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十年高考+大数据预测
专题 35 不等式选讲
十年大数据*全景展示
年 份 题号 考 点 考 查 内 容
2011 文理 24
不等式选
讲
绝对值不等式的解法
2012 文理 24
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷 1 文理 24[来
源:Z.Com]
不等式选
讲[来源:Z*xx*k.Com]
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
2013[来
源:学科网 ZXXK][来
源:Z|xx|k.Com]
卷 2 文理 24
不等式选
讲
多元不等式的证明
卷 1 文理 24
不等式选
讲
基本不等式的应用
2014
卷 2 文理 24
不等式选
讲
绝对值不等式的解法
卷 1 文理 24
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
2015
卷 2 文理 24
不等式选
讲
不等式的证明
卷 1 文理 24
不等式选
讲
分段函数的图像，绝对值不等式的解法
卷 2 文理 24
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明2016
卷 3 文理 24
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷 1 文理 23
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷 2 文理 23
不等式选
讲
不等式的证明2017
卷 3 文理 23
不等式选
讲
绝对值不等式的 解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题
2018 卷 1 文理 23 不等式选 绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法 2 / 16
十年高考+大数据预测
讲
卷 2 文理 23
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解 法
卷 3 文理 23
不等式选
讲
绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法
2019 卷 1 文理 23
不等式选
讲
三元条件不等式的证明
卷 2 文理 23
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
卷 3 文理 23
不等式选
讲
三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明
卷 1 文理 23
不等式选
讲
绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法
卷 2 文理 23
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2020
卷 3 文理 23
不等式选
讲
三元条件不等式的证明
大数据分析*预测高考
考 点 出现频率 2021 年预测
考点 120 绝对值不等式的求解 23 次考 4 次
考点 121 含绝对值不等式的恒成立问题 23 次考 12 次
考点 122 不等式的证明 23 次考 7 次
2021 年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值
不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题
的解法等．
十年试题分类*探求规律
考点 120 绝对值不等式的求解
1．（2020 全国Ⅰ文理 22）已知函数 ．
（1）画出 的图像；
( ) 3 1 2 1f x x x= + − −
( )y f x= 3 / 16
十年高考+大数据预测
（2）求不等式 的解集．
【解析】（1）∵ ，作出图像，如图所示：
（2）将函数 的图像向左平移 个单位，可得函数 的图像，如图所示：
由 ，解得 ，∴不等式的解集为 ．
( ) ( )1f x f x> +
( )
3, 1
15 1, 13
13, 3
x x
f x x x
x x
+ ≥
= − − <
+ + ≤
2 1x∴− ≤ < − 1 0x− ≤ ≤ 20 3x< ≤ 22, 3
−
( ) | 1| | 2 3|f x x x= + − −
( )y f x=
| ( ) | 1f x > 5 / 16
十年高考+大数据预测
当 ， ，解得 或 ， ；
当 ， ，解得 或 ， 或 ；
当 ， ，解得 或 ， 或 ．
综上， 或 或 ， ，解集为 ．
4．（2014 全国 II 文理）设函数 =
（Ⅰ）证明： 2；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围．
【解析】（I）由 ，有 ，∴ ≥2．
（Ⅱ） ．
当时 ＞3 时， = ，由 ＜5 得 3＜ ＜ ；
当 0＜ ≤3 时， = ，由 ＜5 得 ＜ ≤3．
综上： 的取值范围是（ ， ）．
5．（2011 新课标文理）设函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若不等式 的解集为 ，求 a 的值．
【解析】（Ⅰ）当 时， 可化为 ，由此可得 或 ．
故不等式 的解集为 或 ．
( Ⅱ) 由 得 ，此不等式化为不等式组 或 ，
1x −≤ 4 1x − > 5x > 3x < 1x −∴ ≤
31 2x− < < 3 2 1x − > 1x > 1
3x < 11 3x− < 5x > 3x < 3 32 x
