考点 16 三角函数的图象与性质
考点解读
三角函数的图象与性质是高中知识的重点，也是高考考查的重点、热点，常结合三角函数公式的化简进行
考查，必须要求我们熟练掌握该知识点：
（1）能画出 y=sin x，y =cos x，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性.
（2）理解正弦函数、余弦函数在区间 上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等），
理解正切函数在区间 内的单调性.
（3）了解函数 的物理意义；能画出 的图象，了解参数 对函数
图象变化的影响.
（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
一、正弦函数 ,余弦函数 ,正切函数 的图象与性质
函
数
图
象
定
义
域
值
域
[0,2π]
,2 2
π π −
sin( )y A xω ϕ= + sin( )y A xω ϕ= + , ,A ω ϕ
siny x= cosy x= tany x=
siny x= cosy x= tany x=
R R ,2x x k k
π ≠ π + ∈ Z
[ ]1,1− [ ]1,1− R最
值
当 时，
；
当 时，
．
当 时，
；
当 时，
．
既无最大值，也无最小值
周
期
性
最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为
奇
偶
性
,奇函数 ，偶函数 ，奇函数
单
调
性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在 上
是增函数；
在 上
是减函数．
在
上是增函数．
对
称
性
对称中心 ；
对称轴 ，
既是中心对称图形又是轴对称
图形.
对称中心 ；
对称轴 ，
既是中心对称图形又是轴对称
图形.
对称中心 ；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴对
称图形.
二、函数 的图象与性质
1．函数 的图象的画法
（1）变换作图法
由函数 的图象通过变换得到 （A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平
移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.
( )π2 π 2x k k= + ∈Z
max 1y =
( )2 2x k k
π= π − ∈Z
min 1y = −
( )2x k k= π ∈Z
max 1y =
( )2x k k= π + π ∈Z
min 1y = −
2π 2π π
( )sin sinx x− = − ( )cos cosx x− = ( )tan tanx x− = −
[2 ,2 ]( )2 2k k k
π ππ − π + ∈Z
3[2 ,2 ]( )2 2k k k
π ππ + π + ∈Z
[ ]( )2 ,2k k kπ − π π ∈Z
[ ]( )2 ,2k k kπ π + π ∈Z
( , )( )2 2k k k
π ππ − π + ∈Z
( ,0)( )k kπ ∈Z
( )
2x k k
π= π + ∈Z
( ,0)( )2k k
ππ + ∈Z
( )x k k= π ∈Z
( ,0)( )2
k k
π ∈Z
sin( )y A xω ϕ= +
sin( )y A xω ϕ= +
siny x= sin( )y A xω ϕ= +
（2）五点作图法
找五个关键点，分别为使 y 取得最小值、最大值的点和曲线与 x 轴的交点.其步骤为：
①先确定最小正周期 T= ,在一个周期内作出图象；
②令 ,令 X 分别取 0， , , ,求出对应的 x 值，列表如下：
由此可得五个关键点；
③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到 的简图.
2．函数 （A>0,ω>0）的性质
（1）奇偶性： 时，函数 为奇函数； 时，函数 为
偶函数.
（2）周期性： 存在周期性，其最小正周期为 T= .
（3）单调性：根据 y=sint 和 t= 的单调性来研究，由 得单调
增区间；由 得单调减区间.
（4）对称性：利用 y=sin x 的对称中心为 求解，令 ，求得 x.
2
ω
π
=X xω ϕ+
2
π π 3 22
π π,
sin( )y A xω ϕ= +
sin( )y A xω ϕ= +
=kϕ π sin( )y A xω ϕ= + = 2kϕ ππ + sin( )y A xω ϕ= +
sin( )y A xω ϕ= + 2
ω
π
xω ϕ+ +2 2 ,2 2k x k kω ϕπ π− π ≤ + ≤ + π ∈Z
+2 2 ,2 2k x k kω ϕπ 3ππ ≤ + ≤ + π ∈Z
( ,0)( )k kπ ∈Z x k kω ϕ+ = π( ∈ )Ζ利用 y=sin x 的对称轴为 求解，令 ，得其对称轴.
3．函数 （A>0,ω>0）的物理意义
当函数 （A>0,ω>0, ）表示一个简谐振动量时，则 A 叫做振幅，T= 叫做
周期，f = 叫做频率, 叫做相位，x=0 时的相位 叫做初相.
三、三角函数的综合应用
（1）函数 ， 的定义域均为 ；函数 的定义域
均为 .
（ 2 ） 函 数 ， 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 ； 函 数
的值域为 .
（3）函数 ， 的最小正周期为 ；函数 的最小
正周期为 ．
（4）对于 ，当且仅当 时为奇函数，当且仅当 时为
偶 函 数 ； 对 于 ， 当 且 仅 当 时 为 奇 函 数 ， 当 且 仅 当
时为偶函数；对于 ，当且仅当 时为奇函数．
（5）函数 的单调递增区间由不等式
来 确 定 ， 单 调 递 减 区 间 由 不 等 式 来 确 定 ； 函 数
的单调递增区间由不等式 来确
定 ， 单 调 递 减 区 间 由 不 等 式 来 确 定 ； 函 数
的单调递增区间由不等式 来
确定．
【注】函数 ， ， （ 有可能为负数）的单
调区间：先利用诱导公式把 化为正数后再求解．
（6）函数 图象的对称轴为 ，对称中心为 ；
( )2x k k
π= π + ∈Z + 2x k kω ϕ π+ = π ( ∈ )Ζ
sin( )y A xω ϕ= +
sin( )y A xω ϕ= + [0, )x∈ +∞ 2
ω
π
1
2πT
ω= xω ϕ+ ϕ
sin( )y A xω ϕ= + cos( )y A xω ϕ= + R tan( )y A xω ϕ= +
π π{ | , }2
kx x k
ϕ
ω ω ω≠ − + ∈Z
sin( )y A xω ϕ= + cos( )y A xω ϕ= + | |A | |A−
tan( )y A xω ϕ= + R
sin( )y A xω ϕ= + cos( )y A xω ϕ= + 2π
ω tan( )y A xω ϕ= +
π
ω
( )siny A xω ϕ= + ( )πk kϕ = ∈Z ( )ππ 2k kϕ = + ∈Z
( )cosy A xω ϕ= + ( )ππ 2k kϕ = + ∈Z
( )πk kϕ = ∈Z ( )tany A xω ϕ= + ( )π
2k kϕ = ⋅ ∈Z
( )( )sin 0 , 0y A x Aω ϕ ω= + > > π π2 π 2 π (2 2k x k kω ϕ− ≤ + ≤ +
)∈Z ( )π 3π2 π 2 π2 2k x k kω ϕ+ ≤ + ≤ + ∈Z
( )( )cos 0 , 0y A x Aω ϕ ω= + > > ( )2 π π 2 πk x k kω ϕ− ≤ + ≤ ∈Z
( )2 π 2 π πk x k kω ϕ≤ + ≤ + ∈Z
( )( )tan 0 , 0y A x Aω ϕ ω= + > > ( )π ππ π2 2k x k kω ϕ− < + < + ∈Z
sin( )y A xω ϕ= + cos( )y A xω ϕ= + tan( )y A xω ϕ= + ω
ω
sin( )y A xω ϕ= + π π ( )2
kx k
ϕ
ω ω ω= − + ∈Z π( ,0)( )k k
ϕ
ω ω− ∈Z函 数 图 象 的 对 称 轴 为 ， 对 称 中 心 为
；函数 图象的对称中心为 .
