十年高考+大数据预测
专题 29 圆锥曲线的综合问题
十年大数据*全景展示
年 份 题号 考 点 考 查 内 容
文 5[来源:学&科&网
Z&X&X&K]
椭圆、抛物线 椭圆标准方程及其几何性质，抛物线标准方程及其几何性质[来源:Z.Com]
卷 1[来
源:Z|xx|k.Com] 理 20 抛物线 直线与抛物线的位置关系，抛物线存在问题的解法
理 20 直线与椭圆 直线和椭圆的位置关系，椭圆的存在型问题的解法
2015[来
源:学。科。网]
卷 2
文 20 直线与椭圆 椭圆方程求法，直线和椭圆的位置关系，椭圆的定值问题的解法
卷 1 文 5 直线与椭圆 椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系
2016
卷 2 理 20 直线与椭圆 椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
卷 1 理 20 直线与椭圆 椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题
2017
卷 2 文理 20 直线与椭圆 轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题
理 12 直线与椭圆 椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
卷 2
文 11 椭圆 椭圆的定义、标准方程及其几何性质，椭圆离心率的计算
文理 20 直线与椭圆 直线与椭圆的位置关系
2018
卷 3
文理 20 直线与椭圆 直线与椭圆的位置关系
卷 2
理 8 文
9
椭圆与抛物线 抛物线与椭圆的几何性质
理 21
直线与圆，直线
与抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方
程及其几何性质，抛物线的定点问题2019
卷 3
文 21
直线与圆，直线
与抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方
程及其几何性质，抛物线的定点问题
卷 1
理 20
文 21
椭圆 椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆定点问题
理 19 椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
卷 2
文 19 椭圆、抛物线 椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
2020
卷 3 文 6 圆锥曲线 圆锥曲线的轨迹问题
大数据分析*预测高考
考点 出现频率 2021 年预测
考点 98 曲线与方程 37 次考 1 次
考点 99 定点与定值问题 37 次考 6 次
命题角度：（1）定点、定值问题；（2）最值、范围问题；
（3）证明、探究性问题．十年高考+大数据预测
考点 100 最值与范围问题 37 次考 5 次
考点 101 探索型与存在性问题 37 次考 3 次
核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象
十年试题分类*探求规律
考点 98 曲线与方程
1．（2020 山东）已知曲线 ．（ ）
A．若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上
B．若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为
C．若 mn0，则 C 是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于 A，若 ，则 可化为 ，
∵ ，∴ ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确；
对于 B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故 B 不正确；[来源：Z+xx+k．Com]
对于 C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故 C 正确；
对于 D，若 ，则 可化为 ，
2 2: 1C mx ny+ =
n
my xn
= ± −
0m n> > 2 2 1mx ny+ =
2 2
11 1
x y
m n
+ =
0m n> > 1 1
m n
<
C y
0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1x y n
+ =
C n
n
0mn < 2 2 1mx ny+ =
2 2
11 1
x y
m n
+ =
C
2 2 0mx ny+ = my xn
= ± −
0, 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 1y n
=十年高考+大数据预测
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确．
2．（2020 天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为
．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为 ，∴直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，∴ ， ，∵ ，解得 ，故
选 D．
3．【2019 北京理】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： 就是其中之一
（如图）．给出下列三个结论：
①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3．
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【解析】由 得， ， ，
∴ 可取的整数有 0，−1，1，从而曲线 恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)，
(−1，0)，(−1，1)，共 6 个整点，结论①正确．
ny n
= ± C x
C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 4y x= (0, )b
l C l l C
2 2
14 4
x y− =
2
2 14
yx − =
2
2 14
x y− = 2 2 1x y− =
( )1,0 l 1yx b
+ = b−
by xa
= ± bb a
− = − 1bb a
− × = − 0, 0a b> > 1, 1a b= =
2 2 1 | |x y x y+ = +
2
2 2 1x y x y+ = + 2 21y x y x− = −
2 2 2
2| | 3 3 41 ,1 0,2 4 4 3
x x xy x − = − −
x 2 2: 1C x y x y+ = +十年高考+大数据预测
由 得， ，解得 ，∴曲线 上任意一点到原点的距离都不
超过 ．结论②正确．
如图所示，易知 ，
四边形 的面积 ，很明显“心形”区域的面积大于 ，即“心形”
区域的面积大于 3，说法③错误．
故选 C．
4．（2020 全国Ⅱ文 19）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合， 的中心
与 的顶点重合．过 且与 轴垂直的直线交 于 两点，交 于 两点，且 ．
（1）求 的离心率；
（2）若 的四个顶点到 的准线距离之和为 12，求 与 的标准方程．
【解析】（1）解：∵椭圆 的右焦点坐标为： ，∴抛物线 的方程为 ，其中
．不妨设 在第一象限，∵椭圆 的方程为： ，∴当 时，有
，因此 的纵坐标分别为 ， ．
又∵抛物线 的方程为 ，∴当 时，有 ，∴ 的纵坐标分别为 ，
，故 ， ．由 得 ，即 ，解得 （舍
2 2 1x y x y+ = + 2 2
2 2 1 2
x yx y
++ +
2 2 2x y+ ≤ C
2
( ) ( ) ( ) ( )0, 1 , 1,0 , 1,1, , 0,1A B C D−
ABCD 1 31 1 1 12 2ABCDS = × × + × =四边形 2 ABCDS四边形
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > F 2C 1C
2C F x 1C ,A B 2C ,C D 4
3CD AB=
1C
1C 2C 1C 2C
1C (c,0)F 2C 2 4y cx=
2 2c a b= − ,A C 1C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = x c=
2 2 2
2 2 1c y bya b a
+ = ⇒ = ± ,A B
2b
a
2b
a
−
2C 2 4y cx= x c= 2 4 2y c c y c= ⋅ ⇒ = ± ,C D 2c
2c−
22| | bAB a
= | | 4CD c= 4| | | |3CD AB= 284 3
bc a
= 23 2 2( )c c
a a
⋅ = − 2c
a
= −十年高考+大数据预测
去）， ，∴ 的离心率为 ．
（2）由（1）知 ， ，故 ，∴ 的四个顶点坐标分别为 ， ，
， ， 的准线为 ．
由已知得 ，即 ，∴ 的标准方程为 ， 的标准方程为 ．
5．（2020 全国Ⅱ理 19）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合， 的中心
与 的顶点重合．过 且与 轴垂直的直线交 于 两点，交 于 两点，且 ．
（1）求 的离心率；
（2）设 是 与 的公共点，若 ，求 与 的标准方程．
【解析】（1） ， 轴且与椭圆 相交于 、 两点，则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
抛物线 的方程为 ，联立 ，
解得 ， ，
，即 ， ，
1
2
c
a
= 1C 1
2
2a c= 3b c=
2 2
1 2 2: 14 3
x yC c c
+ = 1C (2 ,0)c ( 2 ,0)c−
(0, 3 )c (0, 3 )c− 2C x c= −
3 12c c c c+ + + = 2c = 1C
2 2
116 12
x y+ = 2C 2 8y x=
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > F 2C 1C
2C F x 1C ,A B 2C ,C D 4
3CD AB=
1C
M 1C 2C 5=MF 1C 2C
( ),0F c AB x⊥ 1C A B AB x c=
2 2
2 2
2 2 2
1
x c
x y
a b
a b c
=
+ =
= +
2
x c
by a
= = ±
22bAB a
=
2C 2 4y cx= 2 4
x c
y cx
=
=
2
x c
y c
=
= ± 4CD c∴ =
4
3CD AB=
284 3
bc a
= 22 3b ac=十年高考+大数据预测
即 ，即 ，
，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ；
（2）由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，解得 或 （舍去），
由抛物线的定义可得 ，解得 ．
因此曲线 的标准方程为 ，曲线 的标准方程为 ．
6．（2018 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 过点 ，焦点
，圆 的直径为 ．
(1)求椭圆 及圆 的方程；
(2)设直线 与圆 相切于第一象限内的点 ．
①若直线 与椭圆 有且只有一个公共点，求点 的坐标；
②直线 与椭圆 交于 两点．若 的面积为 ，求直线 的方程．
【解析】(1)因为椭圆 的焦点为 ，
可设椭圆 的方程为 ．又点 在椭圆 上，
所以 ，解得
因此，椭圆 的方程为 ．
2 22 3 2 0c ac a+ − = 22 3 2 0e e+ − =
0 1e< > 1( 3, )2 C
2 2
2 2
3 1 1,4
3,
a b
a b
+ =
− =
2
2
4,
1,
a
b
= =
C
2
2 14
x y+ =十年高考+大数据预测
因为圆 的直径为 ，所以其方程为 ．
(2)①设直线 与圆 相切于 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
由 消去 ，得
．（*）
因为直线 与椭圆 有且只有一个公共点，
所以 ．
因为 ，所以 ．
因此，点 的坐标为 ．
②因为三角形 的面积为 ，所以 ，从而 ．
设 ，
由（*）得 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，即 ，
解得 舍去），则 ，因此 的坐标为 ．
综上，直线 的方程为 ．
O 1 2F F 2 2 3x y+ =
l O 0 0 0 0( ), ,( 0 0)P x y x y> > 2 2
0 0 3x y+ =
l 0
0 0
0
( )xy x x yy
= − − + 0
0 0
3xy xy y
= − +
2
2
0
0 0
1,4
3 ,
x y
xy xy y
+ =
= − +
y
2 2 2 2
0 0 0 04 24 36 4 0( )x y x x x y+ − + − =
l C
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0( ) ( )(24 )4 4 36 4 (48 )2 0x x y y y x= − − + − = − =∆
0 0, 0x y > 0 02, 1x y= =
P ( 2,1)
OAB 2 6
7
21
2
6
7AB OP⋅ = 4 2
7AB =
1 1 2 2, ,( ) ( ),A x y B x y
2 2
0 0 0
2 2
0 0
1,2
24 48 ( 2)
2(4 )
x y x
xx y
± −= +
2
2 2 2
1 21( ) ( )xB y yxA = − + −
2 2 2
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0
48 ( 2)(1 ) (4 )
x y x
y x y
−= + ⋅ +
2 2
0 0 3x y+ =
2
2 0
2 2
0
16( 2) 32
( 1) 49
xAB x
−= =+
4 2
0 02 45 100 0x x− + =
2 2
0 0
5 ( 202x x= = 2
0
1
2y = P 10 2( , )2 2
l 5 3 2y x= − +十年高考+大数据预测
7．（2017 新课标Ⅱ）设 为坐标原点，动点 在椭圆 ： 上，过 做 轴的垂线，垂足为
，点 满足 ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）设点 在直线 上，且 ．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ．
【解析】（1）设 ， ，则 ， ， ．
由 得 ， ．
因为 在 上，所以 ，因此点 的轨迹方程为 ．
（2）由题意知 ．设 ， ，则 ， ，
， ， ，
由 得 ，又由（1）知 ，故 ．
所以 ，即 ．又过点 存在唯一直线垂直与 ，所以过点 且垂直于 的直线
过 的左焦点 ．
8．（2016 全国Ⅲ文理）已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于
两点，交 的准线于 两点．
（I）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ；
（II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程．
【解析】（Ⅰ）由题设 ．设 ，则 ，且
P
B
A
y
xO F2F1
C 2 2y x= F x 1 2,l l C A B，
C P Q，
F AB R PQ AR FQ
PQF∆ ABF∆ AB
O M C
2
2 12
x y+ = M x
N P 2NP NM=
P
Q 3x = − 1OP PQ⋅ = P OQ l C F
( , )P x y 0 0( , )M x y 0( ,0)N x 0( , )NP x x y= −
0(0. )NM y=
2NP NM=
0x x= 0
2
2y y=
0 0( , )M x y C
2 2
12 2
x y+ = P 2 2 2x y+ =
( 1,0)F − ( 3, )Q t− ( , )P m n ( 3, )OQ t= − ( 1 , )PF m n= − − −
3 3OQ PF m tn⋅ = + − ( , )OP m n= ( 3 , )PQ m t n= − − −
1OP PQ⋅ = 2 23 1m m tn n− − + − = 2 2 2m n+ = 3 3 0m tn+ − =
0OQ PF⋅ = OQ PF⊥ P OQ P OQ l
C F
)0,2
1(F bylayl == :,: 21 0≠ab十年高考+大数据预测
．
记过 两点的直线为 ，则 的方程为 ．
（Ⅰ）由于 在线段 上，故 ．
记 的斜率为 ， 的斜率为 ，则
．
所以 ．
（Ⅱ）设 与 轴的交点为 ，
则 ．
由题设可得 ，所以 （舍去）， ．
设满足条件的 的中点为 ．
当 与 轴不垂直时，由 可得 ．
而 ，所以 ．
当 与 轴垂直时， 与 重合．所以所求轨迹方程为 ．
9．（2015 江苏理）如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，且
右焦点 到左准线 的距离为 3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 的直线与椭圆交于 两点，线段 的垂直平分线分别交直线 和 于点 ，若
，求直线 的方程．
2 2 1 1 1( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )2 2 2 2 2 2
a b a bA a B b P a Q b R
+− − −
BA, l l 0)(2 =++− abybax
F AB 01 =+ ab
AR 1k FQ 2k
2221
1
1 kba
ab
aaba
ba
a
bak =−=−==−
−=+
−=
FQAR∥
l x )0,( 1xD
2,2
1
2
1
2
1
1
baSxabFDabS PQFABF
−=−−=−= ∆∆
1
1 12 2 2 2
a bb a x
−× − − = 01 =x 11 =x
AB ),( yxE
AB x DEAB kk = )1(1
2 ≠−=+ xx
y
ba
yba =+
2 )1(12 ≠−= xxy
AB x E D 12 −= xy
xoy ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 2
2
F l
F ,A B AB l AB ,P C
2PC AB= AB十年高考+大数据预测
【解析】（1）由题意，得 且 ，
解得 ， ，则 ，所以椭圆的标准方程为 ．
（2）当 轴时， ，又 ，不合题意．
当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ， ，
，将 的方程代入椭圆方程，得 ，
则 ， 的坐标为 ，且
．
若 ，则线段 的垂直平分线为 轴，与左准线平行，不合题意．
从而 ，故直线 的方程为 ，
则 点的坐标为 ，从而 ．
因为 ，所以 ，解得 ．
此时直线 方程为 或 ．
10．（2014 广东理）已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）若动点 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程．
【解析】（Ⅰ）可知 ，又 ， ， ，
椭圆 C 的标准方程为 ；
（Ⅱ）设两切线为 ，
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ( 5,0) 5
3
0 0( , )P x y
5c = 5
3
c
a
= 3a∴ = 2 2 2 4b a c= − =
2 2
19 4
x y+ =
1 2,l l
2
2
c
a
=
2
3ac c
+ =
2a = 1c = 1b =
2
2 12
x y+ =
AB ⊥ x 2AB = C 3Ρ =
AB x AB ( )1y k x= − ( )1 1,x yΑ
( )2 2,x yΒ AB ( ) ( )2 2 2 21 2 4 2 1 0k x k x k+ − + − =
( )2 2
1,2 2
2 2 1
1 2
k k
x k
± +
= +
C
2
2 2
2 ,1 2 1 2
k k
k k
−
+ +
( ) ( ) ( )( ) ( )2
2 2 22
2 1 2 1 2 1 2
2 2 1
1 1 2
k
AB x x y y k x x k
+
= − + − = + − = +
0k = AB y
0k ≠ CΡ
2
2 2
1 2
1 2 1 2
k ky xk k k
+ = − − + +
P ( )
2
2
5 22,
1 2
k
k k
+ − +
( )
( )
2 2
2
2 3 1 1
1 2
k k
PC
k k
+ +
=
+
2PC AB=
( )
( )
( )2 2 2
22
2 3 1 1 4 2 1
1 21 2
k k k
kk k
+ + +
= ++ 1k = ±
AB 1y x= − 1y x= − +十年高考+大数据预测
①当 轴或 轴时，对应 轴或 轴，可知
②当 与 轴不垂直且不平行时， ，设 的斜率为 ，则 ， 的斜率为 ， 的方程为
，联立 ，得 ，
因为直线与椭圆相切，所以 ，得 ，
， ，
所以 是方程 的一个根，同理 是方程
的另一个根， ，得 ，其中 ，
所以点 P 的轨迹方程为 （ ），因为 满足上式，综上知：点 P 的轨迹方程为
．
11．（2014 辽宁理）圆 的切线与 轴正半轴， 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最
小时，切点为 （如图），双曲线 过点 且离心率为 ．
（1）求 的方程；
（2）椭圆 过点 且与 有相同的焦点，直线 过 的右焦点且与 交于 ， 两点，若以线段
为直径的圆心过点 ，求 的方程．
【解析】（Ⅰ）设圆的半径为 ， 点上下两段分别为 ， ，
由射影定理得 ，三角形的面积
1l x⊥ 1 / /l x 2 / /l x 2l x⊥ ( 3, 2)P ± ±
1l x 0 3x ≠ ± 1l k 0k ≠ 2l 1
k
− 1l
0 0( )y y k x x− = −
2 2
19 4
x y+ = 2 2 2
0 0 0 0(9 4) 18( ) 9( ) 36 0k x y kx kx y kx+ + − + − − =
0∆ = 2 2 2 2
0 0 0 09( ) (9 4)[( ) 4] 0y kx k k y kx− − + − − =
2 2
