专题 12 直线与圆
一、单选题
1．（2020·河北高一期末）已知直线 经过 两点，则 的斜率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 故选 A
2．（2020·昆明市官渡区第一中学高二开学考试（文））“ ”是“两直线 和
互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时，两直线 和 的斜率分别为： 和 ，所以两
直线垂直；
若两直线 和 互相垂直，则 ，解得： ；
因此“ ”是“两直线 和 互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2020·贵州省思南中学高一期末）已知三角形的三个顶点 A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），则△ABC
的高 CD 所在的直线方程是（ ）
A．5x+y﹣2=0 B．x﹣5y﹣16=0 C．5x﹣y﹣8=0 D．x+5y+14=0
【答案】A
l ( ) ( )1,1 , 2,3A B l
2 2
3
4
3
1
2
3 1 22 1k
−= =−
3k = 3 2 0kx y− − = 2 6 7 0kx y+ − =
3k = 3 2 0kx y− − = 2 6 7 0kx y+ − = 13
=k 13
− = −k
3 2 0kx y− − = 2 6 7 0kx y+ − = 2 ( 3) 6 0⋅ + − ⋅ =k k 3k = ±
3k = 3 2 0kx y− − = 2 6 7 0kx y+ − =【解析】由斜率公式可得 kAB== ，
∵CD⊥AB，∴kCD=﹣5，
∴直线 CD 的方程为：y+3=﹣5（x﹣1），
化为一般式可得 5x+y﹣2=0．
故选 A．
4．（2020·河北高一期末）直线 y＝4x﹣5 关于点 P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
【答案】C
【解析】设直线 上的点 关于点 的对称点的坐标为 ，
所以 ， ，所以 ， ，
将其代入直线 中，得到 ，化简得 ，
故选：C．
5．（2020·四川省高一月考（理））已知四边形 各顶点的坐标分别为 ， ，
， ，点 为边 的中点，点 在线段 上，且 是以角 为顶角的等腰三角形，
记直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题中条件可知， ， ， ， ，∴四边形 为正方形.又∵
为边 的中点， 是以角 为顶角的等腰三角形，∴ 必为边 的中点，则 ，
4 5y x= − ( )0 0,P x y ( )2,1 ( ),x y
0
2 2=x x+ 0
2 1=y y+
0 4x x= − 0 2y y= −
4 5y x= − ( )2 4 4 5y x− = − − 4 9y x= −
OABC (0,0)O (2,1)A
(1,3)B ( 1,2)C − D OA E OC DBE∆ B
EB DB α β sin( )α β+ =
3
5-
4
5
− 3
5
4
5
OA CBk k= OC ABk k= OA OC= OA OC⊥ OABC
D OA DBE∆ B E OC 11, 2D
，∴ ，由题易知， ， ；直线 与 轴垂直，则
，∴ .故选 C.
6．（2019·全国专题练习）过点 ，且圆心在直线 上的圆的方程是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线 上，排除 B、D，点 在圆
上，排除 A
故选 C
7．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）设点 为圆 上的任意一点，点
，则线段 长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点 ，则 ，化简可得：
即点 在直线 上，
圆 的圆心 到直线 的距离为 ，
则线段 长度的最小值为
故选：C
1 ,12E −
3 1 4tan 1 31 2
EBkα −= = =
+
4sin 5
α = 3cos 5
α = DB x
90β = ° ( ) ( ) 3sin sin 90 cos 5
α β α α+ = + ° = =
( ) ( )1, 1 , 1,1A B− − 2 0x y+ − =
( ) ( )2 23 1 4x y− + + = ( ) ( )2 23 1 4x y+ + − =
( ) ( )2 21 1 4x y− + − = ( ) ( )2 21 1 4x y+ + + =
2 0x y+ − = ( )1,1B −
P 2 2:( 1) 4C x y− + = (2 , 3)Q a a −
( )a R∈ PQ
5 2+ 5 5 2− 5 1−
( ),Q x y 2 , 3x a y a= = − 2 6 0x y− − =
Q 2 6 0x y− − =
C ( )1,0 2 6 0x y− − = 1 0 6 5
