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用思维导图突破解析几何压轴题 专题 5 参数方程与极坐标 训练篇 A
专题 05 参数方程与极坐标 训练篇 A
1． 已知圆 的圆心为 , 直线 ( 为参数)与该圆相交于
两点, 则 的面积为 .
解 将直线化为普通方程得 , 圆的方程可化为 , 则圆
心 到该直线 的距离 .
又半弦长为 , 故
.
2 已知曲线 ，直线 .若对于点 ，存在 上的点 和
上的点 使得 ，则 的取值范围为 .
解 1 设 ， , .
则 , = ,即
则
解 2 由 得 ，表明点 关于点 对称，设 ，则
在半圆上，则 ，
解 3 设 ,由 得，点 是线段 的中点.
故 ， ，所以 .
3. 在极坐标系中， 为极点，点 ， 在曲线 上，直线 过
点 且与 垂直，垂足为 ．
（1）当 时，求 及 的极坐标方程；
（2）当 在 上运动且 在线段 上时，求 点轨迹的极坐标方程．
2: 4C x y= − − : 6l x = ( ,0)A m C P l
Q 0AP AQ+ = m
3(2cos ,2sin ), [ , ]2 2P
π πθ θ θ ∈ (6Q )n
AP AQ+ = (2cos 6 2mθ + − 2sinθ )n+ 0
2cos 6 2 0,
2sin 0.
m
n
θ
θ
+ − =
+ = cosm θ= 3 [2,3].+ ∈
0AP AQ+ = AP AQ= − ,P Q A (6, )Q n
(2 6, )P m n− − 2 2 6 0m− ≤ − ≤ [2,3].m∈
2( 4 , ), (6, )P y y Q n− − AP AQ+ 0= A PQ
26 4
2
ym
− −= 213 1 4 y= − − [ 2,2]y∈ − [2,3]m∈
O 0(M ρ 0 0)( 0)θ ρ > : 4sinC ρ θ= l
(4,0)A OM P
0 3
πθ = 0
ρ l
M C P OM P2
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分析（1）把 直接代入 即可求得 ，在直线 上任取一点 ，利用
三角形中点边角关系即可求得 的极坐标方程；
（2）设 ，在 中，根据边与角的关系得答案．
解 （ 1 ） 当 时 ， ， 在 直 线 上 任 取 一 点 ， 则 有
，故 的极坐标方程为有 ；
（2）设 ，则在 中，有 ，
在线段 上， ， ，
故 点轨迹的极坐标方程为 ， ， ．
4.在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线
的参数方程为 （ 为参数）.设 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的
最小值.
解 直线 的普通方程为 ，因为点 在曲线 上，设 ，从
而点 到直线 的距离 .
当 时， .
因此，当点 的坐标为 时，曲线 上的点 到直线 的距离的最小值为 .
