专题 08 三角函数
一、单选题
1．（2020·贵州六盘水�高三其他（理））若角 的顶点为坐标原点，始边在 轴的非负半轴上，终边在直
线 上，则角 的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为直线 的倾斜角是 ， ,
所以终边落在直线 上的角的取值集合为:
或者 .
故选 D.
2．（2020·大连海湾高级中学高一月考）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角
的弧度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设等边 的外接圆的半径为 2，
取 的中点 ，连接 ， ，则 ．
由垂径定理的推论可知， ，
α x
3y x= − α
{ | 2 , }3k k Z
πα α π= − ∈ 2{ | 2 , }3k k Z
πα α π= + ∈
2{ | , }3k k Z
πα α π= − ∈ { | , }3k k Z
πα α π= − ∈
3y x= − 2
3
π
tan 3α = −
3y x= −
{ | , }3k k Z
πα α π= − ∈ 2{ | , }3k kα α π= π + ∈Z
(0 )α α π< <
3
π
2
π
3 2
ABC
BC D OD OC 30OCB∠ = °
OD BC^在 中， ， ， 边长 ．
设该圆弧所对圆心角的弧度数为 ，
则由弧长公式可得 ．
故选：C
3．（2020·黑龙江香坊�校高三一模（理））《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中
对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，
深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材
料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 0.5 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体
中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.己知弦 尺，弓形高 寸，估算该木
材镶嵌墙内部分的体积约为（ ）（注：一丈=10 尺=100 寸， ）
A．300 立方寸 B．305.6 立方寸 C．310 立方寸 D．316.6 立方寸
【答案】D
【解析】设截面图中圆的半径为 （寸），则 ，解得 .
如图，在截面图中连接 ，设 ，
Rt OCD
1 12OD OC= = 3CD∴ = ∴ 2 3BC =
θ
2 3 32
θ = =
1AB = 1CD =
53.14,sin 22.5 13
π ≈ ° ≈
R 2 25 1R R− + = 13R =
,OA OB AOB α∠ =则 ，故 即 .
阴影部分的面积约为 ，
故木材镶嵌墙内部分的体积约为 （立方寸），
故选：D.
4．（2020·山东高一期末）已知 α 为第二象限角， ，则 tan2α＝（ ）
A．﹣ B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，结合 ，
即可得 ，
解得 或 ，
又 是第二象限角，故 ，则 ， .
故 .
故选：
5sin 2 13
α =
2 8
α π≈
4
πα ≈
2 21 1169 10 13 5 6.33252 4 2
π× × − × × − =
6.3325 50 316.625× =
1sin cos 5
α α+ =
24
7
24
7
24
25
4
3
2 2sin cos 1α α+ = 1
5sin cosα α+ =
( )( )5 3 5 4 0cos cosα α+ − =
4
5cosα = 3
5cosα = −
α 3
5cosα = − 4
5sinα = 4
3tanα = −
2
2 242 1 tan 7
tantan
αα α= =−
B5．（2020·山东高一期末）角 的终边与单位圆的交点坐标为 ，将 的终边绕原点顺时针旋转
，得到角 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由角 的终边经过点 ，得 ，
因为角 的终边是由角 的终边顺时针旋转 得到的，
所以
，
故选： .
6．（2018·江西南昌�高三一模（理））已知 ，则 （ ）
A． B．- C． D．-
【答案】D
【解析】
故选：D．
α 3 1( , )2 2
α
3
4
π β cos( )α β+ =
6 2
4
− 6 2
4
+ 3 1
4
− 0
α 3 1( , )2 2
1 3sin ,cos2 2
α α= =
β α 3
4
π
3 3 3 1 2 3 2 2 6sin sin( ) sin cos cos sin ( )4 4 4 2 2 2 2 4
π π πβ α α α − −= − = − = × − − × =
3 3 3 3 2 1 2 2 6cos cos( ) cos cos sin sin ( )4 4 4 2 2 2 2 4
π π πβ α α α −= − = + = × − + × =
3 2 6 1 2 6 6 2cos( ) cos cos sin sin 2 4 2 4 4
α β α β α β − − − −+ = − = × − × =
A
12tan ,5x = − ,2x
π π ∈
3cos 2x
π − + =
5
13
5
13
12
13
12
13
12tan ,5x = −
12 3 12, sin c )os2 13 2 13sinx x x x
π ππ = − ∈ ∴ = ∴ − + = − （7．（2020·宁县第二中学高一期中）在区间[-1,1]上随机取一个数 x，则 的值介于 与 之间的概
率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：在区间[-1,1]上随机取一个数 x，则 的值介于 与 之间，需使
，即 ，
其区间长度为 ，
由几何概型公式可得 ,
故选 D.