1 4
d
− −= =
+
PQ 5 2−8．（2020·贵州省思南中学高一期末）已知直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若
，则实数 m=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立 ，得 2x2+2mx+m2-1=0，
∵直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、B 两点，O 为坐标原点，
∴△=4m2+8m2-8=12m2-8＞0，解得 m＞ 或 m＜- ，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=-m， ，
y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2， =（-x1，-y1）， =（x2-x1，y2-y1），
∵ +y12-y1y2=1 +m2-m2=2-m2= ，
解得 m= ．
故选 C．
9．（2020·广西七星�高三月考（理））以双曲线 的右焦点为圆心，与双曲线的渐近
线相切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3AO AB 2
⋅ =
1± 3
2
± 2
2
± 1
2
±
2 2 1
y x m
x y
= +
+ =
6
3
6
3
2
1 2
1
2
mx x
−=
AO AB
2
1 1 2
3 ,2AO AB AO AB x x x⋅ = ∴ ⋅ = − 2 21 1
2 2
m m− −− − 3
2
2
2
±
2
2 13
yx − =
( )22 2 3x y+ − = ( )2 22 9x y− + =
( )2 22 3x y− + = ( )2 22 3x y+ + =【答案】C
【解析】 ，其中 ，右焦点
渐近线方程为： ，
右焦点 到直线 的距离为：
圆的方程为：
故选：C
二、多选题
10．（2020·盐城市伍佑中学高一期中）已知直线 过点 P（2,4），在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则直线 的方
程可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】当直线过原点时，斜率等于 ，
故直线的方程为 ，即 .
当直线不过原点时，设直线的方程为 ，把 P（2,4）代入直线的方程得 ，
故求得的直线方程为 ，
综上，满足条件的直线方程为 或 .
故选：BD.
11．（2020·高一月考）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线 恒过定点
3
2 13
yx − = 2 2 21, 3, 4, 2= = ∴ = =a b c c (2,0)
3y x=
(2,0) 3y x= 2 3 32d = =
2 2( 2) 3x y− + =
l l
2 0x y− + = 6 0x y+ − = 2x = 2 0x y− =
4 0 22 0
− =−
2y x= 2 0x y− =
0x y m+ + = 6m = −
6 0x y+ − =
6 0x y+ − = 2 0x y− =
( 1) (2 1) 3( )m x m y m m R− + − = − ∈ (5, 2)−B．圆 上有且仅有 3 个点到直线 的距离都等于
C．曲线 与曲线 恰有四条公切线，则实数 m 的取值范围
为
D．已知圆 ， 为直线 上一动点，过点 向圆 C 引一条切线 ，其中
为切点，则 的最小值为 2
【答案】ABD
【解析】对 ： ，
即 ，
由 ，且 ，
解得 ，故该直线恒过定点 ， 正确；
对 ：圆心 到直线 的距离 ，
故圆上存在三点到直线的距离是 . 正确；
对 ：若曲线 能够表示圆，则需满足：
，解得 ，显然 选项错误；
对 ：根据题意，显然 ，
当 最小时，则 最小，其最小值为 到直线 的距离，
即 .
2 2 2x y+ = : 1 0l x y− + = 2
2
2 2
1 2 0C : x y x+ + = 2 2
2 4 8 0C : x y x y m+ − − + =
4m >
2 2: 2C x y+ = P 2 3 0x y+ + = P PA A
PA
A ( 1) (2 1) 3( )m x m y m m R− + − = − ∈
( )2 1 3 0m x y x y+ − − − + =
2 1 0x y+ − = 3 0x y− − + =
5, 2x y= = − ( )5, 2− A
B ( )0,0 1 0x y− + = 2 1
2 2d r= =
2
2
B
C 2 2
2 4 8 0C : x y x y m+ − − + =
16 64 4 0m+ − > 20m < C
D 2 22PA PC+ =
PA PC ( )0,0 2 3 0x y+ + =
2 3 6
2
d = =故 的最小值为 2.故 正确.
综上所述，正确的选项是 .
故选： .