【注】函数 ， 的图象与 轴的交点都为对称中心，过最高点
或最低点且垂直于 轴的直线都为对称轴. 函数 的图象与 轴的交点和渐近线与
轴的交点都为对称中心，无对称轴.
考向一 三角函数的图象变换
函数图象的平移变换解题策略
（1）对函数 y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或 y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，
只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的 x 变为 x±|φ|，而不是 ωx 变为 ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
典例 1 将函数푓(푥) = 2sin(2푥 + π
3)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图
象向左平移 π
12个单位得到函数푔(푥)的图象，则在푔(푥)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为
A．푥 = ― π
24 B．푥 = π
4
C．푥 = 5π
24 D．푥 = π
12
【答案】A
【解析】将函数푓(푥) = 2sin(2푥 + π
3)的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到푦 = 2
sin(4푥 + π
3)的图象，
再将所得图象向左平移 π
12个单位得到函数푔(푥)的图象，
即푔(푥) = 2sin[4(푥 + π
12) + π
3] = 2sin(4푥 + 2π
3 )，
由4푥 + 2π
3 = π
2 + 푘π,푘 ∈ 퐙，得푥 = 1
4푘π ― π
24,푘 ∈ 퐙，
则当푘 = 0时，离原点最近的对称轴方程为푥 = ― π
24，故选 A．
cos( )y A xω ϕ= + π ( )kx k
ϕ
ω ω= − ∈Z
π π( ,0)( )2
k k
ϕ
ω ω ω− + ∈Z tan( )y A xω ϕ= + π( ,0)( )2
k k
ϕ
ω ω− ∈Z
sin( )y A xω ϕ= + cos( )y A xω ϕ= + x
x tan( )y A xω ϕ= + x
x【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意
平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量 而言的，
如果 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
1．将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则 的最
小值为（ ）
A． B．
C． D．
考向二 确定三角函数的解析式
结合图象及性质求解析式 y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法
（1）求 A，B，已知函数的最大值 M 和最小值 m，则 .
（2）求 ω，已知函数的周期 T，则 .
（3）求 φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B 已知)．
②五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点中距原点最近的交点)为 ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋φ=
；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx＋φ= ；“第五点”
为 ωx＋φ=2π.
典例 2 已知函数푓(푥) = 퐴sin(휔푥 + 휑)(퐴 > 0,휔 > 0,|휑| < π
2,푥 ∈ 퐑)的部分图象如图.
x
x
( ) sin 2 3
πf x x = −
( )0a a > ( ) cos2g x x= a
3
π 5
12
π
2
3
π
12
π
,2 2
M m M mA B
− += =
2π
T
ω =
( ,0)
ϕ
ω−
π
2
3π
2（1）求函数푓(푥)的解析式.
（2）求函数푓(푥)在区间[0,5π
12]上的最值，并求出相应的푥值.
【解析】（1）由图象可知|퐴| = 2，又퐴 > 0，故퐴 = 2.
周期 ，
又푇 = 2π
휔 = π，∴휔 = 2.
∴푓(푥) = 2sin(2푥 + 휑),푓(π
3) = 2sin(2π
3 + 휑) = 2,
∵|휑| < π
2, ∴ 휑 = ― π
6.
则函数푓(푥)的解析式为푓(푥) = 2sin(2푥 ― π
6).
（2）∵ ，
∴sin(2푥 ― π
6) ∈ [ ― 1
2,1],2sin(2푥 ― π
6) ∈ [ ― 1,2].
当2푥 ― π
6 = π
2时，푥 = π
3，푓(푥)max = 푓(π
3) = 2；
当2푥 ― π
6 = ― π
6时，푥 = 0，푓(푥)min = 푓(0) = ―1.
所以푓(푥)max = 푓(π
3) = 2，푓(푥)min = 푓(0) = ―1.
2．函数 的部分图象如图所示．
4 13 π 4 3ππ π3 12 3 3 4T = × − = × =
5π π π 2π0, , 2 ,12 6 6 3x x ∈ ∴ − ∈ −
( ) sin( ) 0, 0,| | 2f x A x A
πω ϕ ω ϕ = + > > 0）的单
调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果 ω
π
ω ( )f x
π0, 2x ∈
( )f x
( ) ( )2 1 3 1 1 33sin cos cos sin2 1 cos2 sin22 2 2 2 2f x x x x x x xω ω ω ω ω ω= − + = − + + =
1 πcos2 sin 22 6x xω ω − = −
( )f x π 1ω =
( ) πsin 2 6f x x = −
π π 3π2 π 2 2 π2 6 2k x k+ ≤ − ≤ + 1 5π π π π,3 6k x k k+ ≤ ≤ + ∈Z
( )f x 1 5π π, π π ,3 6k k k + + ∈ Z
π0 2x≤ ≤ π π 5π26 6 6x− ≤ − ≤ 1 πsin 2 12 6x − ≤ − ≤
( )f x 1 ,12
− （1）求函数푓(푥)的单调递增区间；
（2）在Δ퐴퐵퐶中，内角퐴，퐵，퐶所对的边分别为푎，푏，푐，且角퐴满足푓(퐴) = 3 +1，若푎 = 3，퐵퐶边上的中
线长为3，求Δ퐴퐵퐶的面积푆.