0 036 4[( ) 4] 0k y kx∴− + − − = 2 2 2
0 0 0 0( 9) 2 4 0x k x y k y∴ − − + − =
k 2 2 2
0 0 0 0( 9) 2 4 0x x x y x y− − + − = 1
k
−
2 2 2
0 0 0 0( 9) 2 4 0x x x y x y− − + − = 1( )k k
∴ ⋅ − =
2
0
2
0
4
9
y
x
−
−
2 2
0 0 13x y+ = 0 3x ≠ ±
2 2 13x y+ = 3x ≠ ± ( 3, 2)P ± ±
2 2 13x y+ =
x
P
O
y
2 2 4x y+ = x y
P
2 2
1 2 2: 1x yC a b
− = P 3
1C
2C P 1C l 2C 2C A B AB
P l
r P ,m n 2 4r =
2r mn=
2 2 4 2 21 14 4 4( ) 162 2s m n r m n= + + = + + +
4 2 2 4 21 18 16 8 162 2r m n r r≥ + + = + +十年高考+大数据预测
当 时， 取得最大，此时
∵ ， 在双曲线上
∴ ，∴双曲线的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 的焦点为 ，由此设 的方程为 ，
其中 ，由 在 上，得 ，∴ 的方程为 ，
显然， 不是直线 ，设 的方程为 ，点 ，
由 得 ，
∴ ①
②
由①②得 ，解得 ，
因此直线 的方程 或 ．
12．（2013 四川理）已知椭圆 C： 的两个焦点分别为 ， ，且椭圆 C
经过点 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率
（Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 Q 是 MN 上的点，且
，求点 Q 的轨迹方程．
【解析】（Ⅰ）由椭圆定义知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝ ，
2m n= = s ( 2, 2)P
2 2 23,c c b aa
= = + ( 2, 2)P
2 2 23 2 1c b a= = =， ，
2
2 - 12
yx =
2C (- 3,0),( 3,0) 2C
2 2
2 2
1 1
13
x y
b b
+ =+
1 0b > ( 2, 2)P 2C 2
1 3b = 2C
2 2
16 3
x y+ =
l 0y = l 3x my= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 2
3
16 3
x my
x y
= + + =
2 2(2 ) 2 3 -3 0m y my+ + =
1 2 1 22 2
-2 3 -3,2 2
my y y ym m
+ = =+ +
1 1 2 20 ( - 2, - 2)( - 2, - 2)PA PB x y x y= • = 2
1 2 1 2(1 ) [( 3- 2) - 2]( ) 7-2 6m y y m y y= + + + +
22 -2 6 4 6-11 0m m + = 1 2
3 6-2 2- 6,2 2m m= =
l 3 6-2 3 02x y− − = 2- 6 3 02x y− − =
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
1( 1 0)F − ， 2 1 0F（，）
），
3
1
3
4(P
），（ 20A l
222
112
ANAMAQ
+=
2 2 2 24 1 4 11 1 2 23 3 3 3
+ + + − + = 十年高考+大数据预测
所以 ．又由已知，c＝1，所以椭圆 C 的离心率 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 C 的方程为 ＋y2＝1．设点 Q 的坐标为(x，y)．
(ⅰ)当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 与椭圆 C 交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点 Q 的坐标为
．
(ⅱ)当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋2．
因为 M，N 在直线 l 上，可设点 M，N 的坐标分别为( ，k ＋2)，( ，k ＋2)，
则|AM|2＝(1＋k2) ，|AN|2＝(1＋k2) ．
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2) ．
由 ，得 ，
即 ．①
将 y＝kx＋2 代入 ＋y2＝1 中，得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0．②
由 Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得 k2＞ ．
由②可知， ＝ ， ＝ ，代入①中并化简，得 ．③
因为点 Q 在直线 y＝kx＋2 上，所以 ，代入③中并化简，得 10(y－2)2－3x2＝18．
由③及 k2＞ ，可知 0＜x2＜ ，即 x∈ ∪ ．
又 满足 10(y－2)2－3x2＝18，故 x∈ ．
由题意，Q(x，y)在椭圆 C 内，所以－1≤y≤1．
又由 10(y－2)2＝18＋3x2 有(y－2)2∈ 且－1≤y≤1，则 y∈ ．
所以，点 Q 的轨迹方程为 10(y－2)2－3x2＝18，其中 x∈ ，y∈ ．
2a = 1 2
22
ce a
= = =
2
2
x
3 50,2 5
−
1x 1x 2x 2x
2
1x 2
2x
2x
2 2 2
2 1 1
| | | | | |AQ AM AN
= +
2 2 2 2 2 2
1 2
2 1 1
1 1 1k x k x k x
= +( + ) ( + ) ( + )
2
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
22 1 1 x x x x
x x x x x
( + ) −= + =
2
2
x
3
2
1 2x x+
2
8
2 1
k
k
−
+ 1 2x x 2
6
2 1k +
2
2
18
10 3x k
= −
2yk x
−=
3
2
3
2
6 ,02
−
60, 2
3 50,2 5
−
6 6,2 2
−
9 9,5 4
1 3 5,22 5
−
6 6,2 2
−
1 3 5,22 5
− 十年高考+大数据预测
13．（2011 天津理）在平面直角坐标系 中，点 为动点， 分别为椭圆
的左右焦点．已知△ 为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率 ；
（Ⅱ）设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足 ，求点 的轨迹
方程．
【解析】（Ⅰ）解：设 ，由题意，可得
即
整理得 （舍），或 所以
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 可得椭圆方程为
直线 PF2 方程为
A，B 两点的坐标满足方程组
消去 y 并整理，得
解得
得方程组的解
不妨设
设点 的坐标为 ，
由
于是
xOy ( , )P a b ( 0)a b> > 1 2,F F
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 1 2F PF
e
2PF ,A B M 2PF 2AM BM⋅ = − M
1 2( ,0), ( ,0)( 0)F c F c c− > 2 1 2| | | |,PF F F=
2 2( ) 2 .a c b c− + =
22( ) 1 0, 1c c c
a a a
+ − = = −得 1 .2
c
a
= 1 .2e =
2 , 3 ,a c b c= = 2 2 23 4 12 ,x y c+ =
3( ).y x c= −
2 2 23 4 12 ,
3( ).
x y c
y x c
+ = = −
25 8 0.x cx− =
1 2
80, .5x x c= =
2
1
1
2
8 ,0, 5
3 , 3 3 .5
x cx
y c y c
== = − =
8 3 3( , ), (0, 3 )5 5A c c B c−
M 8 3 3( , ), ( , ), ( , 3 )5 5x y AM x c y c BM x y c= − − = + 则
33( ), .3y x c c x y= − = −得
8 3 3 8 3 3( , ),15 5 5 5AM y x y x= − −十年高考+大数据预测
由
即 ，
化简得
将
所以
因此，点 的轨迹方程是
考点 99 定点与定值问题
14．【2020 全国Ⅰ文 21 理 20】已知 分别为椭圆 的左、右顶点， 为 的上顶
点， ， 为直线 上的动点， 与 的另一交点为 与 的另一交点为 ．
（1）求 的方程；
（2）证明：直线 过定点．
【解析】（1）依据题意作出如下图像：
由椭圆方程 可得： ， ， ， ， ，
， ， 椭圆方程为： ．
（2）证明：设 ，则直线 的方程为： ，即： ，
,A B ( )2
2
2: 1 1xE y aa
+ = > G E
8AG GB⋅ = P 6x = PA E ,C PB E D
E
CD
2
2
2: 1( 1)xE y aa
+ = > ( ),0A a− ( ),0B a ( )0,1G ∴ ( ),1AG a= ( ), 1GB a= −
∴ 2 1 8AG GB a⋅ = − = ∴ 2 9a = ∴ 2
2 19
x y+ =
( )06,P y AP ( ) ( )0 0 36 3
yy x
−= +− − ( )0 39
yy x= +
( , 3 ).BM x x= 2,AM BM⋅ = −
8 3 3 8 3 3( ) ( ) 3 215 5 5 5y x x y x x− ⋅ + − ⋅ = −
218 16 3 15 0.x xy− − =
2 218 15 3 10 5, 0.3 1616 3
x xy c x y c xx
− += = − = >代入 得
0.x >
M 218 16 3 15 0( 0).x xy x− − = >十年高考+大数据预测
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或 ，
将 代入直线 可得： ，∴点 的坐标为 ，
同理可得：点 的坐标为 ，
直线 的方程为： ，
整理可得： ，
整理得： ，故直线 过定点 ．
15．【2020 山东】已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程；
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定
值．
【解析】（1）根据题意，把点 代入椭圆得到 ①，设 ，又 ，∴
，代入①式，求得 ，∴椭圆 的方程为 ．
（2）解法一：由题意知 的直线方程为 ，设直线 与椭圆相切于点 ，
，联立方程组得 ， ，得 ，
AP
( )
2
2
0
19
39
x y
yy x
+ =
= +
( )2 2 2 2
0 0 09 6 9 81 0y x y x y+ + + − = 3x = −
2
0
2
0
3 27
9
yx y
− += +
2
0
2
0
3 27
9
yx y
− += + ( )0 39
yy x= + 0
2
0
6
9
yy y
= + C
2
0 0
2 2
0 0
3 27 6,9 9
y y
y y
− +
+ +
D
2
0 0
2 2
0 0
3 3 2,1 1
y y
y y
− −
+ +
∴ CD
0 0
2 2 2
0 00 0
2 22 2
0 00 0
2 2
0 0
6 2
9 12 3 3
3 27 3 31 1
9 1
y y
y yy yy xy yy y
y y
−− + + − − − = − − + −+ + −+ +
( )
( ) ( )
2 2 2
0 00 0 0 0
2 2 24 2
0 0 00 0
8 32 3 3 8 3 3
1 1 16 9 6 3
y yy y y yy x xy y yy y
+ − −+ = − = − + + +− −
( ) ( )0 0 0
22 2
00 0
4 2 4 3
3 23 3 3 3
y y yy x xyy y
= + = − −− − CD 3 ,02
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2
2
( )2 ,1A
C
M N C AM AN⊥ AD MN⊥ D Q DQ
(2,3)M 2 2
4 9 1a b
+ = ( ,0)A a− 3 1
2 2AMk a
= =+
4a = 2 12b = C
2 2
116 12
x y+ =
AM 2 4 0x y− + = 2 0x y m− + = N
2 2
2 0
116 12
m
x
x y
y+
− + =
=
2 216 12 3 48 0y my m− + − = 2 2144 64(3 48) 0m m∆ = − − = 8m = ±十年高考+大数据预测
由 题 意 可 知 时 ， 面 积 最 大 ， 直 线 与 直 线 距 离
， ，∴ ．
解法二：设 ，
8m = − AMN∆ 2 4 0x y− + = 2 8 0x y− − =
2 2
| 4 ( 8) | 12 5
51 ( 2)
d
− −= =
+ − | | 3 5AM = 1 12 53 5 182 5AMNS∆ = × × =十年高考+大数据预测
解法三：设点 ．∵AM⊥AN，∴ ．
整理可得： ①
设 MN 的方程为 y=kx+m，联立直线与椭圆方程可得： ，
韦达定理可得： ，
， ，
代入①式有： ，
化简可得： ，即 ，
据此可得： 或 ，∴直线 MN 的方程为 或 ，
即 或 ，∴直线过定点 或 ．
又∵ 和 A 点重合，∴舍去，则直线过定点 ．
由于 AE 为定值，且△AED 为直角三角形，AE 为斜边，
∴AE 中点 Q 满足 为定值（AE 长度的一半 ）．
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2
1 2
1 1 12 2
y y
x x
− −⋅ = −− −
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 2 4y y y y x x x x− + + = − + + −
( )2 2 22 1 4 2 6 0k x kmx m+ + + − =
2
1 2 1 22 2
4 2 6,2 1 2 1
km mx x x xk k
−+ = − =+ +
( ) ( )1 2 1 2 2
2
2 1
my y kx m kx m k
+ = + + + = + ( )( ) 2 2
1 2 1 2 2
6
2 1
m ky y kx m kx m k
−+ + = +=
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 26 2 2 6 2 4 5 2 01m k m m km k− − + − − + +× − =
( )( )24 8 1 3 1 0k km m m+ + − + = ( )( )2 1 2 3 1 0k m k m+ − + + =
2 1k m= − 2 1 3k m= − − 1 2y kx k= + − 1 2
3
ky kx
− −= +
( )2 1y k x= − + 2 1
3 3y k x = − −
( )2,1 2 1,3 3
−
( )2,1 2 1,3 3E −
QD
2 21 2 1 4 22 12 3 3 3
− + + = 十年高考+大数据预测
由于 ，故由中点坐标公式可得 ．
16．【2019 全国Ⅲ理】已知曲线 C：y= ，D 为直线 y= 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别
为 A，B．
（1）证明：直线 AB 过定点：
（2）若以 E(0， )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积．
【答案】（1）见详解；（2）3 或 ．
【解析】（1）设 ，则 ．
由于 ，∴切线DA的斜率为 ，故 ．
整理得
设 ，同理可得 ．
故直线AB的方程为 ．
∴直线AB过定点 ．
（2）由（1）得直线AB的方程为 ．
由 ，可得 ．
于是 ，
．
设 分别为点D，E到直线AB的距离，则 ．
因此，四边形ADBE的面积 ．
( ) 2 1,32,1 3,A E −
4 1,3 3Q
2
2
x 1
2
−
5
2
4 2
( )1 1
1, , ,2D t A x y −
2
1 12x y=
y' x= 1x
1
1
1
1
2y
xx t
+
=−
1 12 2 +1=0. tx y−
( )2 2,B x y 2 22 2 +1=0tx y−
2 2 1 0tx y− + =
1(0, )2
1
2y tx= +
2
1
2
2
y tx
xy
= +
=
2 2 1 0x tx− − =
( ) 2
1 2 1 2 1 2 1 22 , 1, 1 2 1x x t x x y y t x x t+ = = − + = + + = +
( ) ( )22 2 2
1 2 1 2 1 2| | 1 1 4 2 1AB t x x t x x x x t= + − = + × + − = +
1 2,d d 2
1 2 2
21,
1
d t d
t
= + =
+
( ) ( )2 2
1 2
1 | | 3 12S AB d d t t= + = + +十年高考+大数据预测
设M为线段AB的中点，则 ．
由于 ，而 ， 与向量 平行，∴ ．解得t=0或 ．
当 =0时，S=3；当 时， ．
因此，四边形ADBE的面积为3或 ．
17．【2019 北京理】已知抛物线 C：x2=−2py 经过点（2，−1）．
（1）求抛物线 C 的方程及其准线方程；
（2）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y=−1 分别交
直线 OM，ON 于点 A 和点 B．求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点．
【解析】（1）由抛物线 经过点 ，得 ．
∴抛物线 的方程为 ，其准线方程为 ．
（ 2 ） 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 设 直 线 的 方 程 为 ， 由 得
．
设 ，则 ．直线 的方程为 ．
令 ，得点 A 的横坐标 ，同理得点 B 的横坐标 ．
设点 ，则 ，
．
令 ，即 ，则 或 ．
综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点 和 ．
18．【2019 全国Ⅲ文】已知曲线 C：y= ，D 为直线 y= 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别
2 1, 2M t t +
EM AB⊥ ( )2, 2EM t t= − AB (1, )t ( )2 2 0t t t+ − = 1t = ±
t 1t = ± 4 2S =
4 2
2: 2C x py= − (2, 1)− 2p =
C 2 4x y= − 1y =
C (0, 1)F − l 1( 0)y kx k= − ≠ 2
1,
4
y kx
x y
= −
= −
2 4 4 0x kx+ − =
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2 4x x = − OM 1
1
yy xx
=
1y = − 1
1
A
xx y
= − 2
2
B
xx y
= −
(0, )D n 1 2
1 2
, 1 , , 1x xDA n DB ny y
= − − − = − − −
21 2
1 2
( 1)x xDA DB ny y
⋅ = + + 21 2
2 2
1 2
( 1)
4 4
x x n
x x
= + + − −
2
1 2
16 ( 1)nx x
= + + 24 ( 1)n= − + +
0DA DB⋅ = 24 ( 1) 0n− + + = 1n = 3n = −
(0,1) (0, 3)−
2
2
x 1
2
−十年高考+大数据预测
为 A，B．
（1）证明：直线 AB 过定点；
（2）若以 E(0， )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程．
【解析】（1）设 ，则 ．
由于 ，∴切线DA的斜率为 ，故 ．
整理得
设 ，同理可得 ．
故直线AB的方程为 ．
∴直线AB过定点 ．
（2）由（1）得直线AB的方程为 ．
由 ，可得 ．
于是 ．
设M为线段AB的中点，则 ．
由于 ，而 ， 与向量 平行，∴ ．解得t=0或 ．
当 =0时， =2，所求圆的方程为 ；
当 时， ，所求圆的方程为 ．
【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求
解就可以，思路较为清晰，但计算量不小．
5
2
( )1 1
1, , ,2D t A x y −
2
1 12x y=
y' x= 1x 1
1
1
1
2y
xx t
+
=−
1 12 2 +1=0. tx y−
( )2 2,B x y 2 22 2 +1=0tx y−
2 2 1 0tx y− + =
1(0, )2
1
2y tx= +
2
1
2
2
y tx
xy
= +
=
2 2 1 0x tx− − =
( ) 2
1 2 1 2 1 22 , 1 2 1x x t y y t x x t+ = + = + + = +
2 1, 2M t t +
EM AB⊥ ( )2, 2EM t t= − AB (1, )t ( )2 2 0t t t+ − = 1t = ±
t | |EM 2
2 5 42x y + − =
1t = ± | | 2EM = 2
2 5 22x y + − = 十年高考+大数据预测
19．【2019 北京文】已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 O 为原点，直线 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，
直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线 l 经过定点．
【解析】（1）由题意得，b2=1，c=1，∴a2=b2+c2=2，∴椭圆C的方程为 ．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线AP的方程为 ．
令y=0，得点M的横坐标 ．
又 ，从而 ．同理， ．
由 得 ．
则 ， ．
∴
．
又 ，∴ ．解得t=0，∴直线l经过定点（0，0）．
20．【2018 北京文 20】（本小题 14 分）
已知椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个