5. 在极坐标系下，知圆 和直线 ．
（1）求圆 与直线 的直角坐标方程；
（2）当 时，求圆 和直线 的公共点的极坐标．
分析 （1）圆 的极坐标方程化为 ，由此能求出圆 的直角坐标方程；
直线 的极坐标方程化为 ，由此能求出直线 的直角坐标方程．
（2）圆 与直线 的直角坐标方程联立，求出圆 与直线 的在直角坐标系下的公共点，由
此能求出圆 和直线 的公共点的极坐标．
0 3
πθ = 4sinρ θ= 0
ρ l ( , )ρ θ
l
( , )P ρ θ Rt OAP∆
0 3
πθ = 0 4sin 2 33
πρ = = l ( , )ρ θ
cos( ) 23
πρ θ − = l cos( ) 23
πρ θ − =
( , )P ρ θ Rt OAP∆ 4cosρ θ=
P OM [ 4
πθ∴ ∈ ]2
π
P 4cosρ θ= [ 4
πθ ∈ ]2
π
xOy l
8
2
x t
ty
= − + =
，
， t C
22
2 2
x s
y s
= =
，
，
s P C P l
l 082 =+− yx P C )22,2( 2 ssP
P l
5
4)2(2
)2(1
|8242| 2
22
2 +−=
−+
+−= sssd
2=s 5
54
min =d
P )4,4( C P l 5
54
: cos sinO ρ θ θ= + 2: sin( ) ( 0,0 2 )4 2l
πρ θ ρ θ π− =
O l
(0, )θ π∈ O l
O 2 cos sinρ ρ θ ρ θ= + O
l sin cos 1ρ θ ρ θ− = l
O l O l
O l3
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解 （1）圆 ，即 ，
故圆 的直角坐标方程为： ，
直线 ，即 ，
则直线的直角坐标方程为： ．
（2）由（1）知圆 与直线 的直角坐标方程，
将两方程联立得 ，解得 ．
即圆 与直线 的在直角坐标系下的公共点为 ，
转化为极坐标为 ．
6. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数），坐标原
点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程为
．
（1）求曲线 和直线 的直角坐标方程；
（2）直线 与 轴的交点为 ，经过点 的动直线 与曲线 交于 、 两点，证明：
为定值．
分析 （1）由 可得曲线 的直角坐标
方程；根据互化公式可得直线 的直角坐标方程；
（2）根据参数 的几何意义可得．
解 （1）由 ，
得曲线 ．
直线 的极坐标方程展开为 ，
故 的直角坐标方程为 ．
（2）显然 的坐标为 ，不妨设过点 的直线方程为 为参数），
代入 得 ，设 ， 对应的参数为 ，
所以 为定值．
xOy C cos 3sin (
sin 3cos
x
y
α α α
α α
= +
= −
O x l
cos( ) 26
πρ θ + =
C l
l y P P m C A B
| | | |PA PB
2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3cos ) 4x y α α α α+ = + + − = C
l
t
2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3cos ) 4x y α α α α+ = + + − =
2 2: 4C x y+ =
l 3 1cos sin 22 2
ρ θ ρ θ− =
l 3 4 0x y− − =
P (0, 4)− P cos (4 sin
x t ty t
α
α
=
= − +
2 2: 4C x y+ = 2 8 sin 12 0t t α− + = A B 1t 2t
1 2| | | | | | 12PA PB t t= =
: cos sinO ρ θ θ= + 2 cos sinρ ρ θ ρ θ= +
O 2 2 0x y x y+ − − =
2: sin( )4 2l
πρ θ − = sin cos 1ρ θ ρ θ− =
1 0x y− + =
O l
2 2 0
1 0
x y x y
x y
+ − − =
− + =
0
1
x
y
=
=
O l (0,1)
(1, )2
π4
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7． 在直线坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 .
（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；
（2）直线l 的参数方程是 （t 为参数），l 与 C 交于 A、B 两点， ，求 l
的斜率.
解（1）整理圆的方程得 ，由 可知圆 的极坐标
方程为 .
（2）记直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，
由垂径定理及点到直线距离公式知： ，即 ，整理得
，则 .
8. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，以坐标原点为极
点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值及此时 的直角坐标.
解（1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 .
（2）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以
的最小值，即为 到 的距离 的最小值，
.
当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标
( )2 26 25x y+ + =
cos
sin
x t
y t
α
α
=
= 10AB =
xOy 1C 3cos ( )
sin
x
y
θ θ
θ
= =
为参数
x 2C sin 2 24
ρ θ π + =
1C 2C
P 1C Q 2C PQ P
2 2 12x y x+ + 11+ 0=
2 2 2
cos
sin
x y
x
y
ρ
ρ θ
ρ θ
= +
=
=
C
2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + =
k 0kx y− =
2
2
6 1025 21
k
k
− = − +
2
2
36 90
1 4
k
k
=+
2 5
3k = 15
3k = ±
1C
2
2 13
x y+ = 2C 4 0x y+ − =
P ( )3 cos ,sinα α 2C PQ
P 2C ( )d α
( ) | 3cos sin 4|
2
d
α αα + −= π2 |sin( ) 2|3
α= + −
( )π2 π 6k kα = + ∈Z ( )d α 2 P5
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为 .
