专题01 曲线和方程（精讲篇）-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 1 曲线和方程 训练篇 A 1 专题 01 曲线与方程 训练篇 A 1. 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 准 线 为 ， 若 与 双 曲 线 的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 （ 为 原点），则双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 解 因为抛物线 的焦点为 ，焦点 ，准线 的方程为 。 因 为 l 与 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 点 和 点 ， 且 为原点），所以 ， ， ， ， ， 离心率为 ，故选 D. 2. 过曲线 的焦点 并垂直于 轴的直线分别与曲线 交于 、 ， 在 上方， 为抛物线上一点， ，则 . 解 依题意求得： ， ，设 坐标为 ，有： ， 代入 有： ，即 . 3. 双曲线 的右焦点为 ，点 在 的一条渐近线上， 为坐标原点，若 ，则 的面积为　　 （ ） A. B. C. D. 解 双曲线 的右焦点为 ， ，渐近线方程为： ，不妨 在 第 一 象 限 ， 可 得 ， ， ， 所 以 的 面 积 为 ： . 故选 . 4．设 为双曲线 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的 圆 与 圆 交 于 ， 两 点 ， 若 ， 则 的 离 心 率 为 　　 （ ） A. B. C.2 D. 2 4y x= F l l 2 2 2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b − = > > A B | | 4 | |AB OF= O 2 3 2 5 2 4y x= F (1,0)F∴ l 1x = − 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > A B | | 4 | | (AB OF O= 2| | bAB a ∴ = | | 1OF = 2 4b a = 2b a∴ = 2 2 5c a b a∴ = + = 5ce a = = 2 4y x= F x 2 4y x= A B A B M ( 2)OM OA OBλ λ= + −   λ = (1,2)A (1, 2)B − M ( , )M x y ( , ) (1,2) ( 2) (1, 2) (2 2,4)x y λ λ λ= + − ⋅ − = − 2 4y x= 16 4 (2 2)λ= ⋅ − 3λ = 2 2 : 14 2 x yC − = F P C O | | | |PO PF= PFO∆ 3 2 4 3 2 2 2 2 3 2 2 2 : 14 2 x yC − = ( 6F 0) 2 2y x= ± P 2tan 2POF∠ = 6( 2P 3)2 PFO∆ 1 3 3 262 2 4 × × = A F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > O OF 2 2 2x y a+ = P Q | | | |PQ OF= C 2 3 52 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 1 曲线和方程 训练篇 A 2 解1 由题，得 ， ， 为等腰直角三 角形， .故填2. 解 2 由 题 意 ， 把 代 入 ， 得 ， 再由 ，得 ，即 ， ，解得 .故选： . 5.设 ， 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第一象限，若△ 为等腰三角形，则 的坐标为　 　. 解 设 ， ， ，椭圆 的 ， ， ， ， 由于 为 上一点且在第一象限，可得 ，△ 为等腰三角形，可能 或 ，即有 ，即 ， ； ，即 ， 舍去.可得 . 6.在平面直角坐标系 xOy 中取两个定点 A1(－ 6，0)，A2( 6，0)，再取两个动点 N1(0， m)，N2(0，n)，且 mn＝2. (1)求直线 A1N1 与 A2N2 的交点 M 的轨迹 C 的方程； (2)过 R(3,0)的直线与轨迹 C 交于 P，Q 两点，过点 P 作 PN⊥x 轴且与轨迹 C 交于另一 点 N，F 为轨迹 C 的右焦点，若 RP―→ ＝λ RQ―→ (λ＞1)，求证： NF―→ ＝λ FQ―→ . 解 (1)依题意知，直线 A1N1 的方程为 y＝ m 6(x＋ 6)，① 直线 A2N2 的方程为 y＝－ n 6(x－ 6)，② 设 M(x，y)是直线 A1N1 与 A2N2 的交点， ①×②得 y2＝－mn 6 (x2－6)， 又 mn＝2，整理得x2 6＋y2 2＝1.故点 M 的轨迹 C 的方程为x2 6＋y2 2＝1. (2)证明：设过点 R 的直线 l：x＝ty＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 N(x1，－y1)， 由Error!消去 x，得(t2＋3)y2＋6ty＋3＝0，(*) 所以 y1＋y2＝－ 6t t2＋3，y1y2＝ 3 t2＋3. | |OF c= | |OP a= OPF∆ ∴ 2ce a = = 2 cx = 2 2 2x y a+ = 2 22 4 cPQ a= − | | | |PQ OF= 2 22 4 ca c− = 2 22a c= ∴ 2 2 2c a = 2ce a = = A 1F 2F 2 2 : 136 20 x yC + = M C 1 2MF F M ( , )M m n m 0n > 2 2 : 136 20 x yC + = 6a = 2 5b = 4c = 2 3 ce a = = M C 1 2| | | |MF MF> 1 2MF F 1| | 2MF c= 2| | 2MF c= 26 83 m+ = 3m = 15n = 26 83 m− = 3 0m = − < (3, 15)M3 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 1 曲线和方程 训练篇 A 3 由 RP―→ ＝λ RQ―→ ，得(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)，故 x1－3＝λ(x2－3)，y1＝λy2， 由(1)得 F(2,0)，要证 NF―→ ＝λ FQ―→ ， 即证(2－x1，y1)＝λ(x2－2，y2)， 只需证 2－x1＝λ(x2－2)，只需x1－3 x2－3＝－x1－2 x2－2， 即证 2x1x2－5(x1＋x2)＋12＝0， 又 x1x2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9，x 1＋x2＝ty1＋3＋ty2＋3＝t(y1＋y2)＋6， 所以 2t2y1y2＋6t(y1＋y2)＋18－5t(y1＋y2)－30＋12＝0，即 2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝0， 而 2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝2t2· 3 t2＋3－t· 6t t2＋3＝0 成立，即 NF―→ ＝λ FQ―→ 成立． 7. 设 椭 圆 的 左 焦 点 为 ， 左 顶 点 为 ， 上 顶 点 为 ． 已 知 为原点）． （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴 和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ．求椭圆的方程． 分析 第（1）题由题意可得 ，再由离心率公式可得所求值。第（2）题求得 ， ，可用 c 表示椭圆方程，把直线 的方程代入椭圆方程可用 c 表示 的坐 标，以及直线 的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解出 c。 解（1） ，即为 ，可得 。 （2） ， ，即 ， ， 可得椭圆方程为 。 设直线 的方程为 ，代入椭圆方程整理得 ，解得 或 ，代入直线 方程解得 或 （舍去），所以 。 圆心 在直线 上，且 ，则 。设 ，从而 ，解得 ，即 ，可得圆的半径为 2，由直线 和圆 相切的条件为 =2，于是 ，解得 ，所以 ， 。 故所求椭圆方程为 ． 8 ．（ 2020 郑 州 一 模 ） 已 知 椭 圆 的 离 心 率 为 ， 且 过 点 ． （1）求椭圆 的方程； 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F A B 3 | | 2 | | (OA OB O= F 3 4 l x P C x l C 4x = / /OC AP 3 2a b= 2a c= 3b c= FP P AP 3 | | 2 | |OA OB= 3 2a b= 2 2 3 11 1 4 2 c be a a = = − = − = 3 2b a= 1 2c a= 2a c= 3b c= 2 2 2 2 14 3 x y c c + = FP 3 ( )4y x c= + 2 27 6 13 0x cx c+ − = x c= 13 7 cx = − PF 3 2 cy = 9 14 cy = − 3( , )2 cP c C 4x = / /OC AP OC APk k= (4, )C t 3 2 4 2 c t c c = + 2t = (4,2)C FP C d r= | 3 4 4 2 3 | 2 9 16 c× − × + = + 2c = 4a = 2 3b = 2 2 116 12 x y+ = 2 2 2 2: 1( 0)y xE a ba b + = > > 2 2 (1,0)C E C y P xO B A F4 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 1 曲线和方程 训练篇 A 4 （2）若过点 ， 的任意直线与椭圆 相交于 ， 两点，线段 的中点为 ， 求证，恒有 ． 解（1）由题意知 ， ， 又因为 解得， ，所以椭圆方程为 ． （2）设过点 直线为 ，设 ， ， ， 由 得 ，且△ ． 则 又因为 ， ， 所以 ． 因为线段 的中点为 ，所以 ． 9.已知双曲线 C 的中心是原点，右焦点为 F ，一条渐近线 m: ,设过点 A 的直线 l 的方向向量 。 （1）求双曲线 C 的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）若过原点的直线 ，且 a 与 l 的距离为 ，求 k 的值； （3）证明：当 时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 . 解（1）设双曲线 的方程为 ，解额 双曲线 的方程为 （2）直线 ，直线 1( 3 − 0) E A B AB M | | 2 | |AB CM= 1b = 2 2 c a = 2 2 2a b c= + 2a = 2 2 12 y x+ = 1( ,0)3 − 1 3x ty= − 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 2 2 1 3 12 x ty y x  = −  + = 2 2(9 18 ) 12 16 0t y ty+ − − = 0> 1 2 2 1 2 2 12 ,9 18 16 ,9 18 ty y t y y t  + = +  = − + 1 1( 1, )CA x y= − 2 2( 1, )CB x y= − 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 4 4( 1)( 1) ( )( )3 3 4 16(1 ) ( )3 9 16 4 12 16(1 ) 09 18 3 9 18 9 CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y t tt t t = − − + = − − + = + − + + −= + − + =+ +     。 CA CB⊥  AB M | | 2 | |AB CM= ( )3 0， x+ 2 0y = ( 3 2,0)− (1, )e k= //a l 6 2 2k > 6 C 2 22 ( 0)x y λ λ− = > 32 λλ∴ + = 2λ = C 2 2 12 x y− = : 3 2 0l kx y k− + = : 0a kx y− =5 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 1 曲线和方程 训练篇 A 5 由题意，得 ，解得 （3）证 1 设过原点且平行于 的直线 ，则直线 与 的距离 当 时， 。 