考点 12 导数的应用
考 点 解 读
导数的应用是高考考查的重点，也是考查的难点，是解答题必考题型，在复习过程中，我们要特别掌握以
下几点：
1．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函
数一般不超过三次）.
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函
数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.
2．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
一、导数与函数的单调性
一般地，在某个区间(a，b)内：
（1）如果 ，函数 f (x)在这个区间内单调递增;
（2）如果 ，函数 f (x)在这个区间内单调递减;
（3）如果 ，函数 f (x)在这个区间内是常数函数．
注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内， ( )是函数 f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必
要条件.例如，函数 在定义域 上是增函数，但 .
（3）函数 f (x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是 ( )在(a，b)内恒成立，且
在(a，b)的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说，在区间内的个别点处有 ，不影响函数 f (x)
在区间内的单调性.
二、利用导数研究函数的极值和最值
1．函数的极值
( ) 0f x′ >
( ) 0f x′ <
( )=0f x′
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
3( )f x x= ( , )−∞ +∞ 2( ) 3 0f x x′ = ≥
( ) 0f x′ ≥ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x′
( ) 0f x′ =一般地，对于函数 y=f (x)，
（1）若在点 x=a 处有 f ′(a)=0，且在点 x=a 附近的左侧 ，右侧 ，则称 x=a 为 f (x)的
极小值点， 叫做函数 f (x)的极小值.
（2）若在点 x=b 处有 =0，且在点 x=b 附近的左侧 ，右侧 ，则称 x=b 为 f (x)
的极大值点， 叫做函数 f (x)的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
2．函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我
们有如下结论：一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有
最大值与最小值.
设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求 在 内的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一
个是最小值.
3．函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
（2）在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或
者没有）；
（3）函数 f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
三、生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数
最值问题的有力工具.
解决优化问题的基本思路是：
( ) 0f ' x < ( ) 0f ' x >
( )f a
( )f ' b ( ) 0f ' x > ( ) 0f ' x <
( )f b
[ , ]a b ( )y f x=
( )f x [ , ]a b ( , )a b ( )f x [ , ]a b
( )f x ( , )a b
( )f x ( )f a ( )f b
[ , ]a b
[ , ]a b考向一 利用导数研究函数的单调性
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式
（ ）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求 f ′(x)；
（2）确认 f ′(x)在(a，b)内的符号；
（3）作出结论， 时为增函数， 时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义
域为实数集 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定
义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数 的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 (或 )( 在该区间的
任意子区间内都不恒等于 0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值
范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 (或 )在该区间上存在解集，
这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知 在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 的单调区间，令 I 是其
单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利
用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
典例 1 函数 y= x2 lnx 的单调递减区间为
A．（ 1,1] B．（0,1]
C．[1，+∞） D．（0，+∞）
( ) 0f x′ >
( ) 0f x′ <
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
R
( )f x
( ) 0f x′ ≥ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x′
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
( )f x ( )f x
1
2
−
−【答案】B
【解析】对函数 求导，得 （x>0），令 解得 ，因此函
数 的单调减区间为 ，故选 B.
【名师点睛】本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域.
典例 2 已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；
（2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围.
【解析】由题意得： 的定义域为 ，
（1）当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
的单调递增区间为： .
（2） .
①当 时， 在 上恒成立，
在 上单调递增，可知 满足题意；
②当 时， ，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递减；在 上单调递增，不满足题意.
综上所述： .
【名师点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间、根据函数在区间内的单调性求解参数取值范围的问
题，关键是能够明确导数和函数单调性之间的关系，根据导函数的符号来确定函数的单调性.
21 ln2y x x= − 21 1xy x x x
=′ −= −
2 1 0
0
x
x
x
− ≤
>
(0,1]x∈
21 ln2y x x= − (0,1]
21( ) ln ( 1) 12f x a x x a x= + + + +
1a = − ( )f x
( )f x (0, )+∞ a
( )f x (0, )+∞
1a = − ( ) 21ln 12f x x x= − + + ( ) ( )21 1 0xf x x xx x
−′ = − + = >
∴ ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x∴ ( )1,+∞
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 11 0x a x a x a xaf x x a xx x x
+ + + + +′ = + + + = = >
0a ≥ ( ) 0f x′ > (0, )+∞
( )f x∴ (0, )+∞ 0a ≥
0a < 0a− >
∴ ( )0,x a∈ − ( ) 0f x′ < ( ),x a∈ − +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x∴ ( )0, a− ( ),a− +∞
[ )0,a∈ +∞1．若 ，则
A． B．
C． D．
2．已知 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 在 上为单调递增函数，求 的取值范围.
考向二 利用导数研究函数的极值和最值
1．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数 极值的方法：
①确定函数 的定义域．
②求导函数 ．
③求方程 的根．
④检查 在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么 在这个根处取
得极大值；如果左负右正，那么 在这个根处取得极小值；如果 在这个根的左、右两侧符号
不变，则 在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数 ，求方程 的根的情况，
得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
2．求函数 f (x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数 f (x)在[a，b]上单调递增或递减，f (a)与 f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数 f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数 f (x)在区间(a，b)上的极值，与 f (a)、f (b)比较，其
中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数 f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
1 2 1x x> >
1 2
2 1e ex xx x> 1 2
2 1e ex xx x<
2 1 1 2ln lnx x x x> 2 1 1 2ln lnx x x x<
( ) ( )( )2 2cos sin cosf x x x k x x x k= − − + ∈R
0k = ( )f x
( )f x π0, 2
k
( )f x
( )f x
( )f x′
( ) 0f x′ =
( )f x′ ( )f x
( )f x ( )f x′
( )f x
( )f x′ ( ) 0f x′ =（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也
不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，
根据要求得所求范围.一般地， 恒成立，只需 即可； 恒成立，只需
即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，
然后构建不等式求解.
典例 3 若函数 有极大值和极小值，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，则 .
因为 有极大值和极小值，所以 有两个不等的实数根.
所以 ，即 ，解得 或 .
所以所求 的取值范围是 .
故选 D.
【名师点睛】本题考查函数的极值与导数.三次多项式函数有极大值和极小值的充要条件是其导函数(二次函
数)有两个不等的实数根.求解时，三次函数 有极大值和极小值，则 有两个不等的实数根，答
案易求.
