A．-1 B．-2
C．2 D．
9．已知函数 ，其导函数为 ，则
的值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
10．已知函数 f（x）＝ax2+2bx 的图象在点（1，f（1））处的切线方程为 y＝4x+3，则 b﹣a＝（ ）
A．﹣8 B．20
C．8 D．﹣20
11．已知 f（x） cosx， 为 f（x）的导函数，则 的图象是（ ）
A． B．
1
2 0
2
( ) ln xf x x a
= + (1, (1))f 3π
4
a
1−
1
2
− 4−
( ) 3 2f x x x= + − 0p 4 1y x= − 0p
( )1,0 ( )2,8
( )1,0 ( )1, 4− − ( )2,8 ( )1, 4− −
( ) x
x
af x e e
= + ( )y f x= 2 3 0x y+ =
2 2
2ln 2 ln 2
lny x= 1x = xy e b= + b =
e−
33( ) 1xf x xe
= ++
( )f x′ ( ) ( ) ( ) ( )2020 2020 2019 2019f f f f′ ′+ − + − −
21
4 x= + ' ( )f x ' ( )f xC． D．
12．已知函数 ，若曲线 上总存在一点 ，使得曲线
在点 处的切线与曲线 在点 处的切线垂直，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．曲线 在某点处的切线的斜率为 3，则该切线的方程为____________.
14．设函数 f (x)在(0,＋∞)内可导，且 f (ex)＝x＋ex，则 ＝____________.
15．曲线 y＝f（x）＝xnex 在 x＝1 处的切线与坐标轴围成三角形的面积为 ，则 n＝____________.
16．已知函数 ，且 对 恒成立，则曲线 在点
处的切线的斜率为____________.
17．若曲线 上存在两条切线相互垂直，则实数 a 的取值范围是____________.
18．已知曲线
（1）求曲线在点 处的切线方程；
（2）求曲线过点 的切线方程.
19．设函数 ，曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为 7x-4y-12=0．
（1）求 y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线 y=f（x）上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值，并求
此定值．
( ) cos 2 06 2f x x mx x
π π = − + + − ≤ ≤
( )y f x= P
( )y f x= P 2
1y x
= ( )1,1 m
3,04
−
[ ]3,0−
1 5,2 2
−
5 1,2 2
−
22 lny x x= −
( )1f ′
2
3
e
( )5 2( ) 16 4f x x x x x= − + − ( )0( )f x f x x∈R ( )f xy x
=
( )0
0
0
, f xx x
2cosy ax x= +
31 4
3 3y x= +
(2,4)P
(2,4)P
( ) bf x ax x
= −20．已知函数 在点 处的切线方程为 .
（1）求实数 a，b 的值；
（2）若过点 可做曲线 的三条切线，求实数 m 的取值范围.
1．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】曲线 y=2sinx+cosx 在点(π，-1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
2．【2019 年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则
A． B．a=e，b=1
C． D． ，
3．【2018 年高考全国Ⅰ卷文数】设函数 .若 为奇函数，则曲线 在
点 处的切线方程为
3 2( )f x ax bx= − (1, (1))f 3 1=0x y+ −
( )1, 4( )m m− ≠ − ( )y f x=
1 0x y− − π − = 2 2 1 0x y− − π − =
2 2 1 0x y+ − π + = 1 0x y+ − π + =
e lnxy a x x= +
e 1a b= = −，
1e 1a b−= =， 1ea −= 1b = −
3 2( ) ( 1)f x x a x ax= + − + ( )f x ( )y f x=
(0,0)A． B．
C． D．
4．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】曲线 的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程
为 .
5．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】设函数 ．若 ，则 a=_________．
6．【2020 年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标
的企业要限期整改、设企业的污水摔放量 W 与时间 t 的关系为 ，用 的大小评价在
这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如
下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
7．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】曲线 在点 处的切线方程为____________．
8．【2019 年高考天津文数】曲线 在点 处的切线方程为__________.
