专题02 定点、定值问题（精讲篇）含详解-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 专题 02 定点、定值问题（精讲篇） 解析几何中的定点、定值问题一直是高考中值得关注的问题.它的基本形式是在若干个 相关个几何量转化，某些量却是恒定不变的.解答途径是用部分量去表示要求的量，即建立 适当的函数（或方程）关系，最后证明函数值是定值或某个定点坐标适合方程. 动中不动是为定 变化之中理辩清 直接计算求定值 含参系数令其零 思路点拨 如图，因为 与 共底边 CF，所以 . 因为抛物线 ，故可知 ，准线方程为 . 过点 作准线的垂线交于点 ，交 轴于点 ，同样过点 作 准线的垂线交于点 ，交 轴于点 . 根据抛物线的定义，得 ， . y ACF∆ BCF ACF BCS S AC ∆ ∆ = = B A x x 2 4y x= 2p = 1x = − A 1A y 2A B 1B y 2B 1 2| | | | | | 1Bx BB BB BF= − = − 1 2| | | | | | 1Ax AA AA AF= − = − 例 1 如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同 的点 ， ， ，其中点 ， 在抛物线上，点 在 轴上，则 与 的面积之比是 （A） （B） （C） （D） 2 4y x= F A B C A B C y BCF∆ ACF∆ 1 1 BF AF − − 2 2 1 1 BF AF − − 1 1 BF AF + + 2 2 1 1 BF AF + + C B FO y A x 定点、定值问题 曲线过定点 某个量为定值 用参数表示曲线方程 用参数表示该量 令参数系数为 0 或某值， 解出相应的 x、y 的值 令参数系数为 0 或某值 化简使该量为定值 选参、用参、消参，求出定点或定 值 2 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 所以 选（A）. 思路点拨 第（1）题根据椭圆的对称性可以排除 P1（1,1）.第（2）题联立方程即可，此时有两种 方法联立，第一种，假设直线 AB 的方程，第二种假设直线 P2A 和 P2B. 满分解答 (1) 根据椭圆对称性可得，P1（1,1），P4（1， ）不可能同时在椭圆上，P3（–1， ），P4（1， ）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过 P2（0,1），P3（–1， ），P4 （1， ）. 把 P2，P3 坐标代入椭圆方程得 解得 ， 故椭圆 的方程为 ； （2）解 1 ①当直线 的斜率不存在时，设 ， ，此时 ，解得 ，此时直线 过椭圆右顶点，不 存在两个交点，故不满足. ②当直线 的斜率存在时，设 ， ，则 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 BCF ACF BCS S AC ∆ ∆ = | | 1= = .| | 1 B A x BF x AF − − 2 2 2 1 =1 3 1 4 1 b a b    + = ， ， 2 24, 1a b= = C 2 2 14 x y+ = l :l x m= ( , ), ( , )A AA m y B m y− 2 2 1 1 2 1A A P A P B y yk k m m m − − −+ = + = − = − 2m = l l : ( 1)l y kx t t= + ≠ 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 例 2 已知椭圆 ，四点 ，中恰有三点在椭圆 上． (1)求 的方程； (2)设直线 不经过 点且与 相交于 两点．若直线 与直线 的 斜率的和为 -1，证明： 过定点． 2 2 2 2 1 0 0x yC a ,ba b + = > >： （ ） 1 2 3 4 3 3 2 2P P P P( 1, 1) , （0, 1）, （- 1, ）, （1, ） C C l 2P C A,B 2P A 2P B l3 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 消去 y 得 ， ， ，此时 . 由于 ，所以 ，即 ，此时 ， 存在 ，使得 成立， 所以直线 的方程为 ，直线 必过定点 . 解 2 由题意可得直线 与直线 的斜率一定存在，不妨设直线 为 , 则直线 为 . 由 得 ， 设 ， 此时可得： ， 同理可得 . 此时可求得直线 的斜率为： ， 化 简 可 得 ， 此 时 满 足 . 当 时， 两点重合，不合题意. 2 2 14 y kx t x y = + + = ， ， 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x tkx t+ + + − = 2 216(4 1 )k t∆ = + − 2 1 2 1 22 2 8 4 1,1 4 1 4 tk tx x x xk k − −+ = =+ + 2 2 1 2 1 2 1 1 P A P B y yk k x x − −+ = + 2 1 2 1 2 1 1 2 ( ) ( )x kx t x x kx t x x x + − + + −= 2 1 2 1 2 ( 1)( ) ( 1)( 8 )2 2 4( 1) t x x t ktk kx x t − + − −= + = + − 1t ≠ 2 2 2 22 11 1P A P B kt kk k k t t −+ = + = = −+ + 2 1t k= − − 32(1 )t∆ = + 1t > − 0∆ > l ( 2) 1y k x= − − l (2, 1)− 2P A 2P B 2P A 1y kx= + 2P B ( )1 1y k x= − − + 2 2 1 14 y kx x y = + + = ， ， ( )2 24 1 8 0k x kx+ + = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 2 8 1 4,4 1 4 1 k kA k k  − −  + +  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 1 1 4 1, 4 1 1 4 1 1 k kB k k  + − +  + + + +  l ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 4 1 1 4 4 14 1 1 8 1 8 4 14 1 1 AB k k kky yk kx x k kk − + −− ++ +−= = +− −− ++ + ( )2 1 1 2ABk k = − + 1 2k ≠ − 1 2k = − ,A B4 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 当 时，直线方程为： ， 即 ，当 时， ，因此直线恒过定点 . 思路点拨 第（1）题只需证明 .第（2）题要先求圆的方程，令 y=0 即可求出在 y 轴 上弦长.求圆方程可以用标准式方程，也可以用一般式方程.当然，本题还可以利用相交弦定 理来解. 满分解答 (1) 设 ， 则 是 方 程 的 根 ， 所 以 ，则 . 所以不会能否出现 AC⊥BC 的情况. （2）解1 由于过A，B，C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上，设圆心 ， 则 . 由 得 ，化简得 ，所以圆 E 的方程为 . 令 得 ，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为 . 所以,过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 解 2 由于 的中点坐标为 ，可得 的中垂线方程为 . 由（1）可得 ，所以 的中垂线方程为 . 1 2k ≠ − ( ) 2 2 2 2 1 8 1 4 4 1 4 11 2 k ky x k kk − = − + + + + + ( ) ( ) 2 2 4 4 1 1 2 k k x y k + − + = − + 2x = 1y = − ( )2, 1− 0AC BC⋅ ≠  ( ) ( )1 2,0 , ,0A x B x 1 2,x x 2 2 0x mx+ − = 1 2 1 2, 2x x m x x+ = − = − ( ) ( )1 2 1 2,1 ,1 1 2 1 1 0AC BC x x x x⋅ = − ⋅ − = + = − + = − ≠  ( )0 0,E x y 1 2 0 2 2 x x mx += = − EA EC= ( )2 2 221 2 1 2 1 0 0 + 12 2 x x x xx y y +   − + = + −       1 2 0 1 1 2 2 x xy += = − 2 2 2 21 1 12 2 2 2 m mx y       + + + = − + − −               0x = 1 21, 2y y= = − ( )1 2 3− − = BC 2 1( . )2 2 x BC 2 2 1 ( )2 2 xy x x− = − 1 2x x m+ = − AB 2 mx = − 例 3 在直角坐标系 中，曲线 与 轴交于 两点，点 的坐标为 .当 变化时，解答下列问题： （1）能否出现 的情况？说明理由； （2）证明过 三点的圆在 轴上截得的弦长为定值. xOy 2 – 2y x mx= + x ,A B C (0,1) m AC BC⊥ , ,A B C y5 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 联立 又 ， 可得 所以过 三点的圆的圆心坐标为 ，半径 ， 故圆在 轴上截得的弦长为 ，即过 三点的圆在 轴上的截 得的弦长为定值. 解 3 设圆的方程为 ， 令 ，得 ，由题意 ， 把 代入圆的方程，得 ，即 . 故圆的方程为： . 令 ，得 ，所以 ，故 . 所以过 三点的圆在 轴上截得的弦长为定值 3. 解 4 设过 A，B，C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D，由 可知原点 O 在圆内， 由相交弦定理可得 ，又 ，所以 ， 所以，过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 ，为定值. 思路点拨 第（1）题可以直接求出 a、b；第（2）题用参数表示 ，可以设 ， 用 做参数，也可以设 ， 用做参数. 