典例 4 已知函数 ．
（1）当 时，试判断函数 的单调性；
（2）若 ，求证：函数 在 上的最小值小于 ．
( )f x a≥ min( )f x a≥ ( )f x a≤
max( )f x a≤
( )3 2( ) 6 1f x x ax a x= + + + + a
( )1,2− ( ) ( ), 1 2,−∞ − +∞
( )3,6− ( ) ( ), 3 6,−∞ − +∞
( )3 2( ) 6 1f x x ax a x= + + + + ( )2( ) 3 2 6f x x ax a′ = + + +
( )f x ( )2( ) 3 2 6 0f x x ax a′ = + + + =
( )24 12 6 0a a= − + >∆ 2 3 18 0a a− − > 3a < − 6a >
a ( , 3) (6, )−∞ − +∞
( )f x ( ) 0f x′ =
21( ) e 2
xf x axx = − +
1a > − ( )f x
1 ea < − ( )f x [1, )+∞ 1
2【解析】（1）由题可得 ，
设 ，则 ，
所以当 时 ， 在 上单调递增，
当 时 ， 在 上单调递减，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增．
（2）由（1）知 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，
所以存在 ，使得 ，即 ，即 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时 ，
令 ， ，则 恒成立，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即当 时 ，
故函数 在 上的最小值小于 ．
3．已知函数 ．
（1）当 时，求 的最小值；
（2）若函数 在 上存在极值点，求实数 的取值范围．
考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系
( ) exf ' xx a= − +
( ) ( ) exx xg f ' x a= = − + ( ) e 1xg x′ = −
0x > ( ) 0g x′ > ( )f ' x (0, )+∞
0x < ( ) 0g x′ < ( )f ' x ( ,0)−∞
( ) ( 10)f ' f 'x a≥ = +
1a > −
1 0a+ > ( ) 0f ' x >
( )f x R
( )f ' x [1, )+∞
1 ea < −
( ) e 11 0f ' a= − + <
(1, )t ∈ +∞ ( ) 0f ' t = e 0t t a− + = eta t= −
( )f x [1, )t ( , )t +∞
[1, )x∈ +∞ 2 2 2
min
1 1 1( ) ( ) e e ( e ) e (1 )2 2 2
t t t tf f t at t t t t tx t= = − + = − + − = − +
21( ) e (1 ) 2
xh x xx = − + 1x > ( ) (1 e ) 0xh' x x= − <
( )h x (1, )+∞
21 1( ) e(1 1) 12 2h x < − + × =
21 1e (1 ) 2 2
t t t− + < [1, )x∈ +∞ min
1( ) 2xf <
( )f x [1, )+∞ 1
2
( ) ( )2 2 4xf x x e ax ax a= + + ∈R
1a = ( )f x
( )f x ( )0,+∞ a1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变
化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.
2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与 x 轴的交点的横
坐标为函数的极值点.
典例 5 设函数 （ ， ， ），若函数 在 处取得极值，则下列
图象不可能为 的图象是
【答案】D
【解析】 ，因为函数 在 处取得极值，
所以 是 的一个根，整理可得 ，所以 ，对称轴为
.
对于 A，由图可得 ，适合题意；
对于 B，由图可得 ，适合题意；
对于 C，由图可得 ，适合题意；
对于 D，由图可得 ，不适合题意，
故选 D.
4．已知函数 ，其导函数 的图象经过点 、 ，如图所示，则下列
命题正确的是（ ）
2( )f x ax bx c= + + a b c∈R ( )exy f x= 1x = −
( )y f x=
2( )e ( )e e [ (2 ) ]x x xy f x f x ax a b x b c′ ′= + = + + + + ( )exy f x= 1x = −
1x = − 2 (2 ) 0ax a b x b c+ + + + = c a= 2( )f x ax bx a= + +
, ( 1) 2 , (0)2
bx f a b f aa
= − − = − =
0, (0) 0, ( 1) 0a f f> > − =
0, (0) 0, ( 1) 0a f f< < − =
0, (0) 0, 0 0, ( 1) 02
ba f x b fa
< < = − > ⇒ > ∴ − <
0, (0) 0, 1 2 , ( 1) 02
ba f x b a fa
> > = − < − ⇒ > ∴ − <
( ) 3 2f x ax bx cx= + + ( )y f x′= ( )1,0 ( )2,0A．当 时函数取得极小值 B． 有两个极大值点
C． D．
考向四 生活中的优化问题
1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大
值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.
2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.
用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几
何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量 x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要
注意自变量的取值范围．
典例 6 如图，正三角形 的边长为 ，以等边三角形 为底面， ， ， 分别
是以 ， ， 为底边的全等的等腰三角形.沿黑实线剪开后，分别以 ， ， 为折痕折起
， ， 使得 D，E，F 重合，得到三棱锥.当 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：
)的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
3
2x = ( )f x
( )1 0f < 0abc <
DEF 5cm ABC DBA ECA△ FBC
AB CA BC BC CA AB
DBA ECA△ FBC ABC
3cm
4 15 4 5
12 5 4 53【答案】D
【解析】由题知， 与 有相同的外接圆圆心，设圆心为 ， ，三棱锥的高为
，连接 交 于 ，如图所示：
因为 ， ，
，
所以 .
.
故 .
令 ， .
当 ， ， 为增函数，当 ， ， 为减函数.
所以当 时， 取得最大值.
故当 时， 的最大值为 .
故选：D.
【名师点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，同时考查了三棱锥的体积问题，属于中档题.首先根据
题意得到 与 有相同的外接圆圆心，设圆心为 ， ，三棱锥的高为 ，连接
DEF△ ABC△ O AB x= ( )0x >
h OD AB G
1 5 5 32 sin 60 3OD = ⋅ =
2
21 1 3
3 2 6OG x x x = − =
5 333 6DG x= −
2 2
2 2 5 3 3 25 533 6 6 3 3h DG OG x x x
= − = − − = −
2 21 3sin 602 4ABCS x x= ⋅ =△
2 4 51 3 25 5 5 53 4 3 3 12V x x x x= ⋅ ⋅ − = −
4 55y x x= − ( )0x > ( )3 4 320 5 5 4y x x x x′ = − = −
( )0,4x∈ 0y′ > y ( )4,x∈ +∞ 0y′ < y
4x = y
4x = V 4 53
DEF ABC O AB x= ( )0x > h交 于 ，从而得到 ， ， ，再利用导数即可得到
体积的最大值.
