十年高考+大数据预测
专题 28 抛 物 线
十年大数据*全景展示
年 份 题号 考 点 考 查 内 容
理 20 抛物线[来源:Z§xx§k.Com] 直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的 应用[来源:Z.Com][
2011
文 9 抛物线 直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的应用
理 20 圆，抛物线 圆的方程，抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系
2012
文 20 圆，抛物线 圆的方程，抛物线的定义、标准方程及其几何性质
卷 1 文 8 抛物线 抛物线的定义及几何性质
理 11
圆，抛物线 圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离
公式
2013
卷 2
文 10 抛物线 抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系
理 10 抛物线 抛物线的定义、标准方程
卷 1
文 10 抛物线 抛物线的定义、标准方程
理 10 抛物线 抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算
2014
卷 2
文 10 抛物线 抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算
2015 卷 1 理 20 抛物线 直线与抛物线的位置关系，抛物线存在问题的解法
理 10
圆，抛物线 圆的几何性质，抛物线的标准方程及其几何性质，直线与抛物线的位
置关系卷 1
文 20 抛物线 直线与抛物线的位置关系
卷 2 文 5 抛物线 抛物线的几何性质，反比例函数的性质
2016
卷 3 文理 20 抛物线 抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系，轨迹方程求法
理 10 抛物线 抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系
卷 1
文 20 抛物线 抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系
理 16 抛物线 抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系
2017
卷 2
文 12 抛物线 抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系，点到直线距离公式
理 8 抛物线 抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系
卷 1
文 20 抛物线 直线与抛物线的位置关系
卷 2 理 19 文 20 抛物线 抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法
2018
卷 3 理 16 抛物线 抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系
理 19 抛物线 抛物线的定义，直线与抛物线位置关系，
卷 1
文 21
直线与圆，直
线与抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方
程及其几何性质，抛物线的定点问题
2019
卷 2 理 8 文 9 椭圆与抛物线 抛物线与椭圆的几何性质十年高考+大数据预测
卷 3 文 21
圆、抛物线 抛物线的标准方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程，
直线与圆的位置关系，抛物线的定点问题
卷 3 理 21
圆、抛物线 抛物线的标准方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程，
直线与圆的位置关系，抛物线的定点问题
卷 1 理 4 抛物线 抛物线的定义及标准方程
理 19 椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
卷 2
文 19 椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
2020
卷 3 理文 7 抛物线 直线与抛物线的位置关系，抛物线的几何性质
大数据分析*预测高考
考点 出现频率 2021 年预测
考点 95 抛物线的定义及标准方程 37 次考 14 次
考点 96 抛物线的几何性质 37 次考 19 次
考点 97 直线与抛物线的位置关系 37 次考 22 次
命题角度：（1）抛物线的定义及应用；（2）抛物线
的标准方程与几何性质；（3）直线与抛物线的位置关
系．
核心素养：数学运算、运算推理、直观想象
十年试题分类*探求规律
考点 95 抛物线的定义及标准方程
1．（2016 全国 II 文）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= （k>0）与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，则 k=
（ ）
（A）
（B）1 （C）
（D）2
【答案】D
【解析】因为 抛物线 的焦点，所以 ，
又因为曲线 与 交于点 ， 轴，所以 ，所以 ，选 D．
2．（2012 山东文理）已知双曲线 ： 的离心率为 2．若抛物线 的
焦点到双曲线 的渐近线的距离为 2，则抛物线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】∵双曲线 ： 的离心率为 2，所以
又渐近线方程为 所以双曲线 的渐近线方程为
1C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2
2 : 2 ( 0)C x py p= >
1C 2C
2 8 3
3x y= 2 16 3
3x y= 2 8x y= 2 16x y=
1C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 3 .c b aa
= ⇒ =
0,bx ay± = 1C 3 0.x y± =
k
x
1
2
3
2
F 2 4y x= (1,0)F
( 0)ky kx
= > C P PF x⊥ 21
k = 2k =十年高考+大数据预测