12．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）圆 和圆 的交点
为 A，B，则有（ ）
A．公共弦 AB 所在直线方程为
B．线段 AB 中垂线方程为
C．公共弦 AB 的长为
D．P 为圆 上一动点，则 P 到直线 AB 距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于 A，由圆 与圆 的交点为 A，B，
两式作差可得 ，
即公共弦 AB 所在直线方程为 ，故 A 正确；
对于 B，圆 的圆心为 ， ，
则线段 AB 中垂线斜率为 ，
即线段 AB 中垂线方程为： ，整理可得 ，故 B 正确；
对于 C，圆 ，圆心 到 的距离为
PA D
ABD
ABD
2 2
1 : 2 0x y xO + − = 2 2
2 : 2 4 0O x y x y+ + − =
0x y− =
1 0x y+ − =
2
2
1O 2 12
+
2 2
1 : 2 0x y xO + − = 2 2
2 : 2 4 0O x y x y+ + − =
4 4 0x y− =
0x y− =
2 2
1 : 2 0x y xO + − = ( )1,0 1ABk =
1−
( )0 1 1y x− = − × − 1 0x y+ − =
2 2
1 : 2 0x y xO + − = 1O ( )1,0 0x y− =，半径
所以 ，故 C 不正确；
对于 D，P 为圆 上一动点，圆心 到 的距离为
，半径 ，即 P 到直线 AB 距离的最大值为 ，
故 D 正确.
故选：ABD
三、填空题
13．（2020·宁夏高一期末）已知直线 与直线 平行，则它们之间的距
离为__________．
【答案】
【解析】两条直线平行即斜率相等，所以 ，即 ，直线 化简为
，所以距离 ，故答案为
点睛：已知直线 和直线 平行，则有 且 ，
切记不要了遗忘了 这个条件；两条平形直线的距离公式为 ，在利用公式时注意
先将两条直线 、 的系数化成相同.
14．（2020·高一月考）若直线 与圆 有公共点，则实数
的取值范围是__________．
( )22
1 0 2
21 1
d
−= =
+ − 1r =
2
22 1 22AB
= − =
1O 1O ( )1,0 0x y− =
2
2d = 1r = 2 12
+
2 2 0x y+ − = 4 6 0x my+ + =
5
2 4
1 m
− = − 2m = 4 6 0x my+ + =
2 3 0x y+ + =
2
2 3 5
2 1
d
− −= =
+ 5
1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 1 2 2 1A B A B= 1 2 2 1AC A C≠
1 2 2 1AC A C≠ 1 2
2 2
C Cd
A B
−=
+
x y
( )4y k x= + 2 2 8x y+ = k【答案】
【解析】直线 即 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
若直线与圆有交点，则 ，
解得 ,
故实数 的取值范围是 .
15．（2020·应城市第一高级中学高二开学考试）已知圆 ，点 是直线
上的动点，若在圆 C 上总存在不同的两点 使得 ，则 的取值范围
是________．
【答案】
【解析】 在圆 C 上总存在不同的两点 使得 ，
四边形 OAPB 是菱形， 直线 AB 垂直平分 OP．
当直线 AB 的斜率为 0 时，由直线 得 ，OP 中点为 ，
此时直线 AB 的方程为 ，此时在圆 C 上不存在不同的两点 满足条件；
当直线 AB 的斜率不存在时，由直线 可得 ，
此时直线 AB 的方程为 ，满足条件；
当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，
[ ]1,1−
( 4)y k x= + 4 0kx y k− + =
2 2 8x y+ = (0,0) 2 2
2
4 2 2
1
k
k
≤
+
1 1k− ≤ ≤
k [ ]1,1−
2 2: 1C x y+ = ( )0 0P x y，
: 4 3 6 0l x y+ − = A B， OA OB OP+ =
0x
480 25
，
A B， OA OB OP+ =
∴ ∴
① : 4 3 6 0l x y+ − = ( )0 2P ， ( )01，
1y = A B，
② : 4 3 6 0l x y+ − = 3 02P
，
3
4x =
③， ， ．
直线 AB 的方程为 ，即 ，
由题意得圆心到直线 AB 的距离 ，即 ，
又 ， ，
解得 的取值范围是
故答案为： .
四、双空题
16．（2020·浙江金华�高二期末）已知：直线 ，圆 ，则直线 过
定点________；若直线 与圆 恒有公共点，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】根据 ，令 ，得 ，所以直线 过定点 ；
直线 与圆 恒有公共点，等价于点 在圆内或圆上，
所以有 ，即 ，
故答案为：① ；② .