9．【2018 年高考天津文数】已知函数 f(x)=exlnx，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f ′（1）的值为__________．
10．【2018 年高考全国Ⅱ卷文数】曲线 在点 处的切线方程为__________．
11．【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过
2y x= − y x= −
2y x= y x=
ln 1y x x= + +
e( )
x
f x x a
= +
e(1) 4f ′ =
( )W f t= ( ) ( )f b f a
b a
−− −
[ , ]a b
[ ]1 2,t t
2t
3t
[ ] [ ] [ ]1 1 2 2 30, , , , ,t t t t t [ ]10,t
23( )exy x x= + (0 )0，
cos 2
xy x= − (0,1)
2lny x= (1, 0)
xOy点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是 ▲ .
12．【2020 年高考天津】已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
13．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数 ．
（1）当 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
14．【2019 年高考北京文数】已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率为 1 的切线方程；
15．【2018 年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
16．【2018 年高考北京文数】设函数 .
3( ) ln ( )f x x k x k= + ∈R ( )f x′ ( )f x
6k =
( )y f x= (1, (1))f
1( ) e ln lnxf x a x a−= − +
ea =
3 21( ) 4f x x x x= − +
( )y f x=
2 1( ) ex
ax xf x
+ −=
( )y f x= (0, 1)−
2( ) [ (3 1) 3 2]exf x ax a x a= − + + +（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线斜率为 0，求 a；
17．【2018 年高考天津文数】设函数 ，其中 ,且 是公差为
的等差数列．
（I）若 求曲线 在点 处的切线方程；
18．【2020 年高考北京】已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小
值．
1．【答案】B
【解析】
【分析】
根据导数运算法则和常见函数的导数公式求导即可.
( )y f x= (2, (2))f
1 2 3( )=( )( )( )f x x t x t x t− − − 1 2 3, ,t t t ∈R 1 2 3, ,t t t d
2 0, 1,t d= = ( )y f x= (0, (0))f
2( ) 12f x x= −
( )y f x= 2−
( )y f x= ( , ( ))t f t ( )S t ( )S t
变式拓展【详解】
解：因为常数的导数为 ， 的导数为 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查导数的求导公式，是基础题.
2．【答案】B
【解析】 ，所以 ，得 ，故选 B.
3．【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的解析式求出其导数，设切点的横坐标为 ，则有 ，求出实数 的值
即可.
【详解】
根据题意，由 ，
得 ，
设切点的横坐标为 ，依题意得：
，
解得 ，
即实数 的值为 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数的切线问题.属于较易题.
0 cos x sin x−
( )' sinf x x= −
( ) ( ) 1' 2 'f x f e x
= + ( ) ( ) 1' 2 'f e f e e
= + ( ) 1'f e e
= −
0x 0
0 0 0
1 1
1 ln 2 ln
ax
x x ax
− =
− − = −
a
( ) lnf x x ax= −
( ) 1f x ax
′ = −
0x
0
0 0 0
1 1
1 ln 2 ln
ax
x x ax
− =
− − = −
0
1
2
1
x
a
=
=
a 14．【答案】A
【解析】由题意可得 f ′(x)＝3x2＋2ax＋a－3 是偶函数，则 a＝0，所以 f(x)＝x3－3x，f ′(x)＝3x2－3，则 f(2)
＝2，f ′(2)＝9，则所求切线方程为 y－2＝9(x－2)，即为 9x－y－16＝0，故选 A.
【点睛】若多项式函数为偶函数，则只含 x 的偶次项与常数项，不含奇次项；若多项式函数为奇函数，
则只含 x 的奇次项，不含偶次项与非零常数项．
1．【答案】B
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的导数和求导法则判断．
【详解】
， ， , ，只有 B 正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查基本初等函数的导数公式，考查导数的运算法则，属于基础题．
2．【答案】C
【解析】
【分析】
先求出 ，即可求出 的值.
