专题03 最值问题（训练篇B）含详解-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

1 专题 03 最值问题 训练篇 B 1. 已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 交椭圆 于 两点．若 ，点 到直线 的距离不小于 ， 则椭圆 的离心率的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 解 设左焦点为F 1,连接 .则四边形 是平行四边形,故 ，所以， ，所以 . 设 ，则 故 ，从而 ， ， ，所以椭圆 E 的离心率的取值范围是 ，故选（A）. 2.设双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ，过 作 的垂 线与双曲线交于 ， 两点，过 ， 分别作 ， 的垂线，两垂线交于点 ，若 到直线 的距离小于 ，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 解 要求渐近线斜率的取值范围，就要求出 满足的不等式，可以 通过解直线 DB、DC 的联立方程组求出 D 的坐标，也可以从对称性分 析 D 在 x 轴上. 解 1 由题意，需要求出 的坐标，为此要求出直线 BD、CD 的方 程. 如图所示，令 易知 又由题意可知： ，所以 F M :3 4 0l x y− = E ,A B 4AF BF+ = M l 4 5 E 3(0, ]2 3(0, ]4 3[ ,1)2 3[ ,1)4 2 2 2 2: 1x yE a b + = (a > 0)b > 1,AF 1BF 1BF AF 1AF BF= 1 4 2AF AF a+ = = 2a = (0, )M b 4 4 ,5 5 b ≥ 1b ≥ 2 2 1a c− ≥ 20 3c< ≤ 0 3c< ≤ 3(0, ]2 12 2 2 2 =− b y a x )0,0( >> ba F A F AF B C B C AC AB D D BC 22 baa ++ ( ) ( )1,00,1 − ( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞ ( ) ( )2,00,2 − ( ) ( )+∞−∞− ,22,  b a D ),( yxD ),,( 2 a bcB ),,( 2 a bcC − 2 2 ,( ) ( )AB AC b bk ka c a a a c = =− − N D C M A B O y x2 直线 CD 的方程为： ， 直线 BD 的方程为： . 两式联立解得 依题意知： ， 化简得 所以，双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ，选A. 解 2 由对称性知 D 在 x 轴上，可设 D(m,0)，由 到直线 的距离小于 知 ，即 . 因为 ，所以 ，于是 ，即 ， 所以 ，即 . 故双曲线的渐近线斜率的取值范围是 3.设直线 与抛物线 相交于 两点，与圆 相切于 点 M，且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 恰有 4 条，则 的取值范围是 （ ） （A） （B） （C） （D） 解 涉及中点弦问题求范围，常用方法是设出直线方程并 代 入曲线方程，由判别式大于 0 得到不等式，再利用其它条件 求某个变量的范围. 求中点弦还可以利用“点差法”. 解 1 如图，设直线 的方程为 ，则 当 m=0 时，满足条件的直线只要两条； 当 时，与抛物线 联立，消去 ，得 . 由 ，有 . 2 4y x= ( ) ( )2 2 25 0x y r r− + = > ( )1 3， 2 2 ( ) ( )a a c by x cb a −= − − 2 2 ( ) ( )a a c by x cb a −= − − + 4 2 , 0.( ) bx c ya a c = + =− − a m> − AB CD⊥ 0AB CD⋅ =  2 2 ( , ) ( , ) 0b bc a m ca a − ⋅ − = 4 2( )( ) bc a m c a − − = 4 2 2 =( )( ) ( )( )b c a c m c a c a ba − − < − + = 2 2 1b a < ).1,0()0,1( − l BA, l r ( )1 4， ( )2 3， ( )2 4， l bmyx += 0m ≠ xy 42 = x 0442 =−− bmyy 0>∆ 02 >+ bm3 设 ，由韦达定理 ，从而有 . 设圆 的圆心为 ，由 ，则 ， 整理得 ，代入 ，得 . 所以 ,选（D）. 解 2 设 ， ， ， 因为 在抛物线 上，所以 两式相减得 . 若直线 的斜率不存在，则满足条件的直线必有两条； 若直线 的斜率 存在，则 ，所以 ，即 . 又 ，所以 ，即 ，所以 ， ，所以 点 在直线 上. 直线 与抛物线 交点坐标为 ，所以 . 因为 在圆 上，所以 ， 即 . 又 ，所以 ，从而 ，所以 .选（D）. 注 解 1 是把求圆半径 的范围转化成 的函数，再求函数值域；解 2 是根据几何意义， 确定 的范围，再求 的范围. 4．设实数 x,y 满足 ，则 xy 的最大值为 (A) (B) (C)12 (D)14 解 由 知， ，当且仅当 时. 