5．把一块边长为 的正六边形铁皮，沿图中的虚线（虛线与正六边形的对应边垂直）剪去六个
全等的四边形（阴影部分），折起六个矩形焊接制成一个正六棱柱形的无盖容器（焊接损耗忽略），设
容器的底面边长为 .
（1）若 ，且该容器的表面积为 时，在该容器内注入水，水深为 ，若将一根长度
为 的玻璃棒（粗细忽略）放入容器内，一端置于 处，另一端置于侧棱 上，忽略铁皮厚度，
求玻璃棒浸人水中部分的长度；
（2）求该容器的底面边长 的范围，使得该容器的体积始终不大于 .
1．若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数 的图象大致为（ ）
OD AB G 25 5
3 3h x= − 23
4ABCS x=△
4 55 512V x x= −
( )0 cma a >
cmx
16a = 2168 3 cm 5 cm
10 cm A 1DD
a 39000 cm
( ) 2ln 2f x x ax= + − 1 ,22
a
( ], 2−∞ − ( )2,− +∞
12, 8
− −
1 ,8
− +∞
2( ) sinf x x x x= +A． B．
C． D．
3．若 是定义在 上的可导函数，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 单调递增 B． 有极小值为 0，无极大值
C． 的值域为 D． 的图象关于直线 对称
5．设函数 是函数 的导函数，当 时， ，则函数
的零点个数为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知定义在 上的函数 满足 ，且 时， 上恒
成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数 ，关于 x 的方程 有三个不等实根，则实数 m 的取值范围是（ ）
( )f x (0 )+ ∞， ( ) ( ) xf x xf x e′− >
(2) 2 (1)f f> (2) 2 ( )ef f e>
3 (2) 2 (3)f f< 3 ( ) (3)f fπ π>
( ) | 1| lnf x x x= − −
( )f x 1,e
+∞ ( )f x
( )f x ( 1, )− +∞ ( )y f x= 1x =
( )f x′ ( )( )f x x R∈ 0x ≠ ( ) ( )3 0f xf x x
′ + <
( ) ( ) 3
1g x f x x
= −
3 2
1 0
R ( )f x ( ) ( ) 6 2 0f x f x x sinx− − − + = 0x ( )' 3f x cosx−
( ) 3 6 22 2 4f x f x x cos x
π π π − − + + +
,4
π +∞ ,4
π +∞
,6
π +∞ ,6
π +∞
( ) x
xf x e
= 1( ) ( )f x mf x
− =A． B．
C． D．
8．已知长方体 内接于半球 ，且底面 落在半球的底面上，底面 的四
个顶点落在半球的球面上.若半球的半径为 3， ，则该长方体体积的最大值为（ ）
A． B．
C．48 D．72
9．函数 的单调递减区间是_________.
10．已知定义在 上的函数 满足 ，其中 是函数 的导函数.若
，则实数 的取值范围为_________.
11．已知函数 ，其中 .
（1）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围；
（2）若 时，不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围.
12．已知函数 （ ）．
（1）讨论函数 在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数 在 处取得极值， （0， ）， 恒成立，求实数 的最大
值．
1( , )e e
− +∞ 1( , )ee
− +∞
1( , )e e
−∞ − 1( , )ee
−∞ −
1 1 1 1ABCD A B C D− O ABCD 1111 DCBA
AB BC=
12 3 6 6
2( ) 2lnf x x x= −
( )0,+∞ ( )f x ( ) ( ) 0xf x f x′ − < ( )f x′ ( )f x
( ) ( ) ( )2 2020 2020 2f m m f− > − m
( ) sinf x kx x= + k ∈R
( )f x π 5π,3 6
k
1k = c( s) oaxf xx ≥ π0, 2
a
( ) 1 lnf x ax x= − − a∈R
( )f x
( )f x 1x = x∀ ∈ +∞ ( ) 2f x bx≥ − b13．已知函数 ．
（1）当 时，求证： ；
（2）讨论函数 在 R 上的零点个数，并求出相对应的 a 的取值范围．
14．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固
定成本 2 万元，每生产 万件，需另投入流动成本 万元，当年产量小于 万件时，
（万元）；当年产量不小于 7 万件时， （万元）.已知每件产品售价为 6 元，
假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润 （万年）关于年产量 （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定
成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？
（取 ）.
( ) ( )xf x e x a a= − − ∈R
0a = ( )f x x>
( )f x
x ( )C x 7 21( ) 23C x x x= +
3
( ) 6 ln 17eC x x x x
= + + −
( )P x x
3 20e =15．已知函数 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）证明：当 时， ；
（3）确定实数 的所有可能取值，使得存在 ，当 时，恒有 ．
1．【2018 年高考全国Ⅱ卷文数】函数 的图像大致为
2．【2018 年高考全国Ⅲ卷文数】函数 的图像大致为
2( 1)( ) ln 2
xf x x
−= −
( )f x
1x > ( ) 1f x x< −
k 0 1x > 0(1, )x x∈ ( ) ( )1f x k x> −
( ) 2
e ex x
f x x
−−=
4 2 2y x x= − + +3．【2019 年高考浙江】已知 ，函数 ．若函数
恰有 3 个零点，则
A．a0
4．【2018 年高考江苏】若函数푓(푥) = 2푥3 ― 푎푥2 +1(푎 ∈ 퐑)在(0, + ∞)内有且只有一个零点，则푓(푥)在[ ― 1,1]
上的最大值与最小值的和为________．
5．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数 f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为 f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围．
6．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数 ．证明：
,a b∈R 3 2
, 0
( ) 1 1 ( 1) , 03 2
x x
f x x a x ax x
( )f x (1, )+¥
1 2 1x x> > 1 2
1 2
e ex x
x x
> 1 2
2 1e ex xx x>
( ) ( )ln 1xg x xx
= > ( ) 2
1 ln xg x x
−′ = ( ) 0g x = ex =
1 ex< < ( ) 0g x′ > ex > ( ) 0g x′ < ( )g x ( )1,e
( )e,+∞【名师点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.根据条件构造函数，
再利用导数研究单调性，进而判断大小.
2．【答案】（1）单调减区间为 ，单调增区间为 ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）将 代入可得 ，然后计算 ，单独研究 ，利用导数
判断函数 的单调性，根据函数 的符号可知函数 的单调性.
