十年高考+大数据预测
专题 34 极坐标系与参数方程
十年大数据*全景展示
年 份 题号 考 点 考 查 内 容
2011 文理 23[来
源:Z&xx&k.Com]
极坐标系与参数方程 直线和圆的参数方程，极坐标方程的应用[来源:学*科*网]
2012 文理 23 极坐标系与参数方程 极坐标与直角坐标的互化，椭圆参数方程的应用
卷 1 文理 23[来源:
学科网]
极坐标系与参数方程 参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用
2013
卷 2 文理 23 极坐标系与参数方程 参数方程的求法，参数方程的应用
卷 1 文理 23 极坐标系与参数方程 直线和椭圆的参数方程及其应用
2014
卷 2 文理 23 极坐标系与参数方程 圆的极坐标方程与参数方程的互化，圆的参数方程的应用
卷 1 文理 23 极坐标系与参数方程 直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆极坐标方程的应用
2015
卷 2 文理 23 极坐标系与参数方程 极坐标方程与参数方程的互化，极坐标方程的应用
卷 1 文理 23 极坐标系与参数方程 极坐标方程与参数方程的互化，极坐标方程的应用
卷 2 文理 23 极坐标系与参数方程
圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，圆的弦
长公式
2016
卷 3 文理 23 极坐标系与参数方程 椭圆的参数方程，直线的极坐标方程，参数方程的应用
卷 1 文理 22 极坐标系与参数方程
直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的
互化，椭圆参数方程的应用
卷 2 文理 22 极坐标系与参数方程 直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用
2017
卷 3 文理 22 极坐标系与参数方程 参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用
卷 1 文理 22 极坐标系与参数方程
极坐标与直角坐标方程互化，直线与圆的位置关系，圆的几
何性质
卷 2 文理 22 极坐标系与参数方程 直线和椭圆的参数方程，直线参数方程参数几何意义的应用
2018
卷 3 文理 22 极坐标系与参数方程 直线与圆的位置关系，圆的参数方程，点的轨迹方程求法
卷 1 文理 22 极坐标系与参数方程
参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的
互化，参数方程的应用
卷 2 文理 22 极坐标系与参数方程 直线和圆的极坐标方程及其应用
2019
卷 3 文理 22 极坐标系与参数方程 极坐标方程及其应用
卷 1 文理 22 极坐标系与参数方程 参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化
卷 2 文理 22 极坐标系与参数方程
参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，极坐标
与参数方程的综合应用
2020
卷 3 文理 22 极坐标系与参数方程 极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程及其应用十年高考+大数据预测
大数据分析*预测高考
考 点 出现频率 2021 年预测
考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换 23 次考 0 次
考点 117 极坐标和直角坐标的互化 23 次考 5 次
考点 118 参数方程与普通方程的互化 23 次考 1 次
考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用 23 次考 17 次
2021 年高考在试题难度、知识点考查等方
面，不会有太大的变化，主要考查极坐标方
程和直角坐标方程的互化、及常见曲线的极
坐标方程与极坐标方程的简单应用．
十年试题分类*探求规律
考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换
考点 117 极坐标和直角坐标的互化
1．（2020 全国Ⅱ文理 21）已知曲线 的参数方程分别为 （ 为参数），
（ 为参数）．
（1）将 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 的交点为 ，求圆心在极轴上，且经
过极点和 的圆的极坐标方程．
【解析】（1）由 得 的普通方程为： ，
由 得： ，两式作差可得 的普通方程为： ．
（2）由 得： ，即 ．
设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ，则 ，解得： ，
所求圆的半径 ， 所求圆的直角坐标方程为： ，即 ，
1 2,C C
2