而抛物 的焦点坐标为 所以有 ．
故选 D．
考点 96 抛物线的几何性质
3．【2020 全国Ⅰ理 4】已知 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的距离为 ，到
轴的距离为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路导引】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案．
【解析】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 ，故选
C．
4．（2020·北京）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过 作
于 ，则线段 的垂直平分线（ ）
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示，因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义
可知， ，所以线段 的垂直平分线经过点 ．
5．【2020 天津 7】设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直
线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ）
2
2 : 2 ( 0)C x py p= > (0, ),2
p
2 2
| |2 2 8
( 3) 1
p
p= ⇒ =
+
A ( )2: 2 0C y px p= > A C 12 y
9 p =
2 3 6 9
122A
pAF x= + = 12 9 2
p= + 6p =
O F l P O P PQ l⊥
Q FQ
O P
OP OP
FQ ,F Q P
PQ PF= FQ P
C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 4y x= (0, )b
l C l l C十年高考+大数据预测
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得
．
故选 ．
6．【2019 全国Ⅱ文】若抛物线 y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p=
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ，
解得 ，故选 D．
7．(2016 全国 I 理)以抛物线 的顶点为圆心的圆交 于 ， 两点，交 的准线于 ， 两点．已知
= ， = ，则 的焦点到准线的距离为
A．2 B．4 C．6 D．8
B【解析】由题意，不妨设抛物线方程为 ，由 ，
，可取 ， ，设 为坐标原点，
由 ，得 ，得 ，所以选 B．
8．【2016 四川文科】抛物线 的焦点坐标是( )
(A)(0，2) (B) (0，1) (C) (2，0) (D) (1，0)
【答案】D
2 2
14 4
x y− =
2
2 14
yx − =
2
2 14
x y− = 2 2 1x y− =
( )1,0 l 1yx b
+ = b−
by xa
= ± bb a
− = − 1bb a
− × = − 0, 0a b> >
1, 1a b= =
D
2 2
13
x y
p p
+ =
2 2 ( 0)y px p= > ( ,0)2
p 2 2
3
1x y
p p
+ = 23 ( )2
pp p− =
8p =
C C A B C D E | |AB
4 2 | |DE 2 5 C
2 2 ( 0)y px p= > | | 4 2AB =
| | 2 5DE = 4( ,2 2)A p ( , 5)2
pD − O
| | | |OA OD=
2
2
16 8 54
p
p
+ = + 4p =
2 4y x=十年高考+大数据预测
【解析】由题意， 的焦点坐标为 ，故选 D．
9．(2016 四川理)设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 上任意一点， 是线段
上的点，且 =2 ，则直线 的斜率的最大值为
A． B． C． D．1
C【解析】设 （不妨设 ），则 ，∵ ，∴
，∴ ∴ ，∴
，故选 C．
10．（2015 陕西文）已知抛物线 ( )的准线经过点 ，则该抛物线的焦点坐标为
A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，－1) D．(0，1)
【答案】B【解析】因为抛物线的准线方程为 ，∴ ，∴焦点坐标为 ，故选 B．
11．（2013 新课标 1 文理） 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若
，则 的面积为
A． B． C． D．
【答案】C【 解析】∵ ，由抛物线的定义可得 点的坐标 ，
∴ 的面积为 ．
12．（2015 陕西理）若抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则
= ．
【答案】 【解析】 的准线方程为 ，又 ，所以 必经过双曲线
的左焦点 ，所以 ， ．
O F 2: 4 2C y x= P C
| | 4 2PF = POF∆
2 2 2 2 3 4
POF∆
2 4y x= (1,0)
O P F 2 2 ( 0)y px p= > M PF
PM MF OM
3
3
2
3
2
2
( ) ( )22 , 2 , ,P pt pt M x y 0t > 22 , 22
pFP pt pt = −
1
3FM FP=
22 ,2 3 6
2 ,3
p p px t
pty
− = −
=
22 ,3 3
2 ,3
p px t
pty
= +
=
2
2 1 1 2
12 1 2122 2
OM
tk t t t
= = ≤ =+ +
max
2( ) 2OMk =
2 2y px= 0p > ( 1,1)−
12
px = − = − 2p = (1,0)
2OF = P ( )3 2, 2 6±
1 1 2 2 6 2 32 2POF y = × × =
2 2 ( 0)y px p= > 2 2 1x y− = p
2 2 2 2y px= 2
px = − 0p > 2
px = − 2 2 1x y− =
( 2,0)− 22
p− = − 2 2p =十年高考+大数据预测