【详解】
由题得 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
3．【答案】C
考点冲关
( )22 4x x′ = ( )x xe e
′ = 1(ln )x x
′ =
2
1 11x x x
′ + = −
( )f x′ ( )1f ′
( ) 2
1= ln
x
x ef x e x x x
′ + −
( ) 2
11 = =e 11 1
ef ′ − −【解析】
,当 x=0 时，y’=2,即切线的斜率为 2，通过选项可看出 C 符合题意
故选 C.
4．【答案】D
【解析】
【分析】
切点坐标代入切线方程可求得 ，再利用导数的几何意义求出直线的斜率即为 .
【详解】
切点 在切线 上，∴ ，得 ，
又切线斜率 ，∴ .
故选：D.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、曲线的切线，属于基础题.
5．【答案】B
【解析】
【分析】
求出函数 的导数 ,利用函数 f(x)在 x=1 处的倾斜角为 得 ,
由此可求 a 的值.
【详解】
解:函数 的导数 ,
函数 f(x)在 x=1 处的倾斜角为 ,
, ,
.
故选 B.
【点睛】
y cosx xe=′ +
(1)f (1)f ′
(1, (1))f 2 2 0x y+ − = 1 2 (1) 2 0f+ − = 1(1) 2f =
1(1) 2k f ′= = − (1) (1) 0f f ′+ =
( ) 2
ln xf x x a
= + ' 1 2( ) xf x x a= + 3
4
π ' (1) 1f = −
( ) 2
ln xf x x a
= + ' 1 2( ) xf x x a= +
3
4
π
∴ ' (1) 1f = − ∴ 21 1a+ = -
∴ 1a = −本题主要考查利用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查直线
的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
6．【答案】C
【解析】
【分析】
求函数的导数，令导数等于 解方程，求得 点的横坐标，进而求得 点的坐标.
【详解】
依题意令 ，解得 ， ，故 点的坐标为
，故选 C.
【点睛】
本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.
7．【答案】D
【解析】
【分析】
先根据偶函数求参数 ，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.
【详解】
为偶函数，则 ， ，
设切点得横坐标为 ，则 解得 ，（负值舍去）所以
.
故选：D.
【点睛】
本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.
8．【答案】B
【解析】
【分析】
求出曲线 在 处的切线，设切线与曲线 切于点 ，根据导数的几何意义求
出切点坐标，确定 值．
4 0p 0p
( )' 23 1 4f x x= + = 1x = ± ( ) ( )1 0, 1 4f f= − = − 0p
( ) ( )1,0 , 1, 4− −
1a =
( )f x ( ) ( )( 1) 0x x x x
x x
a af x e e e e ae e
− −
−− = + = + ∴ − − = ∴ 1a = ( ) x xf x e e−∴ = +
'( ) .x xf x e e−∴ = − 0x 0 0
0
3'( ) .2
x xf x e e−= − = 0 2xe =
0 ln 2x =
lny x= 1x = xy e b= + 0 0( , )x y
b【详解】
由 得 ， ，又 ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，
设直线 与曲线 切于点 ，由 得 ， ，
所以 ， ，所以 ，解得 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，解题时要注意区分函数在某点处的切线与过某点的切线．对过某点的切线问
题一般设切点坐标为 ，由导数几何意义求出切线方程（或切线斜率），利用所过点求出切点坐
标，得出结论．
9．【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意得到 ， 为偶函数，再计算
即可.
【详解】
因为 ， ，
所以 .
又因为 ，
所以 为偶函数.