不同的焦点
（I）求椭圆 的方程；
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = (1,0) (0,1)A
: ( 1)l y kx t t= + ≠ ±
2
2 12
x y+ =
1
1
1 1yy xx
−= +
1
1 1M
xx y
= − −
1 1y kx t= + 1
1
| | | |1M
xOM x kx t
= = + −
2
2
| | | |1
xON kx t
= + −
2
2
,
12
y kx t
x y
= + + =
2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x ktx t+ + + − =
1 2 2
4
1 2
ktx x k
+ = − +
2
1 2 2
2 2
1 2
tx x k
−= +
1 2
1 2
| | | | | || |1 1
x xOM ON kx t kx t
⋅ = ⋅+ − + − ( )1 2
2 2
1 2 1 2
| |( 1) ( 1)
x x
k x x k t x x t
= + − + + −
2
2
2
2 2
2 2
2 2
1 2| |2 2 4( 1) ( ) ( 1)1 2 1 2
t
k
t ktk k t tk k
−
+= −⋅ + − ⋅ − + −+ +
12| |1
t
t
+= −
| | | | 2OM ON⋅ = 12| | 21
t
t
+ =−
M
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> > 6
3 2 2 k l M
,A B
M十年高考+大数据预测
（II）若 ，求 的最大值；
（III）设 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，若
和点 共线，求 ．
【解析】（Ⅰ）由题意得 ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，∴椭圆 的标准方程为 ．
（Ⅱ）设直线 的方程为 ，由 消去 可得 ，
则 ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
则 ，
易得当 时， ，故 的最大值为 ．
（Ⅲ）设 ， ， ， ，
则 ①， ②，
又 ，∴可设 ，直线 的方程为 ，
由 消去 可得 ，
则 ，即 ，
又 ，代入①式可得 ，∴ ，
1k = AB
( )2 , 0P − PA M C PB M D
,C D 7 1,4 4Q − k
2 2 2c = 2c =
6
3
ce a
= = 3a = 2 2 2 1b a c= − = M
2
2 13
x y+ =
AB y x m= + 2
2 13
y x m
x y
= + + =
y 2 24 6 3 3 0x mx m+ + − =
2 2 236 4 4(3 3) 48 12 0m m m∆ = − × − = − > 2 4m <
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2
3
2
mx x+ = − 2
1 2
3 3
4
mx x
−=
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
6 4| | 1 | | 1 ( ) 4 2
mAB k x x k x x x x
× −= + − = + ⋅ + − =
2 0m = max| | 6AB = | |AB 6
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 3 3( , )C x y 4 4( , )D x y
2 2
1 13 3x y+ = 2 2
2 23 3x y+ =
( 2,0)P − 1
1
1 2PA
yk k x
= = + PA 1( 2)y k x= +
1
2
2
( 2)
13
y k x
x y
= + + =
y 2 2 2 2
1 1 1(1 3 ) 12 12 3 0k x k x k+ + + − =
2
1
1 3 2
1
12
1 3
kx x k
+ = − +
2
1
3 12
1
12
1 3
kx xk
= − −+
1
1
1 2
yk x
= +
1
3
1
7 12
4 7
xx x
− −= +
1
3
14 7
yy x
= +十年高考+大数据预测
∴ ，同理可得 ．
故 ， ，
∵ 三点共线，∴ ，
将点 的坐标代入化简可得 ，即 ．
21．【2018 北京理 19】（本小题 14 分）
已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ，且直
线 交于 轴与 ，直线 交 轴与 ．
（I）求直线 的斜率的取值范围．
（II）设 为原点， ，求证： 为定值．
【解析】解：（Ⅰ）∵抛物线 经过点 ， ，解得 ， 抛物线的方程为
．
由题意可知直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的方程为 ．
由 ，得 ．
依题意 ，解得 或 ．
又 与 轴相交，故直线 不过点 ．从而 ．
∴直线 斜率的取值范围是 ．
（Ⅱ）设 ．由（I）知 ．
直线 的方程为 ．
令 ，得点 的纵坐标为 ．
1 1
1 1
7 12( , )4 7 4 7
x yC x x
− −
+ +
2 2
2 2
7 12( , )4 7 4 7
x yD x x
− −
+ +
3 3
7 1( , )4 4QC x y= + −
4 4
7 1( , )4 4QD x y= + −
, ,Q C D 3 4 4 3
7 1 7 1( )( ) ( )( ) 04 4 4 4x y x y+ − − + − =
,C D 1 2
1 2
1y y
x x
− =− 1k =
2: 2C y px= ( )1, 2P ( )0 ,1Q l C ,A B
PA y M PB y N
l
O ,QM QO QN QOλ µ= = 1 1
λ µ+
2 2y px= ( )1 2P , 4 2p∴ = 2p = ∴
2 4y x=
l l ( )1 0y kx k= + ≠
2 4
1
y x
y kx
=
= +
, ( )2 2 2 4 1 0k x k x+ − + =
( )2 22 4 4 1 0k k∆ = − − × × > 0k < 0 1k< <
PA PB, y l ( )1 2−, 3k ≠ −
l ( ) ( ) ( )3 3 0 0 1−∞ − − , , ,
( ) ( )1 1 2 2A x y B x y, , , 1 2 1 22 2
2 4 1kx x x xk k
−+ = − =,
PA ( )1
1
2 112 y xy x
−− −−=
0x = M 1 1
1 1
2 12 21 1M
y kxy x x
− + − += + = +− −十年高考+大数据预测
同理得点 的纵坐标为 ．
由 得 ．
， 为定值．
22．（2017 新课标Ⅰ理）已知椭圆 ： ，四点 ， ，
， 中恰有三点在椭圆 上．
（1）求 的方程；
（2）设直线 不经过 点且与 相交于 ， 两点．若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明：
过定点．
【解析】（1）由于 ， 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 ， 两点．
又由 知，C 不经过点 ，∴点 在 C 上．
因此 ，解得 ．故 C 的方程为 ．
（2）设直线 与直线 的斜率分别为 ， ，
如果 与 轴垂直，设 ： ，由题设知 ，且 ，可得 A，B 的坐标分别为
（t， ），（t， ）．
则 ，得 ，不符合题设．
从而可设 ： （ ）．将 代入 得
由题设可知 ．
N 2
2
1 21N
kxy x
− += +−
QM QO QN QOλ µ= = , 1 1M Ny yλ µ= − = −,
( ) ( )
( ) 2 21 2 1 21 2
1 2 1 2
2
2 2 4
21 11 1 1 1 1 1 211 1 1 1 1 1M N
k
x x x xx x k k
y y k x k x k x x k
k
λ µ
−+− +− −+ = + = + = ⋅ = ⋅ =− − −∴ − − −
1 1
λ µ∴ +
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1(1,1)P 2 (0,1)P
3
3( 1, )2P = − 4
3(1, )2P = C
C
l 2P C A B 2P A 2P B 1− l
3P 4P 3P 4P
2 2 2 2
1 1 1 3
4a b a b
+ > + 1P 2P
2
2 2
1 1
1 3 14
b
a b
=
+ =
2
2
4
1
a
b
= =
2
2 14
x y+ =
2P A 2P B 1k 2k
l x l x t= 0t ≠ | | 2t <
24
2
t− 24
2
t−−
2 2
1 2
4 2 4 2 12 2
t tk k t t
− − − ++ = − = − 2t =
l y kx m= + 1m ≠ y kx m= +
2
2 14
x y+ =
2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =
2 2=16(4 1) 0k m∆ − + >十年高考+大数据预测
设 ， ，则 ， ．
而 ．
由题设 ，故 ．
即 ．
解得 ．
当且仅当 时， ，欲使 ： ，即 ，∴ 过定点（2， ）．
23．（2017 新课标Ⅱ文理）设 为坐标原点，动点 在椭圆 ： 上，过 做 轴的垂线，垂
足为 ，点 满足 ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）设点 在直线 上，且 ．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点
．
【解析】（1）设 ， ，则 ， ， ．
由 得 ， ．
∵ 在 上，∴ ．
因此点 的轨迹方程为 ．
（2）由题意知 ．设 ， ，则
， ， ，
， ，
由 得 ，又由（1）知 ，
故 ．
∴ ，即 ．又过点 存在唯一直线垂直与 ，∴过点 且垂直于 的直线 过
的左焦点 ．
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 2
8
4 1
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 4
4 1
mx x k
−= +
1 2
1 2
1 2
1 1y yk k x x
− −+ = + 1 2
1 2
1 1kx m kx m
x x
+ − + −= + 1 2 1 2
1 2
2 ( 1)( )kx x m x x
x x
+ − +=
1 2 1k k+ = − 1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0k x x m x x+ + − + =
2
2 2
4 4 8(2 1) ( 1) 04 1 4 1
m kmk mk k
− −+ ⋅ + − ⋅ =+ +
1
2
mk
+= −
1m > − 0∆ > l 1
2
my x m
+= − + 11 ( 2)2
my x
++ = − − l 1−
O M C
2
2 12
x y+ = M x
N P 2NP NM=
P
Q 3x = − 1OP PQ⋅ = P OQ l C
F
( , )P x y 0 0( , )M x y 0( ,0)N x 0( , )NP x x y= −
0(0. )NM y=
2NP NM=
0x x= 0
2
2y y=
0 0( , )M x y C
2 2
12 2
x y+ =
P 2 2 2x y+ =
( 1,0)F − ( 3, )Q t− ( , )P m n
( 3, )OQ t= − ( 1 , )PF m n= − − − 3 3OQ PF m tn⋅ = + −
( , )OP m n= ( 3 , )PQ m t n= − − −
1OP PQ⋅ = 2 23 1m m tn n− − + − = 2 2 2m n+ =
3 3 0m tn+ − =
0OQ PF⋅ = OQ PF⊥ P OQ P OQ l C
F十年高考+大数据预测
24．（2017 北京文）已知椭圆 的两个顶点分别为 ， ，焦点在 轴上，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）点 为 轴上一点，过 作 轴的垂线交椭圆 于不同的两点 ， ，过 作 的垂线交
于点 ．求证： 与 的面积之比为 4：5．
【解析】（Ⅰ）设椭圆 的方程为 ．
由题意得 解得 ．
∴ ．
∴椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）设 ，且 ，则 ．
直线 的斜率 ，由 ，则 ，故直线 的斜率 ．
∴直线 的方程为 ．直线 的方程为 ．
联立 ，解得点 的纵坐标 ．
由点 在椭圆 上，得 ．∴ ．
又 ， ，∴ 与 的面积之比为 ．
25．（2016 年全国 I 理）设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重合， 交圆
于 ， 两点，过 作 的平行线交 于点 ．
（I）证明 为定值，并写出点 的轨迹方程；
（II）设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 ， 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于 ， 两
点，求四边形 面积的取值范围．
【解析】（Ⅰ）∵ ， ，故 ，
C ( 2,0)A − (2,0)B x 3
2
C
D x D x C M N D AM
BN E BDE∆ BDN∆
C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
+ = > >
2,
3 ,2
a
c
a
= =
3c =
2 2 2 1b a c= − =
C
2
2 14
x y+ =
( , )M m n 2 2m− < < ( ,0), ( , )D m N m n−
AM 2AM
nk m
= + AM DE⊥ 1AM DEk k⋅ = − DE 2
DE
mk n
+=
DE 2 ( )my x mn
+= − − BN ( 2)2
ny xm
= −−
2 ( ),
( 2),2
my x mn
ny xm
+ = − −
= − −
E
2
2 2
(4 )
4E
n my m n
−= − − +
M C 2 24 4m n− = 4
5Ey n= −
1 2| | | | | | | |2 5BDE ES BD y BD n= ⋅ = ⋅△
1 | | | |2BDNS BD n= ⋅△ BDE△ BDN△ 4:5
2 2 2 15 0x y x+ + − = A l (1,0)B x l
A C D B AC AD E
EA EB+ E
E 1C l 1C M N B l A P Q
MPNQ
|||| ACAD = ACEB// ADCACDEBD ∠=∠=∠十年高考+大数据预测
∴ ，故 ．
又圆 的标准方程为 ，从而 ，∴ ．
由题设得 ， ， ，由椭圆定义可得点 的轨迹方程为：
（ ）．
（Ⅱ）当 与 轴不垂直时，设 的方程为 ， ， ．
由 得 ．
则 ， ．
∴ ．
过点 且与 垂直的直线 ： ， 到 的距离为 ，∴
．故四边形 的面积
．
可得当 与 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为 ．
当 与 轴垂直时，其方程为 ， ， ，四边形 的面积为 12．
综上，四边形 面积的取值范围为 ．
26．（2016 年北京文）已知椭圆 ： 过 ， 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程及离心率；
（Ⅱ）设 为第三象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，
求证：四边形 的面积为定值．
|||| EDEB = |||||||||| ADEDEAEBEA =+=+
A 16)1( 22 =++ yx 4|| =AD 4|||| =+ EBEA
)0,1(−A )0,1(B 2|| =AB E
134
22
=+ yx 0≠y
l x l )0)(1( ≠−= kxky ),( 11 yxM ),( 22 yxN
=+
−=
134
)1(
22 yx
xky
01248)34( 2222 =−+−+ kxkxk
34
8
2
2
21 +=+
k
kxx 34
124
2
2
21 +
−=
k
kxx
34
)1(12||1|| 2
2
21
2
+
+=−+=
k
kMN
)0,1(B l m )1(1 −−= xky A m
1
2
2 +k
1
344)
1
2(42|| 2
2
2
2
2
+
+=
+
−=
k
k
k
PQ MPNQ
34
1112||||2
1
2 ++==
kPQMNS
l x MPNQ )38,12[
l x 1=x 3|| =MN 8|| =PQ MPNQ
MPNQ )38,12[
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = (2,0)A (0,1)B
C
P C PA y M PB x N
ABNM十年高考+大数据预测
【解析】（I）由题意得， ， ．∴椭圆 的方程为 ．
又 ，∴离心率 ．
（II）设 （ ， ），则 ．
又 ， ，∴直线 的方程为 ．
令 ，得 ，从而 ．
直线 的方程为 ．
令 ，得 ，从而 ，∴四边形 的面积
．
从而四边形 的面积为定值．
27．（2016 年北京理）已知椭圆 ： 的离心率为 ， ， ，
， 的面积为 1．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ．
求证： 为定值．
2a = 1b = C
2
2 14
x y+ =
2 2 3c a b= − = 3
2
ce a
= =
( )0 0,x yΡ 0 0x < 0 0y < 2 2
0 04 4x y+ =
( )2,0Α ( )0,1Β ΡΑ ( )0
0
22
yy xx
= −−
0x = 0
0
2
2
yy xΜ = − −
0
0
21 1 2
yy xΜΒΜ = − = + −
ΡΒ 0
0
1 1yy xx
−= +
0y = 0
0 1
xx yΝ = − −
0
0
2 2 1
xx yΝΑΝ = − = + −
ΑΒΝΜ
1
2S = ΑΝ ⋅ ΒΜ 0 0
0 0
21 2 12 1 2
x y
y x
= + + − − ( )
2 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
4 4 4 8 4
2 2 2
x y x y x y
x y x y
+ + − − += − − +
0 0 0 0
0 0 0 0
2 2 4 4
2 2
x y x y
x y x y
− − += − − + 2=
ΑΒΝΜ
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3
2 ( ,0)A a (0, )B b
(0,0)O ΔOAB
C
P C PA y M PB x N
| | | |AN BM⋅十年高考+大数据预测
【解析】（Ⅰ）由题意得 解得 ．
∴椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，设 ，则 ．
当 时，直线 的方程为 ．
令 ，得 ．从而 ．
直线 的方程为 ．
令 ，得 ．从而 ．
∴
．
当 时， ， ∴ ．
综上， 为定值．
28．（2016 年山东文）已知椭圆 C： 的长轴长为 4，焦距为 2 2．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过动点 M(0，m)(m>0)的直线交 x 轴与点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN
的中点．过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长线 QM 交 C 于点 B．
(i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k'，证明 为定值；
(ii)求直线 AB 的斜率的最小值．
+=
=
=
,
,12
1
,2
3
222 cba
ab
a
c
1,2 == ba
C 14
2
2
=+ yx
)1,0(),0,2( BA ),( 00 yxP 44 2
0
2
0 =+ yx
00 ≠x PA )2(20
0 −−= xx
yy
0=x 2
2
0
0
−−=
x
yyM 2
211
0
0
−+=−=
x
yyBM M
PB 11
0
0 +−= xx
yy
0=y 10
0
−−=
y
xxN 122
0
0
−+=−=
y
xxAN N
2
2112
0
0
0
0
−+⋅−+=⋅
x
y
y
xBMAN 22
8844
22
48444
0000
0000
0000
0000
2
0
2
0
+−−
+−−=+−−
+−−++=
yxyx
yxyx
yxyx
yxyxyx
4=
00 =x 10 −=y ,2,2 == ANBM 4=⋅ BMAN
BMAN ⋅
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
k
k
′十年高考+大数据预测
【解析】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 ，由题意知 ，
∴ ，∴椭圆 C 的方程为 ．
(Ⅱ)(i)设 ，由 M(0， )，可得
∴直线 PM 的斜率 ，直线 QM 的斜率 ．
此时 ，∴ 为定值 ．
(ii)设 ，直线 PA 的方程为 ，
直线 QB 的方程为 ．
联立 ，整理得 ．
由 可得 ，∴ ，
同理 ．
∴ ，
，
∴
c 2 4,2 2 2a c= =
2 22, 2a b a c= = − =
2 2
14 2
x y+ =
( )( )0 0 0 0, 0, 0P x y x y> > m ( ) ( )0 0,2 , , 2 .P x m Q x m−
0 0
2m m mk x x
−= =
0 0
2 3' m m mk x x
− −= = −
' 3k
k
= − 'k
k 3−
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y y kx m= +
3y kx m= − +
2 2
14 2
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 22 1 4 2 4 0k x mkx m+ + + − =
2
0 1 2
2 4
2 1
mx x k
−= +
( )
( )
2
1 2
0
2 2
2 1
m
x
k x
−
=
+
( )
( )
2
1 1 2
0
2 2
2 1
k m
y kx m m
k x
−
= + = +
+
( )
( )
( )
( )