（2）转化为 在 上恒成立，构建函数 ，通过分类讨论 ，
， ，辨别函数 的单调性并加以计算，可得结果.
【详解】
（1）当 时， ，
，
设 ， ，所以 在 上单增，
又因为 ，所以 时， ，即 ；
时， ，即 ，
所以 的单调减区间为 ，单调增区间为 ．
（2）
因为 在 上为单调递增函数，所以 在 上恒成立，
令 ， ．
①当 时， 显然成立，满足题意；
②当 时，
，
( ),0−∞ ( )0,+∞ 4k ≤
0k = ( ) 2 2cosf x x x= − ( )f x′ ( ) sing x x x= +
( )g x′ ( )g x ( )g x ( )f x
( ) 0f x′ ≥ 0, 2
π
( ) 2 2sin cosh x x x kx x= + − 0k ≤
0 4k< ≤ 4k > ( )h x
0k = ( ) 2 2cosf x x x= −
( ) ( )2 2sin 2 sinf x x x x x′ = + = +
( ) sing x x x= + ( ) 1 cos 0g x x′ = + ≥ ( )g x R
( )0 0g = ( )0,x∈ +∞ ( ) 0g x > ( ) 0f x′ >
( ),0x∈ −∞ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ <
( )f x ( ),0−∞ ( )0, ∞+
( ) ( )2 2sin cos sin sin′ = + − + −f x x x k x x x x
( ) 2 2sin cos′ = + −f x x x kx x
( )f x 0, 2
π
( ) 0f x′ ≥ 0, 2
π
( ) 2 2sin cosh x x x kx x= + − π0, 2x ∈
0k ≤ ( ) 2 2sin cos 0= + − ≥h x x x kx x
0k >
( ) ( ) ( )2 2cos cos sin 2 2 cos sinh x x k x x x k x kx x′ = + − − = + − +（ⅰ）当 时，
，
所以 在 上单调递增，所以 ，满足题意；
（ⅱ）当 时， ， ，
所以 在 上单增，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，
又因为 在 上单增，
所以 时， ，
当 时， ，
所以 为 在 上唯一的极小值点，所以 ，
又因为 所以 ，
所以 时， ，不满足题意．
综上所述， ．
【点睛】
本题考查利用导数研究含参数的函数单调性以及恒成立的问题，熟悉分类讨论的方法以及等价转化的方
法，考查分析能力以及计算能力，属难题.
3．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
0 4k< ≤
( ) ( )2 2 cos sin 2 2cos sin 0h x k x kx x x kx x′ = + − + ≥ − + >
( )h x 0, 2
π
( ) ( )0 0h x h≥ =
4k > ( ) ( )2 2 cos sinh x k x kx x′ = + − + ( ) ( )2 2 sin cos 0h x k x kx x′′ = − + ≥
( )h x′ 0, 2
π
( )0 4 0h k′ = − < 2 02 2
kh
π π ′ = + >
0 0, 2x
π ∃ ∈
( )0 0h x′ =
( )h x′ 0, 2
π
( )00,x x∈ ( ) 0h x′ <
0, 2x x
π ∈
( ) 0h x′ >
0x ( )h x 0, 2
π
( ) ( )0h x h x≥
( )0 0h = ( ) ( )0 0 0h x h< =
( )00,x x∈ ( ) 0h x <
4k ≤
( ) 2
min 4 4f x e−= − ( ),0−∞（1）求导后可得 ，令 ，利用导数可知函数 恒成立，由此可
得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，进而得到最小值；
（2）分 及 讨论，当 时， 无极值；当 时，利用导数可知满足题意，进而得出结
论．
【详解】
解：（1）由已知得当 时，
．
令 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．
易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
则当 时， ；当 时， ，
因此 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
（2）
令 ．
①当 时， ．
又因为 ， ，所以 ，
此时 在 单调递増，所以函数 无极值．
②当 时， ， 在 上单调递增．
又 ， ，所以 在 上存在唯一零点，设
为 ，
所以当 时， ， ， 单调递减；
( ) ( 2)( 2)xx xe x′ = + + ( ) 2xg x xe= + ( ) 0>g x
( )f x ( , 2)−∞ − ( 2, )− +∞
0a 0a < 0a ( )f x 0a <
1a =
( ) ( )( )22 2 4 2 2x x xf x xe x e x xe x′ = + + + = + +
( ) 2xg x xe= + ( ) ( )1 xg x x e′ = +
1x < − ( ) 0g x′ < 1x > − ( ) 0g x′ >
( )g x ( ), 1−∞ − ( )1,− +∞
( ) ( )min
11 2 0g x g e
= − = − + > ( ) 2 0xg x xe= + ≥
2x < − ( ) 0f x′ < 2x > − ( ) 0f x′ >
( )f x ( ), 2−∞ − ( )2,− +∞
( ) ( ) 2
min 2 4 4f x f e−= − = −
( ) ( )( )22 2 4 2 2x x xf x xe x e x a xe x′ = + + + = + +
( ) ( )2 0xh x xe a x= + >
0a ≥ ( ) 2 0xh x xe a= + >
2 0x + > ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )( )2 2 0xf x xe a x′ = + + >
( )f x ( )0, ∞+ ( )f x
0a < ( ) ( )1 0xh x x e′ = + > ( )h x ( )0, ∞+
( )0 2 0h a= < ( ) ( )22 2 1 0ah a a e−− = − − > ( ) 2xh x xe a= + ( )0, ∞+
( )0 0 0x x >
( )00,x x∈ ( ) 0h x < ( ) 0f x′ < ( )f x当 时， ， ， 单调递增，
所以当 时，函数 在 上存在极值点 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档
题．
4．【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数的图象可以判定函数的单调性及极值情况，结合二次函数图象特点可求 的符号.
【详解】
由导函数的图象可得： 时， 是增函数； 时， 是减函数； 时，
是增函数；所以 A,B 均不正确；
由于 ，所以 C 不正确；
因为 ，结合图象可知 ，所以 ；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查导数图象的识别，利用导数图象的符号可得函数的单调性，进而可得极值情况，侧重考查
数学抽象的核心素养.