经验证， 在可行域内. ( ) ( )2 2 25 0x y r r− + = > ),(),,( 2211 yxByxA myy 421 =+ )2,2( 2 mbmM + )0()5( 222 >=+− rryx C lCM ⊥ mbm m −=−+ 52 2 2 223 mb −= 02 >+ bm )3,0(2 ∈m 1 |5| 2 + −= m br )4,2(12 2 ∈+= m ),(),,( 2211 yxByxA 0 0( , )M x y 1 2 02y y y+ = ,A B xy 42 = 2 1 1 2 2 2 4 , 4 , y x y x  = = 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4( )y y y y x x− ⋅ + = − l l k 1 2x x≠ 1 2 1 2 1 2 ( ) 4y y y yx x − ⋅ + =− 0 2ky = AB CM⊥ 0 0 15 yk x ⋅ = −− 0 05ky x= − 05 2x− = 0 3x = M 3x = 3x = xy 42 = (3, 2 3)± 2 0 12y < M 2 2 2 0 0( 5)x y r− + = 2 2 0 4 12 4r y= + < + 16= 0 0y ≠ 2 4r > 24 16r< < 2 4r< < r m 2r r 2 10 2 14 6 x y x y x y + ≤  + ≤  + ≥ 25 2 49 2 102 ≤+ yx ≤⋅⋅= yxxy 22 1 2 25)2 2(2 1 2 ≤+ yx 5,2 5 == yx 5,2 5 == yx4 10 8 6 65 A C B O x y 同理可得 ，当且仅当 时 取最大值 ， 但点 不在可行域内. 显然不可能在直线 AC 上，因此选（A）. 解 2 如图，画出可行域为图中的 . 设 ，则 表示一条双曲线，当双曲线 与直线 相切时， 最大.联立 ，得 . 由 ，可得 ，即 的最大值为 . 5.在直角坐标系 中，抛物线 ，点 P 是直线 上任意一点， 过点 P 作 C 的两条切线，切点分别为 A、B，去线段 AB 的中点 M，连接 PM 交 C 于点 N. （1）求证：直线 AB 过定点，且求出定点的坐标； （2）求 的值； （3）当 P 在直线上运动时，求△PAB 的面积的最小值，并求出此时 P 的坐标. 解（1）设 ， ， . 因为直线与抛物线相切， ，所以 ，所以直线 PA 的方程可表示 为 . 因为点 P 在 PA 上，所以 ，化简得 . 同理可得，B 点的坐标满足 . 所以，直线 AB 的方程为 ，所以直线 AB 过定点（2,2）. （ 2 ） 由 直 线 AB 的 方 程 与 C 的 方 程 联 立 得 ， 所 以 ， 点 M 的 横 坐 标 为 ， 所 以 ， ，所以 . 21 1 +2 492 ( ) =2 2 2 2 x yxy x y= ⋅ ⋅ ≤ ⋅ 77, 2x y= = xy 49 2 77 2 （ ，） ABC∆ xy z= zy x = zy x = AB z    = =+ x zy yx 102 0102 2 =+− zxx 08100 =−= z∆ 2 25=z xy 2 25 xOy 2: 4C x y= 2 0x y− − = PM PN ( )0 0, 2P x x − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ' 2 xy = 1 1'| 2PA x x xk y == = 1 12 xy x y= − 1 0 0 12 2 xx x y− = − 0 1 1 02 2 4 0x x y x− − + = 0 2 2 02 2 4 0x x y x− − + = 0 02 2 4 0x x y x− − + = 0 02 2 4 0x x y x− − + = 2 4x y= 2 0 02 4 8 0x x x x− + − = 1 2 02M x xx x += = 2 0 0 22M xy x= − + 2 0 4N xy = 2P M P N PM y y PN y y −= =−5 （3）由弦长公式得 ，点 P 到 AB 的距离 ， 所以 ，所以，当 时， 取得最小值 4，此 时 P（2,0）. 6. 如图 1 所示，在平面直角坐标系 中，F 是 x 轴正 半轴上的一个动点，以 F 为焦点、O 为顶点作抛物线 C.设 P 是第一象限内 C 上的一点，Q 是 x 轴负半轴上一点，使得 PQ 为 C 的切线，且|PQ|=2.圆 均与直线 OP 相切于点 P，且 均与 x 轴相切.求点 F 的坐标，使圆 与 的面积之和取得最 小值. 解 设 抛 物 线 C 的 方 程 为 ， 则 焦 点 ，设点 P 的坐标为（a,b），则过点 P 的切线方程为 ，所以点 Q 的坐 标为（-a,0），因为线段 PQ 的长为 2，所以， . 设直线 OP 的倾斜角为 ，则两圆的半径的平方和为 . 