2 2
2 22 2
0 0
2 2 6 2
,
18 1 18 1
m k m
x y m
k x k x
− − −
= = +
+ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
2 2 2 2
2 1 2 2 2 2
0 0 0
2 2 2 2 32 2
18 1 2 1 18 1 2 1
m m k m
x x
k x k x k k x
− − − −
− = − =
+ + + +
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
2 2 2 2
2 1 2 2 2 2
0 0 0
6 2 2 2 8 6 1 2
18 1 2 1 18 1 2 1
k m m k k m
y y m m
k x k x k k x
− − − − + −
− = + − − =
+ + + +
2
2 1
2 1
6 1 1 16 .4 4AB
y y kk kx x k k
− + = = = + − 十年高考+大数据预测
由 ，可知 k>0，∴ ，等号当且仅当 时取得，此时 ，即
，符号题意，∴直线 AB 的斜率的最小值为 ．
29．（2015 新课标 2 文）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点
在 上．
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 ．证明：
直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值．
【解析】（Ⅰ）由题意有 ， ，解得 ．
∴ 的方程为 ．
（Ⅱ）设直线 ： ， ， ，
将 代入 得 ．
故 ， ．
于是直线 的斜率 ，即 ．
∴直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值．
30．（2015 新课标 2 理）已知椭圆 C： （ ），直线 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l
与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M．
（Ⅰ）证明：直线 OM 的斜率与 的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若 l 过点 ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时 l
的斜率；若不能，说明理由．
【解析】(Ⅰ)设直线 ， ， ， ．
00, 0m x> > 16 2 6k k
+ ≥ 6
6k =
2
6
64 8
m
m
=
−
14
7m = 6
2
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
2 (2, 2)
C
C
l O l C ,A B AB M
OM l
2 2 2
2
a b
a
− =
2 2
4 2 1a b
+ = 2 28, 4a b= =
C
2 2
18 4
x y+ =
l y kx b= + ( 0, 0)k b≠ ≠ 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ( , )M MM x y
y kx b= +
2 2
18 4
x y+ = 2 2 2(2 1) 4 2 8 0k x kbx b+ + + − =
1 2
2
2
2 2 1M
x x kbx k
+ −= = + 22 1M M
by k x b k
= ⋅ + = +
OM 1
2
M
OM
M
yk x k
= = − 1
2OMk k⋅ = −
OM l
2 2 29x y m+ = 0m > l
l
( , )3
m m
:l y kx b= + ( 0, 0)k b≠ ≠ 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ( , )M MM x y十年高考+大数据预测
将 代入 得 ，
故 ， ．
于是直线 的斜率 ，即 ．
∴直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值．
（Ⅱ）四边形 能为平行四边形．
∵直线 过点 ，
∴ 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ， ．
由(Ⅰ)得 的方程为 ．设点 的横坐标为 ．
由 得 ，即 ．
将点 的坐标代入直线 的方程得 ，因此 ．
四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分，即 ．
于是 ．解得 ， ．
∵ ， ， ，∴当 的斜率为 或 时，四边形 为平行四边形．
31．（2015 陕西文）如图，椭圆 ： （ > >0）经过点 ，且离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 （均异于点 ），证明：直线
与 的斜率之和为 2．
y kx b= + 2 2 29x y m+ = 2 2 2 2( 9) 2 0k x kbx b m+ + + − =
1 2
22 9M
x x kbx k
+= = − + 2
9
9M M
by kx b k
= + = +
OM 9M
OM
M
yk x k
= = − 9OMk k⋅ = −
OM l
OAPB
l ( , )3
m m
l C 0k > 3k ≠
OM 9y xk
= − P Px
2 2 2
9 ,
9 ,
y xk
x y m
= −
+ =
2 2
2
29 81P
k mx k
= + 23 9P
kmx
k
±=
+
( , )3
m m l (3 )
3
m kb
−= 2
( 3)
3( 9)M
mk kx k
−= +
OAPB AB OP 2P Mx x=
23 9
km
k
± =
+ 2
( 3)2 3( 9)
mk k
k
−× + 1 4 7k = − 2 4 7k = +
0, 3i ik k> ≠ 1i = 2 l 4 7− 4 7+ OAPB
E
2 2
2 2 1x y
a b
+ = a b (0, 1)A − 2
2
E
(1,1) k E ,P Q A AP
AQ十年高考+大数据预测
【解析】（Ⅰ）由题设知 ， 结合 ，解得 ．
∴椭圆的方程式为 ．
（Ⅱ）由题设知，直线 的方程式为 ，代入 ，
得 ．
由已知 >0．
设 ， ， ， 则 ．
从而直线 的斜率之和
= = ．
32．（2014 江西文理）如图，已知双曲线 ： ( )的右焦点 ，点 分别在 的两条渐
近线上， 轴， ∥ ( 为坐标原点）．
（1）求双曲线 的方程；
（2）过 上一点 的直线 与直线 相交于点 ，与直线 相交于点
，证明：当点 在 上移动时， 恒为定值，并求此定值．
【解析】（1）设 ，∵ ，∴ ，直线 OB 方程为 ，直线 BF 的方程为
，解得 ，又直线 OA 的方程为 ，则
2
2
c
a
= 1b= 2 2 2a b c= + 2a =
2
2 12
x y+ =
PQ 1 +1y k x= −（ ） ( 2)k ≠
2
2 12
x y+ =
2 2(1 2 ) 4 ( 1) 2 ( 2) 0k x k k x k k+ − − + − =
Δ
1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y 1 2 0x x ≠ 1 2 1 22 2
4 ( 1) 2 ( 2),1 2 1 2
k k k kx x x xk k
− −+ = =+ +
,AP AQ 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
AP AQ
y y kx k kx kk k x x x x
+ + + − + −+ = + = +
1 2
1 2 1 2
1 12 (2 )( ) 2 (2 ) x xk k k kx x x x
++ − + = + − 4 ( 1)2 (2 ) 2 2( 1) 22 ( 2)
k kk k k kk k
−+ − = − − =−
C
2
2
2 1x ya
− = 0a > F BA, C
xAF ⊥ BFOBAB ,⊥ OA O
C
C )0)(( 00,0 ≠yyxP 1: 02
0 =− yya
xxl AF M 2
3=x
N P C NF
MF
( ,0)F c 1b = 2 1c a= + 1y xa
= −
1 ( )y x ca
= − ( , )2 2
c cB a
− 1y xa
= 3( , ), .AB
cA c ka a
=十年高考+大数据预测
又∵AB OB，∴ ，解得 ，故双曲线 C 的方程为
（2）由（1）知 ，则直线 的方程为 ，即 ，
∵直线 AF 的方程为 ，∴直线 与 AF 的交点 ，直线 与直线 的交点为
，
则 ，∵是 C 上一点，则 ，代入上式得
，所求定值为 ．
33．（2013 山东文理）椭圆 的左、右焦点分别是 ，离心率为 ，过 且
垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 l．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，连接 ．设 的角平分线 交 的长轴于
点 ，求 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 作斜率为 的直线 ，使得 与椭圆 有且只有一个公共点．设直线
的斜率分别为 ，若 ，试证明 为定值，并求出这个定值．
【解析】：（Ⅰ）由于 ，将 代入椭圆方程 得
由题意知 ，即 ，又 ，
∴ ， ，∴椭圆方程为 ．
（Ⅱ）由题意可知： = ， = ，
设 其中 ，将向量坐标代入并化简得： ，
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F 3
2 1F
x C
C
P C 1 2,PF PF 1 2F PF∠ PM C
( ),0M m m
P k l l C 1 2,PF PF
1 2,k k 0k ≠
1 2
1 1
kk kk
+
2 2 2c a b= − x c= − 2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2by a
= ±
22 1b
a
= 22a b= ce a
= = 3
2
2a = 1b =
2
2 14
x y+ =
1
1| || |
PF PM
PF PM
⋅
2
2| || |
PF PM
PF PM
⋅
1
1| |
PF PM
PF
⋅
2
2| |
PF PM
PF
⋅
0 0( , )P x y 2
0 4x ≠ 2 3
0 0 0(4 16) 3 12m x x x− = −
⊥ 3 1( ) 1a a
− = − 2 3a =
2
2 1.3
x y− =
3a = l 0
0 01( 0)3
x x y y y− = ≠ 0
0
3
3
x xy y
−=
2x = l 0
0
2 3(2, )3
xM y
−
l 3
2x =
0
0
3 33 2( , )2 3
x
N y
−
22
0
2 2 2
0 0
4(2 3)
9[ ( 2) ]
xMF
NF y x
−= + −
2
20
0 1.3
x y− =
2 22
0 0
22 2 2
200 0
0
4(2 3) 4(2 3) 4
9[ ( 2) ] 39[ 1 ( 2) ]3
x xMF
xNF y x x
− −= = =+ − − + −
2 3
3
MF
NF
=十年高考+大数据预测
∵ ，
∴ ，而 ，∴
（Ⅲ）由题意可知，l 为椭圆的在 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：
，∴ ，而 ，代入 中得
为定值．
34．（2012 湖南理）在直角坐标系 中，曲线 的点均在 ： 外，且对 上任意一点
， 到直线 的距离等于该点与圆 上点的距离的最小值．
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）设 （ ）为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，分别与曲线 相交于点 A，B
和 C，D．证明：当 在直线 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为定值．
【解析】（Ⅰ）解法 1 ：设 M 的坐标为 ，由已知得 ，
易知圆 上的点位于直线 的右侧．于是 ，所以 ．
化简得曲线 的方程为 ．
解法 2 ：由题设知，曲线 上任意一点 M 到圆心 的距离等于它到直线 的距离，因此，曲
线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，故其方程为 ．
（Ⅱ）当点 P 在直线 上运动时，P 的坐标为 ，又 ，则过 P 且与圆 相切的直线的
斜率 存在且不为 0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 ．于
是
整理得 ①
设过 P 所作的两条切线 的斜率分别为 ，则 是方程①的两个实根，故
2
0 4x ≠
0
3
4m x= 0 ( 2,2)x ∈ − 3 3( , )2 2m∈ −
P
0
0 14
x x y y+ = 0
04
xk y
= − 0 0
1 2,
3 3
y yk k
x x
= =
+ − 1 2
1 1
kk kk
+
0 0
1 2 0 0
3 31 1 4( ) 8x x
kk kk x x
+ −+ = − + = −
( , )x y 2 22 ( 5) 3x x y+ = − + −
2C 2x = − 2 0x + > 2 2( 5) 5x y x− + = +
1C 2 20y x=
1C 2C (5,0) 5x = −
1C (5,0) 5x = − 2 20y x=
4x = − 0( 4, )y− 0 3y ≠ ± 2C
k 0 ( 4),y y k x− = + 0即kx- y+y +4k=0
0
2
5 4 3.
1
k y k
k
+ + =
+
2 2
0 072 18 9 0.k y k y+ + − =
,PA PC 1 2,k k 1 2,k k
xoy 1C 2C 2 2( 5) 9x y− + = 1C
M M 2x = − 2C
1C
0 0( , )P x y 3y ≠ ± 2C P 2C 1C
P 4x = −十年高考+大数据预测
②
由 得 ③
设四点 A，B，C，D 的纵坐标分别为 ，则 是方程③的两个实根，所以
④
同理可得
⑤
于是由②，④，⑤三式得
．
所以当 P 在直线 上运动时，四点 的纵坐标之积为定值 6400．
考点 100 最值与范围问题
34．【2020 年江苏 18】在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，
点
在椭圆 上且在第一象限内， ，直线 与椭圆 相交于另一点 ．
（1）求 的周长；
（2）在 轴上任取一点 ，直线 与椭圆 的右准线相交于点 ，求 的最小值；
（3）设点 在椭圆 上，记 与 的面积分别为 ，若 ，求点 的坐标．
0 0
1 2
18 .72 4
y yk k+ = − = −
1 0 1
2
4 0,
20 ,
k x y y k
y x
− + + =
=
2
1 0 120 20( 4 ) 0.k y y y k− + + =
1 2 3 4, , ,y y y y 0 1
1 2
1
20( 4 ) .y ky y k
+⋅ =
0 2
3 4
2
20( 4 ) .y ky y k
+⋅ =
0 1 0 2
1 2 3 4
1 2
400( 4 )( 4 )y k y ky y y y k k
+ +=
2
0 1 2 0 1 2
1 2
400 4( ) 16y k k y k k
k k
+ + + =
4x = − , , ,A B C D
xOy
2 2
: 14 3
x yE + = 1F 2F
A E 2 1 2AF F F⊥ 1AF E B
1 2AF F∆
x P AP E Q OP QP⋅
M E OAB∆ MAB∆ 1 2,S S 2 13S S= M
1 2,y y
2 2
0 0 1 2
1 2
400[ 16 ] 6400y y k k
k k
− += =十年高考+大数据预测
【答案】见解析
【解析】（1） 的周长 ．
（2）由椭圆方程得 ，设点 ，则直线 方程为 ，
令 得 ，即 ， ，
，即 的最小值为 ．
（3）设 到直线 的距离为 ， 到直线 的距离为 ，
若 ，则 ，即 ，
由（1）可得直线 方程为 ，即 ，∴ ， ．
由题意得， 点应为与直线 平行且距离为 的直线与椭圆的交点，
设平行于 的直线 为 ，与直线 的距离为 ，
∴ ，即 或 ．
当 时，直线 为 ，即 ，
联立 可得 ，即 或 ，
∴ 或 ．
1 2AF F∆ 2 2 6l a c= + =
3(1, )2A ( ,0)P t AP
3
2 ( )1y x tt
= −−
2
4ax c
= =
36 12 32
1 2(1 )Q
t ty t t
− −= =− −
12 3(4, )2 2
tQ t
−
−
12 3( 4, )2 2
tQP t t
−= − −
2 24 ( 2) 4 4OP QP t t t⋅ = − = − − ≥ − OP QP⋅ 4−
O AB 1d M AB 2d
2 13S S= 2 1
1 1| | | | 32 2AB d AB d× × = × × × 2 13d d=
AB 3( 1)4y x= + 3 4 3 0x y− + = 1
3
5d = 2
9
5d =
M AB 9
5
AB l 3 4 0x y m− + = AB 9
5
| 3| 9
59 16
m − =
+ 6m = − 12
6m = − l 3 4 6 0x y− − = 3( 2)4y x= −
2 2
3( 2)4
14 3
y x
x y
= −
+ =
( 2)(7 2) 0x x− + = 2
0
M
N
x
y
=
=
2
7
12
7
M
N
x
y
=
−
=
−
(2,0)M 2 12( , )7 7
− −十年高考+大数据预测
当 时，直线 为 ，即 ，
联立 可得 ， ，∴无解．
综上所述， 点坐标为 或 ．
36．【2020 浙江 21】如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点 A 是椭圆 与抛
物线 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 于点 B，交抛物线 于 M（B，M 不同于 A）．
（Ⅰ）若 ，求抛物线 的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值．
【解析】（Ⅰ）当 时， 的方程为 ，故抛物线 的焦点坐标为 ；
（Ⅱ）设
由
由 M 在抛物线上，∴
12m = l 3 4 12 0x y− + = 3( 4)4y x= +
2 2
3( 4)4
14 3
y x
x y
= +
+ =
221 18 24 04 x x+ + = 9 (36 56) 0∆ = × − <
M (2,0) 2 12( , )7 7
− −
2
2
1 : 12
xC y+ = 2
2 : 2 ( 0)C y px p= > 1C
2C 1C 2C
1
16
=p 2C
1
16
=p 2C 2 1
8y x= 2C 1( ,0)32
( ) ( ) ( )1 1 2 2 0 0, , , , , , :A x y B x y M mlx y x yλ= +
( )2 2
2 2 22 2 2 2 2 0x y y my m
x y m
λ λ
λ
+ = ⇒ + + + − = = +
1 2 0 0 02 2 2
2 2, ,2 2 2
m m my y y x y m
λ λ λλ λ λ
− −∴ + = = = + =+ + +
( )
2 2 2
2 2 22
4 42 22
m pm m p
λ λ
λ λλ
= ⇒ =+ ++
2
2 22 2 ( ) 2 2 0y px y p y m y p y pm
x y m
λ λ
λ
= ⇒ = + ⇒ − − = = +十年高考+大数据预测
由 即
∴ ， ， ，∴ 的最大值为 ，此时 ．
37．【2019 全国Ⅱ理】已知点 A(−2，0)，B(2，0)，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为− ．记
M 的轨迹为曲线 C．
（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C
于点 G．
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）由题设得 ，化简得 ，∴C 为中心在坐标原点，焦点在 x
轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 ．
由 得 ．
记 ，则 ．
1
2
1 0 1 0
2
1 2
0 2
2 2
22 2 2
y y p
x x y m y m p m
mx p m
λ
λ λ λ
λ λ
∴ + =
∴ + = + + + = +
∴ = + − +
2
2
2
2
1{ 4 2,2
2
x y x px
y px
+ = ⇒ + =
=
2 4 2 0x px+ − =
2
2
1
4 16 8 2 4 22
p px p p
− + +⇒ = = − + +
2
2 2 2
2 2
1 82 4 2 2 2 2 8 162
pp p p m p p p
λλ λλ λ
+⇒ − + + = + ⋅ = + + ≥+
24 2 18p p+ ≥ 2 1
160p ≤ 10
40p ≤ p 10
40
2 10 5( , )5 5A
1
2
PQG△
PQG△
16
9
1
2 2 2
y y
x x
⋅ = −+ −
2 2
1(| | 2)4 2
x y x+ = ≠
( 0)y kx k= >
2 2
14 2
y kx
x y
= + =
2
2
1 2
x
k
= ±
+
2
2
1 2
u
k
=
+ ( , ), ( , ), ( ,0)P u uk Q u uk E u− −十年高考+大数据预测
于是直线 的斜率为 ，方程为 ．
由 得
．①
设 ，则 和 是方程①的解，故 ，由此得 ．
从而直线 的斜率为 ．
∴ ，即 是直角三角形．
（ ii ） 由 （ i ） 得 ， ， ∴ △ PQG 的 面 积
．
设 t=k+ ，则由 k>0 得 t≥2，当且仅当 k=1 时取等号．
∵ 在[2，+∞）单调递减，∴当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值为 ．
因此，△PQG 面积的最大值为 ．
38．【2019 浙江】如图，已知点 为抛物线 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A、B
两点，点 C 在抛物线上，使得 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的右侧．记
的面积分别为 ．
（1）求 p 的值及抛物线的准线方程；
（2）求 的最小值及此时点 G 的坐标．
QG
2
k ( )2
ky x u= −
