专题 10 函数与导数
一、单选题
1．（2020·四川阆中中学高二月考（理））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，因此， .
故选：B.
2．（2020·河南洛阳�高一期末（文））已知函数 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以要使函数有意义需满足 ，
解得 ，即 ，所以函数的定义域为 ，故选 C.
3．（2020·陕西高三其他（理））已知函数 ，则
A．是奇函数，且在 R 上是增函数 B．是偶函数，且在 R 上是增函数
C．是奇函数，且在 R 上是减函数 D．是偶函数，且在 R 上是减函数
【答案】A
{ },xA y y e x R= = ∈ [ ]2,3B = − A B =
( )0,2 ( ]0,3 [ ]2,3− [ ]2,3
{ } ( ), 0,xA y y e x R= = ∈ = +∞ [ ]2,3B = − ( ]0,3A B =
( ) ln 16 2xf x x= + − ( )f x
(0,1) (1,2] (0,4] (0,2]
( ) ln 16 2xf x x= + −
0
16 2 0x
x >
− ≥
0
4
x
x
>
≤ 0 4x< ≤ ( ]0,4
1( ) 3 ( )3
x xf x = − ( )f x【解析】函数 的定义域为 ，且
即函数 是奇函数，
又 在 都是单调递增函数，故函数 在 R 上是增函数．
故选 A.
4．（2020·全国高三其他（文））函数 的零点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】由 ，由 ，
所以函数 的零点个数为 2，故选 B.
5．（2020·重庆高二月考）下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于 A， ，故 A 错误；
对于 B， ，故 B 错误；
( ) 13 3
x
xf x = − R
( ) ( )1 1 13 3 3 ,3 3 3
x x x
x x xf x f x
−
−
− = − = − + = − − = −
( )f x
1y 3 , 3
x
x y = = − R ( )f x
2 2 3, 0( )
2 ln , 0
x x xf x
x x
+ − ≤= − + >
2 2 3 0 3
0
x x x
x
+ − = ⇒ = − ≤
20
2 ln 0
x x ex
> ⇒ =− + =
2 2 3, 0( )
2 ln , 0
x x xf x
x x
+ − ≤= − + >
( )21 ' 1 2x x− = − ( )cos30 ' sin30° = − °
( ) 1ln 2 ' 2x x
= ( )3 3' 2x x=
2(1 ) 2x x− ′ = −
(cos30 ) 0° ′ =对于 C， ，故 C 错误；
对于 D， ，故 D 正确．
故选：D．
6．（2020·河南濮阳�高二期末（理））曲线 在 处的切线与曲线 在 处的
切线平行，则 的递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数 ， ，则 ， ，
因为 在 处的切线与曲线 在 处的切线平行，
可得 ，即 ，即 ，解得 ，
所以 ，令 ，得 ，
即函数 的递减区间为 .
故选：D.
7．（2020·重庆高二月考）已知函数 在 处取得极大值 10，则 的值为
（ ）
A． B． 或 2 C．2 D．
【答案】A
1 1[ (2 )] (2 )2ln x xx x
′ = × ′ =
3 1
3 2 23 3( ) 2 2x x x x
′ ′= = =
( ) xf x e= 0x = ( ) 3g x x ax= − 1x =
( )g x
( )1,1− 3 3,3 3
−
( )2, 2− 6 6,3 3
−
( ) xf x e= ( ) 3g x x ax= − ( ) xf x e′ = ( ) 23g x x a′ = −
( ) xf x e= 0x = ( ) 3g x x ax= − 1x =
( ) ( )0 1f g′ = ′ 0 23 1e a= × − 3 1a− = 2a =
( ) 23 2g x x′ = − ( ) 23 2 0g x x′ = − < 6 6
3 3x− < <
( )g x 6 6,3 3
−
( ) 3 2 2 7f x x ax bx a a= + + − − 1x = a
b
2
3
− 2
3
1
3
−【解析】 ，则 ，
根据题意： ，解得 或 ，
当 时， ，函数在 上单调递减，在 上单调递增，
故 处取得极小值，舍去；
当 时， ，函数在 上单调递增，在 上单调递减，
故 处取得极大值，满足.
故 .
故选：A.