【解析】（1）푓(푥) = 2 3sin2(π
4 + 푥) +2sin(π
4 + 푥)cos(π
4 + 푥)
= 3[1 ― cos(π
2 + 2푥)] + sin(π
2 + 2푥)
= 3sin2푥 + cos2푥 + 3 = 2sin(2푥 + π
6) + 3.
令 ― π
2 +2푘π ≤ 2푥 + π
6 ≤ π
2 +2푘π，푘 ∈ 퐙，得 ― π
3 + 푘π ≤ 푥 ≤ π
6 + 푘π，푘 ∈ 퐙，
所以函数푓(푥)的单调递增区间为[ ― π
3 + 푘π,π
6 + 푘π]，푘 ∈ 퐙.
（2）푓(퐴) = 2sin(2퐴 + π
6) + 3 = 3 +1，sin(2퐴 + π
6) = 1
2，
因为퐴 ∈ (0,π)，所以2퐴 ∈ (0,2π)，2퐴 + π
6 ∈ (π
6,13π
6 )，
所以2퐴 + π
6 = 5π
6 ，则퐴 = π
3，
又퐵퐶上的中线长为3，所以|퐴퐶 + 퐴퐵| = 6，
所以|퐴퐶|2 + |퐴퐵|2 +2퐴퐶 ⋅ 퐴퐵 = 36，即푏2 + 푐2 +2푏푐cos퐴 = 36，
所以푏2 + 푐2 + 푏푐 = 36，①
由余弦定理得푎2 = 푏2 + 푐2 ― 2푏푐cos퐴，所以푏2 + 푐2 ― 푏푐 = 9，②
由①②得：푏푐 = 27
2 ，
所以푆Δ퐴퐵퐶 = 1
2푏푐sin퐴 = 27 3
8 .
典例 7 已知函数 f（x）=sin（2ωx+ ）+sin（2ωx- ）+2cos2ωx，其中 ω＞0，且函数 f（x）的最小正周期
为 π；
（1）求 ω 的值；
（2）求 f（x）的单调增区间；
（3）若函数 g（x）=f（x）-a 在区间[- ， ]上有两个零点，求实数 a 的取值范围．
【解析】（1）由三角恒等变换的公式，可得 f（x）=sin（2 + ）+sin（2 - ）+2
3
π
3
π
4
π
4
π
wx π
3
wx π
3
2cos wx= sin2 + cos2 + sin2 - cos2 +1+cos2
=sin2 +cos2 +1 ，
又因为 T= =π，
所以 ．
（2）由 2kπ- 2 + 2kπ+ ，k∈Z，解得：- +kπ +kπ，k∈Z，
可得 f（x）的单调增区间为：[- +kπ， +kπ]，k∈Z，
（3）作出函数 在 上的图象如图：
函数 g（x）有两个零点，即方程 有两解，
亦即曲线 与 在 x∈ 上有两个交点，
从图象可看出 f（0）=f（ ）=2，f（ ）= +1，
所以当曲线 与 在 x∈ 上有两个交点时，
则 2 ，即实数 的取值范围是 ．
【名师点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，其
中解答合理利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重
考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．
1
2
wx 3
2
wx 1
2
wx 3
2
wx wx
wx wx 2sin 2 14wx
π = + +
2π
2ω
1w =
π
2
≤ x π
4
≤ π
2
3π
8 x≤ ≤ π
8
3π
8
π
8
( )y f x= ,4 4
π π −
( ) 0f x a− =
( )y f x= y a= ,4 4
π π −
π
4
π
8 2
( )y f x= y a= ,4 4
π π −
a≤ < 2 1+ a )2, 2 1 +5．已知函数 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若 在区间 上有两个不同的解 ， ，求 的范围及 的值．
1．下列函数中是偶函数且最小正周期为 的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 图象的一条对称轴是 ，则 的值为（ ）
A．5 B．
C．3 D．
3．为了得到函数 的图像，可以将函数 的图像（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
4．已知奇函数 满足 ，则 的取值不可能
是（ ）
A．2 B．4
C．6 D．10
( ) sin cos 3sin cos2f x x x x x
π = + +
( )f x
( )f x a= 0, 2
π
1x 2x a 1 2x x+
4
π
2 2cos 4 sin 4y x x= − sin 4y x=
sin 2 cos2y x x= + cos2y x=
( ) sin cos ( )f x x a x a R= + ∈
6x
π= a
5
3
sin 2 3y x
π = − cos2y x=
5
12
π 5
12
π
6
π
6
π
( ) 2sin( )( 0,0 2 )f x xω ϕ ω ϕ π= + > < <
4 4f x f x
π π + = −
ω5．已知函数 在区间 内单调递减，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数 f（x）＝2sin2（ωx﹣ ）＞（ω＞0）的最小正周期为 π，则 f（x）在 上的最小值是（ ）
A．1+ B．
C．2 D．1﹣
7．已知函数 （其中 、 、 均为正的常数）的最小正周期为 ，当 时，函
数 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 ，其图象相邻的最高点之间的距离为 ，将函数
的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，且 为奇函数，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于点 对称
C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递增
9．已知函数 的图象如图所示，且 在 时取得最小
值，则 的最小值为（ ）
( ) ( )πcos 2 03f x wx w = + >
π π,6 2
w
1
2
3
5
2
3
3
4
6
π 3,4 4
π π
3
2
1
2
3
2
( ) sin( )f x A xω ϕ= + A ω ϕ
2
π
3x
π=
( )f x
(1) ( 1) (0)f f f< − < (0) (1) ( 1)f f f< < −
( 1) (0) (1)f f f− < < (1) (0) ( 1)f f f< < −
( ) ( )2sin 0, 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > > 4
π
( ) sin( )( 0)f x xω ϕ ω= + > 2 ,03
π
7 ,06
π
( )f x
ω =
( )x a a R= ∈ ( ) 3sin 6f x x
π = + ( ) cos 6g x x
π = + M N
| |MN
( ) 2sin( ) 0,0 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > <
2
πϕ <
( )f x
( )f x
3
π 1
4
( )y g x= ( )y g x=
( ) sin (sin cos )f x x x x= −（1）求 图像的对称轴方程；
（2）是否存在实数 ，使得 在 上递减？若存在，求出 的取值范围，若不存在，
说明理由.