5．【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题意 ，表示出容器的高 ，从而可以表示出容器的底面积 和侧面积 ，根据容器的
表面积为 ，得到关于 的方程，从而得到 的值，设玻璃棒在 上的交点为 ，玻璃棒与
水面交点为 ，过 作 交 于 ，根据 得到 的值；
( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0h x > ( ) 0f x′ > ( )f x
0a < ( )f x ( )0, ∞+ 0x
a ( ),0−∞
, ,a b c
( ),1x∈ −∞ ( )f x ( )1,2x∈ ( )f x ( )2,x∈ +∞
( )f x
( ) ( )01 0f f> =
( ) 23 2f x ax bx c′ = + + 0, 0, 02
ba c a
> > − > 0abc <
25 cm3 0 30a< ≤
AB x= h 1S 2S
2168 3 cm x x 1DD P
Q Q QH AD⊥ AD H AQ QH
AP PD
= AQ（2）表示出容器的体积 ，根据 对 恒成立，利用导数求出 的最大值，从而得
到 的范围.
【详解】
解：（1）由题意 ，则 ，设该容器的高为 ，则 .
当 时，容器底面积 ，
侧面积 ，
所以容器表面积 ，整理得 ，
得 或 （舍）.
当玻璃棒一个端点置于 处，另一端置于侧棱 上时，
如图，设玻璃棒在 上的交点为 ，玻璃棒与水面交点为 .
因为 为正六棱柱，所以四边形 为矩形，
在平面 中，过 作 交 于 ，如图所示，
因为 ， ，则 ，因为 ，
所以 即 ，
所以 .
（2）设该容器的体积为 ， .
V 9000V ≤ ( )0,x a∀ ∈ V
a
AB x= 0 x a< < h ( )3
2h a x= −
16a = 2 2
1
3 3 36 4 2S x x
= × =
( )2 6 3 3 16S xh x x= = −
( )23 3 3 3 16 168 32S x x x= + − = 2 32 112 0x x− + =
4x = 28x =
A 1DD
1DD P Q
1 1 1 1 1 1ABCDEF A B C D E F− 1 1A ADD
1 1A ADD Q QH AD⊥ AD H
10AP = 8AD = 6PD = QH PD∥
AQ QH
AP PD
= 5
10 6
AQ =
25 cm3AQ =
V ( ) ( )2 2
1
3 3 3 9
2 2 4V S h x a x x a x= = × − = −因为该容器的体积始终不大于 ，
所以 对 恒成立.
即 对 恒成立，
令 ， ，
令 得 ，则 随 变化的表格如下：
+ 0 -
增 最大值 减
.
所以 ，得 ，得 .
答：该容器底面边长 满足 时，容器的体积始终不大于 .
【点睛】
本题考查求棱柱的表面积和体积，利用导数求函数的最大值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中
档题.
1．【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，问题转化为 a＞- ，而 g（x）=﹣ 在（ ，2）递增，求出 g（x）的最大值，
从而求出 a 的范围即可．
39000 cm
( )29 90004V x a x= − ≤ ( )0,x a∀ ∈
( )2 4000x a x− ≤ ( )0,x a∈
( ) ( )2h x x a x= − ( ) 23 2h x x ax′ = − +
( ) 0h x′ = 2
3
ax = ( )h x x
x
20, 3
a
2
3
a 2 ,3
a a
( )h x′
( )h x
( ) 3
max
2 4
3 27
a ah x h = =
34 400027
a ≤ 30a ≤ 0 30a< ≤
a 0 30a< ≤ 39000 cm
考点冲关
2
1
2x 2
1
2x
1
2【详解】
易得 f ′（x）= +2ax，
若 f（x）在区间（ ，2）内存在单调递增区间，
则 f ′（x）＞0 在 x∈（ ，2）恒成立，
而 g（x）=﹣ 在（ ，2）递增，
，
故 ，
故选 D．
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数有解以及函数的最值的求法，可以用变量分离的方法求参数的范围，
也考查转化思想以及计算能力．
2．【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数 为偶函数，然后通过构造函数 ， ，可判断 是单调
递增函数，从而可得到 时， ，即可判断 时， ，
，从而可确定 在 上单调递增，即可得到答案．
【详解】
因为 ，所以 为偶函数，选项 B 错误，
，令 ，则 恒成立，所以 是
单调递增函数，则当 时， ，
故 时， ， ,
即 在 上单调递增，故只有选项 A 正确．
【点睛】
本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题．
1
x
1
2
1
2
2
1
2x
1
2
( ) ( ) 12 8g x g< = −
1
8a ≥ −
( )f x ( ) ( )f x xg x= ( ) sing x x x= + ( )g x
0x > ( ) ( )0 0g x g> = 0x > ( ) ( )f x xg x=
( ) ( ) ( )= + 0f x g x xg x′ >′ ( )f x ( )0,+¥
( ) ( ) ( )2 2sin sin =f x x x x x x x f x− = − − = + ( )f x
( ) ( )2 sin sinf x x x x x x x= + = + ( ) sing x x x= + ( ) 1 cos 0g x x=′ + ≥ ( )g x
0x > ( ) ( )0 0g x g> =
0x > ( ) ( )f x xg x= ( ) ( ) ( )= + 0f x g x xg x′ >′
( )f x ( )0,+¥3．【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得 ，即 ，构造函数 ，从而得到 的单调
性，由单调性进行判断可得答案.
【详解】
由 可得 ，即 ，即 ，
令 ，可得 ，即函数 在 上单调递减，由单调性判断各个选
项，
A．因为 2>1,则 ，即 ，故错误；
B．2 ( ) ( ) 0xf x f x′ − <
2
( ) ( ) 0xf x f x
x
− (2) 2 ( )ef f e>
( ) ( )2 3
2 3
f f> 3 (2) 2 (3)f f>
3 π< ( ) ( )3
3
f f π
π> 3 ( ) (3)f fπ π<
( )g x
( )
( )
1 ln , 1( ) 1 ln 1 ln , 0 1
x x xf x x x x x x
− − ≥= − − = − − < 3 0x > ( ) 0F x′ < ( )y F x= ( )0, ∞+
0x < 3 0x < ( ) 0F x′ > ( )y F x= ( ),0−∞
( ) ( )max 0 1 0F x F= = − < ( )y F x=故 也没有零点.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的
单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．【答案】B
【解析】
【分析】
令 ，利用定义证明其奇偶性，由 得出 的单调性，将所求
不等式变为 ，从而得到 ，利用
函数 的奇偶性以及单调性解不等式即可.