8．（2020·河南项城市第三高级中学高二月考（理））函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，给出下
列命题：
①－3 是函数 y＝f(x)的极值点；
②－1 是函数 y＝f(x)的最小值点；
③y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增；
④y＝f(x)在 x＝0 处切线的斜率小于零．
以上正确命题的序号是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
( ) 3 2 2 7f x x ax bx a a= + + − − ( )' 23 2f x x ax b= + +
( )
( )
21 1 7 10
1 3 2 0
f a b a a
f a b′
= + + − − = = + + =
2
1
a
b
= −
=
6
9
a
b
= −
=
2
1
a
b
= −
=
( ) ( )( )' 23 4 1 3 1 1f x x x x x= − + = − − 1 ,13
( )1,+∞
1x =
6
9
a
b
= −
=
( ) ( )( )' 23 12 9 3 1 3f x x x x x= − + = − − ( ),1−∞ ( )1,3
1x =
6 2
9 3
a
b
−= = −【解析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几
何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
根据导函数图象可知：当 x∈（-∞，-3）时，f'（x）＜0，在 x∈（-3，1）时，
∴函数 y=f（x）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确；
则-3 是函数 y=f（x）的极小值点，故①正确；
∵在（-3，1）上单调递增∴-1 不是函数 y=f（x）的最小值点，故②不正确；
∵函数 y=f（x）在 x=0 处的导数大于 0∴切线的斜率大于零，故④不正确.
故选 C.
二、多选题
9．（2020·山东临沂�高二期末）已知函数 在 上单调递增，且 ， ，
则（ ）
A． 的图象关于 对称 B．
C． D．不等式 的解集为
【答案】ACD
【解析】函数 满足 ，可得 的图象关于 对称，A 正确；
和 关于 对称，故 ，又函数 在 上单调递增，则
，即 ； ，即 ，B 错误，C 正确；
和 关于 对称，则 ，又 等价于 或 ， 在
上单调递增， 或 ，D 正确；
( ) 0f x′ ≥
( )f x R ( ) ( )1 1 0f x f x+ + − = ( )2 1f =
( )f x ( )1,0 1 4 03 3f f + >
2 5 03 3f f + >
( )2 1f x > ( ) ( ),0 2,−∞ +∞
( )f x ( ) ( )1 1 0f x f x+ + − = ( )f x ( )1,0
1
3x = 5
3x = ( )1,0 1 5 03 3f f + =
( )f x R
4 5
3 3f f ( ) 1f x < − ( )f x R
0x∴ < 2x >故选：ACD
10．（2020·福建高二期末）已知函数 ，则（ ）
A．函数 在原点处的切线方程为
B．函数 的极小值点为
C．函数 在 上有一个零点
D．函数 在 R 上有两个零点
【答案】AD
【解析】函数 ，得 ，则 ；
又 ，从而曲线 在原点处的切线方程为 ，故 A 正确．
令 得 或 ．
当 时， ，函数 的增区间为 ， ；
当 时， ，函数 的减区间为 ．
所以当 时，函数 有极大值，故 B 错误．
当 时， 恒成立，
所以函数 在 上没有零点，故 C 错误．
当 时，函数 在 上单调递减，且 ，存在唯一零点；
当 时，函数 在 上单调递增，且 ，存在唯一零点．
( ) ( )2 2 xf x x x e= − ⋅
( )f x 2y x= −
( )f x 2x = −
( )f x ( ), 2−∞ −
( )f x
( ) ( )2 2 xf x x x e= − ( ) ( )2 2 xf x x e′ = − ( )0 2f ′ = −
( )0 0f = ( )y f x= 2y x= −
( ) 0f x′ = 2x = 2x = −
( ) ( ), 2 2,x∈ −∞ − +∞ ( ) 0f x¢ > ( )y f x= ( ), 2−∞ − ( )2,+∞
( )2, 2x∈ − ( ) 0f x¢ < ( )y f x= ( )2, 2−