1
3x < 1 3x< < 5x > ( ) 1f x >∴ ( ) ( )1 1 3 53
−∞ + ∞ ， ， ，
( ) 3f x x a x= − + 0a >
1a = ( ) 3 2f x x≥ +
( ) 0f x ≤ { }| 1x x ≤ −
1a = ( ) 3 2f x x≥ + | 1| 2x − ≥ 3x ≥ 1x ≤ −
( ) 3 2f x x≥ + { | 3x x ≥ 1}x ≤ −
( ) 0f x ≤ 3 0x a x− + ≤
3 0
x a
x a x
≥
− + ≤ 3 0
x a
a x x
≤
− + ≤
( )f x 1 ( 0)x x a aa
+ + − >
( )f x ≥
( )3 5f < a
0a > ( )f x 1 1 1( ) 2x x a x x a aa a a
= + + − ≥ + − − = + ≥ ( )f x
1(3) 3 3f aa
= + + −
a (3)f 1a a
+ (3)f a 5 21
2
+
a (3)f 16 a a
− + (3)f 1 5
2
+
a
a 1 5
2
+ 5 21
2
+ 6 / 16
十年高考+大数据预测
即 或 ，因为 ，∴不等式组的解集为 ，由题设可得 = ，故
．
考点 121 含绝对值不等式的恒成立问题
6．（2020 全国Ⅱ文理 22）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2） ．
【思路导引】（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到 ，由此构造不等式求得结果．
【解析】（1）当 时， ．
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 ．
（2） （当且仅当
时取等号）， ，解得： 或 ， 的取值范围为
．
7．（2019 全国 II 文理 23）[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时， ，求 的取值范围．
0a > { }| 2
ax x ≤ −
2
a− 1−
2a =
( ) | | | 2 | ( ).f x x a x x x a= − + − −
1a = ( ) 0f x <
( ,1)x∈ −∞ ( ) 0f x < a
4
x a
ax
≥
≤
2
x a
ax
−
≤
≤
( ) 2 2 1f x x a x a= − + − +
2a = ( ) 4f x ≥
( ) 4f x ≥ a
3
2x x ≤
11
2x ≥
( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞
3x ≤ 3 4x< < 4x ≥
( ) ( )21f x a≥ −
2a = ( ) 4 3f x x x= − + −
3x ≤ ( ) 4 3 7 2 4f x x x x= − + − = − ≥ 3
2x ≤
3 4x< < ( ) 4 3 1 4f x x x= − + − = ≥
4x ≥ ( ) 4 3 2 7 4f x x x x= − + − = − ≥ 11
2x ≥
( ) 4f x ≥ 3
2x x ≤
11
2x ≥
( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 1 2 1 2 1 1f x x a x a x a x a a a a= − + − + ≥ − − − + = − + − = −
22 1a x a− ≤ ≤ ( )21 4a∴ − ≥ 1a ≤ − 3a ≥ a∴
( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞ 7 / 16
十年高考+大数据预测
【解析】（1）当 a=1 时， ．
当 时， ；当 时， ，∴不等式 的解集为 ．
（2）因为 ，∴ ．
当 ， 时，
∴ 的取值范围是 ．
8．（2018 全国Ⅰ文理）已知 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 时不等式 成立，求 的取值范围．
【解析】(1)当 时， ，即
故不等式 的解集为 ．
(2)当 时 成立等价于当 时 成立．
若 ，则当 时 ；
若 ， 的解集为 ，∴ ，故 ．
综上， 的取值范围为 ．
9．（2018 全国Ⅱ文理）设函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ，求 的取值范围．
【解析】(1)当 时，
可得 的解集为 ．
(2) 等价于 ．
而 ，且当 时等号成立．故 等价于 ．
由 可得 或 ，∴ 的取值范围是 ．
( )=| 1| +| 2|( 1)f x x x x x− − −
1x < 2( ) 2( 1) 0f x x= − − < 1x ≥ ( ) 0f x ≥ ( ) 0f x < ( ,1)−∞
( )=0f a 1a ≥
1a ≥ ( ,1)x∈ −∞ ( )=( ) +(2 )( )=2( )( 1)
(0,1)x∈ ( )f x x> a
1a = ( ) | 1| | 1|f x x x= + − −
2, 1,
( ) 2 , 1 1,
2, 1.
− −
= − < 1{ | }2x x >
(0,1)x∈ | 1| | 1|x ax x+ − − > (0,1)x∈ | 1| 1ax − <
0≤a (0,1)x∈ | 1| 1− ≥ax
0a > | 1| 1ax − < 20 x a
< < 2 1≥
a 0 2< ≤a
a (0,2]
( ) 5 | | | 2 |= − + − −f x x a x
1a = ( ) 0≥f x
( ) 1≤f x a
1=a
2 4, 1,
( ) 2, 1 2,
2 6, 2.
