专题01 曲线和方程（训练篇B）含详解-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 1 曲线和方程 训练篇 B 专题 01 曲线和方程 训练篇 B 1.已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 ，则 E 的离心率为 A. B. C. D. 分析 要求 e，不一定要清楚 a 和 c，可以求出 a，c 之间的关系，在转化为 e 的方程或 等式. 解 1 设双曲线方程为 . 如图所示， ， ，过点 作 轴，垂足为 ，在△ 中，由于|BM|=|AB|=2a，则 ， ，故点 的坐标为 ，代入双 曲线方程得 ，即 ，所以 . 解 2 如图所示，不妨设点 在第一象限，则直线 的方程 ，直线 的方程 ，联立解得 ，所以点 的坐标为 ，以下同解 1. 2.双曲线 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线， 点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2，则 =_______________. 解 不妨令 为双曲线的右焦点， 在第一象限，则 双曲线如图所示. 因 为 为 正 方 形 ， ， 所 以 ， . 因 为 直 线 是 渐 近 线 ， 方 程 为 ， 所 以 . 又 ，所以 . 3.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点.已知|AB|= ，|DE|= ，则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 解 因为抛物线焦点到准线的距离为 p，所以只要求出 p， 因D 在圆上，A 既在圆上，又在抛物线上，从而可以得到三个 方 程 ， 不 妨 设 抛 物 线 为 ， 设 圆 的 方 程 为 ，作出示意图如图所示. 由已知可设 ， ， 120 5 2 3 2 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > | | | |AB BM= 120ABM∠ =  M MN x⊥ N BMN | |BN a= | | 3MN a= M (2 , 3 )M a a 2 2 2 2a b c a= = − 2 22c a= 2e = M AM 3: ( )3AMl y x a= + BM : 3( )BMl y x a= − 2 3 x a y a = = M (2 , 3 )M a a 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > a B A OABC 2=OA 2 2= =c OB π 4 ∠ =AOB OA = by xa tan 1= ∠ =b AOBa 2 2 2 8+ = =a b c 2=a 4 2 2 5 2 2y px= ( )0p > 2 2 2x y r+ = ( )0 ,2 2A x , 52 pD −   O C B A y x F A-1 B1 M N x y -2-4 -3 2 3 4O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -42 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 1 曲线和方程 训练篇 B 由于点 既在抛物线 上，又在圆 上，所以 … ① … ② 又点 在圆 C 上，则 …③ 联立①②③解得： ，所以，焦点到准线的距离为 ，故选 B． 4． 设椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ，右顶点为 ，上顶 点为 .已知 . （1）求椭圆的离心率； （2）设 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 为直径的圆经过点 ，经过原点的 直线 与该圆相切. 求直线 的斜率. 解（1）设椭圆的右焦点 的坐标为 .由 ，即 ，把 代入上式，平方整理得 .所以，椭圆的离 心率 . （2）由（1）知 ， ，故椭圆方程为 . 设 .由 ， ，则 ， . 由已知，有 ，即 . 因 ，所以 . ① 又因为点 在椭圆上，故 . ② 由①和②可得 ，而点 不是椭圆的顶点，故 ，所以 ，代入①得 ，即点 的坐标为 . 