13．（2014 湖南文理）如图，正方形 的边长分别为 ，原点 为 的
中点，抛物线 经过 ．
【答案】 【解析】由正方形的定义可知 BC= CD，结合抛物线的定义得点 D 为抛物线的焦点，所以
，D ，将点 F 的坐标代入抛物线的方程得 ，变
形得 ，
解得 或 （舍去），所以 ．
14．（2013 北京文理）若抛物线 的焦点坐标为 ，则 ，准线方程为 ．
【答案】2， 【解析】 ；准线 ．
15．（2012 陕西文理）右图是抛物线 形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米
后，水面宽 米．
【答案】 【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点 O 的坐标为（0，0），设抛物线的方程为
， 与抛物线的交点为 A、B，根据题意知 A（–2，–2），B（2， –2），则有 ，∴
，
∴抛物线的解析式为 ，水位下降 1 米，则 y=–3，此时有 或 ，∴此时水面宽为
米．
考点 97 直线与抛物线的位置关系
16．（2020 全国Ⅲ文 7 理 5）设 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 两点，
ABCD DEFG和正方形 , ( )a b a b< O AD
2 2 ( 0)y px p= > , bC F a
=两点，则
2 2y px= (1,0) p =
l
62
l ( )222 −×=− a
2
1−=a
2
2
1 xy −= 6=x 6−=x 62
1 2+
| |AD p a= = ( ,0)2
p ( , )2
pF b b+ 2 22 ( ) 22
pb p b a ab= + = +
2 2( ) 1 0b b
a a
− − =
1 2b
a
= + 1 2b
a
= − 1 2b
a
= +
1x = − 1, 22
p p= = 12
px = − = −
2 2x py= −
O 2x = ( )2: 2 0C y px p= > ,D E十年高考+大数据预测
若 ，则 的焦点坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法一：∵直线 与抛物线 交于 两点，且 ，根据抛物线的对
称性可以确定 ，∴ ，代入抛物线方程 ，求得 ，∴其焦点坐标为
，故选 B．
解 法 二 ： 将 代 入 得 ． 由 OD ⊥ OE 得 ， 即
，得 ，∴抛物线 的焦点坐标为 ，故选 B．
17．（2018 全国Ⅰ理 8）设抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 交于
两点，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【 解 析 】 根 据 题 意 ， 过 点 且 斜 率 为 的 直 线 方 程 为 ， 与 抛 物 线 方 程 联 立
，消元整理得： ，解得 ，又 ，
从而可以求得 ，故选 D．
18．（2017 新课标Ⅰ理）已知 为抛物线 ： 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线
与 交于 、 两点，直线 与 交于 、 两点，则 的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A【解析】由已知 垂直于 轴是不符合题意，所以 的斜率存在设为 ， 的斜率为 ，由题意
有 ，设 ， ， ，
此时直线 方程为 ，
OD OE⊥ C
1 , 04
1 , 02
( )1, 0 ( )2 , 0
2x = 2 2 ( 0)y px p= > ,C D OD OE⊥
4DOx COx
π∠ = ∠ = (2,2)C 4 4p= 1p =
1( ,0)2
2=x )0(22 >= ppxy py 2±= 1−=⋅ OEOD kk
12
2
2
2 −=−⋅ pp 1=p xyC 2: 2 = )0,2
1(F
xyC 4: 2 = F ( )2 , 0−
3
2 C ,M N
FM FN⋅ =
( )2 , 0− 2
3
( )2 23y x= +
( )
2
2 2 ,3
4
y x
y x
= +
=
2 6 8 0y y− + = ( ) ( )1, 2 , 4 , 4M N ( ) ( ) ( )1, 0 , 0 , 2 , 3 , 4F FM FN∴ = =
8FM FN⋅ =
F C 2 4y x= F 1l 2l 1l
C A B 2l C D E | | | |AB DE+
1l x 1l 1k 2l 2k
1 2 1k k⋅ = − 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 3 3( , )D x y 4 4( , )E x y
1l 1( 1)y k x= −十年高考+大数据预测
取方程 ，得 ，
∴
同理得
由抛物线定义可知
当且仅当 （或 ）时，取得等号．
19．（2017 全国Ⅱ文）过抛物线 的焦点 ，且斜率为 的直线交 于点 （ 在 的轴上
方）， 为 的准线，点 在 上且 ，则 到直线 的距离为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题知 ，与抛物线 联立得 ，解得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ．
所以 到直线 的距离为 ．故选 C．
20．（2015 浙江理）如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 ，
其中点 在抛物线上，点 在 轴上，则 与 的面积之比是
2
1
4
( 1)
y x
y k x
=
= −
2 2 2 2
1 1 12 4 0k x k x x k− − + =
2
1
1 2 2
1
2 4kx x k
− −+ = −
2
1
2
1
2 4k
k
+=
2
2
3 4 2
2
2 4kx x k
++ =
1 2 3 4| | | | 2AB DE x x x x p+ = + + + +
2 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 4 2 4 4 4 164 8 2 8 16k k
k k k k k k
+ += + + = + + + =≥
1 2 1k k= − = 1−
2: 4C y x= F 3 C M M x
l C N l MN l⊥ M NF
5 2 2
2 3 3 3