1 2
4cos ,:
4sin
xC
y
θ
θ
= =
θ 2
1 ,
: 1
x t tC
y t t
= +
= −
t
1 2,C C
x 1 2,C C P
P
2 2cos sin 1θ θ+ = 1C 4x y+ =
1
1
x t t
y t t
= +
= −
2 2
2
2 2
2
1 2
1 2
x t t
y t t
= + +
= + −
2C 2 2 4x y− =
2 2
4
4
x y
x y
+ =
− =
5
2
3
2
x
y
=
=
5 3,2 2P
( ),0a 0a >
2 2
25 302 2a a − + − =
17
10a =
∴ 17
10r = ∴
2 2
217 17
10 10x y − + =
2 2 17
5x y x+ =十年高考+大数据预测
所求圆的极坐标方程为 ．
2．（2020 全国Ⅲ文理 22）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数且
）， 与坐标轴交于 两点．
（1）求 ；
（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 的极坐标方程．
【解析】（1）令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 ．
令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 ．
．
（2）由（1）可知 ，则直线 的方程为 ，即 ．
由 可得，直线 的极坐标方程为 ．
3．（2020 江苏 22）在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆
上（其中 ， ）．
（1）求 ， 的值
（2）求出直线 与圆 的公共点的极坐标．
【解析】（1） ．
（2） ，
当 时 ；当 时 （舍）；即所求交点坐标为当 ．
4．（2019 全国 II 文理 22）在极坐标系中，O 为极点，点 在曲线 上，直线
l 过点 且与 垂直，垂足为 P．
（1）当 时，求 及 l 的极坐标方程；
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．
【解析】（1）因为 在C上，当 时， ．
0 0 0( , )( 0)M ρ θ ρ > : 4sinC ρ θ=
(4,0)A OM
0 = 3
θ π
0
ρ
( )0 0,M ρ θ 0 3
θ π= 0 4sin 2 33
ρ π= =
∴ 17 cos5
ρ θ=
xOy C
2
2
2 ,
2 3
x t t
y t t
= − − = − +
t
1t ≠ C ,A B
AB
x AB
0x = 2 2 0t t+ − = 2t = − 1t = 2 6 4 12y = + + = (0,12)A
0y = 2 3 2 0t t− + = 2t = 1t = 2 2 4 4x = − − = − ( 4,0)B −
2 2(0 4) (12 0) 4 10AB∴ = + + − =
12 0 30 ( 4)ABk
−= =− − AB 3( 4)y x= + 3 12 0x y− + =
cos , sinx yρ θ ρ θ= = AB 3 cos sin 12 0ρ θ ρ θ− + =
1
π( , )3A ρ : cos 2l ρ θ = 2
π( , )6B ρ : 4sinC ρ θ=
0ρ ≥ 0 2θ π≤ <
1
ρ 2
ρ
l C
1 1 2 2cos 2 4; 4sin 23 6
π πρ ρ ρ ρ= ∴ = = ∴ =
5cos 2, 4sin 4sin cos 2, sin 2 1 [0,2 ) ,4 4
π πρ θ ρ θ θ θ θ θ π θ= = ∴ = ∴ = ∈ ∴ =
4
πθ = 2 2ρ = 5
4
πθ = 2 2 0ρ = − < (2 2, )4
π十年高考+大数据预测
由已知得 ．
设 为l上除P的任意一点．在 中 ，
经检验，点 在曲线 上．
所以，l的极坐标方程为 ．
（2）设 ，在 中， 即 ．．
因为P在线段OM上，且 ，故 的取值范围是 ．
所以，P点轨迹的极坐标方程为 ．
5．(2019 全国 III 文理 22）如图，在极坐标系 Ox 中， ， ， ， ，弧
， ， 所在圆的圆心分别是 ， ， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲线
是弧 ．
（1）分别写出 ， ， 的极坐标方程；
（2）曲线 由 ， ， 构成，若点 在 M 上，且 ，求 P 的极坐标．
【解析】（1）由题设可得，弧 所在圆的极坐标方程分别为 ， ，
，所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为
， 的极坐标方程为 ．
| | | | cos 23OP OA
π= =
( , )Q ρ θ Rt OPQ△ cos | | 23 OPρ θ π − = =
(2, )3P