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查求导公式，同时考查了函数的奇偶性，属于简单题.
lny x= 1y x
′ = | 11y x′ == ln1 0= lny x= 1x = 1y x= −
1y x= − xy e b= + 0 0( , )P x y xy e b= + exy′ = 0
0
| x
x xy e=′ =
0 1xe = 0 0x = 0
0 1y e b= − = + 2b = −
0 0( , )x y
( ) ( ) 3f x f x− + = ( )f x′
( ) ( ) ( ) ( )2020 2020 2019 2019f f f f′ ′+ − + − −
33( ) 1xf x xe
= ++ ( )3 33( ) 1
3
1
x
xxf x x e xee−− = + − = −++
( ) ( ) 3f x f x− + =
2
2
3( ) 3( 1)
x
x
ef x xe
−′ = ++
( )2 2
2 2
3 3( ) 3 3( 1) ( ) (1 )
x x
x x
e ef x x f xxe e
−
−
− −′ − = + − = + ′=+ +
( )f x′
(2020) ( 2020) (2019) ( 2019) 3f f f f′ ′+ − + − − =10．【答案】C
【解析】
【分析】
求得 f (x)的导数，即可得切线的斜率，结合切线方程可得 f (1)，解方程即可得解．
【详解】
函数 f (x)＝ax2+2bx 的导数为 ＝2ax+2b，
可得函数的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为 2a+2b=4，
由切线方程为 y＝4x+3，可得 f (1)= a+2b＝4+3=7，
所以 a＝﹣3，b＝5，所以 b﹣a＝8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了导数的运算及导数几何意义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题．
11．【答案】A
【解析】
【分析】
求出导函数，利用导函数的解析式，判利用还是的奇偶性已经特殊点断函数的图象即可．
【详解】
解： ，∴ ， 是奇函数，排除 B，D．
当 x 时， 0，排除 C．
故选：A
【点睛】
本题考查了函数求导，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用.
12．【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的导数公式分别对函数 和 进行求导，利用导数的几何意义求出曲线
在点 处的切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积等于 ，求出曲线 在点 处的
( )f x′
( )1f ′ =
( ) 21
4f x x cosx= + ' ( )f x 1
2 x sinx= − ' ( )f x
4
π= ' ( )f x 2
8 2
π= − ＜
( )f x 2
1y x
=
2
1y x
= ( )1,1 1− ( )y f x= P切线的斜率，结合 和三角函数的值域得到关于 的不等式，解不等式即可.
【详解】
由题意知， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率为-2，
设曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ，即 ，
所以 ，解得 .
故选：C
【点睛】
本题考查基本初等函数的导数公式、利用导数的几何意义求曲线在某点处切线的斜率及在给定区间上
三角函数值域的求解；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；熟练掌握导数的几何意义和基本初
等函数的导数公式是求解本题的关键；属于中档题.
13．【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的导数，再由导数的几何意义列方程求解出切点，再由点斜式写出切线方程即可.
【详解】
由 ，解得 或 （舍去），所以切点的坐标为 ，
所以所求切线的方程为 ，整理为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了函数导数的几何意义及应用，属于基础题．
14．【答案】
02 xp- £ £ m
'( ) 2sin 2 6f x x m
π = + +
02 xp- £ £ 5 26 6 6x
π π π− ≤ + ≤
11 sin 2 6 2x
π − ≤ + ≤
( ) [ ]' 2, 1f x m m∈ − +
y′ = 2 3
1 2'
x x
= − 2
1y x
= ( )1,1
( )y f x= P k ( )2 1k × − = − 1
2k =
12 12m m− ≤ ≤ + 1 5
2 2m− ≤ ≤
3 1 0x y− − =
14 3y x x
′ = − = 1x = 1
4x = − (1,2)
2 3( 1)y x− = − 3 1 0x y− − =
3 1 0x y− − =
2【解析】令 ， ，所以 ， ， ，
所以答案应填： ．
15．【答案】2 或
【解析】
【分析】
先求出 x＝1 处的切线方程，然后分别求出切线与 x，y 轴交点的横坐标、纵坐标，然后表示出三角形的
面积，即可得解．
【详解】
由已知得： ＝(xn+nxn-1)ex，
所以 f(1)＝e， ＝（n+1）e，
所以切线方程为 y﹣e＝(n+1)e(x﹣1)．
令 x＝0 得 y＝﹣ne；令 y＝0 得 x ，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 ，解得 n＝2 或 .
