专题05 参数方程与极坐标（训练篇B）含详解-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 5 参数方程与极坐标 训练篇 B 专题 05 参数方程与及坐标 训练篇 B 1.已知曲线 ，直线 .若对于点 ，存在 上的点 和 上的点 使得 ，则 的取值范围为 . 解 先要设出点 和 的坐标，然后代入向量等式，用 和 的坐标（参数）表示 m， 再求其范围. 解 1 设 ， , . 则 , = ,即 则 解 2 由 得 ，表明点 关于点 对称，设 ，则 在半圆上，则 ， 解 3 设 ,由 得，点 是线段 的中点. 故 ， ，所以 . 2.己知点 P 是椭圆 上一动点，点 Q 是圆 上一动点，则 |PQ|的最大值为________. 解 如图，当点 、 、Q 不共线时， ，因此，要求|PQ|的最大值， 就应该使 达到最大，即圆 的圆心 到椭圆上的动点 P 之间距离达到最大，将该最大值加半径就得 所求. 先求点 到椭圆 上任一点 P 的距离的最大值. 设 ，于是 2: 4C x y= − − : 6l x = ( ,0)A m C P l Q 0AP AQ+ =   m P Q P Q 3(2cos ,2sin ), [ , ]2 2P π πθ θ θ ∈ (6Q )n AP AQ+ =  (2cos 6 2mθ + − 2sinθ )n+ 0 2cos 6 2 0, 2sin 0. m n θ θ + − =  + = cosm θ= 3 [2,3].+ ∈ 0AP AQ+ =   AP AQ= −  ,P Q A (6, )Q n (2 6, )P m n− − 2 2 6 0m− ≤ − ≤ [2,3].m∈ 2( 4 , ), (6, )P y y Q n− − AP AQ+  0=  A PQ 26 4 2 ym − −= 213 1 4 y= − − [ 2,2]y∈ − [2,3]m∈ 1925 22 =+ yx 1)5( 22 =−+ yx P O′ 1PQQOOPQP =′+′ α 3sin( )3 2 πα + > 0 3 πα< < 2 2 1 2 1 2| | ( ) 4 4 4 ( ) 33EF t t t t sin πα= + − = + − 1 2 1 2| | | | | | | | | | 8| sin( ) |3PE PF t t t t πα+ = + = + = + α 2C 4sinρ θ= 2 4 sinρ ρ θ= 2 2 4x y y+ = P (2 3, )π ( 2 3− 0) 1C 2 3 cos ,( sin , x t t y t α α  = − + = α 2C 2 (4 3cos 4sin ) 12 0t tα α− + + = 2(4 3cos 4sin ) 48 0α α= + − > 3sin( )3 2 πα + > 3sin( )3 2 πα + < − α 3sin( )3 2 πα + > 0 3 πα< < 1 2 4 3cos 4sint t α α+ = + 1 2 12t t = 2 2 1 2 1 2| | ( ) 4 4 4 ( ) 33EF t t t t sin πα= + − = + − 1 2 1 2| | | | | | | | | | 8| sin( ) |3PE PF t t t t πα+ = + = + = + 28 4 ( ) 3 8| sin( ) |3 3sin π πα α+ − = + sin( ) 13 πα + = 26 k πα π= + k Z∈ 0 3 πα< < 6 πα = 1C 32 3 2 1 2 x t y t  = − +  = 3 2 3 0x y− + =4 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 5 参数方程与极坐标 训练篇 B 5.已知椭圆 （ ）的半焦距为 ，原点 到经过两点 ， 的直线的距离为 ． （1）求椭圆 的离心率； （2）如图， 是圆 的 一条直径，若椭圆 经过 ， 两点，求椭圆 的 方程． 解 （1）过点 ， 的直线方程为 原点到其距离 . 因为 ，所以 . （2）解 1 由已知得圆心 ，直径 ，由题意直线 的斜率存在， 设其方程为 ，由（1）可设椭圆 E 的方程为 . 把直线方程代入椭圆方程，并整理得 设 ，则 ， ， 那么 . 所以 . 解得 ，故所求椭圆方程为 解 2 设 ，因点 A，B 关于点（-2，1）对称，所以点 ，分别代 入椭圆方程 得 :Ε 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > c Ο ( ),0c ( )0,b 1 2 c Ε ΑΒ :Μ ( ) ( )2 2 52 1 2x y+ + − = Ε Α Β Ε ( ),0c ( )0,b 0.bx cy bc+ − = 2 2 2 bc bc cd ac b = = = + 2 22 2a b a c= = − 3 2 ce a = = ( 2,1)Μ − | | 10AB = ΑΒ ( 2) 1y k x= + + 2 2 24 4x y b+ = 2 2 2 2(1 4 ) 8 (2 1) 4(2 1) 4 0.k x k k x k b+ + + + + − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 2 8 (2 1) 41 4 k kx x k ++ = − = −+ 1 2k = 2 2 2 1 2 2 4(2 1) 4 8 21 4 k bx x bk + −⋅ = = −+ 2 1 2| | 1 | |AB k x x= + − 2 2 1 2 1 21 ( ) 4k x x x x= + ⋅ + − 2 211 ( ) 16 4(8 2 ) 102 b= + ⋅ − − = 2 3b = 2 2 1.12 3 x y+ = ( , )A x y ( 4 ,2 )B x y− − − 2 2 24 4x y b+ = F M y xO B A F M y xO B A5 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 5 参数方程与极坐标 训练篇 B ， . 