π
cos 23
ρ θ π − =
cos 23
ρ θ π − =
( , )P ρ θ Rt OAP△ | | | | cos 4cos ,OP OA θ θ= = 4cosρ θ=
AP OM⊥ θ ,4 2
π π
4cos , ,4 2
ρ θ θ π = ∈
π
(2,0)A ( 2, )4B
π
( 2, )4C
3π
(2, )D π
AB BC CD (1,0) (1, )2
π
(1, )π 1M AB 2M BC
3M CD
1M 2M 3M
M 1M 2M 3M P | | 3OP =
, ,AB BC CD 2cosρ θ= 2sinρ θ=
2cosρ θ= − 1M π2cos 0 4
ρ θ θ = 2M
π 3π2sin 4 4
ρ θ θ = 3M 3π2cos π4
ρ θ θ = − 十年高考+大数据预测
（2）设 ，由题设及（1）知
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 或 ；
若 ，则 ，解得 ．
综上，P的极坐标为 或 或 或 ．
考点 118 参数方程与普通方程的互化
6．（2020 上海 14）已知直线方程 的一个参数方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A．参数方程可化简为 ，故 A 不正确；B．参数方程可化简 为 ，故
B 不正确；C．参数方程可化简为 ，故 C 不正确；D．参数方程可化简为 ，
故 D 正确．故选 D．
7．（2018 全国Ⅲ）[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ，（ 为参数），过点 且倾斜角为 的直
线 与 交于 ， 两点．
(1)求 的取值范围；
(2)求 中点 的轨迹的参数方程．
【解析】(1) 的直角坐标方程为 ．
当 时， 与 交于两点．
当 时，记 ，则 的方程为 ． 与 交于两点当且仅当 ，解得
或 ，即 或 ．
综上， 的取值范围是 ．
( , )P ρ θ
π0 4
θ 2cos 3θ = π
6
θ =
π 3π
4 4
θ 2sin 3θ = π
3
θ = 2π
3
θ =
3π π4
θ 2cos 3θ− = 5π
6
θ =
π3, 6
π3, 3
2π3, 3
5π3, 6
3 4 1 0x y+ + =
1 3
1 4
x t
y t
= +
= − +
1 4
1 3
x t
y t
= −
= − −
1 3
1 4
x t
y t
= −
= − +
1 4
1 3
x t
y t
= +
= − −
4 3 7 0x y− − = 3 4 7 0x y− − =
4 3 1 0x y+ − = 3 4 1 0x y+ + =
xOy O
cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
θ (0, 2)− α
l O A B
α
AB P
O
2 2 1x y+ =
2
α π= l O
2
α π≠ tan kα = l 2y kx= − l O 2
2| | 1
1 k
<
+ 1k < −
1k > ( , )4 2
α π π∈ ( , )2 4
α π 3π∈
α ( , )4 4
π 3π十年高考+大数据预测
(2) 的参数方程为 为参数， ．
设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则 ，且 ， 满足 ．
于是 ， ．又点 的坐标 满足
所以点 的轨迹的参数方程是 为参数， ．
考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用
8．（2018 北京文理）在极坐标系中，直线 与圆 相切，则 =___．
【答案】 【解析】利用 ， ，可得直线的方程为 ，圆的方程为
，所以圆心 ，半径 ，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即
，∴ 或 ，又 ，∴ ．
9．（2017 北京文理）在极坐标系中，点 A 在圆 上，点 P 的坐标为 ），
则 的最小值为___________．
【答案】1【解析】圆的普通方程为 ，即 ．
设圆心为 ，所以 ．
10．（2017 天津文理）在极坐标系中，直线 与圆 的公共点的个数为
_____．
【答案】2【解析】直线的普通方程为 ，圆的普通方程为 ，因为圆心到直
线的距离 ，所以有两个交点．
11．（2016 北京文理）在极坐标系中，直线 与圆 交于 两点，则
．
【答案】2【解析】将 化为直角坐标方程为 ，将 ρ=2cos θ 化为直
l
cos ,
(
2 sin
x t
t
y t
α
α
= = − + 4 4
απ 3π< < )
A B P At Bt Pt 2
A B
P
t tt
+= At Bt 2 2 2 sin 1 0t t α− + =
2 2 sinA Bt t α+ = 2 sinPt α= P ( , )x y
cos ,
2 sin .