2 2
( ),2
14 2
ky x u
x y
= −
+ =
2 2 22 2(2 ) 2 8 0k x uk x k u+ − + − =
( , )G GG x y u− Gx
2
2
(3 2)
2G
u kx k
+= +
3
22G
uky k
= +
PG
3
2
2
2
12
(3 2)
2
uk ukk
u k kuk
−+ = −+ −+
PQ PG⊥ PQG△
2| | 2 1PQ u k= +
2
2
2 1| | 2
uk kPG k
+= +
2
2 2
2
18( )1 8 (1 )| | 12 (1 2 )(2 ) 1 2( )
kk k kS PQ PG k k kk
++= = =+ + + +
‖
1
k
2
8
1 2
tS t
= +
16
9
16
9
(1 0)F ， 2 2 ( 0)y px p= >
ABC△
,AFG CQG△ △ 1 2,S S
1
2
S
S十年高考+大数据预测
【解析】（1）由题意得 ，即p=2．
∴，抛物线的准线方程为x=−1．
（2）设 ，重心 ．令 ，则 ．
由于直线AB过F，故直线AB方程为 ，代入 ，得
，
故 ，即 ，∴ ．
又 由 于 及 重 心 G 在 x 轴 上 ， 故 ， 得
．
∴，直线AC方程为 ，得 ．
由于Q在焦点F的右侧，故 ．从而
．
令 ，则m>0，
12
p =
( ) ( ) ( ), , , , ,A A B B c cA x y B x y C x y ( ),G GG x y 2 , 0Ay t t= ≠ 2
Ax t=
2 1 12
tx yt
−= + 2 4y x=
( )2
2 2 1
4 0
t
y yt
−
− − =
2 4Bty = − 2
By t
= − 2
1 2,B t t
−
( ) ( )1 1,3 3G A B c G A B cx x x x y y y y= + + = + + 22 0ct yt
− + =
2 4 2
2
1 1 2 2 2,2 , ,03
t tC t t Gt t t
− + − −
( )22 2y t t x t− = − ( )2 1,0Q t −
2 2t >
4 2
2 4 2 2
1
2 4 4
2
4
2
2
2 2 21 1 | 2 || | 3 2 22 21 2 2 2 2 1 1| | | 1 | | 2 |2 3
A
c
t t tFG y tS t t t
t tS t tQG y t tt t
− + − ⋅⋅ − −= = = = −− + − −⋅ − − ⋅ −
2 2m t= −十年高考+大数据预测
．
当 时， 取得最小值 ，此时G（2，0）．
39．（2018 浙江 21）
如图，已知点 是 轴左侧（不含 轴）一点，抛物线 上存在不同的两点 满足 的
中点均在 上．
（I）设 中点为 ，证明： 垂直于 轴；
（II）若 是半椭圆 上的动点，求 面积的取值范围．
【解析】解析一【标准答案】： （I）设 ， ， ．
∵ 的中点在抛物线上，∴ 为方程 ，即
的两个不同的实根．
∴ ，因此， 轴．
（II）由（I）可知 ，
1
2
2
1 1 32 2 2 134 3 234 2 4
S m
S m m m mm m
= − = − − = ++ + + + ⋅ +
3m = 1
2
S
S
31 2
+
P y y 2: 4C y x= ,A B ,PA PB
C
AB M PM y
P
2
2 1( 0)4
yx x+ = < PAB△
( )0 0,P x y 2
1 1
1
4 ,A y y
2
2 2
1
4 ,B y y
,PA PB 1 2,y y
22 0
0
1
442 2
y xy y ++ = ×
2 2
0 0 02 8 0y y y x y− + − =
1 2 02y y y+ = PM y⊥
1 2 0
2
1 2 0 0
2 ,
8
y y y
y y x y
+ = ⋅ = −十年高考+大数据预测
∴ ，
因此 的面积 ．
∵ ，∴ ，
因此， 的面积的取值范围是 ．
解法二： （I）设 ， 中点 ． 的中点为 ． 中点为
．由题知 ， ．由三角形知识可知， 三点共线．
当 时， ，同理 ． ， 垂直于 轴．
当 时， 三点都在 轴上，∴ 垂直于 轴．
综上可知， 垂直于 轴．
40．（2017 浙江文理）如图，已知抛物线 ．点 ， ，抛物线上的点
，过点 作直线 的垂线，垂足为 ．
（Ⅰ）求直线 斜率的取值范围；
（Ⅱ）求 的最大值．
【解析】（Ⅰ）设直线 AP 的斜率为 ， ，
( )2 2 2
1 2 0 0 0
1 3 38 4PM y y x y x∴ = + − = − ( )2
1 2 0 02 2 4y y y x− = −
PAB△ ( )3
2 2
1 2 0 0
1 3 2 42 4PABS PM y y y x= ⋅ − = −△
( )2
2 0
0 01 04
yx x+ = < [ ]2 2
0 0 0 04 4 4 4 4 , 5y x x x− = − − + ∈
PAB△ 15 106 2 , 4
( ) ( )1 1 2 2, , ,A Bx y x y AB ( ),M MM x y ,PA PB ,C D CD
( ),N NN x y //AB CD 2AB CD= , ,P M N
2 1x x≠ 2 1
2 1 1 2
4 2
AB
M
y yk x x y y y
−= = =− +
2
CD
N
k y
= M Ny y∴ = PM∴ y
2 1x x= , ,P M N x PM y
PM y
y
x
QA
B
P
O
2x y= 1 1( , )2 4A − 3 9( , )2 4B ( , )P x y
1 3( )2 2x− < < B AP Q
AP
| | | |PA PQ⋅
k
2 1
14
1 2
2
x
k x
x
−
= = −
+十年高考+大数据预测
因为 ，所以直线 AP 斜率的取值范围是 ．
（Ⅱ）联立直线 AP 与 BQ 的方程 解得点 Q 的横坐标是 ，
因为 = = ， = = ，
所以 = ，令 ，因为 ，
所以 在区间 上单调递增， 上单调递减，因此当 时， 取得最大值 ．
41．（2017 山东文）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 C： 的离心率为 ，椭
圆 截直线 所得线段的长度为 ．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)动直线 ： 交椭圆 于 ， 两点，交 轴于点 ．点 是 关于 的对称
点， 的半径为 ．设 为 的中点， ， 与 分别相切于点 ， ，求
的最小值．
xOy
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> > 2
2
C 1y = 2 2
C
l ( 0)y kx m m= + ≠ C A B y M N M O
N | |NO D AB DE DF N E F EDF∠
D
y
x
l
F
A
B
M
E
O
N
1 3
2 2x− < < ( 1,1)−
1 1 0,2 4
9 3 0,4 2
kx y k
x ky k
− + + =
+ − − =
2
2
4 3
2( 1)Q
k kx k
− + += +
| |PA 2 11 ( )2k x+ + 21 ( 1)k k+ + | |PQ 21 ( )Qk x x+ −
2
2
( 1)( 1)
1
k k
k
− +−
+
| || |PA PQ 3( 1)( 1)k k− − + ( )f k = 3( 1)( 1)k k− − + 2( ) (4 2)( 1)f k k k′ = − − +
( )f k 1( 1, )2
− 1( ,1)2
1
2k = | || |PA PQ 27
16十年高考+大数据预测
【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为 ，得 ，又当 时， ，得
，
∴ ， ，因此椭圆方程为 ．
（Ⅱ）设 ，联立方程 ，得 ，
由 得 （*）
且 ，因此 ，∴ ，又 ，
∴ ，整理得： ，
∵ ，∴ ，
令 ， ，故 ，∴ ．
令 ，∴ ．
当 时， ，从而 在 上单调递增，因此 ，等号当且仅当 时成立，
此时 ，∴ ，由（*）得 且 ，故 ，
设 ，则 ，∴ 得最小值为 ．
从而 的最小值为 ，此时直线 的斜率时 ．
综上所述：当 ， 时， 取得最小值为 ．
42．（2017 山东理）在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为
．
2
2
2 2 22( )a a b= − 1y =
2
2 2
2
ax a b
= −
2
2
2 2aa b
− =
2 4a = 2 2b =
2 2
14 2
x y+ =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 22 4
y kx m
x y
= +
+ =
2 2 2(2 1) 4 2 4 0k x kmx m+ + + − =
0∆ > 2 24 2m k< +
1 2 2
4
2 1
kmx x k
+ = + 1 2 2
2
2 1
my y k
+ = + 2 2
2( , )2 1 2 1
km mD k k
− + + (0, )N m−
2 2 2
2 2
2( ) ( )2 1 2 1
km mND mk k
= − + ++ +
2 2 4
2
2 2
4 (1 3 )
(2 1)
m k kND k
+ += +
NF m=
2 4 2 2
2 2 2 2 2
4( 3 1) 8 31(2 1) (2 1)
ND k k k
k kNF
+ + += = ++ +
28 3t k= + 3t ≥ 2 12 1 4
tk
++ =
2
2 2
16 161 1 1(1 ) 2
ND t
tNF t t
= + = ++ + +
1y t t
= + 2
11y t
′ = −
3t ≥ 0y′ > 1y t t
= + [3, )+∞ 1 10
3t t
+ ≥ 3t =
0k =
2
2 1 3 4ND
NF
+ =≤ 2 2m− < < 0m ≠ 1
2
ND
NF
≥
2EDF θ∠ = 1sin 2
NF
ND
θ = ≥ θ
6
π
EDF∠
3
π
l 0
0k = ( 2,0) (0, 2)m∈ − ∪ EDF∠
3
π
xOy E
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( )0a b> > 2
2
2十年高考+大数据预测
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且
， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条
切线，切点分别为 ．求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率．
【解析】（I）由题意知 ， ，∴ ，因此椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）设 ，联立方程 得 ，
由题意知 ，且 ，∴ ．
由题意可知圆 的半径 为 ，
由题设知 ，∴ ，因此直线 的方程为 ．
联立方程 得 ，因此 ．
E
l 1
3
2y k x= − E ,A B C E OC 2k
1 2
2
4k k = M OC : 2:3MC AB = M MC ,OS OT M
,S T SOT∠ l
C T
S
O
M
B
A
l
x
y
2
2
ce a
= = 2 2c = 2, 1a b= = E
2
2 12
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
2
2
1
1,2
3 ,2
x y
y k x
+ =
= −
( )2 2
1 14 2 4 3 1 0k x k x+ − − =
0∆ > ( )1
1 2 1 22 2
1 1
2 3 1,2 1 2 2 1
kx x x xk k
+ = = −+ +
2 2
1 12
1 1 2 2
1
1 1 81 2 1+2
+ += + − = k kAB k x x k
M r
2 2
1 1
2
1
1 + 1 + 82 2 2
3 3 2 + 1
k kr AB
k
= =
1 2
2
4k k = 2
1
2
4k k
= OC
1
2
4y xk
=
2
2
1
1,2
2 ,4
x y
y xk
+ =
=
2
2 21
2 2
1 1
8 1,1 4 1 4
kx yk k
= =+ +
2
2 2 1
2
1
1 8
1 4
kOC x y k
+= + = +十年高考+大数据预测
由题意可知 ，而 ，
令 ，则 ，因此 ，当且仅当
，即 时等号成立，此时 ，∴ ，因此 ，∴ 最大值为 ．
综上所述： 的最大值为 ，取得最大值时直线 的斜率为 ．
43．(2016 全国 II 理)已知椭圆 的焦点在 轴上， 是 的左顶点，斜率为 的直线
交 于 两点，点 在 上， ．
（Ⅰ）当 时，求 的面积；
（Ⅱ）当 时，求 的取值范围．
【解析】（I）设 ，则由题意知 ．
当 时，椭圆 的方程为 ，A 点坐标为 ，
由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 ．
因此直线 的方程为 ．
将 代入 得 ．
解得 或 ，所以 ．
所以 的面积为 ．
（Ⅱ）由题意知 ，则直线 的方程为 ，
联立 并整理得，
解得 或 ，
1sin 2 1
SOT r
OCr OC
r
∠ = =+ +
2
1
2
1
2 2
1 1
2
1
1 8
1 4
1 1 82 2
3 2 1
k
OC k
r k k
k
+
+=
+ +
+
2
1
2 2
1 1
1 23 2
4 1 4 1
k
k k
+=
+ +
2
11 2t k= + ( )11, 0,1t t
> ∈
2 2
2
3 3 1 3 1 12 2 21 12 1 1 1 92
2 4
OC t
r t t
t t t
= = = ≥
+ − + − − − +
1 1
2t
= 2t = 1
2
2k = ± 1sin 2 2
SOT∠ ≤
2 6
SOT π∠ ≤ SOT∠
3
π
SOT∠
3
π
l 1
2
2k = ±
:E
2 2
13
x y
t
+ = x A E ( 0)k k >
E ,A M N E MA NA⊥
4,| | | |t AM AN= = AMN∆
2 AM AN= k
1 1( , )M x y 1 0y >
4t = E
2 2
14 3
x y+ = ( )2 0− ，
AM 4
π
AM 2y x= +
2x y= − 2 2
14 3
x y+ = 27 12 0y y− =
0y = 12
7y = 1
12
7y =
AMN△ 21 1 12 12 14422 2 7 7 49AMNS AM∆ = = × × × =
3, 0, ( ,0)t k A t> > − AM ( )y k x t= +
( )
2 2
13
x y
t
y k x t
+ =
= +
( )2 2 2 2 23 2 3 0tk x t tk x t k t+ + + − =
x t= −
2
2
3
3
t tk tx tk
−= − +十年高考+大数据预测
所以
由题意 ，所以 的方程为 ，
同理可得
由 ，得 ，即
当 时上式成立，因此 ．
因为 ，即 ，整理得
即 ，解得 ．
44．(2016 天津理)设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ，已知
，其中 为原点， 为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ，
若 ，且 ，求直线 的斜率的取值范围．
【解析】（Ⅰ）设 ，由 ，即 ，
可得 ，又 ，所以 ，因此 ，
所以椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）解：设直线 的斜率为 （ ），则直线 的方程为 ．
设 ，由方程组 ，消去 ，
整理得 ．
2
2 2
2 2
3 61 13 3
t tk t tAM k t ktk tk
−= + − + = + ⋅+ +
MA NA⊥ AN 1 ( )y x tk
= − +
2
2
6 (1 )| | 3
k t kAN k t
+= +
2 AM AN=
2 2
2
3 3
k
tk k t
=+ +
3( 2) 3 (2 1)k t k k− = −
3 2k =
2
3
6 3
2
k kt k
−= −
3t >
2
3
6 3 32
k k
k
− >−
( )( )2
3
1 2
02
k k
k
+ −
2=x 34
68
2
2
+
−=
k
kx 34
68
2
2
+
−=
k
kxB 34
12
2 +
−=
k
kyB
)0,1(F ),0( HyH ),1( HyFH −= )34
12,34
49( 22
2
++
−=
k
k
k
kBF
HFBF ⊥ 0=⋅ HFBF 034
12
34
49
22
2
=+++
−
k
ky
k
k H
k
kyH 12
49 2−=
MH k
kxky 12
491 2−+−=
),( MM yxM
−=
−+−=
)2(
12
491 2
xky
k
kxky y )1(12
920
2
2
+
+=
k
kxM
MAO∆ |||| MOMAMAOMOA ≤⇔∠≤∠ 2222)2( MMMM yxyx +≤+−
1≥Mx 1)1(12
920
2
2
≥+
+
k
k
4
6−≤k 4
6≥k
l ),4
6[]4
6,( +∞−−∞
| | 1AF −
1x = −
12
p = 2p =
2 4 , (1,0)y x F= 2( ,2 ), 0, 1A t t t t≠ ≠ ±十年高考+大数据预测
因为 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF： ， ，由 消去 得
，故 ，所以 ．
又直线 AB 的斜率为 ，故直线 FN 的斜率为 ，从而的直线 FN： ，直线 BN：
，所以 ，
设 M( ，0)，由 A，M，N 三点共线得： ，于是 ，经检验， 或
满足题意．
综上，点 M 的横坐标的取值范围是 ．
45．（2015 重庆文）如图，椭圆 （ > >0）的左、右焦点分别为 ， ，且过 的直线交椭
圆于 两点，且 ．
（Ⅰ）若 |， |，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若| ，且 ，试确定椭圆离心率 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义， ，故 ．
设椭圆的半焦距为 ，由已知 ，因此
，
2 2
2 2 1x y
a b
+ = a b 1F 2F 2F
,P Q PQ ⊥ 1PF
1 2 2PF = + 2 2 2PF = −
1PQ PFλ= 3 4
4 3
λ≤ ≤ e
( ) ( )1 22 | | | | 2 2 2 2 4a PF PF= + = + + − = 2a =
c 1 2PF PF⊥
( ) ( )2 22 2
1 2 1 22 | | | | | | 2 2 2 2 2 3c F F PF PF= = + = + + − =
1x sy= + ( )0s ≠
2 4
1
y x
x sy
=
= +
x
2 4 4 0y sy− − = 1 2 4y y = −
2
1 2,B t t
−
2 1
2t
t −
2 1
2
t
t
−− ( )2 1 12
ty xt
−= − −
2y t
= −
2
2
3 2,1
tN t t
+ − −
m 22
2
2
222
3
1
tt t
tt m t t
+
= +− − −
2
2
2
1
tm t
= − 0m < 2m >
( ) ( ),0 2,−∞ +∞十年高考+大数据预测
即 ，从而 ．故所求椭圆的标准方程为 ．
（Ⅱ）如题(21)图，由 ，
得 ．
由椭圆的定义， ， ，
进而 ．
于是 ．
解得 ，故 ．
由勾股定理得 ，
从而 ，
两边除以 ，得 ，
若记 ，则上式变成 ．
由 ，并注意到 关于 的单调性，得 ，即 ，进而 ，
即 ．
46．（2014 新课标 1 文理） 已知点 ，椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭
3c = 2 2 1b a c= − =
2
2 14
x y+ =
1 1,| | | |PF PQ PQ PFλ⊥ =
2 2 2
1 1 1| | | | | | 1 | |QF PF PQ PFλ= + = +
1 2| | | | 2PF PF a+ = 1 2| | | | 2QF QF a+ =
1 1| | | | | | 4PF PQ QF a+ + =
2
1(1 1 ) | | 4PF aλ λ+ + + =
1 2
4| |
1 1
aPF λ λ
=
+ + +
2
2 1 2
2 ( 1 1)| | 2 | |
1 1
aPF a PF
λ λ
λ λ
+ + −= − =
+ + +
2 2 2 2 2
1 2 2| | | | | | (2 ) 4PF PF PF c c+ = = =
22 2
2
2 2
4 2 ( 1 1) 4
1 1 1 1
a a c
λ λ
λ λ λ λ
+ + −+ = + + + + + +
24a ( ) ( )
2 2
2
2 2
2 2
1 ( 1 1)
1 1 1 1
e
λ λ
λ λ λ λ
+ + −+ =
+ + + + + +
21 1t λ λ= + + +
22
2
2
4 (t 2) 1 1 18 4 2e t t
+ − = = − +
3 4
4 3
λ≤ < 21 1λ λ+ + + λ 3 4t≤ < 1 1 1
4 3t
< ≤ 21 5
2 9e< ≤
2 5
2 3e< ≤
A (0, 2)− E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3
2 F十年高考+大数据预测
圆 的右焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点．
（Ⅰ)求 的方程；
（Ⅱ）设过点 的动直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程．
【解析】
（Ⅱ）
．
47．（2014浙江文理）如图，设椭圆 动直线 与椭圆 只有一个公共点 ，且点
在第一象限．
E AF 2 3
3 O
E
A l E ,P Q OPQ∆ l
2 2 3(c,0) = = 3.3F cc
（I ）设 ，由条件知， ，得
2 2 23 , =2, 1.2
c a b a ca
= = − =又 所以
2
2 1.4
xE y+ =故 的方程为
1 1 2 2: = 2, ( , ), ( , ).l x l y kx P x y Q x y⊥ −当 轴时不合题意，故设
2
22 14
xy kx y= − + =将 代入 得 2 2(1 4 ) 16 12 0.k x kx+ − + =
2
2 2
1,2 2
3 8 2 4 3=16(4 3) 0, .4 4 1
k kk k x k
± −∆ − > > = +当 即 时，
2 2
2
1 2 2
4 1 4 31 .4 1
k kPQ k x x k
+ ⋅ −= + − = +从而
2
2 .