2x = − ( )y f x=
2x < − ( ) ( )2 2 0xf x x x e= − >
( )y f x= ( ), 2−∞ −
2 2x− < < ( )y f x= ( )2, 2− ( )0 0f =
2x > ( )y f x= ( )2,+∞ ( )2 0f =故函数 在 R 有两个零点，故 D 正确．
故选：AD
11．（2020·山东枣庄�高二期末）已知符号函数 ，则（ ）
A．
B．
C． 是奇函数
D．函数 的值域为（﹣∞，1）
【答案】BC
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于 A，log23＞0 而 log3 ＜0，则 log23•log3 ＜0，故 sgn（log23•log3 ）＝﹣1，A 错误；
对于 B， ＝﹣2＜0，则 sgn（ ）＝﹣1，B 正确；
对于 C，sgn（x）＝ ，当 x＞0 时，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝﹣1，当 x＜0 时，sgn（﹣x）＝﹣sgn
（x）＝1，当 x＝0 时，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝0，则对于任意的 x，都有 sgn（﹣x）＝﹣sgn（x），故 sgn
（x）是奇函数，C 正确；
对于 D，函数 y＝2x•sgn（﹣x）＝ ，其图象大致如图，值域不是（﹣∞，1），D 错误；
( )y f x=
( )
1, 0
sgn 0, 0
1, 0
x
x x
x
>
= =
−
=
−
=
( )( ) x
f xg x e
=
( ) xf x e≤
( )( ) x
f xg x e
= ( ) ( ) ( )
x
f x f xg x e
′ −′ =
1x > ( ) ( ) 0f x f x′ − > ( )g x ( )1,+∞
1x < ( ) ( ) 0f x f x′ − < ( )g x ( ),1−∞
( )1 0g < ( )y g x=
( )1 0g = ( )y g x=
( )1 0g > ( )y g x=在 单调递减，则 在 单调递减， ，可知 时，
，故 ，即 ，D 错误；
故选：ABC
三、填空题
13．（2021·山西高三开学考试（文））已知函数 ，若 ，则
实数 ______.
【答案】
【解析】当 时， ， .
所以 ，故 ，
所以 .
故答案为：
14．（2020·昆明市官渡区第一中学高二开学考试（文））已知定义在 R 上的偶函数 ，其导函数为
，当 时，恒有 ，若 ，则不等式 的解集为
______．
【答案】
【解析】因为 是偶函数，所以 ，
因为 ，
所以 ，
( )g x ( ),1−∞ ( )g x ( ),0−∞ ( ) ( )
0
00 1fg e
= = 0x ≤
( ) ( )0g x g≥ ( ) 1x
f x
e
≥ ( ) xf x e≥
( ) ( )2log 3 , 0
2 1, 0x
x xf x
x
− ≤= − >
( ) 11 2f a − =
a =
2log 3
0x ≤ 3 3x− ≥ ( )2 2 2
1log 3 log 3 log 2 2x− ≥ > =
1 0a − > ( ) 1 1
2 2
1 3 31 2 1 ,2 , 1 log log 3 12 2 2
a af a a− −− = − = = − = = −
2log 3a =
2log 3
( )f x
( )′f x 0x ≥ ( ) 2 ( ) 0xf x f x′ + − ≤ 2( ) ( )g x x f x= ( ) (1 2 )g x g x< −
1 ,13
( )f x ( ) ( )f x f x− =
2( ) ( )g x x f x=
2( ) 2 ( ) ( )g x xf x x f x′ ′= + [ ]2 ( ) ( )x f x xf x′= + [ ]2 ( ) ( )x f x xf x′= − +因为当 时， ，
所以当 时， ，
所以 在 上为递减函数，
又 ，所以 为偶函数，
因为 ，所以 即 ，解得 .
故答案为： .
15．（2017·福建高一期中）当 时，有 ，则称函数 是“严格下凸函
数”，下列函数是严格下凸函数的是__________．
① ② ③ ④
【答案】③
【解析】按照严格下凸函数的定义检测四个函数，如① ， ，
不满足严格下凸函数的定义，对于②， ， ，当 ， 同
号时，相等，不满足定义；对于③ ， ，作差可知
，对于④ ，
，因为 ，所以不正确，故选③.
16．（2020·四川青羊�树德中学高三月考（文））设函数 .