P
P
x t
y t
α
α
= = − +
P
2 sin 2 ,2
2 2 cos22 2
x
y
α
α
=
= − −
(α
4 4
απ 3π< < )
cos sin ( 0)a aρ θ ρ θ+ = > =2cosρ θ a
1 2+ cosx ρ θ= siny ρ θ= 0x y a+ − =
2 2( 1) 1x y− + = (1,0) 1r =
|1 | 1
2
a− = 1 2a = + 1 2− 0a > 1 2a = +
2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = (1,0)
| |AP
2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + = 2 2( 1) ( 2) 1x y− + − =
(1,2)C min| | | | 2 1 1AP PC r= − = − =
4 cos( ) 1 06
ρ θ π− + = 2sinρ θ=
2 3 2 1 0x y+ + = 2 2( 1) 1x y+ − =
3 14d = <
cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 2cosρ θ= ,A B
| |AB =
cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − = 3 1 0x y− − =十年高考+大数据预测
角坐标方程为 ，圆心坐标为(1，0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 上，所以
|AB|=2r=2．
12．（2015 广东文理）已知直线 的极坐标方程为 ，点 的极坐标为
，则点 到直线 的距离为 ．
【答案】 【解析】由 得 ，所以 ，
故直线 的直角坐标方程为 ，而点 对应的直角坐标为
，所以点 到直线 ： 的距离为 ．
13．（2015 安徽文理）在极坐标系中，圆 上的点到直线 距离的最大值
是 ．
【答案】6【解析】圆 即 ，化为直角坐标方程为 ，
直线 ，则 ，化为直角坐标方程为 ，圆心 到直线
的距离为 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6．
14．（2020 全国Ⅰ文理 21）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．
【解析】（1）当 时，曲线 的参数方程为 （ 为参数），两式平方相加得 ，
∴曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．
2 2( 1) 1x y− + = 3 1 0x y− − =
l 2 sin( ) 24
πρ θ − = Α
72 2, )4
πΑ( Α l
5 2
2 2 sin( ) 24
πρ θ - = 22 (sin cos ) 22
ρ θ θ´ - = 1y x- =
l 1 0x y- + = 7(2 2, )4A
π
(2, 2)A - (2, 2)A - l 1 0x y- + = | 2 2 1| 5 2
22
+ + =
8sinρ θ= ( )3 R
πθ ρ= ∈
8sinρ θ= 2 8 sinρ ρ θ= 2 2( 4) 16x y+ - =
3
πθ = tan 3θ = 3 0x y- = (0,4)
| 4 | 2
4
- =
xOy 1C cos ,
sin
k
k
x t
y t
=
=
(t ) x
2C 4 cos 16 sin 3 0ρ θ ρ θ− + =
1k = 1C
4k = 1C 2C
1k = 1C cos ,
sin
x t
y t
=
= t 2 2 1x y+ =
1C十年高考+大数据预测
（2）当 时，曲线 的参数方程为 （ 为参数），∴ ，曲线 的参数方程化
为 为参数），两式相加得曲线 方程为 ，得 ，平方得
，
曲线 的极坐标方程为 ，曲线 直角坐标方程为 ，
联立 方程 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
， 公共点的直角坐标为 ．
15．（2019 全国 1 文理 22）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标
原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
【解析】（1）因为 ，且 ，所以C的直角坐标方程为
．
的直角坐标方程为 ．
（2）由（1）可设C的参数方程为 （ 为参数， ）．
C上的点到 的距离为 ．
2
2
2
1
1
4
1
tx t
ty t
−= +
= +
，
2 cos 3 sin 11 0ρ θ ρ θ+ + =
2
2
11 11
t
t
−− < ≤+ ( )
22 2 2
2
22 2
1 4 12 1 1
y t tx t t
− + = + = + +
2
2 1( 1)4
yx x+ = ≠ −
l 2 3 11 0x y+ + =
cos ,
2sin
x
y
α
α
=
=
α π πα− < <
l
π4cos 11| 2cos 2 3sin 11| 3
7 7
αα α
− + + + =
4k = 1C
4
4
cos ,
sin
x t
y t
=
=
t 0, 0x y≥ ≥ 1C
2
2
cos (
sin
x t t
y t
= = 1C 1x y+ = 1y x= −
2 1,0 1,0 1y x x x y= − + ≤ ≤ ≤ ≤
2C 4 cos 16 sin 3 0ρ θ ρ θ− + = 2C 4 16 3 0x y− + =
1 2,C C 2 1,
4 16 3 0
y x x
x y
= − + − + = 12 32 13 0x x− + = 1
2x = 13
6x =
1 1,4 4x y∴ = = 1 2,C C∴ 1 1( , )4 4十年高考+大数据预测
当 时， 取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 ．