1
O PQ d OPQ
k
= ∆
+
又点 到直线 的距离 所以 的面积
2
2
1 4 4 3= .2 4 1OPQ
kS d PQ k∆
−⋅ = +
2
2
4 44 3 , 0, .44OPQ
tk t t S t t t
∆− = > = =+ +
设 则
4 74, 2 0.2t t kt
+ ≥ = = ± ∆ >因为 当且仅当 ，即 时等号成立，且满足
OPQ ι∆所以，当 的面积最大时， 的方程为 7 72 22 2y x y x= − = − −或
( ),01: 2
2
2
2
>>=+ bab
y
a
xC l C P
P十年高考+大数据预测
（Ⅰ）已知直线 的斜率为 ，用 表示点 的坐标；
（Ⅱ）若过原点 的直线 与 垂直，证明：点 到直线 的距离的最大值为 ．
【解析】（Ⅰ）设直线 的方程为 ，由 ，
消去 得， ，
由于直线 与椭圆 只有一个公共点 ，故 ，即 ，
解得点 的坐标为 ，由点 在第一象限，
故点 的坐标为 ；
（Ⅱ）由于直线 过原点 ，且与 垂直，故直线 的方程为 ，
∴点 到直线 的距离 ，
整理得 ，∵ ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴点 到直线 的距离的最大值为 ．
l k kba ,, P
O 1l l P 1l ba −
x
y
P
l1
lO
l ( )0y kx m k= + < 2 2
2 2 1
y kx m
x y
a b
= + + =
y ( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 0b a k x a kmx a m a b+ + + − =
l C P 0∆ = 2 2 2 2 0b m a k− + =
P
2 2
2 2 2 2 2 2,a km b m
b a k b a k
− + + P
P
2 2
2 2 2 2 2 2
,a k b
b a k b a k
− + +
1l O l 1l 0x ky+ =
P 1l
2 2
2 2 2 2 2 2
21
a k b
b a k b a kd
k
− +
+ +=
+
2 2
2
2 2 2 2
2
a bd
bb a a k k
−=
+ + +
2
2 2
2 2ba k abk
+ ≥
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2
a b a b a b
b b a abb a a k k
− −≤ = −
+ ++ + +
2 bk a
=
P 1l ba −十年高考+大数据预测
48．（2015 山东理）平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，左、
右焦点分别是 、 ．以 为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆
上．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设椭圆 ： ， 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于
两点，射线 交椭圆 于点 ．
（ i ）求 的值；
（ii）求△ 面积的最大值．
【解析】（Ⅰ）由题意知 ，则 ，又 ， ，
可得 ，∴椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）由（I）知椭圆 的方程为 ．
（i）设 ，由题意知 ，
∵ ，又 ，即 ，
∴ ，即 ．
（ii）设 ，将 代入椭圆 的方程，
可得 ，
由 ，可得 ，
则有 ，
xOy C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3
2
1F 2F 1F 2F C
C
E
2 2
2 2 14 4
x y
a b
+ = P C P = +y kx m E ,A B
PO E Q
| |
| |
OQ
OP
ABQ
42 =a 2=a 3
2
c
a
= 2 2 2a c b− =
1=b C 14
2
2
=+ yx
E 1416
22
=+ yx
λ=
||
||),,( 00 OP
OQyxP ),( 00 yxQ λλ −−
14
2
0
2
0 =+ yx 14
)(
16
)( 2
0
2
0 =−+− yx λλ
1)4(4
2
0
2
0 =+ yxλ
2=λ 2||
|| =
OP
OQ
),(),,( 2211 yxByxA mkxy += E
01648)41( 222 =−+++ mkm
0>∆ 22 164 km +<
2
2
21221 41
164,41
8
k
m
kmxx +
−=+−=+十年高考+大数据预测
∴ ．
∵直线 与 轴交点的坐标为 ，
∴ 的面积
令 ，将 代入椭圆 的方程，
可得 ，
由 ，可得 ，
由①②可知 ，因此 ，
故 ，
当且仅当 时，即 时取得最大值 ，
由（i）知， 面积为 ，
∴ 面积的最大值为 ．
49．（2014 山东文理）已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于 原点的任意一点，过点
的直线 交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 ，当点 的横坐标为 3 时，
为正三角形．
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点 ，
（ⅰ）证明直线 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）由题意知 ，设 ，则 的中点为
因为 ，由抛物线的定义可知 ，
2
22
21 41
4164|| k
mkxx +
−+=−
mkxy += y ),0( m
OAB∆ ||||2
1
21 xxmS −= 2
22
41
||4162
k
mmk
+
−+=
2
222
41
)416(2
k
mmk
+
−+= 2
2
2
2
41)414(2 k
m
k
m
++−=
tk
m =+ 2
2
41 mkxy += C
0448)41( 222 =−+++ mkm
0∆≥ 22 41 km +≤
10 ≤< t ttttS 42)4(2 2 +−=−=
2 3S ≤
1=t 22 41 km += 32
ABQ∆ S3
ABQ∆ 36
）＞0(2: 2 ppxyC = F A C
A l C B x D FA FD= A ADF∆
C
ll //1 1l C E
AE
ABE∆
( ,0)2
pF ( ,0)( 0)D t t > FD 2( ,0)4
p t+
FA FD= 3 2 2
p pt+ = −十年高考+大数据预测
解得 或 （舍去）
由 ，解得 ．所以抛物线 的方程为 ．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知 ，设 ．
因为 ，则 ，
由 得 ，故 ，故直线 的斜率
因为直线 和直线 平行，
设直线 的方程为 ，代入抛物线的方程得 ，
由题意 ，得
设 ，则
当 时， ，
可得直线 的方程为 ，由 ，
整理得 ，直线 恒过点
当 时，直线 的方程为 ，过点 ，所以直线 过定点 ．
（ⅱ）由（ⅰ）知直线 过定点 ，
所以 ．
设直线 的方程为 ，因为点 在直线 上
故 ．设 ，直线 的方程为
3t p= + 3t = −
2 34
p t+ = 2p = C 2 4y x=
(1,0)F 0 0 0 0( , )( 0)A x y x y ≠ ( ,0)( 0)D DD x x >
FA FD= 01 1Dx x− = +
0Dx > 0 2Dx x= + 0( 2,0)D x + AB 0
2AB
yk = −
1l AB
1l 0
2
yy x b= − + 2
0 0
8 8 0by yy y
+ − =
2
0 0
64 32 0b
y y
∆ = + =
0
2b y
= −
( , )E EE x y 2
0 0
4 4,E Ey xy y
= − =
2
0 4y ≠ 0 0
2
0 0
4
4
E
AE
E
y y yk x x y
−= =− −
AE 0
0 02
0
4 ( )4
yy y x xy
− = −−
2
0 04y x=
0
2
0
4 ( 1)4
yy xy
= −− AE (1,0)F
2
0 4y = AE 1x = (1,0)F AE (1,0)F
AE (1,0)F
0 0
0 0
1 1( 1) ( 1) 2AE AF FE x xx x
= + = + + + = + +
AE 1x my= + 0 0( , )A x y AE
0
0
1xm y
−= 1 1( , )B x y AB 0
0 0( )2
yy y x x− = − −十年高考+大数据预测
由于 ，可得 ，代入抛物线的方程得
所以 ，可求得 ，
所以点 到直线 的距离为
= =
则 的面积 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 的面积的最小值为 ．
50．（2014 山东理）在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，直线
被椭圆 截得的线段长为 ．
（Ｉ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点）．点 D 在椭圆 C 上，且
，直线 BD 与 轴、 轴分别交于 M，N 两点．
（ⅰ）设直线 BD，AM 的斜率分别为 ，证明存在常数 使得 ，并求出 的值；
（ⅱ）求 面积的最大值．
【解析】（Ｉ）由题意知 ，可得 ．
椭圆 C 的方程可化简为 ．
将 代入可得 ，
因此 ，可得 ．
xOy
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 3
2 y x=
C 4 10
5
C
AD AB⊥ x y
1 2,k k λ 1 2k kλ= λ
OMN∆
2 2 3
2
a b
a
− = 2 24a b=
2 2 24x y a+ =
y x= 5
5
ax = ±
2 5 4 102 5 5
a× = 2a =
0 0y ≠ 0
0
2 2x y xy
= − + + 2
0
0
8 8 4 0y y xy
+ − − =
0 1
0
8y y y
+ = − 1 0
0
8y y y
= − − 1 0
0
4 4x xx
= + +
B AE
0 0
0 0
2
4 84 ( ) 1
1
x m yx yd
m
+ + + + −
=
+
0
0
4( 1)x
x
+
0
0
14( )x
x
+
ABE∆ 0 0
00
1 1 14( )( 2) 162S x x xx
= × + + + ≥
0
0
1 xx
= 0 1x =
ABE∆ 16十年高考+大数据预测
因此 ，
∴椭圆 C 的方程为 ．
（Ⅱ）（ⅰ）设 ，则 ，
∵直线 AB 的斜率 ，
又 ，∴直线 AD 的斜率 ，
设直线 AD 的方程为 ，
由题意知 ，
由 ，可得 ．
∴ ，
因此 ，
由题意知， ，∴ ，
∴直线 BD 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ．可得 ．
∴ ，即 ．
因此存在常数 使得结论成立．
（ⅱ）直线 BD 的方程 ，
令 ，得 ，即 ，
由（ⅰ）知 ，
1b =
2
2 14
x y+ =
1 1 1 1 2 2( , )( 0), ( , )A x y x y D x y≠ 1 1( , )B x y− −
1
1
AB
yk x
=
AB AD⊥ 1
1
xk y
= −
y kx m= +
0, 0k m≠ ≠
2
2 14
y kx m
x y
= + + =
2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x mkx m+ + + − =
1 2 2
8
1 4
mkx x k
+ = − +
1 2 1 2 2
2( ) 2 1 4
my y k x x m k
+ = + + = +
1 2x x≠ 1 2 1
1
1 2 1
1
4 4
y y yk x x k x
+= = − =+
1
1 1
1
( )4
yy y x xx
+ = +
0y = 13x x= 1(3 ,0)M x 1
2
12
yk x
= −
1 2
1
2k k= − 1
2
λ = −
1
2
λ = −
1
1 1
1
( )4
yy y x xx
+ = +
0x = 1
3
4y y= − 1
3(0, )4N y−
1(3 ,0)M x十年高考+大数据预测
可得 的面积 ，
∵ ，当且仅当 时等号成立，
此时 S 取得最大值 ，∴ 的面积的最大值为 ．
51．（2014 四川文理）已知椭圆 C： （ ）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一
个端点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q．
（i）证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）；
（ii）当 最小时，求点 T 的坐标．
【解析】（1）依条件 ，∴椭圆 C 的标准方程为 ．
（Ⅱ）设 ， ， ，又设 中点为 ，
（i）∵ ，∴直线 的方程为： ，
，∴
于是 ， ，∴ ．
∵ ，∴ ， ， 三点共线，即 OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）．
（ii） ， ，
OMN∆ 1 1 1 1
1 3 93| | | | | || |2 4 8S x y x y= × × =
2
21
1 1 1| || | 14
xx y y≤ + = 1
1
| | 2| |2 2
x y= =
9
8 OMN∆ 9
8
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> >
3x = −
| |
| |
TF
PQ
2
2
2 2 2
2
63
24
c
aa b
ba b c
=
= = ⇒ = − = =
2 2
16 2
x y+ =
( 3, )T m− 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y PQ 0 0( , )N x y
( 2,0)F − PQ 2x my= −
2 22 2
2
( 3) 4 2 0
16 2
x my
m y myx y
= − ⇒ + − − = + =
2 2 2
1 2 2
1 2 2
16 8( 3) 24( 1) 0
4
3
2
3
m m m
my y m
y y m
∆ = + + = + >
+ = +
− = +
1 2
0 2
2
2 3
y y my m
+= = +
2
0 0 2 2
2 62 23 3
mx my m m
−= − = − =+ + 2 2
6 2( , )3 3
mN m m
−
+ +
3OT ON
mk k= − = O N T
2| | 1TF m= +
2
2 2
1 2 2
24( 1)| | | | 1 13
mPQ y y m mm
+= − + = ++十年高考+大数据预测
∴ ，令 （ ），
则 （当且仅当 时取“ ”），
∴当 最小时， 即 或 ，此时点 T 的坐标为 或 ．
52．（2013 广东文理）已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为
．设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ，其中 为切点．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）当点 为直线 上的定点时，求直线 的方程；
（Ⅲ）当点 在直线 上移动时，求 的最小值．
【解析】（Ⅰ）依题意 ，解得 （负根舍去）
抛物线 的方程为 ．
（Ⅱ）设点 ， ， ，
由 ，即 得 ．
∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，
即 ．
∵ ， ∴ ．
∵点 在切线 上， ∴ ． ①
2 2
2 2
2
2
| | 1 3
| | 24( 1) 24( 1)13
TF m m
PQ m mmm
+ += =
+ +++
2 1m x+ = 1x ≥
2| | 2 1 2 3( )| | 32 6 2 6
TF x xPQ xx
+= = + ≥ 2 2x = =
| |
| |
TF
PQ
2 2x = 1m = 1− ( 3,1)− ( 3, 1)− −
C ( )( )0, 0F c c > : 2 0l x y− − =
3 2
2 P l P C ,PA PB ,A B
C
( )0 0,P x y l AB
P l AF BF⋅
0 2 3 2
22
cd
− −= = 1c =
∴ C 2 4x y=
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ),( 00 yxP
2 4x y= 21
4y x ,= y′ = 1
2 x
C A PA )(2 1
1
1 xxxyy −=−
2
11
1
2
1
2 xyxxy −+=
2
11 4
1 xy = 1
1
2 yxxy −=
),( 00 yxP 1l 10
1
0 2 yxxy −=十年高考+大数据预测
同理， ． ②
综合①、②得 ，点 的坐标都满足方程 ．
∵经过 两点的直线是唯一的，
∴直线 的方程为 ，即 ．
（Ⅲ）由抛物线的定义可知 ，
所以
联立 ，消去 得 ，
当 时， 取得最小值为 ．
53．（2011 新课标文理）在平面直角坐标系 中， 已知点 ， 点在直线 上， 点满足
， ， 点的轨迹为曲线 C．
（Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ） 为 C 上动点， 为 C 在点 处的切线，求 点到 距离的最小值．
【解析】（Ⅰ）设 ，由已知得 ， ．
所以 = ， =(0， )， =( ，-2)．
再由题意可知（ + ）• =0， 即（ ， ）• ( ，－2)=0．
所以曲线 C 的方程式为 ．
（Ⅱ）设 为曲线 C： 上一点，因为 ，所以 的斜率为 ，
20
2
0 2 yxxy −=
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y yxxy −= 00 2
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
AB yxxy −= 00 2 0 02 2 0x x y y− − =
1 21, 1AF y BF y= + = +
( )( )1 2 1 2 1 21 1 1AF BF y y y y y y⋅ = + + = + + +
2
0 0
4
2 2 0
x y
x x y y
=
− − =
x ( )2 2 2
0 0 02 0y y x y y+ − + =
2 2
1 2 0 0 1 2 02 ,y y x y y y y∴ + = − =
0 0 2 0x y− − =
( )22 2 2
0 0 0 0 0 02 1= 2 2 1AF BF y y x y y y∴ ⋅ = − + + − + + +
2
2
0 0 0
1 9=2 2 +5=2 +2 2y y y + +
∴ 0
1
2y = − AF BF⋅ 9
2
xoy (0, 1)A − B 3y = − M
/ /MB OA MA AB MB BA=
M
P l P O l
( , )M x y ( , 3)B x − (0, 1)A −
MA ( , 1 )x y− − − MB 3 y− − AB x
MA MB AB x− 4 2y− − x
21 24y x= −
0 0( , )P x y 21 24y x= − 1
2y x′ = l 0
1
2 x十年高考+大数据预测