故答案为：2 或 ．
【点睛】
本题考查了导数几何意义的应用与导数的计算，考查了运算求解能力，属于基础题.
16．【答案】17
【解析】
【分析】
依题意可得 ，求出 ，再求出函数
的导函数，求出其在 处的导数值，即可得解；
【详解】
解：因为 ，所以当 时， 取得最小值，
即 ，因为 ，所以所求切线的斜率为
xt e= ( ) ln ( 0)f t t t t= + > ( ) ln ,( 0)f x x x x= + > 1( ) 1+f x x
=′ ( )1 2f ′ =
2
2
3
−
( )f x′
( )1f ′
1
n
n
= +
21 2
2 1 3
n eS en
= × =+
2
3
−
2
3
−
( )26 3 2 3 2( ) 16 4 8 ( 2) 68f x x x x x x x= − + − = − + − − 0 2x =
( )f xy x
= 0x
( )26 3 2 3 2( ) 16 4 8 ( 2) 68f x x x x x x x= − + − = − + − − 2x = ( )f x
0 2x = 4( ) 5 32 1f x x xx
′ = − + .
故答案为：
【点睛】
本题考查导数的几何意义与函数的最值，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题.
17．【答案】
【解析】
【分析】
求导得 ，转化条件得存在 使得 ，进而可
得 ，即可得解.
【详解】
求导得 ，
曲线 上存在两条切线相互垂直，
存在 使得 ，
不妨设 ，
，
，即 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了导数几何意义的应用及导数的计算，考查了转化化归思想，属于中档题.
18．【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】
【分析】
（1）根据曲线的解析式求出导函数，把 的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据 的坐标
和求出的斜率写出切线的方程即可；（2）设出曲线过点 切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入
到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把
4
2 5 2 32 2 1 17( ) |x
f xk x =
′
× × − +=
==
17
3, 3 −
[ ]2sin 2, 2y a x a a′ = − ∈ − + [ ]1 2, 2, 2k k a a∈ − + 1 2 1k k = −
( )( )2 2 1a a− + ≤ −
[ ]2sin 2, 2y a x a a′ = − ∈ − +
2cosy ax x= +
∴ [ ]1 2, 2, 2k k a a∈ − + 1 2 1k k = −
1 20k k< <
( ) ( )( )1 2 1 2 2 2k k k a a a≥ + ≥ − +
∴ ( )( )2 2 1a a− + ≤ − 3 3a− ≤ ≤
3, 3 −
4 4 0x y− − = 2 0x y− + = 4 4 0x y− − =
P P
P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分
别代入所设的切线方程即可.
【详解】
解：（1）∵ ，∴在点 处的切线的斜率 ，
∴曲线在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）设曲线 与过点 的切线相切于点 ，
则切线的斜率 ，
∴切线方程为 ，即 ．
∵点 在该切线上，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，解得 或 ．
故所求切线方程为 或 ．
【点睛】
本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题，学生在解决此类问题一定要分
清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决，
属于中档题.
19．【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
解：（1）方程 7x－4y－12＝0 可化为 y＝ x－3，
当 x＝2 时，y＝ ．
又 f′(x)＝a＋ ，
P
2y x′ = ( )2,4P 2| 4xk y =′= =
( )2,4P ( )4 4 2y x− = − 4 4 0x y− − =
31 4
3 3y x= + ( )2,4P 3
0 0
1 4, 3 3A x x +
0
2
0|x xk y x= =′=
( )3 2
0 0 0
1 4
3 3y x x x x − + = −
2 3
0 0
2 4
3 3y x x x= ⋅ − +
( )2,4P 2 3
0 0
2 44 2 3 3x x= − + 3 2
0 03 4 0x x− + =
3 2 2
0 0 04 4 0x x x+ − + = ( ) ( )( )2
0 0 0 01 4 1 1 0x x x x+ − + − =
( )( )2
0 01 2 0x x+ − = 0 1x = − 0 2x =
4 4 0x y− − = 2 0x y− + =
3( )f x x x
= −
7
4
1
2
2
b
x于是 ，解得 .