18．已知函数 ， .
（1）求 的值域；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
19．已知向量 ， ，设函数 ．
（1）若 ， ，求 的值；
（2）在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 且满足 求 的取值范
围．
20．已知函数 f（x）= sin（ωx- ）（其中 ω＞0）的图象上相邻两个最高点的距离为 π．
（1）求函数 f（x）的图象的对称轴；
( )f x
(2, )t ∈ +∞ ( )f x (2, )t t
2( ) 2sin 3cos24f x x x
π = + − ,4 2x
π π ∈
( )f x
| ( ) | 2f x m− < ,4 2x
π π ∈ m
(cos , 1)2
xm = − 2( 3sin ,cos )2 2
x xn = ( ) 1f x m n= ⋅ +
[0, ]2x
π∈ ( ) 1f x = x
ABC A B C , ,a b c 2 cos 2 3 ,b A c a≤ − ( )f B
3 6
π（2）若函数 y=f（x）-m 在[0，π]内有两个零点 x1，x2，求 m 的取值范围及 cos（x1+x2）的值．
1．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】设函数 在[−π，π]的图像大致如下图，则 f（x）的最小正
周期为
A． B．
C． D．
2．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)=
A． B．
C． D．
π( ) cos( )6f x xω= +
10π
9
7π
6
4π
3
3π
2
πsin( 3x + ） πsin( 2 )3 x−
πcos(2 6x + ） 5πcos( 2 )6 x−3．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】函数 f(x)= 在 的图像大致为
A． B．
C． D．
4．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ ， ）单调递增
③f(x)在 有 4 个零点 ④f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
5．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
6．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有 5
个零点，下述四个结论：
① 在（ ）有且仅有 3 个极大值点
② 在（ ）有且仅有 2 个极小值点
③ 在（ ）单调递增
④ 的取值范围是[ )
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
2
sin
cos
+
+
x x
x x [ , ]−π π
( ) sin | | | sin |f x x x= +
2
π π
[ , ]−π π
2
π
4
π
2
π
( )f x
5xω π+ ω ( )f x [ ]0,2π
( )f x 0,2π
( )f x 0,2π
( )f x 0,10
π
ω 12 29
5 10
，7．【2019 年高考天津卷理数】已知函数 是奇函数，将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．若 的
最小正周期为 ，且 ，则
A． B．
C． D．
8．【2018 年高考全国卷 II 理数】若 在 是减函数，则 的最大值是
A． B．
C． D．
9．【2018 年高考天津理数】将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
10．【2018 年高考浙江卷】函数 y= sin2x 的图象可能是
A． B．
C． D．
( ) sin( )( 0, 0,| | )f x A x Aω ϕ ω ϕ= + > > < π ( )y f x=
( )g x ( )g x
2π 24g
π =
3
8f
π =
2− 2−
2 2
( ) cos sinf x x x= − [ ],a a− a
π
4
π
2
3π
4
π
sin(2 )5y x
π= +
10
π
3 5[ , ]4 4
π π 3[ , ]4
π π
5 3[ , ]4 2
π π 3[ ,2 ]2
π π
2 x11．【2017 年高考全国Ⅰ理数】已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
到曲线 C2
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得
到曲线 C2
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
到曲线 C2
D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，
得到曲线 C2
12．【2020 年高考全国 III 卷理数】关于函数 f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于 y 轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线 x= 对称．
④f（x）的最小值为 2．
其中所有真命题的序号是__________．
13．【2020 年高考北京】若函数 的最大值为 2，则常数 的一个取值为
________．
14．【2020 年高考江苏】将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最
近的对称轴的方程是 ▲ ．
15．【2019 年高考北京卷理数】函数 f（x）=sin22x 的最小正周期是__________．
16．【2018 年高考全国Ⅰ理数】已知函数 ，则 的最小值是_____________．
17．【2018 年高考北京卷理数】设函数 f（x）= ，若 对任意的实数 x 都成立，
则 ω 的最小值为__________．
18．【2018 年高考全国Ⅲ理数】函数 在 的零点个数为________．
2π
3
π
6
π
12
1
2
π
6
1
2
π
12
1sin sinx x
+
2
π
( ) sin( ) cosf x x xϕ= + + ϕ
πsin(3 2 )4y x= ﹢ π
6
( ) 2sin sin 2f x x x= + ( )f x
πcos( )( 0)6xω ω− > π( ) ( )4f x f≤
( ) πcos 3 6f x x = +
[ ]0 π，19．【2018 年高考江苏卷】已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值
是________．
20．【2019 年高考浙江卷】设函数 .
（1）已知 函数 是偶函数，求 的值；
（2）求函数 的值域．
21．【2017 年高考江苏卷】已知向量
（1）若 a∥b，求 的值；
（2）记 ，求 的最大值和最小值以及对应的 的值．
1．【答案】B
【解析】
( ) π πsin 2 ( )2 2y x= + − <
( ) ( )sin 2 sin 2 23 3h x x a x a
π π = + − = + −
( )2 2 Z3 2a k k
π π π− = + ∈ 0k = a 5
12
π
sin( )x ϕ+ cos x ϕ
( ) sin 2 6f x x
π = + ( ) sin 2 6g x x
π = −
1A = 3 11 3
4 12 6 4T
π π π= − =
T π= 2 2
πω π= =
sin 2 16
π ϕ × + = | | 2
ϕ π<
3 2
π πϕ+ =
6
π=ϕ ( ) sin 2 6f x x
π = +
( ) sin 2 6f x x
π = + 6
π
( ) sin 2 sin 26 6 6g x x x
π π π = − + = − 由已知可得 ，根据三角函数的性质逐一判断.
【详解】
，则 .
的最大值为 ，
当 时， ，故曲线 关于 对称，
当 时， ，故曲线 不关于 对称.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，其中对称轴和对称中心可代入判断，是基础题.
