专题02 定点、定值问题（训练篇A）含详解-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 训练篇 A 专题 02 定点、定值问题 训练篇 A 1．已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (Ⅱ)已知点 B(－1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴 是∠PBQ 的角平分线，求证：直线 l 过定点． 解 (Ⅰ)设动圆圆心为点 P(x，y)，则由勾股定理得 x2＋42＝(x－4)2＋y2，化简即得圆心 的轨迹 C 的方程为 y2＝8x. (Ⅱ)证 1 由题意可设直线 l 的方程为 y＝kx＋b(k≠0)． 联立Error!得 k2x2＋2(kb－4)x＋b2＝0. 由 Δ＝4(kb－4)2－4k2b2＞0，得 kb＜2. 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝ ― 2푘푏 ― 8 푘2 ，x1x2＝b2 k2. 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以 kPB＋kQB＝0， 即 kPB＋kQB＝ y1 x1＋1＋ y2 x2＋1＝2푘푥1푥2 + 2푏 + (푏 + 푘)(푥1 + 푥2) (푥1 + 1)(푥2 + 1) ＝ 8(푏 + 푘) (푥1 + 1)(푥2 + 1)푘2＝0， 所以 k＋b＝0，即 b＝－k，所以 l 的方程为 y＝k(x－1)． 故直线 l 恒过定点(1,0)． 证 2 设 P(y21 8，y1)，Q(y22 8，y2)，因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线， 所以 kPB＋kQB＝ y1 y21 8＋1 ＋ y2 y22 8＋1 ＝0，整理得(y1＋y2)(y1y2 8 ＋1)＝0. 因为直线 l 不垂直于 x 轴，所以 y1＋y2≠0，可得 y1y2＝－8. 因为 kPQ＝y1－y2 y21 8－y22 8 ＝ 8 y1＋y2，所以直线 PQ 的方程为 y－y1＝ 8 y1＋y2(x－y21 8 )，即 y＝ 8 y1＋y2(x －1)．故直线 l 恒过定点(1,0)． 证 3 设直线 PB 的方程为 x＝my－1，它与抛物线 C 的另一个交点为 Q′，设点 P(x1，y1)， Q′(x2，y2)，由条件可得，Q 与 Q′关于 x 轴对称，故 Q(x2，－y2)． 联立Error!消去 x 得 y2－8my＋8＝0， 其中 Δ＝64m2－32＞0，y1＋y2＝8m，y1y2＝8.所以 kPQ＝y1＋y2 x1－x2＝ 8 y1－y2，因而直线 PQ 的 方程为 y－y1＝ 8 y1－y2(x－x1)． 又 y1y2＝8，y21＝8x1，将 PQ 的方程化简得(y1－y2)y＝8(x－1)， 故直线 l 过定点(1,0)． 证 4 由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在 x 轴上，2 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 训练篇 A 所以设定点坐标为(a,0)，直线 PQ 的方程为 x＝my＋a. 联立Error!消去 x，整理得 y2－8my－8a＝0，Δ＞0. 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则Error! 由条件可知 kPB＋kQB＝0，即 kPB＋kQB＝ y1 x1＋1＋ y2 x2＋1 ＝2푚푦1푦2 + (푎 + 1)(푦1 + 푦2) (푥1 + 1)(푥2 + 1) =0，所以－8ma＋8m＝0. 由 m 的任意性可知 a＝1，所以直线 l 恒过定点(1,0)． 2．（2020 成都七中）已知椭圆 （ ）经过点 ，离心率为 ， 、 、 为椭圆上不同的三点，且满足 ， 为坐标原点． （Ⅰ）若直线 、 的斜率都存在，求证： 为定值； （Ⅱ）求 的取值范围． 解（Ⅰ）证明：依题有 ， 所以椭圆方程为 ． 设 ， ， ， 由 为 的重心 坐标公式可得 。 又因为 ，两式相减得 ， ，所以 (Ⅱ)解 ①当 的斜率不存在时： ， 。 代入椭圆方程得 ，从而 。 ②当 的斜率存在时，设直线为 ，这里 由 整理得 12 2 2 2 =+ b y a x 0>> ba )1,0( 2 3 A B C 0=++ OCOBOA O AB OC OCAB kk ⋅ AB       += = = 222 2 3 1 cba a c b    = =⇒ 1 4 2 2 b a 14 2 2 =+ yx ( )11, yxA ( )11, yxB ( )11, yxC O ABC∆ 1 2 3 1 2 3,x x x y y y+ = − + = − 2 2 2 2 1 1 2 24 4, 4 4x y x y+ = + = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 24 0x x x x y y y y+ − + + − = ( ) 31 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 ;4AB OC yy y x x y yk kx x y y x x x − + += = − = =− + + 1 .4AB OCk k = − AB 1 2 1 2, 0x x y y= + = 3 1 32 , 0x x y= − = 1 1 31, 2x y= ± = ± | | 3AB = AB tkxy += 0≠t 2 24 4 y kx t x y = +  + = ， ，3 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 训练篇 A ， 由 得 ，由此可得 。 再由韦达定理及 得 ，代入椭圆方程得 푡2 = 4푘2 +1, 于是 . 综上, 的范围是 . 3.（2019 新课标Ⅲ卷·文 21）已知曲线 ， 为直线 上的动点，过 作 的 两条切线，切点分别为 ， . （Ⅰ）证明：直线 过定点. （Ⅱ）若以 为圆心的圆与直线 相切，且切点为线段 的中点，求该圆的方程. 解 （Ⅰ）设 ， ， ，则 ， 由于 ，所以切线 DA 的斜率为 ，故 ， 整理得： . 设 ， ，同理可得 . 即直线 的方程为 .所以直线 过定点 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）得直线 的方程 .由 ，可得 .于是 . 设 为线段 的中点，则 ，由于 ，而 ， 与向 量 平行，所以 ，解得 或 . 当 时， ，所求圆的方程为 ； 当 时， ，所求圆的方程为 . 4．（2018 年北京理第 19 题）已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2）．过点 Q（0， 1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴 于 N． （Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值． ( )2 2 24 1 8 4 4 0k x ktx t+ + + − = 2 : 2 xC y = D 1 2y = − D C A B AB 5(0, )2E AB AB 1( , )2D t − 1(A x 1)y 2 1 12x y= y x′ = 1x 1 1 1 1 2y xx t + =− 1 12 2 1 0tx y− + = 2(B x 2 )y 2 22 2 1 0tx y− + = AB 2 2 1 0tx y− + = AB 1(0, )2 AB 1 2y tx= + 2 1 2 2 y tx xy  = +  = 2 2 1 0x tx− − = 2 1 2 1 2 1 22 , ( ) 1 2 1x x t y y t x x t+ = + = + + = + M AB 2 1( , )2M t t + EM AB⊥  2( , 2)EM t t= − AB (1, )t 2( 2) 0t t t∴ + − = 0t = 1t = ± 0t = | | 2EM = 2 25( ) 42x y+ − = 1t = ± | | 2EM = 2 25( ) 22x y+ − = 0∆ > 2 24 1k t> + 2 1 4t > 0=++ OCOBOA 2 2 8 2,4 1 4 1 kt tC k k −   + +  2 9| | 4 3 3,8 34AB t = + ∈（4 ） AB 3,8 3（4 ） 2y P QM QOλ=  QN QOµ=  1 1 λ µ+4 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 训练篇 A 解 （Ⅰ）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2），所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的 方程为 y2=4x． 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k≠0）． 由 得 ． 依题意 ，解得 k