故 f(x)＝x－ ．
（2）证明：设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 f′(x)＝1＋ 知，曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0
＝(1＋ )·(x－x0)，即 y－(x0－ )＝(1＋ )(x－x0)．
令 x＝0 得，y＝－ ，从而得切线与直线 x＝0，交点坐标为(0，－ )．
令 y＝x，得 y＝x＝2x0，从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形面积为 |－ ||2x0|＝6．
曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6．
20．【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据切线方程可知 和 ，由此构造方程组求得 ；
（2）将问题转化为 与 有三个不同的交点，利用导数可得到 的
图象，利用数形结合的方式可求得结果.
【详解】
（1）由切线方程知： ， ，又 ，
，解得： .
（2）由（1）知： ，则 ，
， 不在 上，又 ，可知切点横坐标不为 ，
设切点坐标为 ， ，
12 2 2
7
4 4
ba
ba
− =
+ =
1
3
a
b
=
=
3
x
2
3
x
2
0
3
x 0
3
x 2
0
3
x
0
6
x 0
6
x
1
2 0
6
x
1
3
a
b
=
=
( )4,4−
( )1f ( )1f ′ ,a b
y m= ( ) ( )32 6 1h x x x x= − + ≠ − ( )h x
( )1 3 1 1 2f = − × + = − ( )1 3f ′ = − ( ) 23 2f x ax bx′ = −
2
3 2 3
a b
a b
− = −∴ − = −
1
3
a
b
=
=
( ) 3 23f x x x= − ( ) 23 6f x x x′ = −
4m ≠ − ( )1,m∴ − ( )f x ( )1 3 6 9f ′ − = + = 1−
( )3 2
0 0 0, 3x x x− 0 1x ≠ −则切线斜率 ，整理得： ，
过 可作 三条不同的切线， 有三个不为 的解；
令 ，则 ，
当 和 时， ；当 时， ，
在 和 上单调递减，在 上单调递增，
由此可得 图象如下图所示：
有三个不为 的解等价于 与 有三个不同的交点，
由图象可知： ，
实数 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到根据切线方程求解函数解析式、根据过
某一点曲线切线的个数求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为两函数交点个数问题，从而利
用数形结合的方式来进行求解.
1．【答案】C
【解析】
则 在点 处的切线方程为 ，
3 2
20 0
0 0
0
3 3 61
x x mk x xx
− −= = −+
3
0 02 6m x x= − +
( )1,m− ( )f x 3
0 02 6m x x∴ = − + 1−
( ) ( )32 6 1h x x x x= − + ≠ − ( ) ( )( )26 6 6 1 1h x x x x′ = − + = − + −
∴ ( ), 1x∈ −∞ − ( )1,+∞ ( ) 0h x′ < ( )1,1x∈ − ( ) 0h x′ >
( )h x∴ ( ), 1−∞ − ( )1,+∞ ( )1,1−
( )h x
3
0 02 6m x x= − + 1− y m= ( )h x
4 4m− < <
∴ m ( )4,4−
直通高考
2cos sin ,y x x′ = − π 2cos π sin π 2,xy =∴ = − = −′
2sin cosy x x= + ( , 1)π − ( 1) 2( )y x− − = − − π即 ．
故选 C．
【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采
取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切
点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
2．【答案】D
【解析】∵
∴切线的斜率 ， ，
将 代入 ，得 .
故选 D．
【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a，b 的等式，从而求解，属
于常考题型.