五、解答题
AB OP⊥
0
0
OP
yk x
= 0
0
AB
xk y
∴ = −
∴ 0 0 0
02 2
y x xy xy
− = − −
2 2
0 0 0 02 2 0x x y y y x+ − − =
2 2
0 0 12
x yd
+= < 2 2
0 0 4x y+ <
0 04 3 6 0x y+ − = 2
0 025 48 0x x∴ − <
0 0
480 .25x x< < ∴ 480 25
，
480 25
，
: 1 0l mx y+ − = 2 2: ( , )C x y n m n R+ = ∈ l
l C n
(0,1) [1, )+∞
: 1 0l mx y+ − = 0x = 1y = l (0,1)
l 2 2:C x y n+ = (0,1)
2 20 1 n+ ≤ 1n ≥
(0,1) [1, )+∞17．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）如图：已知 是圆 与 轴的交点， 为直线
上的动点， 与圆的另一个交点分别为
（1）若 点坐标为 ，求直线 的方程；
（2）求证：直线 过定点.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)直线 PA 方程为 , 由 解得 ,
直线 PB 的方程 ,由 解得 ,
所以 的方程
(2)设 ,则直线 PA 的方程为 ,直线 PB 的方程为
得 ,同理
直线 MN 的斜率
,A B 2 2 4x y+ = x P
: 4l x = ,PA PB , .M N
P (4,6) MN
MN
2 2y x= − + (1,0)
2y x= + 2 2
2
4
y x
x y
= +
+ =
( )0,2M
3 6y x= − 2 2
3 6
4
y x
x y
= −
+ =
8 6,5 5N −
MN 2 2y x= − +
( )4,p t ( )26
ty x= + ( )22
ty x= −
( )
2 2 4
26
x y
ty x
+ = = +
2
2 2
72 2 24,36 36
t tM t t
−
+ +
2
2 2
2 8 8,4 4
t tN t t
− −
+ +
2 2
2 2 2
2 2
24 8
836 4
72 2 2 8 12
36 4
t t
tt tk t t t
t t
−−+ += =− − −−+ +直线 MN 的方程为 ,
化简得:
所以直线 过定点
18．（2020·黑龙江高一期末）已知圆 ，直线 ，点 在直线 上，过点 作
圆 的切线 、 ，切点为 、 ．
（1）若 ，求 点坐标；
（2）若点 的坐标为 ，过 作直线与圆 交于 、 两点，当 时，求直线 的方程；
（3）求证：经过 、 、 三点的圆与圆 的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．
【答案】（1） 或 ；（2） 或 ；（3）
【解析】（Ⅰ）由条件可知 ，设 ，则 解得 或 ，所
以 或
(Ⅱ)由条件可知圆心到直线 的距离 ，设直线 的方程为 ，
则 ，解得 或
所以直线 的方程为 或
（III）设 ，过 、 、 三点的圆即以 为直径的圆，
其方程为
整理得 与 相减得
2
2 2 2
8 2 8 8
12 4 4
t t ty xt t t
−= − − − + +
2 2
8 8
12 12
t ty xt t
= −− −
MN ( )1,0
2 2: ( 4) 1M x y+ − = : 2 0l x y− = P l P
M PA PB A B
60APB∠ = P
P (1,2) P M C D 2CD = CD
A P M M
(2,4)P 6 12( , )5 5P 3 0x y+ − = 7 9 0x y+ − = 1 15( , )2 4
2PM = ( ,2 )P a a 2 2(2 4) 2PM a a= + − = 2a = 6
5a =
(2,4)P 6 12( , )5 5P
CD 2
2d = CD 2 ( 1)y k x− = −
2
2 2
21
k
k
+ =
+ 7k = − 1k = −
CD 3 0x y+ − = 7 9 0x y+ − =
( ,2 )P a a A P M PM
( ) ( 4)( 2 ) 0x x a y y a− + − − =
2 2 4 2 8 0x y ax y ay a+ − − − + = 2 2( 4) 1 0x y+ − − =即
由 得
所以两圆的公共弦过定点
(4 2 ) 8 15 0a y ax a− − + − =
( 2 8) 4 15 0x y a y− − + + − =
4 15 0{ 2 8 0
y
x y
− =
− − + =
1
2{ 15
4
x
y
=
=
1 15( , )2 4
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