4．【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式，两角差的余弦公式，二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角
函数形式，然后可求周期；
（2）由三角函数图象变换得 ，由正弦函数性质求得增区间，确定 的取值范围，再利用正弦函数
性质可得 的取值范围．
【详解】
（1）
( ) 3sin 2 6f x x
π = +
( ) 1 3sin 2 sin 2 cos2 3sin 22 2 6f x x x x x
π = + + = + T π=
( )f x 3
6x
π= 3sin 26 6 36f
π ππ = × + =
( )y f x=
6x
π=
3x
π= 3sin 23 3 06f
π ππ = × + ≠
( )y f x= ,03
π
T π= [ ]1,2
( )g x m
(2 )g m
( ) 4cos cos 32 3f x x x
π π = − − −
4sin cos cos sin sin 33 3x x x
π π = + −
22sin cos 2 3sin 3x x x= + −
sin 2 3(1 cos2 ) 3x x= + − −，
所以函数 的最小正周期 .
（2）由（1）知 .
将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍得到 .
再将得到的图象向左平移 个单位得到 ，
即 .
又 ， ，
， ，
故 在区间 是单调递增的，
当 时， 在区间 是单调递增函数，
则 ，
∴ ，
由于 ，而 .
，故 得取值范围为 .
【点睛】
sin 2 3 cos2x x= − 2sin 2 3x
π = −
( )f x 2
2T
π π= =
( ) 2sin 2 3f x x
π = −
( )y f x= 2sin 3y x
π = −
2
π
2sin 2sin3 2 6y x x
π π π = − + = +
( ) 2sin 6g x x
π = +
2 22 6 2k x k
π π ππ − ≤ + ≤ π + k Z∈
22 23 3k x k
π ππ − ≤ ≤ π + k ∈Z
( )g x 22 ,2 ( )3 3k k k Z
π ππ π − + ∈
0k = ( )g x 2 ,3 3
π π −
2[ , ] ,3 3m m
π π − ⊆ −
3
2 03 3
0
m
m m
m
π
π π
≤
− ≥ − ⇒ < ≤
>
(2 ) 2sin 2 6g m m
π = +
526 6 6m
π π π< + ≤
1 2sin 2 26m
π ≤ + ≤
( )2g m [ ]1,2本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数图象变换及正弦函数的性质，解决三角函数问题首先应用
三角函数的恒等变换公式化函数为一个角的一个三角函数形式，大多数是 形
式，然后利用正弦函数性质求解．
5．【答案】（1） ；（2） 的范围为 ， .
【解析】
【分析】
（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函
数的单调增区间．
（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数 的范围和 的值．
【详解】
解：（1）函数
．
由 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为： ．
（2）由于 ，所以 ，所以在 时， 在区间
上有两个不同的解 ， ，
故 的范围为 ．
又令 ，解得 ，
所以函数 的图象在区间 上关于 对称，故 ，
所以 ．
【点睛】
( ) sin( )f x A gwx mϕ= + +
+ , + ( )3 6k k k Z
π ππ π − ∈ a 10, 2
1 2 3x x
π+ =
a 1 2x x+
( ) sin cos 3sin cos2f x x x x x
π = + +
2 3 1 cos2 3 1sin sin 2 sin 2 sin 22 2 2 6 2
xx x x x
π− = − + = − + = + −
+2 2 +2 ( )2 6 2k x k k Z
π π ππ π− ≤ + ≤ ∈ + + ( )3 6k x k k Z
π ππ π− ≤ ≤ ∈
( )f x + , + ( )3 6k k k Z
π ππ π − ∈
0 2x
π≤ ≤ 726 6 6x
π π π≤ + ≤ 1 sin 2 12 6x
π ≤ + (1) sin(4 )6f A
π= + 0<
( 1) sin( 4 ) sin( 4 2 ) sin[ ( 4 2 )]6 6 6f A A A
π π ππ π π− = − + = − + + = − − + +
11sin(4 ) sin(4 )6 6A A
π ππ= − − = −
110 4 6 6 2
π π π< − < < 110 sin(4 ) sin6 6
ππ< − <
0A > 0 ( 1) (0)f f< − 4
π
2
4
π π
ω =
ω
2 ,03
π
7 ,06
π
( )f x
7 2
2 6 3 2
T π π π∴ = − = 2T
π πω= = 2ω∴ =
2
( ) ( ) ( )F x f x g x= −
( ) ( ) ( ) 3sin( ) cos( ) 2sin( ) 2sin6 6 6 6F x f x g x x x x x
π π π π= − = + − + = + − =
( )F x【点睛】
该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有三角函数的化简问题，正弦型函数的最值，属于
简单题目.
14．【答案】③
【解析】
【分析】
先根据对称轴及最小正周期，求得函数 的解析式.再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函
数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可.
【详解】
函数 的最小正周期是 ，所以 ，则
，
又 图象关于直线 对称，
所以对称轴为 ，代入可得 ，解得
，
因为 ，所以当 时， ，则 ，
对于①，当 时， ， 的图象不过点 ，所以①不正确；
对于②， 的单调递减区间为 ，解得
，
当 时， ，又因为 ，则 在 上不是减函数，所以②错误；
对于③， 的对称中心为 ，解得 ，当
( )f x
( ) ( )2sin 0, 0, 2f xx
πω ϕ ω ϕ = + > ∈
π 2 2
πω π= =
( ) ( )2sin 2f x x ϕ= +
( ) ( )2sin 2f x x ϕ= + 2
3x
π=
2 ,2x k k Z
πϕ π+ = + ∈ 22 ,3 2 k k Z
π πϕ π× + = + ∈
5 ,6 k k Z
πϕ π= − + ∈
0, 2
πϕ ∈ 1k =
6
π=ϕ ( ) 2sin 2 6f x x
π = +
0x = ( )0 2sin 16f
π= = ( )f x 30, 2
( ) 2sin 2 6f x x
π = +
32 2 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈
2 ,6 3k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈
0k = 2
6 3x
π π≤ ≤
12 6
π π< ( )f x 2,12 3
π π
( ) 2sin 2 6f x x
π = + 2 ,6x k k Z
π π+ = ∈ ,12 2
kx k Z
π π= − + ∈时， ，所以 是 的一个对称中心，所以③正确；
对于④，将 向右平移 个单位长度，可得
，所以不能得到 的图象，所以④错误.
综上可知，正确的为③.