3．【答案】D
【解析】因为函数푓(푥)是奇函数，所以푎 ― 1 = 0，解得푎 = 1，
所以푓(푥) = 푥3 + 푥，푓′(푥) = 3푥2 +1，
所以푓′(0) = 1,푓(0) = 0，
所以曲线푦 = 푓(푥)在点(0,0)处的切线方程为푦 ― 푓(0) = 푓′(0)푥，化简可得푦 = 푥.
故选 D.
【名师点睛】该题考查的是有关曲线푦 = 푓(푥)在某个点(푥0,푓(푥0))处的切线方程的问题，在求解的过程中，
首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，
从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得푓′(푥)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式
求得结果.
4．【答案】
【解析】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
2 2 1 0x y+ − π + =
e ln 1,xy a x′ = + +
1| e 1 2xk y a=′= = + = 1ea −∴ =
(1,1) 2y x b= + 2 1, 1b b+ = = −
2y x=
0 0
1( , ), ln 1, 1x y y x x y x
= + + ′ = +
0 0 0
0
1| 1 2, 1, 2x xy x yx=′ = + = = = (1,2)
2 2( 1)y x− = − 2y x=
2y x=【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
5．【答案】1
【解析】由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
6．【答案】①②③
【解析】 表示区间端点连线斜率的负数，
在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能
力比乙企业强；①正确；
甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最
大，即在 的污水治理能力最强．④错误；
在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙
企业强；②正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
7．【答案】
【解析】
所以切线的斜率 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求
导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
8．【答案】
( ) ( )
( )
( )
( )2 2
1x x xe x a e e x af x
x a x a
+ − + −′ = =
+ +
( ) ( )
( ) ( )
1
2 2
1 11
1 1
e a aef
a a
× + −′ = =
+ + ( )2 41
ae e
a
=
+
2 2 1 0a a− + = 1a =
1
( ) ( )f b f a
b a
−− −
[ ]1 2,t t
[ ] [ ] [ ]1 1 2 2 30, , , , ,t t t t t [ ]1 2,t t
[ ]1 2,t t
2t
3t
3 0x y− =
2 23(2 1)e 3( )e 3( 3 1)e ,x x xy x x x x x′ = + + + = + +
0| 3xk y =′= =
23( )exy x x= + (0,0) 3y x= 3 0x y− =
2 2 0x y+ − =【解析】∵ ，
∴ ，
故所求的切线方程为 ，即 .
【名师点睛】曲线切线方程的求法：
（1）以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数 f(x)的导数 f′(x)；
②求切线的斜率 f′(x0)；
③写出切线方程 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
（2）如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组 得切点(x0，y0)，
进而确定切线方程．
9．【答案】e
【解析】由函数的解析式可得푓′(푥) = 푒푥 × ln푥 + 푒푥 × 1
푥 = 푒푥(ln푥 + 1
푥)，
则푓′(1) = 푒1 × (ln1 + 1
1) = 푒.
即푓′(1)的值为 e.
【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
10．【答案】y=2x–2
【解析】由푦 = 푓(푥) = 2ln푥，得푓′(푥) = 2
푥.
则曲线푦 = 2ln푥在点(1,0)处的切线的斜率为푘 = 푓′(1) = 2，
则所求切线方程为푦 ― 0 = 2(푥 ― 1)，即푦 = 2푥 ― 2.
【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写
出切线的点斜式方程；③化简整理.
11．【答案】
【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.
设点 ，则 .
1sin 2y x′ = − −
0
1| sin 0 2
1
2xy =′ = − − −=
11 2y x− = − 2 2 0x y+ − =
0 0
1 0
0
1 0
( )
( )
y f x
y y f xx x
=
− ′= −
(e, 1)
( )0 0,A x y 0 0lny x=又 ，
当 时， ，
则曲线 在点 A 处的切线为 ，
即 ，
将点 代入，得 ，
即 ，
考察函数 ，
当 时， ，当 时， ，
且 ，
当 时， 单调递增，
注意到 ，
故 存在唯一的实数根 ，
此时 ，
故点 的坐标为 .