【详解】
由题得 ，
令 ，则 为偶函数
时， ，则 ，则 递增
由 得：
，即 ，
则 ，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了利用函数的单调性以及奇偶性解不等式，属于中档题.
7．【答案】D
【解析】
( ) ( ) ( )
3 3
1 F xg x f x x x
= − =
( ) ( ) 3g x f x x sinx= − + ( )' 3f x cosx− ( )g x
( ) 3 32 2 2f x x sinx f x x sin x
π π π − + − − − + − ( )
2g x g x
π −
( )g x
( ) ( )3 3f x x sinx f x x sinx− + = − + −
( ) ( ) ( )3g x f x x sinx g x= − + = − ( )g x
0x ( )' 3f x cosx− ( )' 0g x ( )g x
( ) 3 6 22 2 4f x f x x cos x
π π π − − + + +
( ) 3 32 2 2f x x sinx f x x sin x
π π π − + − − − + − ( )
2g x g x
π −
2x x
π − 4x
π
【分析】
利用导数讨论函数 的性质后可得方程 至多有两个解．因为 有三个不同
的解，故方程 有两个不同的解 ， 且 ， ，最后利用函
数 的图像特征可得实数 的取值范围．
【详解】
，
当 时， ， 在 上为增函数；
当 时， ， 在 上为减函数；
所以 的图像如图所示
又 时， ，又 的值域为 ，
所以当 或 时，方程 有一个解，
当 时，方程 有两个不同的解，
所以方程 即 有两个不同的解 ，
令 ，故 ，解得 .
故选：D.
( )f x ( )t f x= ( ) ( )
1f x mf x
− =
1t mt
− = 1t t= 2t t= 1
10,t e
∈
( )2
1,0t e
∈ −∞
( ) 2 1g t t mt= − − m
( ) 1' x
xf x e
−=
1x < ( )' 0f x > ( )f x ( )0,e
1x > ( )' 0f x < ( )f x ( ),e +∞
( )f x
0x > ( ) 0f x > ( )f x 1, e
−∞
0t ≤ 1t e
= ( )t f x=
10 t e
< < ( )t f x=
1t mt
− = 2 1 0t mt− − = ( )1 2
1 10, , ,0t te e
∈ ∈ −∞
( ) 2 1g t t mt= − −
( )0 0
1 0
g
g e
<
>
1m ee
< −【点睛】
复合方程 的解的个数问题，其实质就是方程组 的解的个数问题，后者可先利
用导数等工具刻画 的图像特征，结合原来方程解的个数得到 的限制条件，再利用常见函数的性
质刻画 的图像特征从而得到参数的取值范围．
8．【答案】A
【解析】
【分析】
设该长方体的高为 h，底面边长为 a，计算出底面外接圆的半径 ，利用勾股定理
得出 ，利用柱体体积公式得出柱体体积 V 关于 h 的函数关系式，然后利用导数可求出 V
的最大值.
【详解】
设长方体 的高为 h，底面棱长为 a，则长方体的底面外接圆直径为 ，所以
.
由勾股定理得 即 得 ，其中 0 ( ) ( )2020 2
2020 2
f m f
m
− >−
( 2020) (2)h m h− > 2020 2m − < 2022m <
m ( )2020,2022故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，以及函数的单调性的应用，着重考查了构造、转化思想，
以及推理与运算能力，属于中档试题.
11．【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 在区间 上单调递增，可知 时， 恒成立，求出
的最大值，令 即可；
（2）令 ， ，则 恒成立，讨论 的范围，并通过求导判
断 的单调性，进而可求出答案.
【详解】
（1）由题意， ，
因为 在区间 上单调递增，所以 时， 恒成立，即
，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 .
（2） 时， ，
令 ， ，则 恒成立，
当 时，显然 ，即 ，符合题意；
当 时， ，
( )2020,2022
3
2k ≥ 2a ≤
( )f x π 5π,3 6
π 5π,3 6x ∈ ( ) cos 0f x k x′ = + ≥
cos x− ( )maxcosk x≥ −
( ) sin cosg x x x ax x= + − π0, 2x ∈
( ) 0g x ≥ a
( )g x
( ) cosf x k x′ = +
( )f x π 5π,3 6
π 5π,3 6x ∈ ( ) cos 0f x k x′ = + ≥
cosk x≥ −
cosy x= − π 5π,3 6
cos co 5 3
6 2s πx ≤ − =−
3
2k ≥
1k = ( ) sinf x x x= +
( ) cos c( o) sin sg x ax x xf x x xx a= = + −− π0, 2x ∈
( ) 0g x ≥
0a ≤ sin 0, cos 0x x ax x+ ≥ − ≥ ( ) 0g x ≥
0a > ( ) ( )1 1 cos sing x a x ax x′ = + − +若 ，则 ，显然 ，即 在 上单调递增，则 ，符
合题意；
若 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 在 上单调递增，则
，
若 ，则 ，即 在 上单调递增， ，符合题意；
若 ，则 ，则存在 ，使得 ，
则 时， ，此时 在 上单调递减，从而 ，不能使得
恒成立.
综上所述，实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用分类讨论的数学思想在解题
中的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
12．【答案】（1）当 时， 在（0， ）上没有极值点；当 时， 在（0， ）上
有一个极值点；（2） .
【解析】
【分析】
（1）首先求得函数的定义域和导函数 ，对 分成 和 两种情况，讨论 的极值点
个数.
（2）利用 求得 的值，将不等式 分离常数，转化为 ，构造函
数 利用导数求得 的最小值，由此求得 的取值范围，进而求得实数 的最大
值.
0 1a< ≤ 1 0a− ≥ ( ) 0g x¢ > ( )g x π0, 2
( ) ( )0 0g x g≥ =
1a > ( ) ( ) ( )1 1 cos sing x a x axh xx ′ = += − + ( ) ( )2 1 sin cosa x axh xx +′ = −
2 1 0, 0a a− > > ( ) 0h x′ ≥ ( )g x′ π0, 2
( ) ( )2 0 12 2
π πa g g x g a ′ ′ ′− = ≤ ≤ = +
1 2a< ≤ ( ) 2 0g x a′ ≥ − ≥ ( )g x π0, 2
( ) ( )0 0g x g≥ =
2a > 2 0a− < 0
π0, 2x ∈
( )0 0g x′ =
( )00,x x∈ ( ) 0g x¢ < ( )g x ( )00, x ( ) ( )0 0g x g< =
( ) 0g x ≥
a 2a ≤
0a ≤ ( )f x +∞ 0a > ( )f x +∞
2
11 e
−
( )f x′ a 0a ≤ 0a > ( )f x
( )' 1 0f = a ( ) 2f x bx≥ − 1 ln1 x bx x
+ − ≥
( ) 1 ln1 xg x x x
= + − ( )g x b b【详解】
（1） 的定义域为（0， ），
.