9.在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 （t 为参数），直线 l2 的参数方
程为 .设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.
（1）写出 C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
， 为 与 的交点，求 的极径.
解 （Ⅰ）将参数方程转化为一般方程
……①
……②
① ②消 可得： ，即 的轨迹方程为 ；
（Ⅱ）将参数方程转化为一般方程 ……③
联立曲线 和 解得
由 解得
即 的极半径是 .
10.在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数），过点
且倾斜角为 的直线 与 交于 两点．
⑴求 的取值范围；
⑵求 中点 的轨迹的参数方程．
解 （1） 的直角坐标方程为 ．
当 时， 与 交于两点．
2+ ,
,
x t
y kt
=
=
2 ,
,
x m
mmy k
= − + =
（ 为参数）
( )1 : 2l y k x= −
( )2
1: 2l y xk
= +
× k 2 2 4x y− = P 2 2 4x y− =
3 : 2 0l x y+ − =
C 3l 2 2
2 0
4
x y
x y
+ − = − =
3 2
2
2
2
x
y
=
= −
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 5ρ =
M 5
3 1,2 2
x
3 : (cos sin ) 2 0l ρ θ θ+ − = M 3l C M
xOy O⊙ cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
θ ( )0 2−，
α l O⊙ A B，
α
AB P
O
2 2 1x y+ =
2
α π= l O6
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当 时 ， 记 ， 则 的 方 程 为 ． 与 交 于 两 点 当 且 仅 当
，解得 或 ，即 或 ．
综上， 的取值范围是 ．
（2） 的参数方程为 为参数， ．
设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则 ，
且 ， 满足 ．
于是 ， ．又点 的坐标 满足
所以点 的轨迹的参数方程是
为参数， ．
11．在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线 的极坐标方程为 .
（1）M 为曲线 上的动点，点 在线段 OM 上，且满足 ,求点 的轨
迹 的直角坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 ，点 在曲线 上，求 面积的最大值.
解 （1）设 的极坐标为 点 的坐标为 由题意知：
由 得 的极坐标方程
因此 的直角坐标方程为
2
α π≠ tan kα = l 2y kx= − l O
2
2| | 1
1 k
<
+ 1k < − 1k > ( , )4 2
α π π∈ ( , )2 4
α π 3π∈
α ( , )4 4
π 3π
l
cos ,
(
2 sin
x t
t
y t
α
α
= = − + 4 4
απ 3π< < )
A B P At Bt Pt 2
A B
P
t tt
+=
At Bt 2 2 2 sin 1 0t t α− + =
2 2 sinA Bt t α+ = 2 sinPt α= P ( , )x y
cos ,
2 sin .
P
P
x t
y t
α
α
= = − +
P
2 sin 2 ,2
2 2 cos22 2
x
y
α
α
=
= − −
(α
4 4
απ 3π< < )
xoy x
1C cos 4ρ θ =
1C P 16=⋅ OPOM P
2C
A (2, )3
π
B 2C OAB∆
P ),0)(,( >ρθρ M ).0)(,( 11 >ρθρ
.cos
4||,|| 1 θρρ === OMOP
16||.|| =OPOM 2C
).0(cos4 >= ρθρ 2C ).0(4)2( 22 ≠=+− xyx7
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（2）设点 极坐标为 由题设知 故 面积
.
当 时， 取得最大值
所以 面积的最大值为
B ).0)(,( >BB ραρ ,cos4,2|| αρ == BOA OAB∆
1 | | sin 4cos | sin( ) |2 3BS OA AOB
πρ α α= ∠ = −
32 | sin(2 ) | 2 33 2
πα= − − ≤ +
12
πα −= S .32 +
OAB∆ .32 +
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