0x ≥ ( ) 2 ( ) 0xf x f x′ + − ≤
0x ≥ ( ) 0g x′ ≤
( )g x [ )0,+∞
( )2 2( ) ( ) ( ) ( )g x x f x x f x g x− = − − = = ( )g x
( ) (1 2 )g x g x< − 1 2x x> − 2 2(1 2 )x x> − 1 13 x< <
1 ,13
1 2x x≠ 1 2 1 2( ) ( )( )2 2
x x f x f xf
+ +< ( )f x
y x= | |y x= 2y x= 2logy x=
1 2 1 2
2 2
x x x xf
+ + =
( ) ( )1 2 1 2
2 2
f x f x x x+ +=
1 21 2
2 2
x xx xf
++ =
( ) ( ) 1 21 2
2 2
x xf x f x ++ = 1x 2x
2
1 2 1 2
2 2
x x x xf
+ + =
( ) ( ) 2 2
1 2 1 2
2 2
f x f x x x+ +=
( ) ( )1 21 2
2 2
f x f xx xf
++
3 3 ,( ) {
2 ,
x x x af x
x x a
− ≤=
− >①若 ，则 的最大值为____________________；
②若 无最大值，则实数 的取值范围是_________________.
【答案】2
【解析】如图，作出函数 与直线 的图象，它们的交点是 ，
由 ，知 是函数 的极小值点，
①当 时， ，由图象可知 的最大值是 ；
②由图象知当 时， 有最大值 ；只有当 时， ， 无最大值，
所以所求 的取值范围是 ．
四、解答题
17．（2020·湖南省高三月考）已知 ．
（1）求 的值域．
（2）若 对任意 和 都成立，求 的取值范围．
0a = ( )f x
( )f x a
( , 1)−∞ −
3( ) 3g x x x= − 2y x= − ( 1,2), (0,0), (1, 2)A O B− −
2'( ) 3 3g x x= − 1x = ( )g x
0a =
3 3 , 0( ) {
2 , 0
x x xf x
x x
− ≤=
− > ( )f x ( 1) 2f − =
1a ≥ − ( )f x ( 1) 2f − = 1a < − 3 3 2a a a− < − ( )f x
a ( , 1)−∞ −
1( ) 4 2 5, [ 2,2]x xf x x−= − + ∈ −
( )f x
2( ) 3 2f x m am> + + [ 1,1]a∈ − [ 2,2]x∈ − m【答案】（1） ； （2） .
【解析】（1）令
原函数变为：
的值域为 .
（2）
即
恒成立
令 ,
图象为线段，
则
解得 .
18．（2020·宁夏高二期末（文））已知函数 ．
[4,5] 2 2
3 3m− < <
2x t=
[ ]2,2x ∈ −
1 ,44t ∴ ∈
( ) ( )221 15 2 44 4g t t t t= − + = − +
1 ,44t ∈
( ) [ ]4,5g t∴ ∈
( )f x∴ [ ]4,5
( )2
min3 2 4m am f x+ + < =
23 2 0m am+ − <
[ ]1,1a∈ −对于任意
∴ ( ) [ ]23 2 1,1h a m am a= + − ∈ −，
( )h a
( )
( )
2
2
1 0 3 2 0
1 0 3 2 0
h m m
h m m
− < + − ( ) 1 0f x ax
′ = − = 1x a
=
( ) 0f x′ > 10,x a
∈
( ) 0f x′ < 1 ,x a
∈ +∞
( )y f x= 10, a
1 ,a
+∞
( ) ( ) 2max
1 1 1ln 1 1f x f x f aa a e
= = = − = ⇒ = 极大值
2a e−=
( ) ( )2 lnxh x x e x ax= − + − ( )h x b≤ 1 ,13x ∈
( )2 lnxb x e x ax≥ − + − 1a ≥ 1 ,13x ∈
1a ≥ 0x > ( ) ( )2 ln 2 lnx xx e x ax x e x x∴ − + − ≤ − + −
( )2 lnxb x e x x≥ − + − 1 ,13x ∈
( ) ( )2 lnxg x x e x x= − + − ( ) ( ) ( )1 11 1 1x xg x x e x ex x
′ = − + − = − − ， ，且 单调递增，
， ， 一定存在唯一的 ，使得 ，
即 ， ，
且当 时， ，即 ；当 时， ，即 .
所以，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，
因此， 的最小整数值为 .