因此直线 的方程为 ，即 ．
则 点到 的距离 ．又 ，所以
当 =0 时取等号，所以 点到 距离的最小值为 2．
54．（2011 广东文理）设圆 C 与两圆 中的一个内切，另一个外切．
（1）求 C 的圆心轨迹 L 的方程；
（2）已知点 M ，且 P 为 L 上动点，求 的最大值及此时点 P 的坐标．
【解析】（1）设 C 的圆心的坐标为 ，由题设条件知
化简得 L 的方程为
（2）过 M，F 的直线 方程为 ，将其代入 L 的方程得
解得
因 T1 在线段 MF 外，T2 在线段 MF 内，故
，若 P 不在直线 MF 上，在 中有
故 只在 T1 点取得最大值 2．
2 2 2 2( 5) 4,( 5) 4x y x y+ + = − + =
3 5 4 5( , ), ( 5,0)5 5 F MP FP−
x
y
l
T2
T1
O F
P
M
l 0 0 0
1 ( )2y y x x x− = − 2
0 0 02 2 0x x y y x− + − =
O l
2
0 0
2
0
| 2 |
4
y xd
x
−=
+
2
0 0
1 24y x= −
2
0 2
02 2
0 0
1 4 1 42 ( 4 ) 2,24 4
x
d x
x x
+
= = + + ≥
+ +
2
0x O l
( , )x y
2 2 2 2| ( 5) ( 5) | 4,x y x y+ + − − + =
2
2 1.4
x y− =
l 2( 5)y x= − − 215 32 5 84 0.x x− + =
1 2 1 2
6 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5, , ( , ), ( , ).5 15 5 5 15 15x x l L T T= = −故 与 交点为
1 1| | | | | | 2,MT FT MF− = =
2 2| | | | | | 2.MT FT MF− < = MFP∆ | | | | | | 2.MP FP MF− < =
| | | |MP FP−十年高考+大数据预测
考点 101 探索型与存在性问题
55．【2018 上海 20】（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分，第 3
小题满分 6 分）
设常数 ，在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线 ，曲线 ．
与 轴交于点 ，与 交于点 分别是曲线 与线段 上的动点．
（1）用 为表示点 到点 的距离；
（2）设 ，线段 的中点在直线 上，求 的面积；
（3）设 ，是否存在以 为邻边的矩形 ，使得点 在 上？若存在，求点 的坐标；若不
存在，说明理由．
【解析】（1）由抛物线的几何性质可得点 到点 的距离为 ．
（2）由已知 ，直线 的方程为 ，联立 解得 ．
又点 ．
（3）存在．理由如下：
焦点为 ，设 ，则 ，根据 得到
，解得 满足题意．
56．（2016 全国 I 文）在直角坐标系 中，直线 ： 交 轴于点 ，交抛物线 ：
于点 ， 关于点 的对称点为 ，连结 并延长交 于点 ．
（I）求 ；
（II）除 以外，直线 与 是否有其它公共点？说明理由．
【解析】（Ⅰ）由已知得 ， ．
又 为 关于点 的对称点，故 ， 的方程为 ，
2t > xOy ( )2 0F , :l x t= ( )2: 8 0 0y x x t yΓ = ≤ ≤ ≥, l
x A Γ B P Q, , Γ AB
t B F
, 23t FQ= = OQ FP AQP△
8t = FP FQ, FPEQ E Γ P
B F 2t +
( )3 , 3 3Q FP ( )3 2y x= − − 2 8y x= 2
3Px =
( ) 1 2 33 , 0 , 3 32 3 6AQPA S
7 ∴ = × × − = △
( )2 , 0F
2
,8
nP n
2
2
8 16,18 8PF QF
n nk kn n
−= =− FP FQ FE+ =
22 2 2 248 486 , , 8 68 4 4 8
n n n nE n n
+ ++ ∴ = +
2 16 ,5n = ∴ 2 4 5,5 5P
),0( tM ),2(
2
tp
tP
N M P ),(
2
tp
tN ON xt
py =
xOy l ( 0)y t t= ≠ y M C
2 2 ( 0)y px p= > P M P N ON C H
| |
| |
OH
ON
H MH C十年高考+大数据预测
代入 整理得 ，解得 ， ，
因此 ．所以 为 的中点，即 ．
（Ⅱ）直线 与 除 以外没有其它公共点．理由如下：
直线 的方程为 ，即 ．
代入 得 ，解得 ，即直线 与 只有一个公共点，所以除 以
外直线 与 没有其它公共点．
57．（2015 新课标 1 理）在直角坐标系 中，曲线 ： 与直线 交与 ， 两
点，
（Ⅰ）当 时，分别求 在点 和 处的切线方程；
（Ⅱ） 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 ？说明理由．
【解析】（Ⅰ）由题设可得 ， ，或 ，
．∵ ，故 在 = 处的导数值为 ，
在 处的切线方程为 ，即 ．
故 在 处的导数值为 ， 在 处的切线方程为
，即 ．
故所求切线方程为 或 ．
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设 为符合题意的点， ， ，
直线 ， 的斜率分别为 ．
将 代入 的方程整理得 ．
pxy 22 = 02 22 =− xtpx 01 =x p
tx
2
2
2=
)2,2(
2
tp
tH N OH 2||
|| =
ON
OH
MH C H
MH xt
pty 2
=− )(2 typ
tx −=
pxy 22 = 044 22 =+− ttyy tyy 221 == MH C H
MH C
xoy C
2
4
xy = y kx a= + ( 0)a > M N
0k = C M N
y P k OPM OPN∠ = ∠
(2 , )M a a ( 2 2, )N a− ( 2 2, )M a−
(2 , )N a a 1
2y x′ =
2
4
xy = x 2 2a a
C (2 2 , )a a ( 2 )y a a x a− = − 0ax y a− − =
2
4
xy = 2 2x a= − a− C ( 2 2 , )a a−
( 2 )y a a x a− = − + 0ax y a+ + =
0ax y a− − = 0ax y a+ + =
(0, )P b 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y
PM PN 1 2,k k
y kx a= + C 2 4 4 0x kx a− − =十年高考+大数据预测
∴ ．
∴ = = ．
当 时，有 =0，则直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补，
故∠ =∠ ，所以 符合题意．
58．（2015 北京理）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 和点
都在椭圆 上，直线 交 轴于点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示）；
（Ⅱ）设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 ．问： 轴上是否存在点 ，使得
？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（Ⅰ）由题意得 解得 =2，故椭圆 的方程为 ．
设 ( ，0)．∵ ，∴ ．
直线 的方程为 ，∴ = ，即 ．
（Ⅱ）∵点 与点 关于 轴对称，∴ ，设 ，则 = ．
“存在点 使得 = 等价”，“存在点 使得 = ”即 满足
．∵ ， ， ，∴ ．
∴ = 或 ，故在 轴上存在点 ，使得 = ，点 的坐标为 或 ．
59．（2015 湖北理）一种作图工具如图 1 所示． 是滑槽 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过
N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 ， ．当栓子 D 在滑槽 AB
内作往复运动时，带动 N 绕 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为 C．以 为原
点， 所在的直线为 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线 C 的方程；
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 2
2
( )0 1P ， ( )A m n， ( )0m≠
C PA x M
C M m n
O B A x PB x N y Q
OQM ONQ∠ = ∠ Q
2 2 2
1,
2 ,2
.
b
c
a
a b c
=
=
= +
2a C
2
2 12
x y+ =
M Nx 0m ≠ 1 1n− < <
PA 11 ny xm
−− = Mx 1
m
n− ( ,0)1
mM n−
B A x ( , )B m n− ( ,0)NN x Nx 1
m
n+
(0, )QQ y OQM∠ ONQ∠ (0, )QQ y
OM
OQ
OQ
ON Qy
2
Q M Ny x x=
1M
mx n
= − 1N
mx n
= +
2
2 12
m n+ =
2
2
2 21Q M N
my x x n
= = =−
Qy 2 2Qy = − y Q OQM∠ ONQ∠ Q (0, 2) (0, 2)−
1 2 1 24 , 4x x k x x a+ = = −
1 2
1 2
1 2
y b y bk k x x
− −+ = + 1 2 1 2
1 2
2 ( )( )kx x a b x x
x x
+ − + ( )k a b
a
+
b a= − 1 2k k+ PM PN
OPM OPN (0, )P a−
O AB
1DN ON= = 3MN =
O O
AB x十年高考+大数据预测
（Ⅱ）设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点．若直线 总与曲线 有且只
有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【解析】（Ⅰ）设点 ， ，依题意，
，且 ，
所以 ，且
即 ，且 ．
由于当点 不动时，点 也不动，所以 不恒等于 0，
于是 ，故 ，代入 ，可得 ，
即所求的曲线 的方程为 ．
（Ⅱ）（1）当直线 的斜率不存在时，直线 为 或 ，
都有 ．
（2）当直线 的斜率存在时，设直线 ，
由 ，消去 ，可得 ．
因为直线 总与椭圆 有且只有一个公共点，
所以 ，即 ． ①
l 1 : 2 0l x y− = 2 : 2 0l x y+ = ,P Q l C
( , 0)D t (| | 2)t ≤ 0 0( , ), ( , )N x y M x y
2MD DN= | | | | 1DN ON= =
0 0( , ) 2( , )t x y x t y− − = −
2 2
0 0
2 2
0 0
( ) 1
1
x t y
x y
− + = + =
0
0
2 2
2
t x x t
y y
− = −
= − 0( 2 ) 0t t x− =
D N t
02t x= 0 0,4 2
x yx y= = − 2 2
0 0 1x y+ =
2 2
116 4
x y+ =
C
2 2
116 4
x y+ =
l l 4x = 4x = −
1 4 4 82OPQS∆ = × × =
l 1: ( )2l y kx m k= + ≠ ±
2 24 16
y kx m
x y
= +
+ =
y 2 2 2(1 4 ) 8 4 16 0k x kmx m+ + + − =
l C
2 2 2 264 4(1 4 )(4 16) 0k m k m∆ = − + − = 2 216 4m k= +十年高考+大数据预测
又由 可得 ；同理可得 ．
由原点 到直线 的距离为 和 ，可得
．②
将①代入②得， ．
当 时， ；
当 时， ．
因 ，则 ， ，所以 ，
当且仅当 时取等号．所以当 时， 的最小值为 8．
综合（1）（2）可知，当直线 与椭圆 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值 8．
60．（2015 四川理）如图，椭圆 ： 的离心率是 ，过点 的动直线 与椭
圆相交于 两点，当直线 平行与 轴时，直线 被椭圆 截得的线段长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使得 恒成立？若存在，求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知，点 在椭圆 上．
因此， 解得 ， ．
,
2 0,
y kx m
x y
= +
− =
2( , )1 2 1 2
m mP k k− −
2( , )1 2 1 2
m mQ k k
−
+ +
O PQ
2
| |
1
md
k
=
+
2| | 1 | |P QPQ k x x= + −
2
2
1 1 1 2 2 2| | | || | | |2 2 2 1 2 1 2 1 4OPQ P Q
m m mS PQ d m x x m k k k∆ = ⋅ = − = ⋅ + =− + −
22
2 2
4 12 81 4 4 1OPQ
kmS k k∆
+
= =− −
2 1
4k >
2
2 2
4 1 28( ) 8(1 ) 84 1 4 1OPQ
kS k k∆
+= = + >− −
2 10 4k≤ <
2
2 2
4 1 28( ) 8( 1 )1 4 1 4OPQ
kS k k∆
+= = − +− −
2 10 4k≤ < 20 1 4 1k< − ≤
2
2 21 4k
≥− 2
28( 1 ) 81 4OPQS k∆ = − + ≥−
0k = 0k = OPQS∆
l C
E
2 2
2 2+ 1( 0)x y a ba b
= > > 2
2 (0,1)P l
,A B l x l E 2 2
E
xOy P Q QA PA
QB PB
=
Q
( 2,1) E
2 2
2 2 2
2 1 1,
,
2 ,2
a b
a b c
c
a
+ =
− =
=
2a = 2b =十年高考+大数据预测
所以椭圆的方程为 ．
（2）当直线 与 轴平行时，设直线 与椭圆相交于 、 两点．
如果存在定点 满足条件，则 ，即 ．
所以 点在 y 轴上，可设 点的坐标为 ．
当直线 与 轴垂直时，设直线 与椭圆相交于 、 两点．
则 ， ，
由 ，有 ，解得 或 ．
所以，若存在不同于点 的定点 满足条件，则 点的坐标只可能为 ．
下面证明：对任意的直线 ，均有 ．
当直线 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 ， 、 的坐标分别为 ．
联立 得 ．
其判别式 ，
所以， ．
因此 ．
易知，点 关于 轴对称的点的坐标为 ．
又 ，
所以 ，即 三点共线．
x
y
O
Q
P
A
B B'
2 2
14 2
x y+ =
l x l C D
Q | | | | 1| | | |
QC PC
QD PD
= = | | | |QC QD=
Q Q 0(0, )y
l x l M N
(0, 2)M (0, 2)N −
| | | |
| | | |
QM PM
QN PN
= 0
0
| 2 | 2 1
| 2 | 2 1
y
y
− −=
+ + 0 1y = 0 2y =
P Q Q (0,2)Q
l | | | |
| | | |
QA PA
QB PB
=
l
l l 1y kx= + A B 1 1 2 2( , ),( , )x y x y
2 2
1,4 2
1
x y
y kx
+ =
= +
2 2(2 1) 4 2 0k x kx+ + − =
2 216 8(2 1) 0k k∆ = + + >
1 2 1 22 2
4 2,2 1 2 1
kx x x xk k
+ = − = −+ +
1 2
1 2 1 2
1 1 2x x kx x x x
++ = =
B y 2 2( , )B x y′ −
1 2
1 1 2 2 1
2 21 1 1,QA QB
y yk k k k kx x x x x′
− −= = − = = − + = −−
QA QBk k ′= , ,Q A B′十年高考+大数据预测
所以 ．
故存在与 不同的定点 ，使得 恒成立．
61．（2015 浙江理）已知椭圆 上两个不同的点 关于直线 对称．
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求 面积的最大值（ 为坐标原点）．
【解析】（Ⅰ）由题意知 ，可设直线 的方程为 ．
由 消去 ，得 ．
因为直线 与椭圆 有两个不同的交点，所以 ，①
设 为 的中点，则 ，代入 直线方程 解得 ．②
由①②得 或 ．
（Ⅱ）令 ，则 ，且 到直线 的距离
．
1
2
| || | | | | |
| | | | | | | |
xQA QA PA
QB QB x PB
= = =′
P (0,2)Q | | | |
| | | |
QA PA
QB PB
=
2
2 12
x y+ = ,A B 1
2y mx= +
m
AOB∆ O
0m ≠ AB 1y x bm
= − +
2
2
1
12
y x bm
x y
= − +
+ =
y 2 2
2
1 1 2( ) 1 02
bx x bm m
+ − + − =
1y x bm
= − +
2
2 12
x y+ = 2
2
4Δ 2 2 0b m
= − + + >
M AB
2
2 2
2( , )2 2
mb m bM m m+ +
1
2y mx= +
2
2
2
2
mb m
+= −
6
3m < − 6
3m >
1 6 6( ,0) (0, )2 2t m
= ∈ −
4 2
2
2
32 2 2| | 1 1
2
t t
AB t
t
− + +
= + ⋅
+
O AB
2
2
1
2
1
t
d
t
+
=
+十年高考+大数据预测
设 的面积为 ，所以 ，当且仅当 时，等号
成立，故 面积的最大值为 ．
62．（2014 湖南文理）如图 5， 为坐标原点，双曲线 和椭圆
均过点 ，且以 的两个顶点和 的两个焦点为顶点的四边形
是面积为 2 的正方形．
（Ｉ）求 的方程；
（Ⅱ）是否存在直线 ，使得 与 交于 两点，与 只有一个公共点，且 ？证明
你的结论．
【解析】（Ｉ）设 的焦距为 ，由题可得 ，从而 ，
∵点 在双曲线 上，∴ ，
由椭圆的定义可得
，
，∴ 的方程为 ．
（Ⅱ）不存在符合题设条件的直线．
O
2 2
1 1 12 2
1 1
: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
2 2
2 2 22 2
2 2
: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2 3( ,1)3P 1C 2C
1 2,C C
l l 1C ,A B 2C | | | |OA OB AB+ =
2C 22c 2 12 2,2 2c a= = 1 21, 1a c= =
2 3 ,13P
2
2
2
1
1yx b
− =
2
2
12
1
2 3 2 1 33 bb
− = ⇒ =
( ) ( )
2 2
2 2
2
2 3 2 32 1 1 1 1 2 33 3a
= + − + + + = 2 3a⇒ =
2 2 2
2 2 2 2b a c= − = 1 2,C C
2 2 2
2 1, 13 3 2
y y xx − = + =