设圆的圆心为 ，则 ( )0 ,2 2A x 2 2y px= 2 2 2x y r+ = 08 2px= 2 2 0 8x r+ = , 52 pD −   2 25 2 p r + =   4p = 4p = 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1 2,F F A B 1 2 3 2AB F F= P PB 1F l l 2F ( ),0c 1 2 3 2AB F F= 2 2 3a b c+ = 2 2 2b a c= - 2 2 1 2 c a = 2 2e = 2 22a c= 2 2b c= 2 2 2 2 12 x y c c+ = ( )0 0,P x y ( )1 ,0F c- ( )0,B c ( )1 0 0,F P x c y= +  ( )1 ,F B c c=  1 1 0F P F B× =   ( )0 0 0x c c y c+ + = 0c ¹ 0 0 0x y c+ + = P 2 2 0 0 2 2 12 x y c c+ = 2 0 03 4 0x cx+ = P 0 0x ¹ 0 4 3 cx =- 0 3 cy = P 4 ,3 3 c cæ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø ( )1 1,T x y3 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 1 曲线和方程 训练篇 B ， ，进而圆的半径 . 设直线 的斜率为 ，依题意，直线 的方程为 . 由于 与圆相切，可得 ，即 ， 整理得 ，解得 . 所以，直线 的斜率为 或 . 5. 如 图 ， 曲 线 由 上 半 椭 圆 和 部 分 抛 物 线 连接而成， 的公共点为 ，其 中 的离心率为 . （1） 求 的值； （2）过点 的直线 与 分别交于 （均异于点 ）， 若 ，求直线 的方程. 解 （1）由图可知，抛物线过点 ，所以 . 又 ，解得 ，所以椭圆 方程为 . （2）设过 的直线方程为 （ ）与椭圆方程 联立，并 整理得 1 4 0 23 2 3 c x c - + = = - 1 23 2 3 c c y c + = = ( ) ( ) 2 2 1 1 50 3r x y c c= - + - = l k l y kx= l 1 1 2 1 kx y r k - = + 2 2 2 3 3 5 31 c ck c k æ ö÷ç- -÷ç ÷çè ø = + 2 8 1 0k k- + = 4 15k = ± l 4 15+ 4 15- C 2 2 1 2 2: 1( 0, 0)y xC a b ya b + = > > ≥ 2 2 : 1( 0)C y x y= − + ≤ 1 2,C C ,A B 1C 3 2 ,a b B l 1 2,C C ,P Q ,A B AP AQ⊥ l ( 1,0), (1,0)A B− 1b = 2 2 23 ,2 c a b ca = = + 22, 1, 3a b c= = = 2 2 14 y x+ = (1,0)B ( -1)y k x= 0k ≠ 2 2 14 y x+ = 4 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 1 曲线和方程 训练篇 B . 设 ，因为直线过 ，所以 ，从而 ，即 . 把直线 与抛物线方程 联立得 . 同理可得 ，即 . 因为 ， ，所以 ，即 ，亦即 ，解得 ，所以直线 的方程 . 6.已知抛物线 的焦点 F 也是椭圆 的一个焦 点， 与 的公共弦长为 . （1）求 的方程； （2）过点 F 的直线 与 相交于 A，B 两点，与 相交于 C，D 两点，且 与 同向. ② 若 ，求直线 的斜率； ②设 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M，证明：直线 绕点 F 旋转时， 总 是钝角三角形. 解 由 知其焦点 F 的坐标为（0，1），因为 F 也是椭圆 的一个焦点，所以 ，所以可设椭圆方程为 又 与 的公共弦长为 ， 与 都关于 y 轴对称，所以交点横坐标为 ， 代入抛物线方程得交点纵坐标为 ，代入椭圆方程 ，解得 ，所以 的方程为 . （2）如图，设 ， ， ， . 易知直线 的斜率存在，设为 ，则 的方程为 . 2 2 2 2( 4) -2 -4 0k x k x k+ + = 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y (1,0)B 2 1 2 -4 4 kx k = + 1 1 2 -8( -1) 4 ky k x k = = + 2 2 2 -4 -8k( , )4 4 kP k k+ + l 2 1y x= − + 2 -k-1 0x kx+ = 2 2 2 21, ( 1) 2x k y k x k k= − − = − = − − 2( 1, 2 )Q k k k− − − − (-1,0)A AP AQ⊥  0AP AQ⋅ =  2 2 2 2 -4 -8( 1, ) ( , 2 ) 04 4 k k k k kk k + ⋅ =+ + - - - ( ,-4) (1, 2) -4( 2) 0k k k k⋅ + = + = 8 3k = - l 8 ( 1)3y x= - - 1C yx 4: 2 = 2C )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab x a y 1C 2C 62 2C l 1C 2C AC BD |||| BDAC = l 1C l MFD∆ 1C yx 4: 2 = 2C 122 =− ba 2 2 2 2 1.1 y x a a + =− 1C 2C 62 1C 2C 6± 3 2 2 2 9 6 14 1a a + =− 2 9a = 2C 189 22 =+ xy ),( 11 yxA ),( 22 yxB ),( 33 yxC ),( 44 yxD l k l 1+= kxy l x y D B A F O C M5 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 1 曲线和方程 训练篇 B 由 得 ， 而 是这个方程的两根， 所以 . （*） 由 得 ， 而 是这个方程的两根，所以 . （**） ① 因为 与 同向，且 ，所以 ， 从而 ，即 ，即 . 将(*)(**)代入上式得 ，即 所以 ，解得 ，即直线 的斜率为 . ② 如图，因为 三点共线，所以只要证明 是锐 角即可，即 由 得 ，所以 在点 A 处的切线方程为 ，即 . 令 得 ，即 ，所以 . 又 ，于是 ， 因此 总是锐角，从而 是钝角. 故直线 绕点 F 旋转时， 总是钝角三角形. 解 2 因为 三点共线，所以要证明 为钝角，只要证明 为钝角，即 只要证明 . 由解 1 可知， ， . 由（*）可知， ，所以 是钝角. 注 第（2）题①的关键在于平方后再配方，以利用韦达定理；②则在于证明 是 2 1, 4 , y kx x y = +  = 0442 =−− kxx 21, xx 4,4 2121 −==+ xx 2 2 1, 1,9 8 y kx y x = + + = 06416)89( 22 =−++ k 43 , xx 3 4 3 42 2 16 64,9 8 9 8 kx x x xk k + = − = −+ + AC BD |||| BDAC = BDAC = 2413 xxxx −=− 4321 xxxx −=− 43 2 4321 2 21 4)(4)( xxxxxxxx −+=−+ 222 22 2 89 644 )89( 16)1(16 kk kk + ×++=+ 2 2 2 2 2 16 9( 1)16( 1) ,(9 8 ) kk k × ++ = + 916)89( 22 ×=+ k 4 6±=k l 4 6± , ,A F D AFM∠ 0.FM FA⋅ >  yx 42 = 2' xy = 1C )(2 1 1 1 xxxyy −=− 42 2 11 xxxy −= 0=y 2 1xx = )0,2( 1xM )1,2( 1 −= xFM )14,( 2 1 1 −= xxFA 014)14(2 2 1 2 1 2 1 >+=−−=⋅ xxxFAFM AFM∠ AFMMFD ∠−=∠ 180 l MFD∆ , ,F B D MFD∠ MFB∠ 0FM FB⋅ >=+ bab y a x 2 2 F l F BA, AB l AB CP, ABPC 2= AB 7 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 1 曲线和方程 训练篇 B 解 (1)由题意，得 且 ，解得 ， ，则 ，所以椭圆 的标准方程为 . (2)当 轴时， ，又 ，不合题意. 当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ， ， ，将 的方程代入椭圆方程，得 ， 则 ， 的坐标 ，且 . 若 ，则线段 的垂直平分线为 轴，与左准线平行，不合题意. 若 ，故直线 的方程为 ，点 的坐标为 ，从而 . 因为 ，所以 ，解得 . 此时直线 方程为 或 . 2 2= a c 3 2 =+ c ac 2=a 1=c 1=b 12 2 2 =+ yx xAB ⊥ 2=AB 3=CP AB x AB )1( −= xky ),( 11 yxA ),( 22 yxB AB 2 2(1 2 )k x+ 24k x− 22( 1) 0k+ − = 2 22 2,1 21 )1(22 k kkx + +±= C ,21 2( 2 2 k k + )21 2k k + − 2 2 1 2 1 2( ) ( )AB x x y y= − + − = 2 2 21 )1(22 k k + + 0=k AB y 0≠k PC )21 2(1 21 2 2 2 k kxkk ky +−−=++ P ))21( 25,2( 2 2 kk k + +− =PC )21( 1)13(2 2 22 kk kk + ++ ABPC 2= )21( 1)13(2 2 22 kk kk + ++ 2 2 21 )1(24 k k + += 1±=k AB 1−= xy 1y x= − +