+ −
= −
≤
≤
x x
f x x
x x
( ) 0≥f x { | 2 3}− ≤ ≤x x
( ) 1≤f x | | | 2 | 4+ + − ≥x a x
| | | 2 | | 2 |+ + − +≥x a x a 2=x ( ) 1≤f x | 2 | 4+ ≥a
| 2 | 4+ ≥a 6−≤a 2≥a a ( , 6] [2, )−∞ − +∞ 8 / 16
十年高考+大数据预测
10．（2018 全国Ⅲ文理）设函数 ．
(1)画出 的图像；
(2)当 时， ，求 的最小值．
【解析】(1)
的图像如图所示．
(2)由(1)知， 的图像与 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率的最大值为 3，故当且仅当
且 时， 在 成立，因此 的最小值为 5．
( ) | 2 1| | 1|f x x x= + + −
( )y f x=
[0, )x∈ +∞ ( )f x ax b+≤ a b+
13 , ,2
1( ) 2, 1,2
3 , 1.
x x
f x x x
x x
− < −
= + − 2 4 0x x+ − ≤ 1 171 2x
− +< ≤ ( ) ( )f x g x≥
1 17{ | 1 }2x x
− +− < ≤
[ 1,1]x∈ − ( ) 2g x = ( ) ( )f x g x≥ [ 1,1]− [ 1,1]x∈ − ( ) 2f x ≥
( )f x [ 1,1]− ( 1)f − (1)f ( 1) 2f − ≥ (1) 2f ≥ 1 1a− ≤ ≤ a
[ 1,1]−
( ) | 1| | 2 |f x x x= + − −
( ) 1f x ≥
2( )f x x x m− +≥ m
3, 1
( ) 2 1, 1 2
3, 2
x
f x x x
x
− < −
= − −
>
≤ ≤
1x < − ( )f x 1≥
x−1 2≤ ≤ ( )f x 1≥ x −2 1 1≥ x1 2≤ ≤ 10 / 16
十年高考+大数据预测
当 时，由 解得 ．
∴ 的解集为 ．
（2）由 得 ，而
，
且当 时， ，故 m 的取值范围为 ．
14．（2016 全国 III 文理）已知函数
（Ⅰ）当 a=2 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）设函数 ，当 时， ，求 a 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当 时 ， ．
解不等式 ，得 ，因此 的解集为 ．
（Ⅱ）当 时，
，当 时等号成立，
∴当 时， 等价于 ． ①
当 时，①等价于 ，无解．
当 时，①等价于 ，解得 ．
∴ 的取值范围是 ．
15．（201 5 全国 I 文理）已知函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 的图像与 轴围成的三角形面积大于 6，求 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）当 时，不等式 化为 ，
当 时，不等式化为 ，无解；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ．
∴ 的解集为 ．
＞2x ( )f x 1≥ ＞2x
( )f x 1≥ { }x x 1≥
( )f x x x m− +2≥ m x x x x+ − − − +21 2≤
x x x x x x x x+ − − − + − − +2 21 2 +1+ 2≤ x
23 5 5=- - +2 4 4
≤
3
2x = 2 51 2 =4x x x x+ − − − + 5- ，
4
∞
( ) | 2 |f x x a a= − +
( ) 6f x ≤
( ) | 2 1|g x x= − x∈R ( ) ( ) 3f x g x+ ≥
2a = ( ) | 2 2 | 2f x x= − +
| 2 2 | 2 6x − + 1 3x− ( ) 6f x ≤ { | 1 3}x x−
x R∈ ( ) ( ) | 2 | |1 2 |f x g x x a a x+ = − + + −
| 2 1 2 |x a x a− + − + |1 |a a= − + 1
2x =
x R∈ ( ) ( ) 3f x g x+ |1 | 3a a− +
1a 1 3a a− +
1a > 1 3a a− + 2a
a [2, )+∞
( ) | 1| 2 | |f x x x a= + − − 0a >
1a = ( ) 1f x >
( )f x x a
1a = ( ) 1f x > | 1| 2 | 1| 1 0x x+ − − − >
1x −≤ 4 0x − >
1 1x− < < 3 2 0x − > 2 13 x< <
1x≥ 2 0x− + > 1 2x 2{ | 2}3x x<
≤ ≤ ( )f x x