故答案为: ③.
【点睛】
本题考查了三角函数解析式的求法，正弦函数的图像与性质的综合应用，属于中档题.
15．【答案】（1） ， ；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换的公式，化简 ，再根据三角函数的图象与性质，即可求
解.
（2）由 ，所以 ，分别求解 的最大值和最小值，即可得到答案.
【详解】
（1）
令 ， ，
解得 ， ，
故函数单调递增区间为 ，
1k = 5
12x
π= 5 ,012
π
( )f x
( ) 2sin 2 6f x x
π = + 6
π
2sin 2 2sin 26 6 6y x x
π π π = − + = −
2sin 2y x=
π ππ, π6 3k k − + + k ∈Z ( )max 2f x = ( )min 3f x = −
( ) π2sin 2 6f x x = −
π 5π
12 12x− ≤ ≤ π π 2π23 6 3x− ≤ − ≤ ( )f x
( ) π4cos sin 16f x x x = − +
23 14cos sin cos 1 2 3sin cos 2cos 12 2x x x x x x
= − + = − +
π3sin2 cos2 2sin 2 6x x x = − = −
π π π2 π 2 2 π2 6 2k x k− + ≤ − ≤ + k Z∈
π ππ π6 3k x k− + ≤ ≤ + k Z∈
π ππ, π6 3k k − + + k Z∈（2）因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数的图象与性质的应用，其中解答本题，关键在于能利用
三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽
视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等，着重考查
了推理与运算能力.
16．【答案】（1） ；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）通过函数的图象求出振幅，周期，以及 b．求出函数 f（x）的解析式；
（2）利用平移变换的运算求出函数 y＝g（x）的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区
间及对称中心．
【详解】
（1）
由图可得
且 而 ,
故
综上
（2）显然
由 得
的单调递增区间为 ..
π 5π
12 12x− ≤ ≤ π π 2π23 6 3x− ≤ − ≤
π π2 6 2x − = π
3x = ( )max 2f x =
π π2 6 3x − = − π
12x = − ( )min 3f x = −
1( ) 4sin( ) 22 3f x x
π= + + [ , ],3 6k k k Z
π ππ π− + ∈ ( ,2),2 12
k k Z
π π− ∈
6 4
2 2
A b A
A b b
+ = = ⇒ − + = − =
2 12 42 2
T T
ππ π ωω= ⇒ = = ⇒ =
( ) 6 2 ,3 6 2f k k Z
π π πϕ π= ⇒ + = + ∈
2
πϕ <
3
πϕ =
1( ) 4sin( ) 22 3f x x
π= + +
( ) 4sin(2 ) 26g x x
π= + +
2 2 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π− ≤ + ≤ + ∈
( )g x [ , ],3 6k k k Z
π ππ π− + ∈由 .
【点睛】
本题考查三角函数的解析式的求法，平移变换以及正弦函数的单调区间，对称中心的求法，考查计算能
力．
17．【答案】（1）对称轴方程是 ；（2） .
【解析】
【分析】
利用二倍角公式及辅助角公式化简函数得 ，
（1）由 ，可求解对称轴方程；
（2）由 ，求解函数的减区间，再由集合的包含关系即可得范围.
【详解】
= = .
（1）由 得， ，
所以 图象的对称轴方程是 .
（2）由 得 ，
所以 的递减区间是 ，
取 ，得 在 上递减，
因为 ，所以当 时 在 上递减，
即 t 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.
2 , ( ,2),6 2 12
kx k k Z k Z
π π ππ+ = ∈ ⇒ − ∈
( )1 ππ2 8x k k= + ∈Z 9π2, 8
( ) 1 2 πsin 22 2 4f x x = − +
( )π π2 π4 2x k k Z+ = + ∈
( )π π π2 π 2 2 π2 4 2k x k k Z− + ≤ + ≤ + ∈
( ) ( )sin sin cosf x x x x= − 2 1 cos2 1sin sin cos sin22 2
xx x x x
−− = − 1 2 πsin 22 2 4x − +
( )π π2 π4 2x k k Z+ = + ∈ ( )1 ππ2 8x k k Z= + ∈
( )f x ( )1 ππ2 8x k k Z= + ∈
( )π π π2 π 2 2 π2 4 2k x k k Z− + ≤ + ≤ + ∈ ( )3π ππ π8 8k x k k Z− + ≤ ≤ + ∈
( )f x 3π ππ, π8 8k k − + +
1k = ( )f x 5π 9π,8 8
5π 9π2 ,8 8
∈
9π2, 8t ∈
( )f x ( )2,t
9π2, 8
18．【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先根据二倍角余弦公式以及辅助角公式化简函数解析式,再根据正弦函数性质求值域；（2）先根据
绝对值定义化简不等式,再根据函数最值得结果.
【详解】
（1）∵
，
又∵ ，
∴ ，即 ，∴ ；
（2）由 恒成立，可得 恒成立，
又∵ ，∴ 且 ，结合（1）知，
∴ ，即 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式、正弦函数性质、不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属中
档题.
19．【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题意结合平面向量的数量积运算、三角恒等变换可得 ，利用三角函数的
性质即可得解；
（2）由题意结合正弦定理、三角恒等变换可得 ，进而可得 ，利用三角函数的图
[2,3] (1,4)
2( ) 2sin 3cos24f x x x
π = + −
1 cos 2 3cos2 1 sin 2 3cos2 1 2sin 22 3x x x x x
π π = − + − = + − = + −
,4 2x
π π ∈
226 3 3x
π π π≤ − ≤ 2 1 2sin 2 33
π ≤ + − ≤ x ( ) [2,3]f x ∈
| ( ) | 2f x m− < ( ) 2 ( ) 2− < < +f x m f x
,4 2x
π π ∈ max( ) 2m f x> − min( ) 2m f x< +
1 4m< < m (1,4)
3
π 10, 2
1( ) sin 6 2f x x
π = − +
3cos 2B ≥ 0, 6B
π ∈ 象与性质即可得解.
【详解】
（1）由题意
，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 即 ；
（2）由 可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 即 ，
由 可得 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
【点睛】
本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质及正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档
题.
20．【答案】（1） ；（2） ， .