8．（2020·安徽金安�高三其他（理））函数 的图象如图所示，则函数 的解析式可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
sin 4
xπ 1
2
− 2
2
1
4
1
3
2
3
5
6
sin 4
xπ 1
2
− 2
2
6 4 4
xπ π π−
2 13 x−
5
3
5
53
2 6P = =
( )f x ( )f x
1( ) sinf x x xx
= −
1( ) cosf x x xx
= −
1( ) sinf x x xx
= +
1( ) cosf x x xx
= + 【解析】函数图象关于原点对称，函数是奇函数，四个选项中 是偶函数， 是奇函数，排除
，又 时， ，D 不满足，排除 D，只有 B 可满足．
故选：B．
二、多选题
9．（2020·湖南茶陵三中高三月考）已知函数 （其中 ， ， 的
部分图象，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调增
D．函数 与 的图象的所有交点的横坐标之和为
【答案】BCD
【解析】由函数 （其中 ， ， ）的图像可得：
， ，因此 ,
,
A C、 B D、
A C、 (0,1)x∈ ( ) 0f x <
( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ 0A > 0>ω 0 πϕ< <
( )f x π
2x =
( )f x π ,012
−
( )f x π π,3 6
−
1y = ( ) π 23π
12 12y f x x = − ≤ ≤
8π
3
( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ 0A > 0>ω 0 πϕ< <
2A = 2 5
4 3 12 4
T π π π= − = T π=
2 2
πω π∴ = =所以 ，过点 ，
因此 ，又 ，
所以 ，
，
当 时， ，故 错；
当 时， ，故 正确；
当 ， ，所以 在 上单调递增，故 正
确；
当 时， ，所以 与函数 有 的交点的横坐标为 ，
，故 正确.
故选： .
10．（2020·山东高三其他）若将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 在区间 上单调递减
C． 不是函数 图象的对称轴 D． 在 上的最小值为
( ) ( )2sin 2f x x ϕ= + 2 , 23
π −
4 3 2 ,3 2 k k Z
π πϕ π+ = + ∈ 0 πϕ< <
6
π=ϕ
( ) 2sin 2 6f x x
π ∴ = +
2x
π= 12f
π = − A
12x
π= − 012f
π − = B
π π,3 6x ∈ −
π π2 ,2 26x
π + ∈ −
( ) 2sin 2 6f x x
π = +
π π,3 6x ∈ − C
π 23π
12 12x− ≤ ≤ [ ]2 0,46x
π π+ ∈ 1y = ( )y f x= 4 1 2 3 4, , ,x x x x
1 2 3 4
7 82 26 6 3x x x x
π π π+ + + = × + × = D
BCD
( ) cos 2 12f x x
π = + 8
π ( )g x
( )g x π ( )g x 0, 2
π
12x
π= ( )g x ( )g x ,6 6
π π −
1
2
−【答案】ACD
【解析】 ．
的最小正周期为 ，选项 A 正确；
当 时， 时，故 在 上有增有减，选项 B 错误； ，故
不是 图象的一条对称轴，选项 C 正确；
当 时， ，且当 ，即 时， 取最小值 ，D 正
确．
故选：ACD
11．（2020·山东青岛�高三其他）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数
的图象，若函数 在区间 上是单调增函数，则实数 可能的取值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】ABC
【解析】由题意，将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到函数 的图象，
若函数 在区间 上是单调增函数，
( ) cos 2 cos 28 12 3g x x x
π π π = + + = +
( )g x π
0, 2x
π ∈
42 ,3 3 3x
π π π + ∈ ( )g x 0, 2
π
012g
π =
12x
π= ( )g x
,6 6x
π π ∈ −
22 0,3 3x
π π + ∈
22 3 3x
π π+ =
6x
π= ( )g x 1
2
−
( ) sin ( 0)f x xω ω= >
12
π
( )y g x= ( )g x 0, 2
π
ω
2
3
6
5
( ) ( )sin 0f x xω ω= >
12
π
( ) sin 12y g x x
ωπω = = −
( )g x 0, 2
π
则满足 ，解得 ，
所以实数 的可能的取值为 .