: 3( 1)MF y x= − 2 4y x= 23 10 3 0x x− + = 1 2
1 , 33x x= =
(3,2 3)M MN l⊥ ( 1,2 3)N − (1,0)F : 3( 1)NF y x= − −
M NF 2 2
| 3 (3 1) 2 3 | 2 3
( 3) 1
× − + =
+
2 4y x= F , ,A B C
,A B C y BCF∆ ACF∆十年高考+大数据预测
A． B． C． D．
【答案】A【解析】如图， ，故选 A．
21．（2015 四川文理）设直线 与抛物线 相交于 两点，与圆 相切于点
，且 为线段 的中点．若这样的直线 恰有 4 条，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】当直线 的斜率不存在时，这样的直线 恰好有 2 条，即 ，所以 ；所
以当直线 的斜率存在时，这样的直线 有 2 条即可．设 ， ，
，则 ．又 ，
两式相减得 ， ．
设圆心为 ，则 ，因为直线 与圆相切，
所以 ，解得 ，于是 ， ，又 ，
即 ，所以 ，又 ， 所以 ，故选 D．
22．（2014 新课标 1 文理）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线
与 的一个交点，若 ，则 =
A． B． C．3 D．2
【答案】C【解析】过点 作 交 于点 ，因为 ，所以 ，又焦点
到准线 的距离为 4，所以 ．故选 C．
23．（2014 新课标 2 文理）设 为抛物线 C： 的焦点，过 且倾斜角为 30°的直线交 于 两
点， 为坐标原点，则△ 的面积为
1
1
−
−===
∆
∆
AF
BF
x
x
AC
BC
S
S
A
B
ACF
BCF
1
1
BF
AF
−
−
2
2
1
1
BF
AF
−
−
1
1
BF
AF
+
+
2
2
1
1
BF
AF
+
+
l 2 4y x= ,A B 2 2 2( 5) ( 0)x y r r− + = >
M M AB l r
( )1 3， ( )1 4， ( )2 3， ( )2 4，
l l 5x r= ± 0 5r< <
l l 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
0 0( , )M x y 1 2 0
1 2 0
2
2
x x x
y y y
+ =
+ =
2
1 1
2
2 2
4
4
y x
y x
=
=
1 2 1 2 1 2( )( ) 4( )y y y y x x+ − = − 1 2
1 2 1 2 0
4 2
AB
y yk x x y y y
−= = =− +
(5,0)C 0
0 5CM
yk x
= − l
0
0 0
2 15
y
y x
⋅ = −− 0 3x = 2 2
0 4y r= − 2r > 2
0 04y x<
2 4 12r − < 0 4r< < 0 5r< < 2r > 2 4r< <
C 2 8y x= F l P l Q PF
C 4FP FQ= | |QF
7
2
5
2
Q QQ l′ ⊥ l Q′ 4PF FQ= | |:| | 3: 4PQ PF = F
l | | | | 3QF QQ′= =
F 2 3y x= F C ,A B
O OAB十年高考+大数据预测
A． B． C． D．
【答案】D【解析】易知抛物线中 ，焦点 ，直线 的斜率 ，故直线 的方程为
，代入抛物线方程 ，整理得 ．
设 ，则 ，由物线的定义可得弦长
，结合图象可得 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ．
24．（2014 辽宁文理）已知点 在抛物线 C： 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相
切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
25．（2013 江西文理）已知点 ，抛物线 的焦点为 ，射线 与抛物线 相交于点
，与其准线相交于点 ，则 =
A．2： B．1：2 C．1： D．1：3
【答案】C【解析】依题意可得 AF 所在直线方程为 代入 x2=4y 得 ，
又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）＝1： 5 ．
26．（2011 新课标文理）已知直线 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， 与 C 交于 ， 两点，
， 为 C 的准线上一点，则 的面积为
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】C【解析】设抛物线的方程为 ，易知 ，即 ，
∵点 在准线上，∴ 到 的距离为 ，所以 面积为 36，故选 C．
27．（2020 山东）斜率为 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则
=________．
12
x y+ = 3 5
2y
−=
3 3
4
9 3
8
63
32
9
4
3
2p = 3( ,0)4F AB 3
3k = AB
3 3( )3 4y x= − 2 3y x= 2 21 9 02 16x x− + =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2
21
2x x+ =
1 2| | 12AB x x p= + + = O AB 3sin302 8
pd = =
OAB∆ 1 9| |2 4S AB d= ⋅ =
( 2,3)A − 2 2y px=
1
2
2
3
3
4
4
3
( )2,0A 2: 4C x y= F FA C
M N | |:| |FM MN
5 5
l l A B
| | 12AB = P ABP∆
2 2y px= | | 2 12AB p= = 6p =
P P AB 6p = ABP∆
3 AB十年高考+大数据预测
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点 F 坐标为 ，
又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 ，∴直线 AB 的方程为： ，
代入抛物线方程消去 y 并化简得 ，
解法一：解得 ，所以 ．
解法二： ，设 ，则 ，
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示．