当 时， 在（0， ）上恒成立，函数 在（0， ）上单调递减.
∴ 在（0， ）上没有极值点.
当 时，由 ，得 ；
由 ，得 ，
∴ 在（0， ）上递减，在（ ， ）上递增，即 在 处有极小值.
综上，当 时， 在（0， ）上没有极值点；
当 时， 在（0， ）上有一个极值点.
（2）∵函数 在 处取得极值，
∴ ，则 ，从而 .
因此 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，
则 在（0， ）上递减，在（ ， ）上递增，
∴ ，即 .
故实数 的最大值是 .
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的
数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
13．【答案】（1）证明见解析；（2） 时，函数 在 上没有零点；当 时，函数 在
( )f x +∞
( ) 1 1axf x a x x
−′ = − =
0a ≤ ( ) 0f x′ ≤ +∞ ( )f x +∞
( )f x +∞
0a > ( ) 0f x′ ≤ 10 x a
< <
( ) 0f x′ > 1x a
>
( )f x 1
a
1
a
+∞ ( )f x 1x a
=
0a ≤ ( )f x +∞
0a > ( )f x +∞
( )f x 1x =
( )1 1 0f a′ = − = 1a = ( ) 1 lnf x x x= − −
( ) 1 ln2 1 xf x bx bx x
≥ − ⇒ + − ≥
( ) 1 ln1 xg x x x
= + − ( ) 2
ln 2xg x x
−′ =
( ) 0g x′ = 2x e=
( )g x 2e 2e +∞
( ) ( )2
2min
1e 1 eg x g= = − 2
11 eb ≤ −
b 2
11 e
−
1a < ( )f x R 1a = ( )f x R上有一个零点；当 时，函数 在 上有两个零点.
【解析】
【分析】
（1）构造函数 ，利用导数研究函数的单调性和最小值，证明最小值大于 .（2）先利
用导数得到 的最小值，然后分类讨论，根据零点存在定理，得到每种情况下 的零点情况.
【详解】
（1）当 时， ，
令 ，则 .
令 ，得 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以 是 的极小值点，也是最小值点，
即
故当 时， 成立.
（2） ，由 ，得 .
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以 是函数 的极小值点，也是最小值点，
即 .
当 ，即 时， 在 上没有零点.
当 ，即 时， 在 上只有一个零点.
当 ，即 时，因为 ，
所以 在 内只有一个零点；
由（1）得 ，令 ，得 ，
所以 ，于是 在 内有一个零点；
1a > ( )f x R
( ) ( )g x f x x= − 0
( )f x ( )f x
0a = ( ) xf x e x= −
( ) ( ) e e 2x xg x f x x x x x= − = − − = − ( ) e 2xg x′ = −
( ) 0g x′ = ln2x =
ln2x < ( ) 0g x′ < ( )g x ln2x > ( ) 0g x′ > ( )g x
ln2x = ( )g x
( ) ( ) ln2
min ln2 2ln2 2ln 02
eg x g e= = − = >
0a = ( )f x x>
( ) 1xf x e′ = − ( ) 0f x′ = 0x =
0x < ( ) 0f x′ < ( )f x 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x
0x = ( )f x
( ) ( )min 0 1f x f a= = −
1 0a− > 1a < ( )f x R
1 0a− = 1a = ( )f x R
1 0a− < 1a > ( ) ( )e e 0a af a a a− −− = − − − = >
( )f x ( )0，−∞
2xe x> x a= 2ae a>
( ) 2 0a af a e a a e a= − − = − > ( )f x ( )0,+∞因此，当 时， 在 上有两个零点.
综上， 时，函数 在 上没有零点；
当 时，函数 在 上有一个零点；
当 时，函数 在 上有两个零点.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，利用零点存在定理判断函数零点个数，属于难题.
14．【答案】（1） ；（2）当年产量约为 万件，该同学的这一产品所
获年利润最大，最大利润为 万元
【解析】
【分析】
（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分 和 两种情况，得到 与 x 的
关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案.
【详解】
（1）产品售价为 元，则万件产品销售收入为 万元.
依题意得，当 时， ，
当 时， ，
.
（2）当 时， ，
当 时， 的最大值为 （万元），
当 时， ，
当 时， 单调递增，当 单调递减，
1a > ( )f x R
1a < ( )f x R
1a = ( )f x R
1a > ( )f x R
2
3
1 4 2,0 73( )
15 , 7
x x x
P x
elnx xx
− + − <
2
0
1 0
x
x x
>
− + + >
1 50 2x
+< <
( )f x 1 5(0, )2
+
( ) ( ) ( 1), (0, )F x f x x x= − − ∈ +∞
(1, )x∈ +∞ ( ) 0F x′ <
( )F x [1, )+∞
(1, )x∈ +∞ ( ) ( )1 0F x F< = (1, )x∈ +∞ ( ) 1f x x< −
1k = 0 1x >
1k > 1x > ( ) 1 ( 1),f x x k x< − < − ( ) ( 1),f x k x< −
0 1x >
1k < ( ) ( ) ( 1), (0, )G x f x k x x= − − ∈ +∞由 得， ．
解得
当 时， ，故 在 内单调递增．
从而当 ， 即
综上吗，k 的取值范围是 .
1．【答案】B
【解析】 为奇函数，舍去 A；
，∴舍去 D；
时， ， 单
调递增，舍去 C.
因此选 B.
【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的
位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由
函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性.
2．【答案】D
【解析】函数图象过定点 ，排除 A，B；
令 ，则 ，
由 得 ，得 或 ，此时函数单调递增，
由 得 ，得 或 ，此时函数单调递减，排除 C.