记 ，则 ， 2 2 0 0 04 4 8AB x x x= + ⋅ − + 2 0 0 2 0 4 8 4 x x d x − + = + ( )3 2 2 0 0 1 1= 4 82 2PABS AB d x x∆ ⋅ = ⋅ − + 0 2x = PABS∆ xOy 1 2C C、 1C 2C ( )2 2 0y px p= > ,02 pF      ( )by p x a= + 2 2 24 4PQ a b= + = θ 2 2 2 2 1 2 tan cot2 2r r OP OP θ θ   + = +       2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 sin=2 2( )sin b a bOP a b b a b θ θ −− +⋅ = + ⋅ + ( )( )2 2 2 2 2 2 2 = a b a b b + + 2 2 2 3 12 1 24 2= b b b   + +     ( ) 3 11 24 2( ) 0 x x f x xx   + +    = > 2 3 2 3( ) 2 2 2 2 38 8 x xf x x x = + + ≥ ⋅ + = +6 当且仅当 时等号成立，此时 于是点 F 的坐标为 . 解 2 设抛物线 C 的方程为 ，则焦点 ，设点 P 的坐标为 ， 则 过 点 P 的 切 线 方 程 为 ， 所 以 点 Q 的 坐 标 为 ， 因 为 线 段 PQ 的 长 为 2 ， 所 以 ， ， 即 . ① 设直线 OP 的倾斜角为 ，则直线 OP 的斜率为 . 由二倍角公式得到 ，注意到 ，解得 . 所以两圆的半径的平方和为 . 要使得两圆面积最小，只要 最小，由①得 ，于是， 4 3 3x = 2 2 24 3 3 1, 1 ,3 3 2 4 3 3 p bb a a = = − = = − 1 ,0 3 3     −  ( )2 2 0y px p= > ,02 pF      ( )22 ,2pt pt 22 ( 2 )pty p x pt= + ( )22 ,0pt− 2 2 4 2 2=16 4 4PQ p t p t+ = 2 2 2(4 1) 1p t t + = θ 2 1tan , 2k O OPt θθ= = ∠ = 2 2tan1 2 1 tan 2 t θ θ= − 0 tan 12 θ< < 2 2tan 1 ,cot 12 2t t t t θ θ= + − = + + 2 2 2 2 1 2 tan cot2 2r r OP OP θ θ   + = +       2 2 2= tan cot2 2OP θ θ    ⋅ +          ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2=4 ( 1) 1 1p t t t t t t + + − + + +   ( )( )2 2 2 2=8 1 2 1p t t t+ + 2 2 1 2r r+ 2 2 2 1 4 1p t t = + ( )( )2 2 2 2 1 2 2 8 1 2 1 4 1 t t r r t + + + = + ( ) ( )2 2 2 2 3 3= 4 1 4 2 4 1 4 4 2 34 1 4 1t tt t + + + ≥ + ⋅ + = ++ +7 当且仅当 时等号成立. 由①得 ，于是，点 F 的坐标为 . 7.设圆 的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （1）证明 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； （2）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 解（1）圆 A 整理为 ，A 坐标 ，如图， 由 ，则 ，由 ， 所以 则 ， . 根据椭圆的定义，点 E 的轨迹为一个椭圆，方程为 ， ( ). （2）设 ，因为 ，所以可设 ，联立 与圆 得 . 则 . 圆心 到 距离 ， 所以 ， 所 以 2 3 14 1 3, 2t t −+ = = 2 1 2 4 1 3 3 p t t = = + − 1 ,0 3 3     −  2 2 2 15 0x y x+ + − = EA EB+ ( )2 21 16x y+ + = ( )1,0− BE AC∥ C EBD=∠ ∠ ,AC AD D C= =则∠ ∠ EBD D=∠ ∠ ， EB ED= 4AE EB AE ED AD+ = + = = 2 2 14 3 x y+ = 0y ≠ : 1l x my= + PQ l⊥ ( ): 1PQ y m x= − − l 1C 2 2 1 14 3 x my x y = + + = ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 36 36 3 4 12 1 | | 1 | | 1 3 4 3 4M N m m m MN m y y m m m + + + = + − = + =+ + A PQ ( ) 2 2 | 1 1 | | 2 | 1 1 m md m m − − −= = + + 2 2 2 2 2 2 4 4 3 4| | 2 | | 2 16 1 1 m mPQ AQ d m m += − = − =+ + ( )2 2 2 2 2 2 12 11 1 4 3 4 24 1| | | |2 2 3 4 1 3 4MPNQ m m mS MN PQ m m m + + += ⋅ = ⋅ ⋅ =+ + + ) 2 124 12,8 3 .13 1m = ∈ + + 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 14 12 10 8 6 4 2 2 4 x E D A B C 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 12 10 8 6 4 2 2 4 x Q P N M A B8 8. 