专题04 存在性问题（训练篇A）含详解-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 4 存在性问题 训练篇 A 专题 04 存在性问题 训练篇 A 1．在直角坐标系 中，直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C： 于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H. （1）求 ； （2）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由. 解 （1）由已知得， . 又 为 关于点 的对称点，则 的方程为 ，代入 整 理得 . 解得 ，因此 ． 所以 为 的中点，即 ． （2）直线 与 除 以外没有其它公共点．理由如下： 直线 的方程为 ，即 ，代入 得 ， 解得 ， 即直线 与 只有一个公共点，所以除 以外直线 与 没有其它公共点． 2.设椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线交椭圆 于 两点，若椭圆 C 的离心率为 ， 的周长为 8. （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知直线 与椭圆 C 交于 两点，是否存在实数 k 使得以 为直 径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > 1 2F F、 2F A B， 1 2 1ABF : 2l y kx= + M N、 MN xOy 2 2 ( 0)y px p= > OH ON 2 (0, ), ( , )2 tM t P tp N M P 2 ( , ),tN t ONp py xt = 2 2y px= 2 22 0px t x− = 2 1 2 20, tx x p = = 22( ,2 )tH tp N OH 2OH ON = MH C H MH 2 py t xt − = 2 ( )tx y tp = − 2 2y px= 2 24 4 0y ty t− + = 1 2 2y y t= = MH C H MH C2 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 4 存在性问题 训练篇 A 解（1）由题意知 ，所以所求椭圆的标准方程是 . （2）假设 存在这样的实数 使得以 为直径的圆恰好经过原点. 设 ，联立方程组 ， 消去 得 ， 由题意知， 是此方程的两个实数解， 所以 ，解得 或 ， 所以 . 又因为以 为直径的圆过原点，所以 ，所以 ， 而 ， ，即 ，解 得 . 故存在这样的直线使得以 为直径的圆过原点. 3. 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 在直线 x=-3 上，且 .证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 解 （1）设 则 2 2 2 1 22 4 8 3 1 c aa a b a b c c  = =   = ∴ =   + = =  2 2 14 3 x y+ = ,k MN 1 1 2 2(x , ) ( , )M y N x y、 2 2 14 3 2 x y y kx  + =  = + y 2 2(3 4 ) 16 4 0k x kx+ + + = 1 2,x x 2 2=(16 ) 16(3 4 ) 0k k∆ − + > 1 2k > 1 2k < − 1 2 1 22 2 4 16,3 4 3 4 kx x x xk k −= + =+ + MN =0OM ON⋅  1 2 1 2 0x x y y+ = ( )( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4y y kx kx k x x k x x= + + = + + + ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 +4=0x x y y k x x k x x∴ + = + + + 2 2 2 2 4 321+ ) 4 03 4 3 4 kk k k −+ + =+ +（ 2 33k = ± MN 2NP NM=  Q 1OP PQ⋅ =  ),,(),,( 00 yxMyxP ),0,( 0xN ),,( 0 yxxNP −= → ).,0( 0yNM = →3 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 4 存在性问题 训练篇 A 由 得 因为 在 上，所以 因此点 的轨迹方程为 （2）由题意知 ，设 则 由 得 . 又由（1）知 所以 即 . 又过点 存在唯一直线垂直于 ，所以过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 . 4． 已知曲线 ，过点 作直线 和曲线 交于 两点. （1）求曲线 的焦点到它的渐近线之间的距离； （2）若 ，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连结 .求直线 斜率的 取值范围； （3）过点 作另一条直线 ， 和曲线 交于 两点. 问是否存在实数 ，使得 和 同时成立.如果存在，求出满足条件的实数 的取值集合；如果 不存在，请说明理由. 解 （1）曲线 的焦点为 ，渐近线方程 ， 由对称性， 不妨计算 到直线 的距离， . （2） 设 ， ，从而 。 又因为点 在第一象限，所以 ， 从而 。 （3）当直线 ，直线 ， ， →→ = NMNP 2 .2 2, 00 yyxx == ),( 00 yxM C .122 22 =+ yx P .222 =+ yx )0,1(−F ),,(),,3( nmPtQ − ),,3( tOQ −= → ),,1( nmPF −−−= → 3 3 ,OQ PF m tn → → ⋅ = + − ( , ),OP m n= ).,3( ntmPQ −−−= → 1OP PQ → → ⋅ = 2 23 1m m tn n− − + − = 2 2 2,m n+ = .033 =−+ tnm故 0,OQ PF → → ⋅ = PFOQ ⊥ P OQ P OQ l C F :C 2 2 1x y− = ( ,0)T t l C ,A B C 0t = A AH x⊥ H BH BH T m m C ,E F t 0AB EF⋅ =  AB EF=  t C ( ) ( )1 22,0 , 2,0F F− y x= ± ( )2 2,0F y x= 2 0 1 2 d − = = : (0 1)l y kx k= < < 1 1 1 1 1( , ), ( , ), ( ,0)A x y B x y H x− − 1 12 2BH y kk x = = A 0 1k< < 10 2BHk  ∈  ， : 0l y = :m x t= ( ) ( )2 22, 0, 1 , 0, 1AB E t F t= − − − 22 1=2 2.t t− ⇒ = ±4 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 4 存在性问题 训练篇 A 当直线 ，直线 时， 。不妨设 ，与双曲 线联立可得 ， 由弦长公式， 将 替换成 ，可得 由 ，可得 ，解得 ，此时 成立． 因此满足条件的集合为 。 5． 已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3 个顶点，直线 与椭圆E有且只有一个公共点T. （1）求椭圆E的方程及点T的坐标； （2）设O是坐标原点，直线 平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交 于点P. 证明：存在常数 ，使得 ，并求 的值. 分析 第（1）题把直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用判别式及已 知条件即可求出椭圆方程和T点坐标；第（2）题把直线 与 联立可求得P点坐标，把 与E 联立，利用韦达定理求出 ，最后求出 ，说明存在. 直线 的方程可设为斜截式，也可设为参数式，因此第（2）题有两种解法. 解 （1）设短轴一端点为 ，左、右焦点分别为 ， ，则 . 由题意， 为直角三角形，则 解得 ，所以 . 把 代入E整理可得 . （*） 与椭圆 只有一个交点，则 ，解得 . 所以 . 把 代入（*），解得 ，则 ，所以 的坐标为 . :l x t= : 0m y = 2t = ± ( ): ( ) 0l y k x t k= − ≠ 2 2 2 2 2(1 ) 2 (1 ) 0k x k tx k t− + − + = 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 1| | 1 2 1 1 k t kAB k k k + − +∆= + = − − k 1 k − 2 2 2 2 1 1| | 2 1 k t kEF k + − += − | | | |AB EF= 2 2 2 2( 1) 1 1t k t k− + = − + 2 2t = 2 2 24( 1) 0k t k∆ = − + > { 2, 2}− 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > : 3l y x= − + 'l λ 2| | | | | |PT PA PBλ= ⋅ λ 'l l 'l | | | |PA PB⋅ λ 'l (0, )C b 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c ( 0)c > 2 2 2c b a+ = 1 2F F C△ 2 2 2 1 2 1 2| | | | | |F F FC F C= + 2 2b c a= = 2 2 2 2: 12 x yE b b + = : 3l y x= − + 2 23 12 18 2 0x x b− + − = l E 2 2=12 4 3(18 2 ) 0b∆ − ⋅ − = 2 =3b 2 2 : 16 3 x yE + = 2 3b = 2x = 3 1y x= − + = T ( )2 1，5 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 4 存在性问题 训练篇 A （2） 解1 由已知可设 的方程为 . 由方程组 解得 即 ，则 . 由方程组 得 . 其判别式 ，即 由韦达定理得 ，于是 ， . 由 得 ，即 故存在这样的 ，使得 成立. 解2 设 在 上，由 ， 平行 ，可设 的参数方程为 代入椭圆 得 ， 整理可得 . 设两根为 ， ，则有 . 而 ， ， 同理可得 . 'l 1 ( 0)2y x m m= + ≠ 1 ,2 3, y x m y x  = +  = − + 22 ,3 21 .3 mx my  = −  = + 2 2(2 ,1 )3 3 m mP − + 2 2 8| | 9 mPT = 2 2 1 ,2 1,6 3 y x m x y  = +  + = 2 23 4 4 12 0x mx m+ + − = 2=16 9-2 ) 0m∆ >（ 3 2 3 2 .2 2m− < < 24 4 12,3 3A B A B m mx x x x −+ = − 1 1| | | | 1 | | 1 | |4 4P A P BPA PB x x x x⋅ = + − ⋅ + − 25= [ ( ) ]4 p P A B A Bx x x x x x− + + 2 2 25 2 4 2 4 12 10= [(2 ) (2 ) ]4 3 3 3 3 9 m m m m m−− + ⋅ − + = 2| | | | | |PT PA PBλ= ⋅ 2 210 8 9 9 m mλ ⋅ = 4.5 λ = λ 2| | | | | |PT PA PBλ= ⋅ 0 0( ,3 )P x x− 'l 1 2OTk = 'l OT 'l 0 0 2 3 . x x t y x t = +  = − + ， E 2 2 0 0( 2 ) 2(3 ) 6x t x t+ + − + = 2 2 0 02 4 4 4 0t t x x+ + − + = At Bt 2 0( 2) 2A B xt t −⋅ = ( )22 2 2 2 0 0 0( 2) (3 1) 2( 2)PT x x x= − + − − = − 2 2 0 0 0 02 ) )] 5A A APA x t x x t x t= + − + − =（ +[ ( 3- ）- ( 3 5 BPB t=6 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 4 存在性问题 训练篇 A 故有 . 