故选：ABC.
12．（2020·山东省高三期末）已知函数 ， 是 的导函数，则下
列结论中正确的是（ ）
A．函数 的值域与 的值域不相同
B．把函数 的图象向右平移 个单位长度，就可以得到函数 的图象
C．函数 和 在区间 上都是增函数
D．若 是函数 的极值点，则 是函数 的零点
【答案】CD
【解析】∵函数 f（x）＝sinx﹣cosx sin（x ）
∴g（x）＝f'（x）＝cosx+sinx sin（x ），
故函数函数 f（x）的值域与 g（x）的值域相同，
且把函数 f（x）的图象向左平移 个单位，就可以得到函数 g（x）的图象，
存在 x0= ，使得函数 f（x）在 x0 处取得极值且 是函数 的零点，
函数 f（x）在 上为增函数，g（x）在 上也为增函数，∴单调性一致，
12 2
2 12 2
ωπ π
ωπ ωπ π
− ≥ −
− ≤
60 5
ω< ≤
ω 2 6,1,3 5
( ) sin cosf x x x= − ( )g x ( )f x
( )f x ( )g x
( )f x
2
π ( )g x
( )f x ( )g x ,4 4
π π −
0x ( )f x 0x ( )g x
2=
4
π−
2=
4
π+
2
π
+ ,4 k k Z
π π− ∈ 0x ( )g x
,4 4
π π − ,4 4
π π − 故选：CD．
三、填空题
13．（2020·江苏昆山�高三其他）已知 ， 为函数 的两个极值点，则 的最小值为
________.
【答案】
【解析】∵ ，
令
可得 ， ，
所以则 的最小值为 .
故答案为：
14．（2020·辽宁沈阳�高一期中）已知 ， ， ，则 的取值范围
是_____________.
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以
1x 2x ( ) sinxf x e x= 1 2x x−
π
( ) ( )sin cos 2 sin 4
x xf x e x x e x
π ′ = + = +
2 sin 0, sin 04 4
xe x x
π π + = ∴ + =
,4x k k Z
π π+ = ∈
4x k
π π= − + k Z∈
1 2x x− π
π
(cos2 ,1)a x= (1,sin 1)b x= + ,3x
π π ∈ a b⋅
171, 8
(cos2 ,1)a x= (1,sin 1)b x= +
2cos2 sin 1 2sin sin 2a b x x x x⋅ = + + = − + +
21 172 sin 4 8x = − − + 因为 ，所以 ，
所以当 时， 有最大值 ，
当 时， 有最小值 1，
所以 ，
故答案为：
15．（2019·广东天河�高三一模（理））设当 时，函数 取得最大值，则
________.
【答案】
【解析】 ；
当 时，函数 取得最大值
；
， ；
.
故答案为： .