椭圆 的左焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点，|AF| 的最大值是 M，|BF|的最小值是 m，满足 . （1）求该椭圆的离心率； （2）设线段 AB 的中点为 G，AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D，E 两点，O 是坐标原点.记△GFD 的面积为 ，△OED 的面积为 ，求 的取值范围. 解（1）设 F（-c，0）（c>0），根据椭圆性质得 ，而 ，所 以有 ，即 ， ，因此，椭圆的离心率为 . （2）由（1）可知 ，椭圆的方程为 根据条件知直线 AB 的斜率一定存在且不为零，设直线 AB 的方程为 ，并设 由 ，消去 y 并整理得 ， 所以 ， 所以 . 因为 DG⊥AB，所以 . 由 相似，所以 ，所以 ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 23= 4M m a⋅ 1S 2S 1 2 2 2 1 2 2S S S S+ =M a c m a c+ = −， 23= 4M m a⋅ 2 2 23 4a c a− = 2 24a c= 2a c= 1 2 ce a = = 2 22 , 3a c b a c c= = − = 2 2 2 2 14 3 x y c c + = ( )y k x c= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 2 2 ( ) 14 3 y k x c x y c c = + + = ( )2 2 2 2 2 24 3 8 4 12 0k x ck x k c c+ + + − = 2 1 2 1 2 1 22 2 8 6, ( 2 )4 3 4 3 ck ckx x y y k x x ck k + = − + = + + =+ + 2 2 2 4 3,4 3 4 3 ck ckG k k  − + +  22 2 2 2 3 4 3 1,4 4 3 4 3 D D ck ckk k xck kxk + ⋅ = − = − +− −+ Rt FGD Rt EOD∆ ∆与 GF GD OE OD =9 ， 令 ，则 ，从而 ，即 的取值范围是 . 9. 设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右顶点为 ，已知 ，其中 为原点， 为椭圆的离 心率. （1）求椭圆的方程； （2）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂 直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，且 ，求 直线的 斜率的取值范围. 解 （1）由于 ，则 ，解之得 ，所以椭 圆方程为： . （2）由已知，设 的斜率为 ，方程为 . 设 ， ， ，则 由方程组 得 ， 成立. 由韦达定理 ，则 ，从而有 . 直线 . 2 1 2 2 S GF GD GD S OD OE OD ⋅= =⋅ 2 22 2 2 2 2 22 2 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 ck ck ck k k k ck k    − + +   + + +  =  − +  2 9=9+ 9k > 1 2 S tS = 9t > 1 2 2 2 1 2 2 2 2 9 1 1 419 9 S S S S t t = < =+ + + 1 2 2 2 1 2 2S S S S+ 90, 41      13 2 2 2 =+ y a x 3>a F A || 3 || 1 || 1 FA e OAOF =+ O e A l B B x l l M y H HFBF ⊥ MOA MAO∠ ≤ ∠ l 1 1 3e OF OA FA + = 2 2 2 331 1 3 3 a a aa a a −⋅ + = − − − 2a = 2 2 14 3 x y+ = l k ( 0)k ≠ ( 2)y k x= − ( )B BB x y， 0 0( ( 2))M x k x −， 0 1( )x MOA MAO∠ ∠≥ ≤ (0 )HH y， 2 2 1,4 3 ( 2), x y y k x  + =  = − 2 2 2 2(3 4 ) 16 16 12 0k x k x k+ − + − = 0∆ > 2 2 16 122 3 4B kx k −⋅ = + 2 2 8 6 3 4B kx k −= + 2 12( 2) 3 4B B ky k x k −= − = + 0 0 1: ( 2) ( )HMl y k x x xk − − = − − F B(xB , yB) l k A M O H F B(xB , yB) l k A M O H10 令 ，得 ，因为 ，所以 ，即 . 所以 ，即 ，亦即 或 . 所以直线 斜率的取值范围为 0x = 0 1 2Hy k x kk  = + −   HF FB⊥ ( 1 ) ( 1 ) 0H B BFH FB y x y⋅ = − ⋅ − =  ， ， 2 02 2 8 6 12 11 1 2 03 4 3 4B H B k kx y y k x kk k k −   − + = − − + − =  + +    2 0 2 9 20 112( 1) kx k += + ≥ 28 3k ≥ 6 4k ≥ 6 4k −≤ l 6 6] [ , ).4 4k ∈ ∞ +∞（- , -