．
28．【2020 山东 13】斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与 交于 ， 两点，则
__________．
【答案】
【解析】由题抛物线 ，可知其焦点为 ，准线为 ，如图所示．作 ，
，直线 准线交于点 ，由 ，∴倾斜角 ，∴ ，
由抛物线定义知： ， ，
又∵ ，∴ 为 中点，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
16
3
2 4y x= (1,0)F
3 3( 1)y x= −
23 10 3 0x x− + =
1 2
1 , 33x x= = 2
1 2
1 16| | 1 | | 1 3 | 3 |3 3AB k x x= + − = + ⋅ − =
100 36 64 0∆ = − = > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2
10
3x x+ =
,A B 1x = − ,C D
1 2| | | | | | | | | | 1 1AB AF BF AC BD x x= + = + = + + + 1 2
16+2= 3x x= +
3 2: 4C y x= C A B AB =
16
3
2: 4C y x= (1, 0)F : 1l x = − AA l′ ⊥
BB l′ ⊥ AB H 3ABk = 60θ = 30A HA′∠ =
| | | |AA AF′ = | | | |BB BF′ =
| | 2 | |AH AA′= F AH | | 2MF = | | | | 4HF AF= =
1| | | | | |2BB BF HB′ = = 3 | | 4BF = 4| | 3BF = 4 16| | | | | | 4 3 3AB AF BF= + = + =十年高考+大数据预测
29．【2019 北京文】设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l．则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为
__________．
【答案】
【解析】抛物线 y2=4x 中，2p=4，p=2，焦点 F（1，0），准线 l 的方程为 x=−1，
以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为(x−1)2+y2=22，即为 ．
30．【2018 全国 3 理 16】已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ，
两点．若 ，则 ________．
【答案】2
【解析】设 ，则 ， ．
取 中点 ，分别过点 作准线 的垂线，垂足分别为 ．
， ．
为中点 ， 平行于 轴．
，故答案为 2．
31．【2018 北京文】已知直线 l 过点（1，0）且垂直于푥轴，若 l 被抛物线 截得的线段长为 4，则
抛物线的焦点坐标为_________．
【答案】
【解析】由题意可得，点 在抛物线上，将 代入 中，解得 ， ，由抛
物线方程可得： ， 焦点坐标为 ．
2 2( 1) 4x y− + =
2 2( 1) 4x y− + =
( )1 1M − , 2 4C y x=： C k C A
B 90AMB = °∠ k =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
2
1 1
2
2 2
4
4
,
,
y x
y x
=
=
2 2
1 2 1 24 4y y x x− = −∴ 1 2
1 2 1 2
4y yk x x y y
−= =− +∴
AB 0 0( , )M x y′ A , B 1x = − ,A B′ ′
90AMB∠ = ° ( ) ( )1 1 1
2 2 2MM AB AF BF AA BB′ ′ ′∴ = = + = +
M ′ AB MM∴ ′ x
( ) 0 1 21 1, 2 , 2,1 , y y yM k= ∴ + =− ∴∴ =
2 4y ax=
( )1,0
( )1,2P ( )1,2P 2 4y ax= 1a = 2 4y x∴ =
2 4, 2, 12
pp p= = = ∴ ( )1,0十年高考+大数据预测
32．（2017 新课标Ⅱ理）已知 是抛物线 ： 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点
．若 为 的中点，则 ．
【答案】6【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与 轴交于点 ，作
与点 ， 与点 ，由抛物线的解析式可得准线方程为 ，则 ，在直角梯形
中，中位线 ，由抛物线的定义有： ，结合题意，有
，
故 ．
33．【2019 全国Ⅰ理】已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的
交点为 P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程；
（2）若 ，求|AB|．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】设直线 ．
（1）由题设得 ，故 ，由题设可得 ．
OF'
B
A
F
N
M
y
x
3
2
3AP PB=
F C 2 8y x= M C FM y
N M FN | |FN =
x F' MB l⊥
B NA l⊥ A 2x = − 2, 4AN FF'= =
ANFF' ' 32
AN FFBM
+= = 3MF MB= =
3MN MF= =
3 3 6FN FM NM= + = + =
3 7
2 8y x= − 4 13
3
( ) ( )1 1 2 2
3: , , , ,2l y x t A x y B x y= +
3 ,04F
1 2
3| | | | 2AF BF x x+ = + + 1 2
5
2x x+ =十年高考+大数据预测
由 ，可得 ，则 ．
从而 ，得 ．所以 的方程为 ．
（2）由 可得 ．
由 ，可得 ．所以 ．从而 ，故 ．
代入 的方程得 ，故 ．
34．【2018 全国 I 文 20】（本小题满分 12 分）
设抛物线 ，点 ，过点 的直线 与 交于 两点．
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）证明： ．