又双曲线 的渐近线为 ，双曲线 的右支在直线 的右下方，双曲线 右支上的任意点到直线 的距离大于 。 故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为 。 证 2 假 设 双 曲 线 右 支 上 存 在 点 到 直 线 的 距 离 为 ， 则 由（Ⅰ）得 。 设 ， 当 时， ； 将 代入（2）得 ， 所以，方程 不存在正根，即假设不成立， 故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为 10.已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 轴上，它的一个顶点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1. （1）求椭圆 C 的方程； 2 | 3 2 | 6 1 k k = + 2 2k = ± l : 0b kx y− = l b 2 3 2 | |, 1 kd k = + 2 2k > 6d > C x 2 0y± = C b C l 6 C Q l 6 C 0 0( , )Q x y l 6 0 0 2 2 2 0 0 | 3 2 6 (1) 1 2 2 (2) kx y k k x y  − + = +  − = 2 0 0 3 2 6 1y kx k k= + ± ⋅ + 23 2 6 1t k k= ± ⋅ + 2 2k > 23 2 6 1 0t k k= + ⋅ + > 2 2 2 2 2 13 2 6 1 6 0 3 1 kt k k k k −= + ⋅ + = × > + + 0 0y kx t= + 2 2 2 0 0(1 2 ) 4 2( 1) 0k x ktx t− − − + = 2 , 02k t> > 2 21 2 0, 4 0, 2( 1) 0k kt t− < − < − + < (*) C Q l 6 xOy x6 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 1 曲线和方程 训练篇 A 6 （2）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 轴的直线上的点， =λ，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 ，由已知得 ，w椭圆标准方程为 ．w.w.．.k.s.5.u.c.o.m （2）设 ，其中 ．由已知 及点 在椭圆 上可得 ． 整理得 ，其中 ． （i） 时，化简得 ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 点 的轨迹方程为 ， 轨迹是两条平行于 轴的线段． （ii） 时，方程变形为 ，其中 ． 当 时，点 的轨迹为中心在原点、实轴在 轴上的双曲线满足 的部分； 当 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆满足 的 部分； 当 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆． 11.设 是平面直角坐标系 中的点， 是经过原点与点 的直线. 记 是直线 与抛物线 的异于原点的交点. （1）已知 . 求点 的坐标； （2）已知点 在椭圆 上， . 求证：点 落在双曲 线 上； （3）已知动点 满足 ， .若点 始终落在一条关于 轴对称的抛 x OP OM a c， 1 , 4, 37 a c a ca c − = = = + = 解得 2 2 116 7 x y+ = ( , )M x y [ ]4,4x∈ − 2 2 2 OP OM λ= P C 2 2 2 2 9 112 16( ) x x y λ+ =+ 2 2 2 2(16 9) 16 112x yλ λ− + = [ ]4,4x∈ − 3 4 λ = 29 112y = M 4 7 ( 4 4)3y x= ± − ≤ ≤ x 3 4 λ ≠ 2 2 2 2 1112 112 16 9 16 x y λ λ + = − [ ]4,4x∈ − 30 4 λ< < M y 4 4x− ≤ ≤ 3 14 λ< < M x 4 4x− ≤ ≤ 1λ ≥ M x )0(),( ≠bbaP xOy l ),1( b Q l pyx 22 = )0( ≠p 2,2,1 === pba Q )0(),( ≠abbaP 14 2 2 =+ yx abp 2 1= Q 144 22 =− yx ),( baP 0≠ab abp 2 1= Q x7 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 1 曲线和方程 训练篇 A 7 物线上，试问动点 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由. 解 (1) 只要把 代入解方程组即得 的坐标为 ． (2) 由方程组 ,求出 ，代入 ，并利用 即可得到 ． （ 3 ） 设 轨 迹 方 程 为 ， ． 把 代 入 方 程 ， 得 ，即 ． 不妨把 分别看成 ，即讨论方程 表示的曲线，其中 是参 数． (ⅰ) 当 时， ，此时点 的轨迹落在抛物线上； (ⅱ) 当 时， ，此时点 的轨迹落在圆上； (iii) 当 且 时， ，此时点 的轨迹落在椭圆上； (ⅲ)当 时， ，此时点 的轨迹落在双曲线上． P 1, 2, 2a b p= = = Q ( )16,8 2 1x yab y bx  =  = 1 , bQ a a      2 24 4x y− 14 2 2 =+ ba 144 22 =− yx )(22 cxqy −= 0≠q Q      a b a ,1      −= caq a b 122 2 22 22 qcaqab −= ,a b ,x y 2 22 2y qx qcx= − qc 0=qc 2 2y qx= P 2 1=qc 2 2 2 1 1 2 4x yc c  − + =   P 0>qc 2 1≠qc 2 2 2 1 2 11 4 2 x yc q c c  −   + = P 0