( ) 21 (1 ) 11 x k xG x x kx x
− + − += − + − =′
( ) 0G x′ = 2 (1 ) 1 0x k x− + − + =
2 2
1 1
1 (1 ) 4 1 (1 ) 40, 12 2
k k k kx x
− − − + − + − += < = <
2(1, )x x∈ ( ) 0G x′ > ( )G x 2[1, )x
2(1, )x x∈ ( ) (1) 0,G x G> = ( ) ( 1),f x k x> −
( ,1)−∞
直通高考
( ) ( ) ( )2
e e0, ,
x x
x f x f x f xx
− −≠ − = = − ∴
( ) 11 e e 0f −= − >
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
4 3
e e e e 2 2 e 2 e ,
x x x x x xx x x xf x x x
− − −+ − − − + += =′ 2x∴ > ( ) 0f x′ > ( )f x
(0,2)
4 2( ) 2y f x x x= = − + + 3 2( ) 4 2 2 (2 1)f x x x x x′ = − + = − −
( ) 0f x′ > 22 (2 1) 0x x − < 2
2x < − 20 2x< <
( ) 0f x′ < 22 (2 1) 0x x − > 2
2x > 2 02 x− < ﹣1 时，令 y′＞0 得 x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令 y′＜0 得 x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.
根据题意，函数 y＝f（x）﹣ax﹣b 恰有 3 个零点⇔函数 y＝f（x）﹣ax﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，
在[0，+∞）上有 2 个零点，
如图：
∴ 푏
1 ― 푎＜0 且{ ―푏＞0
1
3(푎 + 1)3 ― 1
2(푎 + 1)(푎 + 1)2 ― 푏＜0，
解得 b＜0，1﹣a＞0，b＞ ― 1
6（a+1）3，
则 a>–1，b =
3 2
2 1 0,3 3
a aa − + =
3a =
( )f x [ ]1,0− [ ]0,1
( ) ( )max 0 ,f x f=
( ) ( ) ( ){ } ( )min min 1 , 1 1f x f f f= − = −
( ) ( )max minf x f x+ = ( ) ( )0 + 1 1 4 3.f f − = − = −
3−
( ],0a∈ −∞
( ) ( )g x f x′= ( ) cos sin 1, ( ) cosg x x x x g x x x′= + − =
π(0, )2x∈ ( ) 0g x′ > π ,π2x ∈ ( ) 0g x′ < ( )g x π(0, )2
π ,π2
π(0) 0, 0, (π) 22g g g = > = − ( )g x (0,π)
( )f x′ (0,π)
(π) π, (π) 0f a f =由（1）知， 在 只有一个零点，设为 ，且当 时， ；当 时，
，所以 在 单调递增，在 单调递减.
又 ，所以，当 时， .
又当 时，ax≤0，故 .
因此，a的取值范围是 .
【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类
端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间
的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
6．【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1） 的定义域为（0，+ ）.
.
因为 单调递增， 单调递减，所以 单调递增，又 ，
，故存在唯一 ，使得 .
又当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
因此， 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知 ，又 ，所以 在 内存在唯一根
.
由 得 .
又 ，故 是 在 的唯一根.
综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，
以及函数零点的问题，属于常考题型.
7．【答案】（1）见详解；（2） .
【解析】（1） ．
( )f x′ (0,π) 0x ( )00,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )0 ,πx x∈
( ) 0f x′ < ( )f x ( )00, x ( )0 ,πx
(0) 0, (π) 0f f= = [0,π]x∈ ( ) 0f x
0, [0,π]a x∈ ( )f x ax
( ,0]−∞
( )f x ∞
1 1( ) ln 1 lnxf x x xx x
−′ = + − = −
lny x= 1y x
= ( )f x′ (1) 1 0f ′ = − <
1 ln 4 1(2) ln 2 02 2f
−′ = − = > 0 (1,2)x ∈ ( )0 0f x′ =
0x x< ( ) 0f x′ < ( )f x 0x x> ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x
( )0 (1) 2f x f< = − ( )2 2e e 3 0f = − > ( ) 0f x = ( )0 ,x +∞
x α=
0 1xα > > 0
1 1 xα < <
1 1 1 1 ( )1 ln 1 0ff
α
α α α α α
= − − − = =
1
α ( ) 0f x = ( )00, x
( ) 0f x =
8[ ,2)27
2( ) 6 2 2 (3 )f x x ax x x a′ = − = −令 ，得 x=0 或 ．
若 a>0 ， 则 当 时 ， ； 当 时 ， ． 故 在
单调递增，在 单调递减；
若 a=0， 在 单调递增；
若 a 0, 3
ax ∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
( ,0), ,3
a −∞ +∞ 0, 3
a
( )f x ( , )−∞ +∞
, (0, )3
ax ∈ −∞ +∞ ( ) 0f x′ > ,03
ax ∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
, ,(0, )3
a −∞ +∞ ,03
a
0 3a< < ( )f x 0, 3
a
,13
a
( )f x
3
23 27
a af = − + (0)=2f (1)=4f a−
3
227
am = − + 4 ,0 2,
2,2 3.
a aM a
− < 0，所以当x>4且x>2ln（2a）时，
．
故f（x）在（lna，+∞）存在唯一零点，从而f（x）在（–∞，+∞）有两个零点．
综上，a的取值范围是（ ，+∞）．
【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，
根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线
和直线 有两个交点，利用过点 的曲线 的切线斜率，结合图形求得结果.
10．【解析】设 h(x)=f(x)−2x−c，则 h(x)=2lnx−2x+1−c，
其定义域为(0，+∞)， .
（1）当 00时， 为 的极大值点， 为 的极小值点．
此时， 且 ， ， ．
根据 的单调性，当且仅当 ，即 时， 有三个零点，解得 ．因
此k的取值范围为 ．
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻
辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.
( ) 0f x′ = 3
3
kx = ± 3( , )3
kx∈ −∞ − ( ) 0f x′ > 3 3( , )3 3
k kx∈ − ( ) 0f x′ <
3( , )3
kx∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 3( , )3
k−∞ − 3( , )3
k +∞ 3 3( , )3 3
k k−
0k ≤ ( )f x ( )−∞ + ∞， ( )f x
3= 3
kx − ( )f x 3= 3
kx ( )f x
3 31 13 3
k kk k− − < − < < + ( 1) 0f k− − < ( 1) 0f k + > 3( ) 03
kf − >
( )f x 3( ) 03
kf < 2 2 3 09
k kk − < ( )f x 4
27k <
(0 )4
27
，
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