【解析】【基本解法 1】（1）当 轴时，直线 带入抛物线方程得：
解得点 或 ， 或 ，
所以直线 得方程为： 或 ．
（2）当斜 率不存在时， 关于 轴对称， ．
当斜率存在时，可设直线方程为 ， ．
设点 则： ，
， ， ．
35．（2018 全国 II 文 20 理 19）（本小题满分 12 分）
设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点． ．
（1）求 的方程；
（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．
2
3
2
3
y x t
y x
= +
=
2 29 12( 1) 4 0x t x t+ − + = 1 2
12( 1)
9
tx x
−+ = −
12( 1) 5
9 2
t −− = 7
8t = − l 3 7
2 8y x= −
3AP PB=
1 23y y= −
2
3
2
3
y x t
y x
= +
=
2 2 2 0y y t− + = 1 2 2y y+ = 2 23 2y y− + = 2 11, 3y y= − =
C 1 2
13, 3x x= = 4 13| | 3AB =
2: 2C y x= ( ) ( )2 , 0 , 2 , 0A B − A l C ,M N
l x BM
ABM ABN∠ = ∠
xl ⊥ 2: =xl
2±=y M ( )2 , 2 M ( )2 , 2−
2
1
22
02 =+
−=∴ BMk 2
1
22
02 −=+
−−=BMk
BM ( )1 12 12 2y x x= − = − ( )1 12 12 2y x x= − − = − +
M N, x ABM ABN∴∠ = ∠
)2(: −= xkyl
( ) 2 2 2 2
2
2 , (4 2) 4 0
2 ,
y k x k x k x k
y x
= − ∴ − + + = =
),(),,( 2211 yxNyxM 4,24
212
2
21 =+=+
kxx
0)2)(2(
82
22 21
21
2
2
1
1 =++
−=+++=+
xx
x
y
x
ykk NBMB NBMB kk −=∴ ABNABM ∠=∠∴
2: 4C y x= F F ( )0k k > l C A B 8AB =
l
A B C十年高考+大数据预测
【解析】（1）由题意得 ， 的方程为 ．
设 ，由 得 ．
，故 ． ．
由题设知 ，解得 （舍去）， ．因此 的方程为 ．
（2）由（1）得 的中点坐标为 ， 的垂直平分线方程为 ，即 ．
设所求圆的圆心坐标为 ，则 解得 或
因此所求圆的方程为 或 ．
36．（2017 新课标Ⅰ文）设 ， 为曲线 ： 上两点， 与 的横坐标之和为 4．
(1)求直线 的斜率；
(2)设 为曲线 上一点， 在 处的切线与直线 平行，且 ，求直线 的方程．
【解析】（1）设 ， ，则 ， ， ，x1+x2=4，
于是直线 的斜率 ．
（2）由 ，得 ．
设 ，由题设知 ，解得 ，于是 ．
设直线 的方程为 ，故线段 的中点为 ， ．
将 代入 得 ．
当 ，即 时， ，从而 ．
由题设知 ，即 ，解得 ，所以直线 AB 的方程为 ．
37．（2017 新课标Ⅲ理）已知抛物线 ： ，过点 的直线 交 与 ， 两点，圆 是以线段
为直径的圆．
(1,0)F l ( 1)( 0)y k x k= − >
1 2 21( , ), ( , )A y x yx B
( )
2
1 ,
4 ,
y k x
y x
= − =
2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + =
216 16 0k∆ = + > 1 2
2
2
2 4
kx kx
++ = ( ) ( )1 22
24 41 1 kAB AF xF xB k
+∴ = + = + + + =
2
2
4 4 8k
k
+ = 1k = − 1k = l 1y x= −
AB (3,2) AB∴ 2 ( 3)y x− = − − 5y x= − +
0 0( , )x y
0 0
2
2 0 0
0
5,
( 1)( 1) 16.2
y x
y xx
= − + − ++ = +
0
0
3,
2
x
y
=
=
0
0
11,
6.
x
y
=
= −
( ) ( )2 23 2 16x y− + − = ( ) ( )2 211 6 144x y− + + =
A B C
2
4
xy = A B
AB
M C C M AB AM BM⊥ AB
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2x x≠
2
1
1 4
xy =
2
2
2 4
xy =
AB 1 2 1 2
1 2
14
y y x xk x x
− += = =−
2
4
xy =
2
xy' =
3 3( , )M x y 3 12
x = 3 2x = (2,1)M
AB y x m= + AB (2,2 )N m+ | | | 1|MN m= +
y x m= +
2
4
xy = 2 4 4 0x x m− − =
16( 1) 0m∆ = + > 1m > − 1,2 2 2 1x m= ± + 1 2| |= 2 | | 4 2( 1)AB x x m− = +
| | 2 | |AB MN= 4 2( 1) 2( 1)m m+ = + 7m = 7y x= +
C 2 2y x= (2,0) l C A B M
AB十年高考+大数据预测
(1)证明：坐标原点 在圆 上；
(2)设圆 过点 ，求直线 与圆 的方程．
【解析】（1）设 ， ， ：
由 可得 ，则
又 ， ，故 =4
因此 的斜率与 的斜率之积为 ，所以 ．
故坐标原点 在圆 上．
（2）由（1）可得 ，
故圆心 的坐标为 ，圆 的半径
由于圆 过点 ，因此 ，
故
即
由（1）可得 ， ．
所以 ，解得 或 ．
当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为
当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的
方程为 ．
38．（2017 北京理）已知抛物线 ： 过点 ．过点 作直线 与抛物线 交于不同的两
点 ， ，过点 作 轴的垂线分别与直线 ， 交于点 ， ，其中 为原点．
（Ⅰ）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
O M
M (4, 2)P − l M