由题意 ，所以 . 故存在这样的 ，使得 成立. 6．已知椭圆 ，其左右顶点分别为 A，B，上下顶点分别为 C，D．圆 O 是 以线段 AB 为直径的圆． （1）求圆 的方程； （2）若点 是椭圆上关于 轴对称的两个不同的点，直线 分别交 轴于点 ，求证： 为定值； （3）若点 P 是椭圆 上不同于点 A 的点，直线 AP 与圆 的另一个交点为 Q． 是否存在点 P，使得 ？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由． 解 （1）由题意，得 A ，B ，所以圆 的方程是 。 （2）由题意，得 C ，D ，设 ， ，则直线 的方程是： ，所以 。 同理 。 因为 ，所以 。 （3）显然直线 的斜率存在，设其方程为： ，代入椭圆方程，得： 。 设 ，则 ，所以 2 0 55 || ( 2)2A BPA PB t t x⋅ = ⋅ = − 2PT PA PBλ= ⋅ 2 2 0 2 0 2( 2) 4 5 5( 2)2 PT x PA PB x λ −= = =⋅ − λ 2| | | | | |PT PA PBλ= ⋅ 2 2: 14 x yΓ + = O ,E F y ,CE DF x M N、 OM ON⋅  Γ O 1 3AP PQ=  ( 2,0)- (2,0) O 2 2 4x y+ = (0,1) (0, 1)- 0 0( , )E x y 0 0 0( , ),( 1)F x y x− ≠ CE 0 0 1 1 y x y x − =− 0 0 ( ,0)1 xM y − − 0 0 ( ,0)1 xN y + 2 20 0 14 x y+ = 2 2 0 0 22 00 41 4 x xOM ON xy  ⋅ = = = −− − AP ( 2)y k x= + 2 2 2 2 2(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k+ + + − = 1 1( , )P x y 2 1 2 16( 2) 1 4 kx k + − = − +7 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 4 存在性问题 训练篇 A 。 因为圆心 到直线 的距离 ，所以 。 假设存在点 P，使得 ，则 ， 所以 （*） 而方程（*）在实数范围内无解，故原假设错误，即不存在点 P，使得 。 7. 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的 曲线称作“果圆”，其中 ， ， ． 如图，点 ， ， 是相应椭圆的焦点， ， 和 ， 分别是“果圆”与 轴， 轴的交点． （1）若 是边长为 1 的等边三角形，求 “果圆”的方程； (2) 当 时，求 的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” 的弦．试研究：是否存在实数 ，使斜率为 的“果圆” 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出 所有可能的 值；若不存在，说明理由． 解（1）由已知 ， 故 ， 于 是 ， 所 求 “ 果 圆 ” 方 程 为 ， ． （2）由 得 ，即 ，故 （*） 2 1 2 4| | 1 | ( 2) | 1 4AP k x k = + − − = + O AP 2 | 2 | 1 kd k = + 2 2 1| | 2 4 4 1AQ d k = − = + 1 3AP PQ=  | | 4 | |AQ AP= 2 2 1 44 41 1 4k k =+ + 1 3AP PQ=  12 2 2 2 =+ b y a x ( 0)x≥ 12 2 2 2 =+ c x b y ( 0)x ≤ 222 cba += 0>a 0>> cb 0F 1F 2F 1A 2A 1B 2B x y 0 1 2F F F△ 21 AA > 21 BB a b k k k ( ) ( )2 2 2 2 0 1 2( 0) 0 0F c F b c F b c− − −， ， ， ， ， ( )2 2 2 2 2 0 2 1 21 2 1F F b c c b F F b c= − + = = = − =， 2 2 2 23 7 4 4c a b c= = + =， 2 24 1 ( 0)7 x y x+ = ≥ 2 24 1 ( 0)3y x x+ = ≤ 1 2 1 2| | | |A A B B> 2a c b+ > 2c b a> − 2 2 2a b b a− > − y 1B O1A 2B 2A . . 1F 0F 2F x.8 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 4 存在性问题 训练篇 A 又 ，故 ，即 ，从而 ，（*）式平方可解 得 ，于是 . （3）当 时，直线与椭圆的交点的中点（中点弦）在过椭圆中心的直线上，不“总 是落在某个椭圆上”. 当 时，设直线方程为 ，则 ，中点坐标 ，直线 与左 半椭圆交于 M，与右半椭圆交于 N.把 代入 得 ；同理可 得 .则 ， 整 理 得 . 所以当 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． b c> 2 2 2 22a b c b= + < 1 22 b a > 2 2b a a> > 4 5 b a < 2 4 2 5 b a < < 0k ≠ 0k = y n= b n b− ≤ ≤ ( , )x n y n= y n= 2 2 2 2 1x y b c + = 2 21M nx c b = − − 2 21N nx a b = − 2 2 2 2 1 1 1( ) ( ) 1 ( ) 12 2 2M N n yx x x a c a cb b = + = − − = − − 2 2 22 1( 0) 2 y x xb a c + = ≥ −    0=k