【解析】
【分析】
2 3 1 cos( ) 1 3sin cos cos 1 sin 12 2 2 2 2
x x x xf x m n x
+= ⋅ + = ⋅ − + = − +
3 1 1 1sin cos sin2 2 2 6 2x x x
π = − + = − +
( ) 1f x = sin 6
1
2x
π − =
0, 2x
π ∈ ,6 6 3x
π π π − ∈ −
6 6x
π π− =
3x
π=
2 cos 2 3b A c a≤ − 2sin cos 2sin 3sinB A C A≤ −
( )C A Bπ= − + ( )sin sin sin cos cos sinC A B A B A B= + = +
( )2sin cos 2 sin cos cos sin 3sinB A A B A B A≤ + − 3sin 2sin cosA A B≤
( )0,A π∈ sin 0A > 3cos 2B ≥ 0, 6B
π ∈
,06 6B
π π − ∈ −
1sin ,06 2B
π − ∈ −
1 1( ) sin 0,6 2 2f B B
π = − + ∈
π π ,2 3
kx k Z= + ∈ 1 13, , 32 2m ∈− − − ( )1 2
1cos 2x x+ =（1）由题意，图象上相邻两个最高点的距离为 ，即周期 ，可得 ，即可求解对称轴；
（2）函数 在 ， 内有两个零点 ， ，转化为函数 与函数 有两个交点，
即可求解 的范围；在 ， 内有两个零点 ， 是关于对称轴是对称的，即可求解 的
值．
【详解】
解：（1）∵已知函数 f（x）= sin（ωx- ）（其中 ω＞0）的图象上相邻两个最高点的距离为
=π，
∴ω=2，
故函数 f（x）= sin（2x- ）．
令 2x- =kπ+ ，k∈Z
得 x= + ，k∈Z，
故函数 f（x）的图象的对称轴方程为 x= + ，k∈Z．
（2）由（1）可知函数 f（x）= sin（2x- ）．
∵x∈[0，π]，
∴2x- ∈[ ， ]
∴- ≤ sin（2x- ）≤ ，
要使函数 y=f（x）-m 在[0，π]内有两个零点．
∴- ＜m＜ ，且 m
即 m 的取值范围是（- ， ）∪（- ， ）．
函数 y=f（x）-m 在[0，π]内有两个零点 x1，x2，
可得 x1，x2 是关于对称轴是对称的；
对称轴方 =2x- ，k∈Z．
得 x= ，
π 2T
π πω= = ω
( )y f x m= − [0 ]π 1x 2x ( )f x y m=
m [0 ]π 1x 2x 1 2cos( )x x+
3 6
π 2π
ω
3 6
π
6
π
2
π
2
kπ
3
π
2
kπ
3
π
3 6
π
6
π
6
π− 11
6
π
3 3 6
π
3
3 3 1
2
≠ −
3 1
2
− 1
2 3
2 k
π π+
6
π
1
2 3k
ππ +在[0，π]内的对称轴 x= 或 .
当 m∈（- ，1）时，可得 x1+x2= ，
∴cos（x1+x2）=cos
当 m∈（-1，- ）时，可得 x1+x2= ，
∴cos（x1+x2）=cos = ．
【点睛】
本题主要考查了 的图象特征，转化思想的应用，属于中档题．
1．【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得： ，
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得 .
所以函数 最小正周期为
故选 C．
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
2．【答案】BC
【解析】由函数图像可知： ，则 ，所以不选 A,
当 时， ，
的
3
π 5
6
π
1
2
2
3
π
2 1
3 2
π = −
1
2
5
3
π
5
3
π 1
2
sin( )y A xω ϕ= +
直通高考
4 ,09
π −
( )f x 4cos 09 6
ωπ π − ⋅ + =
4 ,09
π −
( )f x x
4
9 6 2
ωπ π π− ⋅ + = − 3
2
ω =
( )f x
2 2 4
3 3
2
T ω
π π π= = =
2
2 3 6 2
T π ππ= − = 2 2 2T
π πω π= = =
2
53 6
2 12x
ππ π+
= = 1y = − ∴ ( )5 32 212 2 k k Z
π πϕ π× + = + ∈解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC．
【点睛】已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的
是求待定系数 ω 和 φ，常用如下两种方法：
(1)由 ω＝ 即可求出 ω；确定 φ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标
x0，则令 ωx0＋φ＝0(或 ωx0＋φ＝π)，即可求出 φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 ω 和
φ，若对 A，ω 的符号或对 φ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
3．【答案】D
【解析】由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称，
排除 A．又 ，排除 B，C，故选 D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或
赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得 是奇函数，排除 A，再注
意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
4．【答案】C
【解析】 为偶函数，故①正确．
当 时， ，它在区间 单调递减，故②错误．
当 时， ，它有两个零点： ；当 时，
( )22 3k kϕ π π= + ∈Z
2sin 2 2 sin 2 cos 2 sin 23 6 2 6 3y x k x x x
π π π ππ π = + + = + + = + = −
5cos 2 cos( 2 )6 6x x
π π + = − −
2
T
π
2 2
sin( ) ( ) sin( ) ( )cos( ) ( ) cos
x x x xf x f xx x x x
− + − − −− = = = −− + − + ( )f x
2
2
π1π 4 2π2( ) 1,π2 π( )2
f
+ += = >
2
π(π) 01 πf = >− +
( )f x
( ) ( ) ( ) ( )sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x− = − + − = + = ∴
π π2 x< < ( ) 2sinf x x= ,2
π π
0 πx≤ ≤ ( ) 2sinf x x= 0 , π π 0x− ≤ < ( ) ( )sin sinf x x x= − −，它有一个零点： ，故 在 有 个零点： ，故③错误．
当 时， ；当 时，
，又 为偶函数， 的最大值为 ，故④正确．
综上所述，①④正确，故选 C．
【名师点睛】本题也可画出函数 的图象（如下图），由图象可得①④正确．
5．【答案】A
【解析】作出因为 的图象如下图 1，知其不是周期函数，排除 D；
因为 ，周期为 ，排除 C；
作出 图象如图 2，由图象知，其周期为 ，在区间( ， )单调递增，A 正确；
作出 的图象如图 3，由图象知，其周期为 ，在区间( ， )单调递减，排除 B，
故选 A．
图 1
图 2
2sin x= − π− ( )f x [ ],−π π 3 0−π , , π
[ ]( )2 , 2x k k k ∗∈ π π + π ∈N ( ) 2sinf x x= [ ]( )2 , 2 2x k k k ∗∈ π + π π + π ∈N
( ) sin sin 0f x x x= − = ( )f x ( )f x∴ 2
( ) sin sinf x x x= +
sin | |y x=
cos cosy x x= = 2π
cos2y x= π
2 4
π
2
π
sin 2y x= π
2 4
π
2
π图 3
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数
图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数 的周期是函数 周期的一半；②
不是周期函数.