【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切
线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
12．【解析】（Ⅰ）（i）当 时， ，故 ．可得 ，
，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
1y x
′ =
0x x=
0
1y x
′ =
lny x= 0 0
0
1 ( )y y x xx
− = −
0
0
ln 1xy x x
− = −
( )e, 1− − 0
0
e1 ln 1x x
−− − = −
0 0ln ex x =
( ) lnH x x x=
( )0,1x∈ ( ) 0H x < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0H x >
( ) ln 1H x x′ = +
1x > ( ) ( )0,H x H x′ >
( )e eH =
0 0ln ex x = 0 ex =
0 1y =
A ( )e,1
6k = 3( ) 6lnf x x x= + 2 6( ) 3f x x x
′ = + (1) 1f =
(1) 9f ′ = ( )y f x= (1, (1))f 1 9( 1)y x− = − 9 8y x= −13．【解析】 的定义域为 ， ．
（1）当 时， ， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
直线 在 轴， 轴上的截距分别为 ， ．
因此所求三角形的面积为 ．
14．【解析】（Ⅰ）由 得 ．
令 ，即 ，得 或 ．
又 ， ，
所以曲线 的斜率为 1 的切线方程是 与 ，
即 与 ．
15．【解析】（1） ， ．
因此曲线 在点 处的切线方程是 ．
16．【解析】（Ⅰ）因为 ，
所以 .
，
由题设知 ，即 ，解得 .
17．【解析】（Ⅰ）解：由已知，可得 f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故 =3x2−1，
因此 f(0)=0， =−1，
又因为曲线 y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y−f(0)= (x−0)，
故所求切线方程为 x+y=0．
18．【解析】（Ⅰ）因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程 ： ，即 .
（Ⅱ）显然 ，
为
( )f x (0, )+∞ 1 1( ) exf x a x
−′ = −
ea = ( ) e ln 1xf x x= − + (1) e 1f ′ = −
( )y f x= (1, (1))f (e 1) (e 1)( 1)y x− + = − − (e 1) 2y x= − +
(e 1) 2y x= − + x y 2
e 1
−
− 2
2
e 1−
3 21( ) 4f x x x x= − + 23( ) 2 14f x x x′ = − +
( ) 1f x′ = 23 2 1 14 x x− + = 0x = 8
3x =
(0) 0f = 8 8( )3 27f =
( )y f x= y x= 8 8
27 3y x− = −
y x= 64
27y x= −
2 (2 1) 2( ) ex
ax a xf x
− + − +′ = (0) 2f ′ =
( )y f x= (0, 1)− 2 1 0x y− − =
2( ) [ (3 1) 3 2]exf x ax a x a= − + + +
2( ) [ ( 1) 1]exf x ax a x′ = − + +
2(2) (2 1)ef a′ = −
(2) 0f ′ = 2(2 1)e 0a − = 1
2a =
( )f x′
(0)f ′
(0)f ′
( ) 212f x x= − ( ) 2f x x′ = −
( )0 0,12x x− 02 2x− = − 0 1x = ( )1,11
( )11 2 1y x− = − − 2 13 0x y+ − =
0t ≠因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.
( )y f x= ( )2,12t t− ( ) ( )212 2y t t x t− − = − −
0x = 2 12y t= + 0y = 2 12
2
tx t
+=
( )S t = ( ) 2
21 12122 2 | |
tt t
+× + ⋅
0t > ( 0t < )
( ) 4 2
324 144 1 144( 24 )4 4
t tS t t tt t
+ += = + +
( )S t′ = 4 2
2
2 2
1 144 3( 8 48)(3 24 )4 4
t tt t t
+ −+ − =
2 2 2
2 2
3( 4)( 12) 3( 2)( 2)( 12)
4 4
t t t t t
t t
− + − + += =
( ) 0S t′ > 2t > ( ) 0S t′ < 0 2t< <
( )S t ( )0,2 ( )2,+∞
2t = ( )S t
( ) 16 162 328S
×= =
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