( )A x ,y1 1
( )B x ,y2 2 l 2x ym= +
2
2
2
x my
y x
= +
=
y my− − =2 2 4 0 y y = −1 2 4
yx
2
1
1= 2
yx
2
2
2= 2
( )y yx x
2
1 2
1 2= 4
OA OB y y
x x
⋅1 2
1 2
- 4= =-14 OA OB⊥
O M
y y m1 2+ =2 ( )x x m y y m +2
1 2 1 2+ = + +4=2 4
M ( )m m2+2， M ( )r m m= + +22 22
M (4, 2)P − 0AP BP =
( )( ) ( )( )1 2 1 24 4 + + 2 + 2 = 0x x y y− −
( ) ( )x x x x y y y y− + + + + =1 2 1 2 1 2 1 24 + 2 20 0
y y1 2=- 4 x x1 2=4
2m m− − =2 1 0 m =1 m = − 1
2
1m = l 2 0x y− − = M (3,1) M 10 M
( ) ( )x y− + − =2 23 1 10
1
2m = − l 2 4 0x y+ − = M 9 1( , )4 2
− M 85
4 M
2 29 1 85( ) ( )4 2 16x y− + + =
C 2 2y px= (1,1)P 1(0, )2 l C
M N M x OP ON A B O
C十年高考+大数据预测
（Ⅱ）求证： 为线段 的中点．
【解析】（Ⅰ）由抛物线 C： 过点 ，得 ．所以抛物线 的方程为 ．
抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ．
（Ⅱ）当直线 的斜率不存在或斜率为 0 时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线 的
斜率存在且不为 0．
设 为点 ，过 的直线 方程为 （ ），设 ， ，显然， ， 均
不为 0．
由 ，得 ．考虑 ，由题意 ，所以 ．
则 ，①
． ②
由题意可得 ， 横坐标相等且同为 ，
因为点 P 的坐标为 ，所以直线 OP 的方程为 ，点 A 的坐标为 ．
直线 ON 的方程为 ，点 B 的坐标为 ．
若要证明 为 的中点，只需证 ，即证 ，
即证 ，
将 代入上式，
即证 ，
即证 ③
将①②代入③得 ，化简有 恒成立，
所以 恒成立．
故 A 为线段 BM 的中点．
A BM
2 2y px= (1,1)P 1
2p = C 2y x=
C 1( ,0)4
1
4x = −
MN MN
1(0, )2 Q Q MN 1
2y kx= + 0k ≠ 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 1x 2x
2
1
2y kx
y x
= +
=
2 24 (4 4) 1 0k x k x+ − + = 2 21( 1) 4 1 24k k k∆ = − − × × = − 0∆ > 1
2k <
1 2 2
1 kx x k
−+ =
1 2 2
1
4x x k
=
A B 1x
(1,1) y x= 1 1( , )x x
2
2
yy xx
= 2 1
1
2
( , )y xx x
A BM 2 A B My y y= + 1 2
1 1
2
2x y y xx
+ =
1 2 2 1 1 22x y x y x x+ =
1 1
2 2
1
2
1
2
y kx
y kx
= +
= +
2 1 1 2 1 2
1 1( ) ( ) 22 2kx x kx x x x+ + + =
1 2 1 2
1(2 2) ( ) 02k x x x x− + + =
2 2
1 1(2 2) 04 2
kk k k
−− + = 2 2
1 1 02 2
k k
k k
− −+ =
2 A B My y y= +十年高考+大数据预测
39．（2015 浙江文）如图，已知抛物线 ： ，圆 ： ，过点 作不过
原点 的直线 ， 分别与抛物线 和圆 相切， 为切点．
（Ⅰ）求点 的坐标；
（Ⅱ）求 的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共
点为切点．
【解析】（Ⅰ）由题意可知，直线 的斜率存在，故可设直线 的方程为 ．
所以 消去 ．整理得： ．
因为直线 与抛物线相切，所以 ，解得 ．
所以 ，即点 ．设圆 的圆心为 ，
点 的坐标为 ，由题意知，点 关于直线 对称，
故有 ，解得 ．即点 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
直线 的方程为 ，
所以点 到直线 的距离为 ．
所以 的面积为 ．
2
0 02 2
2 2,1 1
t tx yt t
= =+ +
2
2 2
2 2( , )1 1
t tB t t+ +
21AP t t= +
2 0tx y t− − =
2
21
td
t
=
+
PAB∆
31
2 2
tS AP d= ⋅ =
1C 21
4y x= 2C 2 2( 1) 1x y+ − = ( ,0) ( >0)P t t
O PA PB 1C 2C ,A B
,A B
PAB∆
PA PA ( )y k x t= −
( )
21
4
y k x t
y x
= − =
y 2 4 4 0x kx kt− + =
PA 2Δ 16 16 0k kt= − = k t=
2x t= 2(2 , )A t t 2C (0,1)D
B 0 0( , )x y ,B O PD
0 0
0 0
12 2
0
y x
t
x t y
= − +
− =
AP
B PA十年高考+大数据预测
40．（2015 福建文）已知点 为抛物线 （ ）的焦点，点 在抛物线 上，且
．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）已知点 ，延长 交抛物线 于点 ，证明：以点 为圆心且与直线 相切的圆，必与
直线 相切．
【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得 ．
因为 ，即 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 ．
（Ⅱ）因为点 在抛物线 上，
所以 ，由抛物线的对称性，不妨设 ．
由 ， 可得直线 的方程为 ．
由 ，得 ，
解得 或 ，从而 ．
2 32
p+ = 2p =
2 4y x=
( )2,mΑ :Ε 2 4y x=