20．（2020·辽宁高三三模（理））已知函数 .
（1）证明：当 时， ；
（2）若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）令 ，则 ，当 时， ，
故 在 上单调递增，所以 ，
即 ，所以 .
（2）由已知， ，
依题意， 有 3 个零点，即 有 3 个根，显然 0 不是其根，所以
1,13x ∈ 1 0x∴ − < ( ) 1xt x e x
= −
1
21 2 02t e = − ∴ 0
1,13x ∈
( )0 0t x =
0
0
1xe x
=
0 0lnx x= −
0
1
3 x x< < ( ) 0t x < ( ) 0g x′ > 0 1x x< < ( ) 0t x > ( ) 0g x′ <
( )y g x= 0
1,3 x
( )0 ,1x
( ) ( ) ( ) ( )0
0 0 0 0 0max
0
12 ln 1 2 4, 3xg x g x x e x x x x
∴ = = − + − = − + ∈ − −
b 3−
( )2 2 2( ) e 1 e ( )x xf x ax ax a R= + − − ∈
2ex ≥ 2ex x>
( )f x a
2e( , )4
+∞
( ) 2lng x x x= − ' 2( ) 1g x x
= − 2x e≥ ' ( ) 0g x >
( )g x 2[e , )+∞ 2 2( ) (e ) e 4 0g x g≥ = − >
2lnx x> 2xe x>
( ) 22 2 2 (e )( )( ) e 1 e e 1xx xxf x ax a axx == − − − ++
( )f x 2e 0x ax− = 2
ex
a x
=有 3 个根，令 ，则 ，当 时， ，当
时， ，当 时， ，故 在 单调递减，在 ， 上
单调递增，作出 的图象，易得 .
故实数 的取值范围为 .
21．（2020·重庆高二期末）已知函数 ， ．
（1）若函数 在 内单调，求 的取值范围；
（2）若函数 存在两个极值点 ， ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1） ，
由题意得 恒成立，
即 恒成立，而 ，
2
e( )
x
h x x
= '
3
e ( 2)( )
x xh x x
−= 2x > ' ( ) 0h x > 0 2x< <
' ( ) 0h x < 0x < ' ( ) 0h x > ( )h x (0,2) ( ,0)−∞ (2, )+∞
( )h x
2e
4a >
a
2e( , )4
+∞
( ) 2 ln 2= − −f x x a x x a R∈
( )f x (0, )+∞ a
( )f x 1x 2x 1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x
+
1
2a ≤ − ( ), 3 2ln 2−∞ − −
2
2
2 2( ) 2 2 ( 0)a x x af x x xx x
− −′ = − − = >
( ) 0f x′
22 2a x x−
2 21 1 12 2 2( )2 2 2x x x− = − − −；
（2）由题意知 在 内有 2 个不等实根 ， ，则 ，
且 ， ，不妨设 ，则 ，
，
令 ， ，
则 ，
显然 ， ，故 ， 递增，
而 ， 时， ，
故 ， ，
．
1
2a∴ −
22 2 0x x a− − = (0, )+∞ 1x 2x 1 02 a− < <
1 2 1x x =+ 1 2 2
ax x = − 1 2x x< 1
10 2x< <
∴ 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( 2) ( 2) 3 ( )f x f x lnx lnx lnx lnxx a x a ax x x x x x
+ = − − + − − = − − +
1 2
1 2 2 1 1 2 1 1 1 1
1 2
3 2 ( ) 2 2 3 2(1 ) 2 (1 ) 3lnx lnxx x x lnx x lnx x lnx x ln xx x
= − + + = + − = − + − −
( ) (1 ) (1 )g x x lnx xln x= − + − 1(0 )2x< <
1 1 1 2( ) (1 ) ( 1)1 (1 )
x x xg x lnx ln x lnx x x x x
− −′ = − + + − − = − +− −
1 1 1x
− > 1 2 0x− > ( ) 0g x′ > ( )g x
1 1( ) 22 2g ln ln= = − 0x → ( )g x → −∞
( ) (g x ∈ −∞ 2)ln−
∴ 1 2
1 2
( ) ( ) ( , 3 2 2)f x f x lnx x
+ ∈ −∞ − −
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