16．(2018 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ．以坐标原点为极点， 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求 的直角坐标方程；
(2)若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程．
【解析】(1)由 ， 得 的直角坐标方程为 ．
(2)由(1)知 是圆心为 ，半径为 的圆．
由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为
．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个
公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点．
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共
点．
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点．
综上，所求 的方程为 ．
17．（2018 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的
参数方程为 （ 为参数）．
(1)求 和 的直角坐标方程；
(2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率．
2π
3
α = − π4cos 113
α − + l 7
xOy 1C | | 2y k x= + x
2C 2 2 cos 3 0ρ ρ θ+ − =
2C
1C 2C 1C
cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 2 2( 1) 4x y+ + =
2C ( 1,0)A − 2
1C (0,2)B y y 1l y
2l B 2C 1C 2C 1l 2C 2l 2C
2l 2C 1l 2C
1l 2C A 1l 2 2
| 2 | 2
1
k
k
− + =
+
4
3k = − 0k =
0k = 1l 2C 4
3k = − 1l 2C 2l 2C
2l 2C A 2l 2 2
| 2 | 2
1
k
k
+ =
+ 0k = 4
3k =
0k = 1l 2C 4
3k = 2l 2C
1C 4 | | 23y x= − +
xOy C 2cos ,
4sin ,
=
=
x θ
y θ θ l
1 cos
2 sin
= +
= +
x t α
y t α t
C l
C l (1, 2) l十年高考+大数据预测
【解析】(1)曲线 的直角坐标方程为 ．
当 时， 的直角坐标方程为 ；
当 时， 的直角坐标方程为 ．
(2)将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程
．①
因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则 ．
又由①得 ，故 ，于是直线 的斜 率 ．
18．（2018 江苏）在极坐标系中，直线 的方程为 ，曲线 的方程为 ，求直线 被
曲线 截得的弦长．
【解析】因为曲线 的极坐标方程为 ，所以曲线 的圆心为 ，直径为 4 的圆．
因为直线 的极坐标方程为 ，则直线 过 ，倾斜角为 ，所以 A 为直线 与圆 的一
个交点．
设另一个交点为 B，则∠OAB= ，连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA= ，所以
．
因此，直线 被曲线 截得的弦长为 ．
19．（2017 全国Ⅰ文理）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，( 为参数)，直线 的
参数方程为 ( 为参数)．
(1)若 ，求 与 的交点坐标；
x
B
O A
l
C
2 2
14 16
+ =x y
cos 0α ≠ l tan 2 tanα α= ⋅ + −y x
cos 0α = l 1=x
l C t
2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0α α α+ + + − =t t
C l (1,2) C 1t 2t 1 2 0+ =t t
1 2 2
4(2cos sin )
1 3cos
α α
α
++ = − +t t 2cos sin 0α α+ = l tan 2α= = −k
l πsin( ) 26
ρ θ− = C 4cosρ θ= l
C
C =4cosρ θ C (2,0)
l πsin( ) 26
ρ θ− = l (4,0)A π
6 l C
π
6
π
2
π4cos 2 36AB = =
l C 2 3
xOy C 3cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
θ l
4
1
x a t
y t
= +
= − t
1a = − C l十年高考+大数据预测
(2)若 上的点到 距离的最大值为 ，求 ．
【解析】（1）曲线 的普通方程为 ．
当 时，直线 的普通方程为 ．
由 解得 或 ，从而 与 的交点坐标为 ， ．
（2）直线 的普通方程为 ，故 上的点 到 的距离为
．
当 时， 的最大值为 ．由题设得 ，所以 ；
当 时， 的最大值为 ．由题设得 ，所以 ．
综上， 或 ．
20．（2017 全国Ⅱ文理）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线 的极坐标方程为 ．
(1) 为曲线 上的动点，点 在线段 上，且满足 ，求点 的轨迹 的直角坐标
方程；
(2)设点 的极坐标为 ，点 在曲线 上，求 面积的最大值．
【解析】（1）设 的极坐标为 ， 的极坐标为 ．
由椭圆知 ， ．由 得 的极坐标方程 ，
因此 的直角坐标方程为 ．
（2）设点 的极坐标为 ．由题设知 ， ，于是 面积
C l 17 a
C
2
2 19
x y+ =
1a = − l 4 3 0x y+ − =
2
2
4 3 0
19
x y
x y
+ − = + =
3
0
x
y
=
=
21