2 1( ,0), (2 1,0), ( , 1)3
aA B a C a a
− + + ABC∆ 22 ( 1)3 a + 22 ( 1) 63 a + >
2a > a (2, )+∞
0, 0a b> > 1 1 aba b
+ =
3 3a b+
,a b 2 3 6a b+ =
1 1 2ab a b ab
= + ≥ 2ab ≥ 2a b= =
3 3a b+ 3 32 4 2a b≥ ≥ 2a b= =
3 3a b+ 4 2
2 3 2 6 4 3a b ab+ ≥ ≥ 4 3 6> ,a b
2 3 6a b+ =
− 12 / 16
十年高考+大数据预测
∴原不等式解集是 ．
（Ⅱ）当 ∈[ ， )时， = ，不等式 ≤ 化为 ，
∴ 对 ∈[ ， )都成立，故 ，即 ≤ ，
∴ 的取值范围为( 1， ]．
17．（2012 新课标文理）已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 的解集包含 ，求 的取值范围．
【解析】(1)当 时，
或 或
或 ．
(2)原命题 在 上恒成立
在 上恒成立
在 上恒成立
．
考点 122 不等式的证明
18．（2020 全国Ⅲ文理 23）设 ．
（1）证明： ；
（2）用 表示 的最大值，证明： ．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．
y
x21
1
2
{ | 0 2}x x< <
x 2
a− 1
2 ( )f x 1 a+ ( )f x ( )g x
x 2
a− 1
2 2
a− 2a − a 4
3
a 4
3
1 3a x+ +≤
2x a −≥ ≥
−
|2|||)( −++= xaxxf
|3−=a ( ) 3f x
( ) | 4 |f x x − ]2,1[ a
3a = − ( ) 3 3 2 3f x x x⇔ − + −
2
3 2 3
x
x x
⇔ − + −
2 3
3 2 3
x
x x
< <
( )2 2 2
3 2 2b c b c bca a a bc bc
+ + += ⋅ = =
cba ,,
( ) .0,0 2 =++∴=++ cbacba
,0222222 =+++++∴ caacabcba ( )222222 cbacabcab ++−=++
.0,0222 = = 14 / 16
十年高考+大数据预测
20．（2019 全国 III 文理 23）设 ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）若 成立，证明： 或 ．
【解析】（1）由于
，
故由已知得 ，当且仅当x= ，y=– ， 时等号成立．
∴ 的最小值为 ．
（2）由于
，
故由已知 ，当且仅当 ， ， 时等号成
立，因此 的最小值为 ．
由题设知 ，解得 或 ．
21．（2017 全国Ⅱ文理）已知 ， ， ，证明：
(1) ；
(2) ．
【解析】（1）
．
（2）∵ ，
, ,x y z ∈R 1x y z+ + =
2 2 2( 1) ( 1) ( 1)x y z− + + + +
2 2 2 1( 2) ( 1) ( ) 3x y z a− + − + − ≥ 3a ≤ − 1a ≥ −
2[( 1) ( 1) ( 1)]x y z− + + + +
2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 2[( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)]x y z x y y z z x= − + + + + + − + + + + + + −
2 2 23 ( 1) ( 1) ( 1)x y z ≤ − + + + +
2 2 2 4( 1) ( 1) ( 1) 3x y z− + + + + ≥ 5
3
1
3
1
3z = −
2 2 2( 1) ( 1) ( 1)x y z− + + + + 4
3
2[( 2) ( 1) ( )]x y z a− + − + −
2 2 2( 2) ( 1) ( ) 2[( 2)( 1) ( 1)( ) ( )( 2)]x y z a x y y z a z a x= − + − + − + − − + − − + − −
2 2 23 ( 2) ( 1) ( )x y z a − + − + −
2
2 2 2 (2 )( 2) ( 1) ( ) 3
ax y z a
+− + − + −
4
3
ax
−= 1
3
ay
−= 2 2
3
az
−=
2 2 2( 2) ( 1) ( )x y z a− + − + −
2(2 )
3
a+
2(2 ) 1
3 3
a+
3a − 1a −
0a > 0b > 3 3 2a b+ =
( )( )5 5 4a b a b+ + ≥
2a b+ ≤
5 5 6 5 5 6( )( )a b a b a ab a b b+ + = + + + 3 3 2 3 3 4 4( ) 2 ( )a b a b ab a b= + − + +