满分解答 2 2 2 1 ( )2 2 mx xy x x  = −  − = − ， ， 2 2 2 2 0x mx+ − = 2 1 2 mx y  = −  = − ， ， , ,A B C 1( , )2 2 m− − 2 +9 2 mr = y 2 22 ( ) 32 mr − = A B C， ， y 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 0y = 2 0x Dx F+ + = , 2D m F= = − 0, 1x y= = 1 0E F+ + = 1E = 2 2 2 0x y mx y+ + + − = 0x = 2 2 0y y+ − = 1 21, 2y y= = − 1 2| | |1 ( 2) | 3y y− = − − = , ,A B C y 1 2 2x x = − 1 2 2OD OC OA OB x x⋅ = ⋅ = ⋅ = 1OC = 2OD = 3OC OD+ = AN BM⋅ ( )0 0,P x y 0 0x y、 ( )2cos ,sinP θ θ θ 例 4 已知椭圆 C： （a>b>0）的离心率为 ，A(a,0)， B(0,b)，O（0,0），△OAB 的面积为 1. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于 点 N.求证： 为定值. 2 2 2 2 1x y a b + = 3 2 AN BM⋅6 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） (1)由已知， ，又 ，解得 所以椭圆的方程为 . （2）解 1 设椭圆上一点 ，则 . 由于直线 的方程： ,令 ，得 ， 所以 ； 直线 的方程： ,令 ，得 ， 所以 . 因为 ，所以 ，从而 . 故 为定值. 解 2 设椭圆 上一点 ，则 直线 PA 的方程: ,令 ，得 ， 所以 ； 直线 的方程: ,令 ，得 ， 所以 . 3 1, 12 2 c aba = = 2 2 2a b c= + 2, 1, 3.a b c= = = 2 2 14 x y+ = ( )0 0,P x y 2 20 0 14 x y+ = PA ( )0 0 22 yy xx = −− 0x = 0 0 2 2M yy x −= − 0 0 21 2 yBM x = + − PB 0 0 1 1yy xx −= + 0y = 0 0 1N xx y −= − 0 0 2 1 xAN y = + − 2 20 0 14 x y+ = 2 2 0 04 4x y= − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 11 2 2 2 2 2 2 1 4 4 4 8 4 2 2 x yAN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅ = + ⋅ +− − + − + −= ⋅− − + + − − += − − + 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4 4 8 4= 42 2 y y x y x y x y x y − + + − − + =− − + AN BM⋅ ( )2cos ,sinP θ θ ( )sin 22cos 2y x θ θ= −− 0x = sin 1 cosMy θ θ= − sin cos 1 1 cosBM θ θ θ + −= − PB sin 1 12cosy x θ θ −= + 0y = 2cos 1 sinNx θ θ= − 2sin 2cos 2 1 sinAN θ θ θ + −= −7 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 故 为定值. 思路点拨 第（3）题的两种解法都是转化成某个变量的系数中含有 m，利用 S 是常数与该变量无 关，令该变量系数为 0 得到含有 m 的式子，从而解出 m 的值.这是待定系数法， 是解答这类问题的常用方法. 解答本题思维导图： 满分解答 （1） 直线 的方程为 ， 则 到 的距离 . 2sin 2cos 2 sin cos 1 1 sin 1 cos 2 2sin 2cos 2sin cos2 1 sin cos sin cos 4 AN BM θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ + − + −⋅ = ⋅− − − − += − − + = 。 AN BM⋅ 1l 1 1 0y x x y− = C 1l 2 2 1 2 2 1 1 1 | |x y x yd x y −= + 例5已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别交椭圆于点 、 和 、 .记 的面积为 . （1） 设 ， .用 、 的坐标 表示点 到 的距离，并证明 ； （2）设 ，求 的值； （3）设 和 的斜率之积为 m，求 m 的值，使 得无论 和 如何变动，面积 保持不变. 2 22 1x y+ = 1l 2l A B C D AOC S 1 1( , )A x y 2 2( , )C x y A C C 1l 1 2 2 1 1 | |2S x y x y= − 1 3 3 1: , ( , ),3 3 3l y kx C S= = k 1l 2l 1l 2l S 由已（1）得 1 2 2 1 1 | |.2 x y x y= − 选 为参数得1 2y y， 2 2 2 1 22 1 1 24 ( 2)2 2S y ym m = − + + 选 k 为参数得 令 系数为 0，解出 m 的值2 2 1 2y y 平方整理成k的方程，待定系数， 解出 m 的值8 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 因 ，所以 也可以这样求： 的绝对值 （2） 把点 C 的坐标代入上述公式得 S= .（*） 由 得 . 