25
24
25
x
y
= −
=
C l (3,0) 21 24( , )25 25
−
l 4 4 0x y a+ − − = C (3cos ,sin )θ θ l
| 3cos 4sin 4 |
17
ad
θ θ+ − −=
4a −≥ d 9
17
a + 9 17
17
a + = 8a =
4a < − d 1
17
a− + 1 17
17
a− + = 16a = −
8a = 16a = −
xOy x
1C cos 4ρ θ =
M 1C P OM | | | | 16OM OP⋅ = P 2C
A (2, )3
π
B 2C OAB∆
P ( , )ρ θ ( 0)ρ > M 1( , )ρ θ 1( 0)ρ >
| |OP ρ= 1
4| | cosOM ρ θ= = | | | | 16OM OP⋅ = 2C 4cosρ θ= ( 0)ρ >
2C 2 2( 2) 4( 0)x y x− + = ≠
B ( , )B
ρ α ( 0)B
ρ > | | 2OA = 4cosB
ρ α= OAB∆十年高考+大数据预测
．
当 时， 取得最大值 ，所以 面积的最大值为 ．
21．（2017 全国Ⅲ文理）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参数
方程为 （ 为参数）．设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲线 ．
(1)写出 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ： ， 为 与
的交点，求 的极径．
【解析】（1）消去参数 得 的普通方程 ，消去参数 得 的普通方程 ．
设 ，由题设得 ，消去 得 ，所以 的普通方程为
．
（2） 的极坐标方程为 ，联立 得
，故 ，从而 ，代入 得
，所以交点 的极径为 ．
22．（2017 江苏）在平面坐标系中 中，已知直线 的参考方程为 （ 为参数），曲线 的参
数方程为 （ 为参数）．设 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最小值．
【解析】直线 的普通方程为 ．
因为点 在曲线 上，设 ，从而点 到直线 的的距离
1 | | sin2 BS OA AOBρ= ⋅ ⋅ ∠ 4cos | sin( ) |3
πα α= − 32 | sin(2 ) |3 2
πα= − − 2 3+≤
12
πα = − S 2 3+ OAB∆ 2 3+
xOy 1l 2x t
y kt
= +
= t 2l
2x m
my k
= − + =
m 1l 2l P k P C
C
x 3l (cos sin )ρ θ θ+ − 2 0= M 3l C
M
t 1l ( ):l y k x= −1 2 m 2l ( ):l y xk
= +2
1 2
( , )P x y
( )
( )
y k x
y xk
= − = +
2
1 2
k ( )x y y− = ≠2 2 4 0 C
( )x y y− = ≠2 2 4 0
C ( )cos sinρ θ θ− =2 2 2 4 ( ),θ π θ π≠0＜ ＜2
( )
( )
cos sin
cos sin
ρ θ θ
ρ θ θ
− =
2 2 2 4
+ - 2=0
( )cos sin cos sinθ θ θ θ− =2 + tanθ = − 1
3 cos sinθ θ2 29 1= ， =10 10
( )cos sinρ θ θ2 2 2- =4
ρ 2=5 M 5
xOy l
8
2
x t
ty
= − + =
t C
22
2 2
x s
y s
= =
s P C P l
l 2 8 0x y− + =
P C 2(2 ,2 2 )P s s P l十年高考+大数据预测
，当 时， ．
因此当点 的坐标为 时，曲线 上点 到直线 的距离取到最小值 ．
23．（2016 全国 I 文理）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t 为参数，a＞0）．在
以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： ．
（I）说明 是哪种曲线，并将 的方程化为极坐标方程；
（II）直线 的极坐标方程为 ，其中 满足 ，若曲线 与 的公共点都在 上，求
a．
【 解析】(1) （ 均为参数），∴ ①
∴ 为以 为圆心， 为半径的圆．方程为 ．
∵ ，∴ ，即为 的极坐标方程．
(2) ，两边同乘 得 ， ，
即 ②
：化为普通方程为 ，由题意： 和 的公共方程所在直线即为 ，
①—②得： ，即为 ，∴ ，∴ ．
24．（2016 全国 II 文理）在直角坐标系 中，圆 C 的方程为 ．
（I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，求 C 的极坐标方程；
（II）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），l 与 C 交于 A、B 两点， ，求 l 的斜率．
【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得 ，由 可知圆 的极坐标方程为
．
cos
1 sin
x a t
y a t
=
= + t ( )22 21x y a+ − =
1C ( )0 1， a 2 2 22 1 0x y y a+ − + − =
2 2 2 sinx y yρ ρ θ+ = =， 2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − = 1C
2 4cosC ρ θ=： ρ 2 2 2 24 cos cosx y xρ ρ θ ρ ρ θ= = + = ， 2 2 4x y x∴ + =
( )2 22 4x y− + =
3C 2y x= 1C 2C 3C
24 2 1 0x y a− + − = 3C 21 0a− = 1a =
2 2
2 2
| 2 4 2 8| 2( 2) 4
5( 1) ( 2)
s s sd
− + − += =
− + − 2s = min