,3x
π π ∈ sin [0,1]x∈
1sin 4x =
21 172 sin 4 8x − − +
17
8
sin 1x =
21 172 sin 4 8x − − +
171, 8a b ⋅ ∈
171, 8
x θ= ( ) sin 3 cosf x x x= +
tan 4
πθ + =
2 3+
( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x
π = + = +
x θ= ( )f x
2 ,3 2 k k z
π πθ π∴ + = + ∈
26 k
πθ π∴ = + k z∈
31 3tan( ) tan( 2 ) tan( ) 2 34 6 4 4 6 31 3
k
π π π π πθ π
+
∴ + = + + = + = = +
−
2 3+四、双空题
16．（2020·福建厦门�高三其他（理））用 表示函数 在闭区间 上的最大值，若正数 满足
，则 ________； 的取值范围为________．
【答案】1
【解析】作出函数 的图象，如图所示：
显然， 的最大值为 1，
， 的最大值为 ，
作出直线 与 相交于 三点，且 ，
由图形可得： ，
故答案为： .
五、解答题
17．（2020·四川郫都�高一期末（理））已知 为锐角， ， ．（1）求
的值；（2）求 的值．
IM siny x= I a
[0, ] [ ,2 ]2a a aM M≥ [0, ]aM = a
5 13,6 12
π π
siny x=
[0, ]aM
[0, ] [ ,2 ]2a a aM M≥ ∴ [ ,2 ]a aM 1
2
1
2y = siny x= , ,A B C 1 5 1 13 1( , ) ( , ), ( , )6 2 6 2 6 2A B C
π π π
5 , 5 136
13 6 62 ,6
a
a
a
π
π π
π
≤ ⇒ ≤ ≤
≤
5 13[ , ]6 6
π π
,α β 4tan 3
α = 5cos( ) 5
α β+ = − cos2α
tan( )α β−【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，
因此， ．
（2）因为 为锐角，所以 ．
又因为 ，所以 ，
因此 ．
因为 ，所以 ，
因此， ．
18．（2020·湖南省高三月考）已知函数 ，其中 ， ，
， ，其部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）已知函数 ，求函数 的单调递增区间.
【答案】（1） ；（2） .
7
25
− 2
11
−
4tan 3
α = sintan cos
αα α= 4sin cos3
α α=
2 2sin cos 1α α+ = 2 9cos 25
α =
2 7cos2 2cos 1 25
α α= − = −
,α β ( )0,πα β+ ∈
( ) 5cos 5
α β+ = − ( ) ( )2 2 5sin 1 cos 5
α β α β+ = − + =
( )tan 2α β+ = −
4tan 3
α = 2
2tan 24tan2 1 tan 7
αα α= = −−
( ) ( ) ( )
( )
tan2 tan 2tan tan 2 1+tan2 tan 11
α α βα β α α β α α β
− + − = − + = = − +
( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ 0A > 0>ω
2 2
π πϕ− < < x∈R
( )y f x=
( ) ( )cosg x f x x= ( )g x
( ) 2sin 6f x x
π = + , ,3 6k k k Z
π ππ π − + + ∈ 【解析】（1）由函数 的图象可知， ， ，故 ，则 ，
又当 时， ，且 ，故 ，
所以 .
（2）
，
令 得： .
故 的单调递增区间为 .
19．（2020·上海高三其他）已知函数 （ ， 为常数且 ），
函数 的图像关于直线 对称.
（1）求函数 的最小正周期；
（2）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，求 的 最大
值.
【答案】（1） ； （2）
【解析】(1)
( )y f x= 2A = 5
4 6 3 2
T π π π= − = 2T π= 1ω =
3x
π= sin 13
π ϕ + = 2 2
π πϕ− < < = 6
πϕ
( ) 2sin 6f x x
π = +
( ) ( ) 3 1cos 2sin cos 2 sin cos cos6 2 2g x f x x x x x x x
π = = + = +
2 3 1 1 13sin cos cos sin 2 cos2 sin 22 2 2 6 2x x x x x x
π = + = + + = + +
2 2 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ ,3 6k x k k Z
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈
( )g x , ,3 6k k k Z
π ππ π − + + ∈
( ) 2 2sin sin 6x xf x
πω ω = − − x∈R ω 1 12
ω< <
( )f x x π=
( )f x
ABC∆ A B C a b c 1a = 3 1
5 4f A = ABC∆ S
6
5T
π= 3
4
( ) 2 2
1 cos(2 )1 cos2 3sin sin 6 2 2
xxf x x x
πωπ ωω ω
− −− = − − = − 因为函数 的图像关于直线 对称，所以 ，
，即 ，又 ，所以 ，
，最小正周期为 ；
(2) 因为 ，所以 ，
因为 ，则 ，所以 ， ，
， 代入 得 ，
即 ，当且仅当 时取等号，所以 ，
所以 的面积的最大值为 .