6．【答案】D
【解析】①若 在 上有 5 个零点，可画出大致图象，
由图 1 可知， 在 有且仅有 3 个极大值点.故①正确；
②由图 1、2 可知， 在 有且仅有 2 个或 3 个极小值点.故②错误；
④当 =sin（ ）=0 时， =kπ（k∈Z），所以 ，
因为 在 上有 5 个零点，
所以当 k=5 时， ，当 k=6 时， ，解得 ，
故④正确.
③函数 =sin（ ）的增区间为： ，
( )y f x= ( )y f x=
siny xω=
( )f x [0,2π]
( )f x (0,2π)
( )f x (0,2π)
( )f x
5xω π+
5xω π+
ππ 5k
x ω
−
=
( )f x [0,2π]
π5π 5 2πx ω
−
= ≤
π6π 5 2πx ω
−
= >
12 29
5 10ω≤ <
( )f x
5xω π+ π π π2 π 2 π2 5 2k x kω− + < + < +.
取 k=0，
当 时，单调递增区间为 ，
当 时，单调递增区间为 ，
综上可得， 在 单调递增.故③正确.
所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为 D.
【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深
度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出
错．
7．【答案】C
【解析】∵ 为奇函数，∴ ；
又 ∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ， 故选 C.
【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 ，再根据函数性
质逐步得出 的值即可.
8．【答案】A
【解析】因为 ，
所以由 得 ，
因此 ，从而 的最大值为 ，
故选 A.
【名师点睛】解答本题时，先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定 的最大值.函数
7 32 π 2 π10 10k k
xω ω
− + < <
12
5
ω = 7 1π π24 8x− < <
29
10
ω = 7 3π π29 29x− < <
( )f x π0,10
( )f x (0) sin 0, = π, , 0,f A k k kϕ ϕ= = ∴ ∈ ∴ =Z 0ϕ =
1 2π( ) sin , 2π,12
2
g x A x Tω
ω
= ∴ = =
2ω =
π( ) 24g = 2A =
( ) 2sin 2f x x= 3π( ) 2.8f =
( )g x
, ,A ω ϕ
( ) πcos sin 2cos 4f x x x x = − = +
π0 2 π π 2 π( )4k x k k+ ≤ + ≤ + ∈Z π 3π2 π 2 π( )4 4k x k k− + ≤ ≤ + ∈Z
[ ] π 3π π 3π π, , , , , , 04 4 4 4 4a a a a a a a − ⊂ − ∴− < − ≥ − ≤ ∴ < ≤ a π
4
a的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴.
(4)由 求增区间；由 求减区
间.
9．【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将 的图象向右平移 个单位长度之后的解
析式为 .
则函数的单调递增区间满足 ，即 ，
令 可得一个单调递增区间为 .
函数的单调递减区间满足： ，即 ，
令 可得一个单调递减区间为： .
故选 A.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的
转化能力和计算求解能力.
10．【答案】D
【解析】令 ，因为 ，所以
为奇函数，排除选项 A，B；
因为 时， ，所以排除选项 C，
故选 D.
( )sin ( 0, 0)y A x B A= + + > >ω ϕ ω
max min= +y A B y A B= −，
2 .T = π
ω
( )π π2x k k+ = + ∈Zω ϕ
( )π π2 π 2 π2 2k x k k− + ≤ + ≤ + ∈Zω ϕ ( )π 3π2 π 2 π2 2k x k k+ ≤ + ≤ + ∈Zω ϕ
πsin 2 5y x = +
π
10
π πsin 2 sin210 5y x x
= − + =
( )π π2 π 2 2 π2 2k x k k− ≤ ≤ + ∈Z ( )π ππ π4 4k x k k− ≤ ≤ + ∈Z
1k = 3π 5π,4 4
( )π 3π2 π 2 2 π2 2k x k k+ ≤ ≤ + ∈Z ( )π 3ππ π4 4k x k k+ ≤ ≤ + ∈Z
1k = 5π 7π,4 4
( ) 2 sin2xf x x= ( ) ( ) ( ), 2 sin2 2 sin2x xx f x x x f x−∈ − = − = − = −R
( ) 2 sin2xf x x=
π ,π2x ∈
( ) 0f x
( )5π π2 π ,2 π3 3k k k − − ∈ Z ( )π π2 π ,2 π3 3k k k − + ∈ Z
π2 π ,3x k k= − ∈Z ( )f x 3 3sin ,sin22 2x x= − = −
( )min
3 3 3 32 2 2 2f x
= × − − = −
3 3
2
−
2
3
( ) π
4f x f ≤
π
4f
( ) ( )π π 22 π 84 6 3k k k k− = ∈ ∴ = + ∈Z Z，ω ω
0>ω 0k = 2
3
3
0 πx≤ ≤
π π 19π36 6 6x∴ ≤ + ≤ π π π 3π3 36 2 6 2x x+ = + =， π 5π3 6 2x + =
π 4π,9 9x = 7π
9
π
6
−【解析】由题意可得 ，所以 ，
因为 ，所以
【名师点睛】由对称轴得 ，再根据限制范围求结果.函数
（A>0，ω>0）的性质：
(1) ；
(2)最小正周期 ；
(3)由 求对称轴；
(4)由 求增区间;由 求减区
间.
20．【答案】（1） 或 ；（2） ．
【 解 析 】 （ 1 ） 因 为 是 偶 函 数 ， 所 以 ， 对 任 意 实 数 x 都 有
，
即 ，
故 ，
所以 ．
又 ，
因此 或 ．
（2）
．
2sin π 13
+ = ±
ϕ 2 π ππ π π( )3 2 6k k k+ = + = − + ∈Z，ϕ ϕ
π π
2 2
− <
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