由 和椭圆的交点关于原点对称可知 ，代入（＊），并平方整理得 ，所以 或 . （３）解 1 因为 ，即 .由 得 ，同理 .所以 ，即 ， 从而可得 . 由（1）可得 . 因 为常数，所以 与 无关，令 解得 . 解 2 设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，设 直线 的的方程为 ，联立方程组 ， 消去 解得 . 根据对称性，设 则 . 1l k 2l k m 1l kxy =    =+ = 12 22 yx kxy y 221 1 k x + ±= 2 2 1 1| |OA x y= + 1 2 2 1 1 1| | | |.2 2S OA d x y x y= ⋅ = − 1 1 2 2 1 1 12 0 0 1 AOC x y S x y=  1 2 2 1 1 | |.2 x y x y= − 1 2 2 1 1 1 1 3 1 1| | | |2 3 2 3x y x y x kx− = ⋅ − = 2 2 , 2 1, y kx x y =  + = 2 2(1 2 ) 1 0k x+ − = 1l 2 1 2 1 1 2x k = + 25 6 1 0k k+ + = 1k = − 1 5k = − 1 2l lk k m⋅ = 1 2 1 2 y y mx x = 2 2 1 12 1x y+ = 2 2 1 11 2x y= − 2 2 2 21 2x y= − 2 2 2 2 1 2 1 2(1 2 ) (1 2 )x x y y= − ⋅ − 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 22 1 2( ) 4y y y y y ym = − + + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1(4 )2 2y y y ym + = + − 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 14 2S x y x x y y x y= − + 2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 12 2(1 2 ) (1 2 )y yy y y ym = − ⋅ − + − 2 2 1 22 1 1 2( 2)2 2 y ym m = − + + S S m 2 1 2 2 02m m + + = 1 2m = − 1 2 1 , 1 2 x k = − + 1 21 2 ky k = − +9 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 同理可得 ， ， 所以 . 设 （常数），所以 ，所以 . 由于左右两边恒成立，所以只能是 ， 解得 . 思路点拨 第(2)题用直线 AB 的斜率 k 和 表示 ，令含有 k 的项系数 为 0，解出 . 满分解答 (1)由已知，点 的坐标分别为 ，又点 的坐标为 ，且 ， 于是 ，解得 . 所以椭圆 的方程为 . 222 2mk kx + = 222 2mk my + = )2)(21( || 2 1||2 1 222 2 1221 mkk kmyxyxS ++ −⋅=−= c mkk km = ++ − )2)(21( || 222 2 )422()( 22242222 mkmkkckm +++=− ]2)41(2[2 22242224 mkmkcmmkk +++=+−    −=+ = mmc c 2)41( 12 22 2 2 1−=m λ OBOA⋅ PBPA⋅+ λ λ DC, ),0(),,0( bb− P )1,0(P 1−=⋅ PDPC        = =− −=− 2 2 11 222 2 a c cba b 2,2 == ba E 124 22 =+ yx 例 6 如图，椭圆 的离心率为 ，点 在短轴 上，且 . （1）求椭圆 的方程； （2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 两点，是否存 在常数 ，使得 为定值？若存在，求 的值；若不存在， 请说明理由. 1: 2 2 2 2 =+ b y a xE )0( >> ba 2 2 )1,0(P CD 1−=⋅ PDPC E O P BA, λ OBOA⋅ PBPA⋅+ λ λ10 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） (2)当直线 斜率存在时，可设直线 方程为 ， 的坐标分别为 . 联立 ，得 ，其判别式 ，所以 ，从而 ． 所以，当 时， ．此时， 为定值. 当直线 斜率不存在时，直线 即为直线 ，此时 . 所以，存在常数 ，使得 为定值 . AB AB 1+= kxy BA, ),(),,( 2211 yxyx    += =+ 1 124 22 kxy yx 024)12( 22 =−++ k 0)12(8)4( 22 >++=∆ kk 12 2,12 4 221221 +−=+−=+ k kxx PBPAOBOA ⋅+⋅ λ ++= 2121 yyxx 1 2( 1)( 1)y y− − 2 1 2 1 2(1 )(1 ) ( ) 1k x x k x xλ= + + + + + 212 1 12 )12()42( 22 2 −−+ −−=+ −−+−−= λλλλ kk k 1=λ 3212 1 2 −=−−+ −− λλ k 3−=⋅+⋅ PBPAOBOA λ AB AB CD +⋅=⋅+⋅ ODOCPBPAOBOA λ PC PDλ ⋅  3−= 1=λ PBPAOBOA ⋅+⋅ λ 3−