( )22 24 4ab a b= + − ≥
3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + + 2 3 ( )ab a b= + +
23( )2 ( )4
a b a b
+≤ + +
33( )2 4
a b+= + 15 / 16
十年高考+大数据预测
∴ ，因此 ．
22．（2017 江苏）已知 ， ， ， 为实数，且 ， ，证明 ．
【解析】证明：由柯西不等式可得： ，
因为 ∴ ，因此 ．
23．（2016 全国 II 文理）已知函数 ，M 为不等式 的解集．
（I）求 M；
（II）证明：当 a， 时， ．
【解析】（I）当 时， ，若 ；
当 时， 恒成立；
当 时， ，若 ， ．
综上可得， ．
（Ⅱ）当 时，有 ，即 ，
则 ，则 ，即 ，证毕．
24．（2015 全国 II 文理）设 均为正数，且 ，证明：
（Ⅰ）若 > ，则 ；
（Ⅱ） 是 的充要条件．
【解析】（Ⅰ）∵ ， ，
由题设 ， 得 ，因此 ．
（Ⅱ）（ⅰ）若 ，则 ，即 ．
因为 ，∴ ，由（Ⅰ） 得 ．
（ⅱ）若 ， 则 ，即 ．
因为 ，∴ ，于是 ．
因此 ．
3( ) 8a b+ ≤ 2a b+ ≤
a b c d 2 2 4a b+ = 2 2 16c d+ = 8ac bd+ ≤
2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d+ + +≤
2 2 2 24, 16,a b c d+ = + = 2( ) 64ac bd+ ≤ 8ac bd+ ≤
( ) 1 1
2 2f x x x= − + + ( ) 2f x <
b M∈ 1a b ab+ < +
1
2x < − ( ) 1 1 22 2f x x x x= − − − = − 11 2x− < < −
1 1
2 2x− ≤ ≤ ( ) 1 1 1 22 2f x x x= − + + = <
1
2x > ( ) 2f x x= ( ) 2f x < 1 12 x 2 2 2 21a b a b+ > +
2 2 2 22 1 2a b ab a ab b+ + + > + + ( ) ( )2 21ab a b+ > + 1a b ab+ < +
, , ,a b c d a b c d+ = +
ab cd a b c d+ > +
a b c d+ > + | | | |a b c d− < −
2( ) 2a b a b ab+ = + + 2( ) 2c d c d cd+ = + +
a b c d+ = + ab cd> 2 2( ) ( )a b c d+ > + a b c d+ > +
| | | |a b c d− < − 2 2( ) ( )a b c d− < − 2 2( ) 4 ( ) 4a b ab c d cd+ − < + −
a b c d+ = + ab cd> a b c d+ > +
a b c d+ > + 2 2( ) ( )a b c d+ > + 2 2a b ab c d cd+ + > + +
a b c d+ = + ab cd> 2 2 2 2( ) ( ) 4 ( ) 4 ( )a b a b ab c d cd c d− = + − < + − = −
| | | |a b c d− < − 16 / 16
十年高考+大数据预测
综上 是 的充要条件．
25．（2013 全国 II 文理）设 均为正数，且 ，证明：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ．
【解析】（Ⅰ） 得 ，
由题设得 ， 即 ，
∴ ，即 ．
（Ⅱ）∵ ，∴ ，
即 ，∴ ．
, ,a b c 1a b c+ + =
1
3ab bc ca+ + ≤
2 2 2
1a b c
b c a
+ + ≥
a b c d+ > + | | | |a b c d− < −
2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc c a ca+ ≥ + ≥ + ≥ 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + +
( )2 1a b c+ + = 2 2 2 2 2 2 1a b c ab bc ca+ + + + + =
( )3 1ab bc ca+ + ≤ 1
3ab bc ca+ + ≤
2 2 2
2 , 2 , 2a b cb a c b a cb c a
+ ≥ + ≥ + ≥
2 2 2
( ) 2( )a b c a b c a b cb c a
+ + + + + ≥ + +
2 2 2a b c a b cb c a
+ + ≥ + +
2 2 2
1a b c
b c a
+ + ≥
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