ΔAOB ( )S t 2 21 1 1 2( ) | | 2( ) 22 2 2 2S t AB d t= ⋅ = − − + ≤ 2 1
2t =
ΔAOB 2
2十年高考+大数据预测
(1)若直线 垂直于 轴 ，∵ 与 只有一个公共点，
∴直线的方程为 或 ，
当 时，易知 ∴ ，
此时 ．当 时，同理可得 ．
（2）当直线 不垂直于 轴，设 的方程为 ，由
可得 ，当 与 相交于 两点时，
设 ，则 满足上述方程的两个实根，从而
，于是 ，
由 可得 ，∵直线 与 只有一个公共点，∴上述方程的判
别式 ，
化简可得 ，因此
，
于是 ，即 ，∴
，综合（i）（ii）可知，不存在符合题目条件的直线．
63．（2013安徽文理）已知椭圆 的焦距为4，且过点 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设 为椭圆 上一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ．取点 ，
连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ．点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ，
问这样作出的直线 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由．
l x l 2C
2x = 2x = −
2x = ( ) ( )2, 3 , 2, 3 ,A B − 2 2, 2 3OA OB AB+ = =
OA OB AB+ ≠ 2x = − OA OB AB+ ≠
l x l y kx m= + 2
2 13
y kx m
yx
= + − =
( )2 2 23 2 3 0k x kmx m− − − − = l 1C ,A B
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2,x x
2
1 2 1 22 2
2 3,3 3
km mx x x xk k
++ = =− − ( ) 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 2
3 3
3
k my y k x x km x x m k
−= + + + = −
2 2
13 2
y kx m
y x
= + + =
( )2 2 22 3 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = l 2C
( )( )2 2 2 20 16 8 2 3 3 0k m k m∆ = ⇒ − + − =
2 22 3k m= −
2 2 2 2
1 2 1 2 2 2 2
3 3 3 3 03 3 3
m k m kOA OB x x y y k k k
+ − − −⋅ = + = + = ≠− − −
2 2 2 2
2 2OA OB OA OB OA OB OA OB+ + ⋅ ≠ + − ⋅ 2 2
OA OB OA OB+ ≠ −
OA OB AB+ ≠
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ( 2 3)P ，
0 0 0 0( , )( 0)Q x y x y ≠ C Q x E (0,2 2)A
AE A AE x D G D y QG
QG十年高考+大数据预测
【解析】（Ⅰ）∵焦距为 4，所 ，又∵椭圆 C 过点 ，∴ ，故 ，
，从而椭圆 C 的方程为 ．
（Ⅱ）由题意，E 点坐标为 ，设 ，则 ，
，再由 知， ，即 ．
由于 ，故 ．∵点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，∴点 ．
故直线 的斜率 ．
又因 在椭圆 C 上，∴ ． ①
从而
故直线 的方程为 ②
将②代 入椭圆 C 方程，得：
③
再将①代入③，化简得：
解得 ，即直线 与椭圆 C 一定有唯一的公共点．
64．（2013 湖北文理）如图，已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ，长轴均为 且在 轴上，短轴长分
别为 ， ，过原点且不与 轴重合的直线 与 ， 的四个交点按纵坐标从大到小依次为
A，B，C，D．记 ，△ 和△ 的面积分别为 和 ．
2 2 4a b− = ( 2, 3)P 2 2
2 3 1a b
+ − 2 8a =
2 4b =
2 2
18 4
x y+ −
0
( ,0)x ( ,0)D
D x ( )0
, 2 2AE x= −
( )0
, 2 2AD x= − AD AE⊥ 0AE AD• =
0
8 0D
x x + =
0 0
0x y ≠
0
8
D
x x
= −
0
8( ,0)G x
QG 0 0 0
2
0
0
0
8 8QG
y x yk xx x
= = −−
( )0 0,Q x y 2 2
0 02 8x y+ =
0
2QG
n
xk y
=
QG 0
0 0
8
2
xy xy x
= − −
( )2 2 2 2
0 0 02 16 64 16 0nx y x x x y+ − + − =
2 2
02 0nx x x x− + =
0 0,x x y y= = QG
1C 2C O MN x
2m 2 ( )n m n> x l 1C 2C
m
n
λ = BDM ABN 1S 2S十年高考+大数据预测
（Ⅰ）当直线 与 轴重合时，若 ，求 的值；
（Ⅱ）当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ？并说明理由．
【解析】依题意可设椭圆 和 的方程分别为
： ， ： ．其中 ，
（Ⅰ）解法 1：如图 1，若直线 与 轴重合，即直线 的方程为 ，则
， ，∴ ．
在 C1 和 C2 的方程中分别令 ，可得 ， ， ，
于是 ．
若 ，则 ，化简得 ．由 ，可解得 ．
故当直线 与 轴重合时，若 ，则 ．
解法 2：如图 1，若直线 与 轴重合，则
， ；
， ．．
∴ ．
若 ，则 ，化简得 ．由 ，可解得 ．
故当直线 与 轴重合时，若 ，则 ．
（Ⅱ）解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ．根据对称性，
不妨设直线 ： ，
点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则
∵ ， ，∴ ．
l y 1 2S Sλ= λ
λ 1 2S Sλ=
1C 2C
1C
2 2
2 2 1x y
a m
+ = 2C
2 2
2 2 1x y
a n
+ = 0a m n> > > 1.m
n
λ = >
l y l 0x =
1
1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD= ⋅ = 2
1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB= ⋅ = 1
2
| |
| |
S BD
S AB
=
0x = Ay m= By n= Dy m= −
| || | 1
| | | | 1
B D
A B
y yBD m n
AB y y m n
λ
λ
− + += = =− − −
1
2
S
S
λ= 1
1
λ λλ
+ =−
2 2 1 0λ λ− − = 1λ > 2 1λ = +
l y 1 2S Sλ= 2 1λ = +
l y
| | | | | |BD OB OD m n= + = + | | | | | |AB OA OB m n= − = −
1
1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD= ⋅ = 2
1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB= ⋅ =
1
2
| | 1
| | 1
S BD m n
S AB m n
λ
λ
+ += = =− −
1
2
S
S
λ= 1
1
λ λλ
+ =−
2 2 1 0λ λ− − = 1λ > 2 1λ = +
l y 1 2S Sλ= 2 1λ = +
1 2S Sλ=
l ( 0)y kx k= >
( , 0)M a− ( , 0)N a l 1d 2d
1 2 2
| 0 |
1 1
ak akd
k k
− −= =
+ + 2 2 2
| 0 |
1 1
ak akd
k k
−= =
+ + 1 2d d=
O x
y
B
A
第 28 题解答图 1
C
D
M N O x
y
B
A
第 28 题解答图 2
C
D
M N十年高考+大数据预测
又 ， ，∴ ，即 ．
由对称性可知 ，∴ ，
，于是
． ①
将 的方程分别与 C1，C2 的方程联立，可求得
， ．
根据对称性可知 ， ，于是
． ②
从而由①和②式可得
． ③
令 ，则由 ，可得 ，于是由③可解得 ．
∵ ，∴ ．于是③式关于 有解，当且仅当 ，
等价于 ．由 ，可解得 ，
即 ，由 ，解得 ，∴
当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ；
当 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 ．
解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ．根据对称性，
不妨设直线 ： ，
点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则
∵ ， ，∴ ．
又 ， ，∴ ．
∵ ，∴ ．
1 1
1 | |2S BD d= 2 2
1 | |2S AB d= 1
2
| |
| |
S BD
S AB
λ= = | | | |BD ABλ=
| | | |AB CD= | | | | | | ( 1) | |BC BD AB ABλ= − = −
| | | | | | ( 1) | |AD BD AB ABλ= + = +
| | 1
| | 1
AD
BC
λ
λ
+= −
l
2 2 2A
amx
a k m
=
+ 2 2 2B
anx
a k n
=
+
C Bx x= − D Ax x= −
2 2 2 2
2 2 22
1 | | 2| |
| | 21 | |
A D A
BB C
k x x xAD m a k n
BC x n a k mk x x
+ − += = = ++ −
2 2 2
2 2 2
1
( 1)
a k n
a k m
λ
λ λ
+ +=+ −
1
( 1)t
λ
λ λ
+= − m n> 1t ≠
2 2 2
2
2 2
( 1)
(1 )
n tk a t
λ −= −
0k ≠ 2 0k > k
2 2 2
2 2
( 1) 0(1 )
n t
a t
λ − >−
2 2
2
1( 1)( ) 0t t λ− − < 1λ > 1 1tλ < <
1 1 1( 1)
λ
λ λ λ
+< 1 2λ > +
1 1 2λ< ≤ + 1 2S Sλ=
1 2λ > + 1 2S Sλ=
1 2S Sλ=
l ( 0)y kx k= >
( , 0)M a− ( , 0)N a l 1d 2d
1 2 2
| 0 |
1 1
ak akd
k k
− −= =
+ + 2 2 2
| 0 |
1 1
ak akd
k k
−= =
+ + 1 2d d=
1 1
1 | |2S BD d= 2 2
1 | |2S AB d= 1
2
| |
| |
S BD
S AB
λ= =
2
2
1 | || |
| | 1 | |
B D A B
A BA B
k x x x xBD
AB x xk x x
λ+ − += = =−+ −
1
1
A
B
x
x
λ
λ
+= −十年高考+大数据预测
由点 ， 分别在 C1，C2 上，可得
， ，两式相减可得 ，
依题意 ，∴ ．∴由上式解得 ．
∵ ，∴由 ，可解得 ，从而 ，解得 ，
∴当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ；当 时，存在与坐标轴不重
合的直线 l 使得 ．
65．（2012 广东文理）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ，
且椭圆 上的点到 的距离的最大值为 3．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）在椭圆 上，是否存在点 使得直线 ： 与圆 ： 相交于不同
的两点 ，且 的面积最大？若存在，求出点 的坐标及相对应的 的面积；若
不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）由 ，∴
设 是椭圆 上任意一点，则 ，∴
∴，当 时， 有最大值 ，可得 ，∴
故椭圆 的方程为：
（Ⅱ）存在点 满足要求，使 得面积最大．
假设直线 与圆 相交于不同两点 ，
则圆心 到 的距离 ，∴ ①
( , )A AA x kx ( , )B BB x kx
2 2 2
2 2 1A Ax k x
a m
+ =
2 2 2
2 2 1B Bx k x
a n
+ =
2 2 2 2 2 2
2 2
( ) 0A B A Bx x k x x
a m
λ− −+ =
0A Bx x> > 2 2
A Bx x>
2 2 2
2
2 2 2 2
( )
( )
A B
B A
m x xk a x xλ
−= −
2 0k >
2 2 2
2 2 2 2
( ) 0( )
A B
B A
m x x
a x xλ
− >− 1 A
B
x
x
λ< < 11 1
λ λλ
+< +
1 1 2λ< ≤ + 1 2S Sλ= 1 2λ > +
1 2S Sλ=
xOy C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
3e =
C (0,2)Q
C
C ( , )M m n l 1mx ny+ = O 2 2 1x y+ =
,A B OAB∆ M OAB∆
2 22 2
3 3
ce c aa
= = ⇒ = 2 2 2 21
3b a c a= − =
( , )P x y C
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2
2 2 2 2
2(1 ) 3yx a a yb
= − = −
2 2 2 2 2 2 2| | ( 2) 3 ( 2) 2( 1) 6PQ x y a y y y a= + − = − + − = − + + +
1y = − | |PQ 2 6 3a + = 3a = 1, 2b c= =
C
2
2 13
x y+ =
M OAB∆
: 1l mx ny+ = 2 2: 1O x y+ = ,A B
O l 2 2
1 1d
m n
= <
+
2 2 1m n+ >十年高考+大数据预测
∵ 在椭圆 上，∴
②，由①②得：
∵
∴ ，由②得 代入上式
得 ，当且仅当 ，
∴ ，此时满足要求的点 有四个．
此时对应的 的面积为 ．
66．（2011 山东文理）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ．如图所示，斜率为 且
不过原点的直线 交椭圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ，射线 交椭圆 于点 ，交直线
于点 ．
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）若 ∙ ，
（i）求证：直线 过定点；
（ii）试问点 ， 能否关于 轴对称？若能，求出此时 的外接圆方程；若不能，请说明理
由．
( , )M m n C
2
2 13
m n+ = 20 3m<
2 2
2
2 2
1| | 2 1 2 m nAB d m n
+ −= − = +
2 2 2 2
1 1 1| | (1 )2OABS AB d m n m n
= ⋅ = −+ +
2
2 1 3
mn = −
2 2
2 2
13 3
2 221 2 13 3
OAB
m m
S
m m
∆ = =
+ ⋅
2 22 31 (0,3]3 2m m= ⇒ = ∈
2 23 1,2 2m n= = 6 2( , )2 2M ± ±
OAB∆ 1
2
xOy
2
2: 13
xC y+ = ( 0)k k＞
l C A B AB E OE C G
3x = − ( 3, )D m−
2 2m k+
2OG OD= OE
l
B G x ABG
G
x
y
E
-3
l
B
A
O
D十年高考+大数据预测
【解析】（Ⅰ）设直线 ，由题意，
由方程组 得 ，
由题意 ，∴
设 ，由韦达定理得
∴
由于 E 为线段 AB 的中点，因此
此时
∴OE 所在直线方程为 又由题设知 D（－3，m），
令 =－3，得 ，即 =1，∴
当且仅当 = =1 时上式等号成立，此时 由 得
因此 当 时， 取最小值 2．
（Ⅱ）（i）由（I）知 OD 所在直线的方程为 将其代入椭圆 C 的方程，并由
解得 ，又 ，由距离公式及 得
由 因此，直线 的方程为 ∴直线
（ii）由（i）得 ，若 B，G 关于 x 轴对称，则
代入 即 ，解得 （舍去）或
( 0)l y kx t k= + >的方程为 0.t >
2
2
,
1,3
y kx t
x y
= + + =
2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x ktx t+ + + − =
0∆ > 2 23 1 .k t+ >
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 2
6 ,3 1
ktx x k
+ = − +
1 2 2
2 .3 1
ty y k
+ = +
2 2
3 , ,3 1 3 1E E
kt tx yk k
= =+ +
1 .3
E
OE
E
yk x k
= = −
1 ,3y xk
= −
x 1m k
= mk 2 2 2 2,m k mk+ ≥ =
m k 0∆ > 0 2,t< <
1 0 2m k t= = <
2 2
3 1( , )
3 1 3 1
kG
k k
−
+ + 2 2
3 1( , ), ( 3, )3 1 3 1
k tE Dk k k
− −+ + 0t >
2
2 2 2
22 2
2
2 2
2
2 2
2 2 2
3 1 9 1| | ( ) ( ) ,3 13 1 3 1
1 9 1| | ( 3) ( ) ,
3 9 1| | ( ) ( ) ,3 1 3 1 3 1
k kOG kk k
kOD k k
kt t t kOE k k k
+= − + = ++ +
+= − + =
+= − + =+ + +
2| | | | | | ,OG OD OE t k= ⋅ =得 l ( 1).y k x= + ( 1,0).l −恒过定点
2 2
3 1( , )
3 1 3 1
kG
k k
−
+ + 2 2
3 1( , ).
3 1 3 1
kB
k k
− −
+ +
2 2( 1) 3 1 3 1,y k x k k k= + − = +整理得 4 26 7 1 0k k− + = 2 1
6k = 2 1,k =十年高考+大数据预测
∴k=1，此时 关于 x 轴对称．
又由（I）得 ∴A（0，1）．
由于 的外接圆的圆心在 x 轴上，可设 的外接圆的圆心为（d，0），
因此
故 的外接圆的半径为 ，∴ 的外接圆方程为
3 1 3 1( , ), ( , )2 2 2 2B G− − −
1 10, 1,x y= =
ABG∆ ABG∆
2 23 1 11 ( ) , ,2 4 2d d d+ = + + = −解得
ABG∆ 2 51 2r d= + = ABG∆ 2 21 5( ) .2 4x y+ + =
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