两 式 相 减 得 x-2y+4=0 ， 又 点 在 圆 上 ， 联 立 解 得 或 把其中任意一组代入 均得 . 故所求椭圆方程为 解 3 设 ，则 ，把 A，B 坐标代入椭圆方程 并作差可得 ，即 ，所以直线 的方程是 . 把直线 的方程代入椭圆方程得 . = ， 解得 ，故所求椭圆方程为 在圆锥曲线中，知道弦的中点坐标，利用“点差法”就很快可以求出弦所在直线的方程. 本题中一旦求出直线的斜率，再利用弦长公式求 就非常容易. 6.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ， 且点 在椭圆 上， （1）求椭圆 的方程； （2）设椭圆 ， 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭 圆 E 于 两点，射线 交椭圆 E 于点 ， ①求 的值； 2 2 24 4x y b+ = 2 2 2( 4 ) 4(2 ) 4x y b− − + − = ( , )A x y ( ) ( )2 2 52 1 2x y+ + − = 2 2, 21 ,2 x y  = − + = + 2 2, 21 .2 x y  = − − = − 2 2 24 4x y b+ = 2 =3b 2 2 1.12 3 x y+ = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 24, 2x x y y+ = − + = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 y y y y x x x x − +⋅ = −− + 1 2ABk = ΑΒ 1 ( 2) 12y x= + + ΑΒ 2 24 8 2 0x x b+ + − = 2 2 1 2 1 2| | 1 ( ) 4AB k x x x x= + ⋅ + − 2 211 ( ) 16 4(8 2 ) 102 b+ ⋅ − − = 2 3b = 2 2 1.12 3 x y+ = 2b xOy )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC 2 3 )2 1,3( C C 144: 2 2 2 2 =+ b y a xE P C P mkxy += BA, PO Q OP OQ6 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 5 参数方程与极坐标 训练篇 B ②求 面积的最大值. 解 （1）由题意知 ，又 解得 ，所以椭圆的 方程为 . （2）由（1）知椭圆 的方程为 . ① 解 1 设 ， 由 题 意 知 ， 因 为 . 又 ，即 .所以 ，即 ． 解 2 用椭圆的参数方程.设 ，则 ，即 .那么 . 解 3 当 P 为（0，1）（或（0，-1））时，点 Q(0,-2)（或 Q(0,2)），此时 . 当 P 不在 y 轴上时，设 ，则 ， ，解 得 . 于是 . ② 解 1 由①知， 面积是 面积的 3 倍，因此，只要求 面积的最大 值. 设 ，将 代入椭圆 的方程，可得 . 由 可得 （*） ABQ∆ 2 2 3 1 14a b + = 2 322 =− a ba 1,4 22 == ba 14 2 2 =+ yx E 1416 22 =+ yx λ= OP OQyxP ),,( 00 ( )00 , yxQ λλ −− 14 2 2 0 0 =+ yx ( ) ( ) 1416 2 0 2 0 =−+− yx λλ 144 2 2 0 2 0 =      + yxλ 2=λ 2= OP OQ )θ θP( 2cos , si n Q(4cos( ),2sin( ))θ π θ π+ + Q( 4cos ), 2sin )θ θ− − 2 2 2 2| OQ | 16cos 4sin 2 4cos sin 2 | |OPθ θ θ θ= + = + = 2= OP OQ 1 1 2 2( , ) ( , )P x kx Q x kx， 2 2 21 1 14 x k x+ = 2 2 2 2 2 116 4 x k x+ = 2 2 1 22 2 4 16 1+4 1+4x xk k = =， 2 2 2 2 11 1+ | | | | 2| |1+ | | OQ k x x OP xk x = = = ABQ∆ AOB∆ AOB∆ 1 1 2 2, ), ( , )A x y B x y（ mkxy += E ( ) 0164841 222 =−+++ mkm 0>∆ 22 164 km +−−=∆ θθθ 0442 >−− θθ tgtg 2 2 2tgθ > + 2 2 2tgθ < − Qt Qttt 211 21 =+ 21 PQP 、、 l M Qttt 211 21 =+ θθ cos2sin 42 21 21 −=+= tt tttQ 1 cos 1 sin Q Q x t y t θ θ = + = − + ， ， 41 tan 2 4tan1 .tan 2 x y θ θ θ  = + −  = − + − ，10 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 5 参数方程与极坐标 训练篇 B 由②得 . 将③化为普通方程得 注 过定点作二次曲线的割线，运用直线的参数方程，通过参数来表示线段长度，回避 了距离公式，显得事半功倍. ( ) ( )1 2 1 11 2x , ,∈ − ∪ + 012 =+− yx ( ) ( )( )21,11,21 +−∈ x