4 5
5d =
P (4,4) C P l 4 5
5
xOy 1C cos
1 sin
x a t
y a t
=
= +
x 2C 4cosρ θ=
1C 1C
3C 0=aθ 0a 0tan =2a 1C 2C 3C
xOy ( )2 26 25x y+ + =
cos
sin
x t
y t
α
α
=
= 10AB =
2 2 12 11 0x y+ + + =
2 2 2
cos
sin
x y
x
y
ρ
ρ θ
ρ θ
= +
=
=
C
2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + =十年高考+大数据预测
(Ⅱ)记直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，由垂径定理及点到直线距离公式知：
，即 ，整理得 ，则 ．
25．（2016 全国 III 文理）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐
标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点 P 在 上，点 Q 在 上，求 的最小值及此时 P 的直角坐标．
【解析】（Ⅰ） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 ．
（Ⅱ）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以 的最小值，即为
到 的距离 的最小值， ．
当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 ．
26．（2016 江苏）在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 ，椭圆 的参
数方程为 ，设直线 与椭圆 相交于 两点，求线段 的长．
【解析】椭圆 的普通方程为 ，将直线 的参数方程 ，代入 ，得
，即 ，解得 ， ，所以 ．
27．（2015 全国Ⅰ文理）在直角坐标系 中，直线 ： ，圆 ： ，以坐标
原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求 ， 的极坐标方程；
k 0kx y− =
2
2
6 1025 21
k
k
− = − +
2
2
36 90
1 4
k
k
=+
2 5
3k = 15
3k = ±
xOy 1C 3 cos
sin
x
y
α
α
= =
α
2C sin( ) 2 24
ρ θ π+ =
1C 2C
1C 2C | |PQ
1C
2
2 13
x y+ = 2C 4 0x y+ − =
P ( 3 cos ,sin )α α 2C | |PQ P
2C ( )d α | 3 cos sin 4 |( ) 2 | sin( ) 2 |32
d
α α πα α+ −= = + −
2 ( )6k k Z
πα π= + ∈ ( )d α 2 P 3 1( , )2 2
xOy l ( )
11 ,2
3 ,2
x t
t
y t
= +
=
为参数 C
( )cos ,
2sin ,
x
y
θ θθ
=
=
为参数 l C ,A B AB
C
2
2 14
yx + = l
11 2
3
2
x t
y t
= +
=
2
2 14
yx + =
2
2
3( )1 2(1 ) 12 4
t
t+ + = 27 16 0t t+ = 1 0t = 2
16
7t = − 1 2
16| | 7AB t t= − =
xOy 1C 2x = − 2C 2 2( 1) ( 2) 1x y− + − =
x
1C 2C十年高考+大数据预测
（Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， ，求 的面积．
【解析】（Ⅰ）因为 ，
∴ 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ．
（Ⅱ）将 代入 ，得 ，解得 = ， = ，
|MN|= － = ，因为 的半径为 1，则 的面积 = ．
28．（2015 全国Ⅱ文理）在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数， ≠0）其中
，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： ， ：
．
（Ⅰ）求 与 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若 与 相交于点 A， 与 相交于点 B，求 的最大值．
【解析】（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为
．联立 解得 或
所以 与 交点的直角坐标为 和 ．
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，其中 ．
因此 得到极坐标为 ， 的极坐标为 ．
所以 ，当 时， 取得最大值，最大值为 ．
29．（2015 江苏） 已知圆 C 的极坐标方程为 ，求圆 C 的半径．
【解析】 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 ，以极轴为 轴的正半轴，建立直角坐标系
．
3C ( )
4 R
πθ ρ= ∈ 2C 3C M N 2C MN∆
cos , sinx yρ θ ρ θ= =
1C cos 2ρ θ = − 2C 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
= 4
πθ 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 3 2 4 0ρ ρ− + = 1
ρ 2 2 2
ρ 2
1
ρ 2
ρ 2 2C 2C MN o1 2 1 sin 452
× × × 1
2
xOy 1C cos ,
sin ,
x t
y t
α
α
=
= t t
0 α π
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