20．（2020·浙江宁波�高三其他）已知函数 .
（1）求 的振幅、最小正周期和初相位；
（2）将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，当 时，求 的取值
范围.
【答案】（1）振幅为 ，最小正周期为 ，初相位为 ；（2） .
1 1 3 1 1 3 1 1( cos2 sin 2 ) cos2 ( sin 2 cos2 ) sin(2 )2 2 2 2 2 2 2 2 6x x x x x x
πω ω ω ω ω ω= + − = − = −
( )f x x π= sin(2 ) 16
πωπ − = ±
2 ( )6 2 k k Z
π πωπ π− = + ∈ 1 ( )3 2
k k Zω = + ∈ 1 12
ω< < 5
6
ω =
1 5( ) sin( )2 3 6f x x
π= −
2 6
5 5
3
T
π π= =
3 1 1sin( )5 2 6 4f A A
π = − =
1sin( )6 2A
π− =
0 A π< < 5
6 6 6A
π π π− < − <
6 6A
π π− =
3A
π=
1a =
3A
π= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 21 2b c bc bc bc bc= + − ≥ − =
1bc ≤ b c= 1 3 3sin2 4 4ABCS bc A bc∆ = = ≤
ABC∆ 3
4
( ) 22sin cos 3sin cos cos6f x x x x x x
π = + + +
( )f x
( )f x 3
π ( )y g x= ,6 3x
π π ∈ −
( )g x
2 π
6
π [ ]2,1−【解析】（1）
，
因此，函数 的振幅为 ，最小正周期为 ，初相位为 ；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，
则 ，
当 时， ， ，所以， ，
因此，当 时， 的取值范围是 .
21．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）已知函数
的某一周期内的对应值如下表：
x
1 3 1
（1）根据表格提供的数据求函数 的解析式；
( ) 22sin cos 3sin cos cos6f x x x x x x
π = + + +
23 12sin cos sin 3sin cos cos2 2x x x x x x
= − + +
2 22 3sin cos cos sin 3sin 2 cos2 2sin 2 6x x x x x x x
π = + − = + = +
( )y f x= 2 2
2T
π π= =
6
π
( )y f x=
3
π ( )y g x=
( ) 2sin 2 2sin 2 2cos23 3 6 2g x f x x x x
π π π π = − = − + = − = −
,6 3x
π π ∈ −
223 3x
π π− ≤ ≤ 1 cos2 12 x− ≤ ≤ ( )2 1g x− ≤ ≤
,6 3x
π π ∈ −
( )g x [ ]2,1−
( ) ( )sin 0, 0, 2f x A x B A
πω ϕ ω ϕ = + + > > 2
3
π 0, 3x
π ∈
( )f nx m=
( ) 2sin 13f x x
π = − +
)3 1,3 +
( )f x 11 26 6T
π π π = − − =
2T
π
ω= 1ω =
3
1
B A
B A
+ =
− = −
2
1
A
B
=
=
( )5 26 2 k k
π πω ϕ π⋅ + = + ∈Z
( )5 26 2 k k
π πϕ π+ = + ∈Z ( )23 k k
πϕ π= − + ∈Z
2
πϕ 3n∴ =
3 3t x
π= − 0, 3
π ∈ x 2,3 3t
π π ∴ ∈ −
2sin 1t m+ = 1sin 2
mt
−=
siny t=
1 sin2
m t
− = 2,3 3
π π
− 1 3 ,12 2
m − ∈ 即 ，解得 ，
方程 在 恰有两个不同的解时， ，
即实数 m 的取值范围是 .