2 2m = ± ( )2,2 2Α
( )2,2 2Α ( )F 1,0 FΑ ( )2 2 1y x= −
( )
2
2 2 1
4
y x
y x
= −
=
22 5 2 0x x− + =
x
y
A
G
B
FO
2x = 1
2x = 1 , 22
Β −
F :Ε 2 2y px= 0p > ( )2,mΑ Ε
3ΑF =
Ε
( )1,0G − ΑF Ε Β F GΑ
GΒ
| | 2 2
pAF = +
| | 3AF =
Ε十年高考+大数据预测
又 ，
所以 ， ，
所以 ，从而 ，这表明点 到直线 的距离相等，故以 为圆心且与
直线 相切的圆必与直线 相切．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设以点 为圆心且与直线 相切的圆的半径为 ．
因为点 在抛物线 ： 上，
所以 ，由抛物线的对称性，不妨设 ．
由 ， 可得直线 的方程为 ．
由 ，得 ，
解得 或 ，从而 ．
又 ，故直线 的方程为 ，
从而 ．
又直线 的方程为 ，所以点 到直线 的距离 ．
这表明以点 为圆心且与直线 相切的圆必与直线 相切．
41．（2014 陕西文理）如图，曲线 由上半椭圆 和部分抛物线
( )G 1,0−
( )G
2 2 0 2 2
2 1 3k Α
−= =− − ( )G
2 0 2 2
1 312
k Β
− −= = −
− −
G G 0k kΑ Β+ =
r
2 4y x=
x
y
A
G
B
FO
2 2m = ± ( )2,2 2Α
( )2,2 2Α ( )F 1,0 FΑ ( )2 2 1y x= −
( )
2
2 2 1
4
y x
y x
= −
=
22 5 2 0x x− + =
2x = 1
2x =
GΑ 2 2 3 2 2 0x y− + =
2 2 2 2 4 2
8 9 17
r
+
= =
+
2 2 3 2 2 0x y+ + = 2 2 2 2 4 2
8 9 17
d r
+
= = =
+
AGF BGF∠ = ∠ F ,GA GB F
GA GB
F GA
(2, )A m E
1( , 2)2B −
( 1,0)G −
GB F GB
F GA GB
C
2 2
1 2 2: 1( 0, 0)y xC a b ya b
+ = > > ≥十年高考+大数据预测
连接而成， 的公共点为 ，其中 的离心率为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）过点 的直线 与 分别交于 （均异于点 ），若 ，求直线 的方程．
【解析】（Ⅰ）在 ， 方程中，令 ，可得 b=1，且得 是上半椭圆 的左右顶点，
设 的半焦距为 ，由 及 ，解得 ，所以 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆 的方程为 ，
易知，直线 与 轴不重合也不垂直，设其方程为
代入 的方程中，整理得： （*）
设点 的坐标 ，由韦达定理得
又 ，得 ，从而求得
所以点 的坐标为 ．
同理由 得点 的坐标为 ， ，
，
2
2 : 1( 0)C y x y= − + ≤ 1 2,C C ,A B 1C 3
2
,a b
B l 1 2,C C ,P Q ,A B AP AQ⊥ l
1C 2C 0y = ( 1,0), (1,0)A B− 1C
1C c 3
2
c
a
= 2 2 2 1a c b− = = 2a = 2a = 1b =
1C
2
2 1( 0)4
y x y+ = ≥
l x ( 1)( 0)y k x k= − ≠
1C 2 2 2 2( 4) 2 4 0k x k x k+ − + − =
P ( , )P Px y
2
2
2
4P B
kx x k
+ = +
(1,0)B
2
2
4
4P
kx k
−= + 2
8
4P
ky k
−= +
P
2
2 2
4 8( , )4 4
k k
k k
− −
+ +
2
( 1)( 0)
1( 0)
y k x k
y x y
= − ≠
= − + ≤ Q 2( 1, 2 )k k k− − − −
2
2 ( ,4)4
kAP kk
∴ = +
(1, 2)AQ k k= − +十年高考+大数据预测
， ，即 ，
， ，解得 ，经检验， 符合题意，故直线 的方程为
．
42．（2012 新课标文理）设抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，已知以
为圆心， 为半径的圆 交 于 、 点．
（Ⅰ）若 ， 的面积为 ，求 的值及圆 的方程；
（Ⅱ）若 、 、 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到
、 距离的比值．
【解析】（Ⅰ）由对称性知： 是等腰直角 ，斜边 ，
点 到准线 的距离 ， ，
圆 的方程为 ．
（Ⅱ）由对称性设 ，则 ，
点 关于点 对称得： ，
得： ，直线 ，
切点 ，
直线 ，
坐标原点到 距离的比值为 ．
AP AQ⊥ 0AP AQ∴ ⋅ = 2
2
2 [ 4( 2)] 04
k k kk
− − + =+
0k ≠ 4( 2) 0k k∴ − + = 8
3k = − 8
3k = − l
8 ( 1)3y x= − −
C )0(22 >= ppyx F l A C F
FA F l B D
oBFD 90=∠ ABD∆ 24 p F
A B F m n m n C
m n
BFD∆ ∆ 2BD p=
A l 2d FA FB p= = = 14 2 4 2 22ABDS BD d p∆ = ⇔ × × = ⇔ =
F 2 2( 1) 8x y+ − =
2
0
0 0( , )( 0)2
xA x xp
> (0, )2
pF
,A B F
2 2
2 20 0
0 0( , ) 32 2 2
x x pB x p p x pp p
− − ⇒ − = − ⇔ =
3( 3 , )2
pA p
3
32 2: 3 02 23
p p
p pm y x x y
p
−
= + ⇔ − + =
2
2 3 32 2 3 3
x xx py y y x pp p
′= ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ 3( , )3 6
p pP
3 3 3: ( ) 3 06 3 3 6
p pn y x x y p− = − ⇔ − − =
,m n 3 3: 32 6
p p =
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