22．（2020·高三月考）已知 为实数，用 表示不超过 的最大整数，例如 ，
， ，对于函数 ，若存在 ， ，使得 ，则称函数 是
“ 函数”.
（1）判断函数 ， 是否是“ 函数”；
（2）设函数 是定义在 上的周期函数，其最小正周期是 ，若 不是“ 函数”，求 的最小值；
（3）若函数 是“ 函数”，求 的取值范围.
【答案】（1） 是， 不是；（2）1；（3） ，且 ， .
【解析】（1）对于函数 是 函数，设 ，
则 ， ，
所以存在 ， ，使得 ，所以函数 是“ 函数”.
对于函数 ，函数的最小正周期为 ,函数的图象如图所示，
3 1 12 2
m −≤ < 3 1 3m+ ≤ <
∴ ( )f nx m= 0, 3x
π ∈
)3 1,3m ∈ +
)3 1,3 +
x [ ]x x [1.2] 1=
1.2 2[ ]− = − [1] 1= ( )f x m∈R m∉Z ( ) ([ ])f m f m= ( )f x
Ω
2 1( ) 3f x x x= − ( ) | sin |g x xπ= Ω
( )f x R T ( )f x Ω T
( ) af x x x
= + Ω a
( )f x ( )g x 0a > 2[ ]a m≠ [ ]([ ] 1)a m m≠ +
2 1( ) 3f x x x= − Ω 1
3m = [ ] 0m =
1( ) ( ) 03f m f= = ([ ]) (0) 0f m f= =
m∈R m∉Z ( ) ([ ])f m f m= ( )f x Ω
( ) sing x xπ= 2 1 =12
π
π ×不妨研究函数在[0,1]这个周期的图象.
设 ， ,则 ,
所以 ，
所以函数 不是“ 函数”.
综合得函数 是“ 函数”，函数 不是“ 函数”.
（2） 的最小值为 1．
因为 是以 为最小正周期的周期函数，所以 ．
假设 ，则 ，所以 ，矛盾．
所以必有 .
而函数 的周期为 1，且显然不是 函数，
综上所述， 的最小值为 1．
（3）当函数 是“ 函数”时，
若 ，则 显然不是 函数，矛盾．
若 ，则 ，
所以 在 ， 上单调递增，
0 1m< < [ ] 0m = ( ) | sin | 0, ([ ]) (0) 0g m m g m gπ= > = =
( ) ([ ])g m g m≠
( )g x Ω
( )f x Ω ( )g x Ω
T
( )f x T ( ) (0)f T f=
1T < [ ] 0T = ([ ]) (0)f T f=
1T
( ) [ ]l x x x= − Ω
T
( ) af x x x
= + Ω
0a = ( )f x x= Ω
0a < 2( ) 1 0af x x
′ = − >
( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞此时不存在 ，使得 ，
同理不存在 ，使得 ，
又注意到 ，即不会出现 的情形，
所以此时 不是 函数．
当 时，设 ，所以 ，
所以有 ，其中 ，
当 时，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
综上所述， ，且 ， .
0m < ( ) ([ ])f m f m=
0m > ( ) ([ ])f m f m=
[ ] 0m m [ ] 0m m< <
( ) af x x x
= + Ω
0a > ( ) ([ ])f m f m= [ ] [ ]a am mm m
+ = +
[ ]a m m= [ ] 0m ≠
0m >
[ ] [ ] 1m m m< < + 2[ ] [ ] ([ ] 1)[ ]m m m m m< < +
2[ ] ([ ] 1)[ ]m a m m< < +
0m < [ ] 0m <
[ ] [ ] 1m m m< < + 2[ ] [ ] ([ ] 1)[ ]m m m m m> > +
2[ ] ([ ] 1)[ ]m a m m> > +
0a > 2[ ]a m≠ [ ]([ ] 1)a m m≠ +
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