调研测试一
B 卷 滚动提升检测
一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由已知得 ，∴ ，∴ ，故选 A．
2．已知等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设等比数列 的公比为 ，
由 得： ，又 ， ，解得： ，
，充分性成立；
由 得： ，又 ， ，解得： 或 ，
当 时， ， ，必要性不成立.
“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选： .
3．若函数 ，且 ，则 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
{ }5,U x x x ∗= ≤ ∈N { }1,3,4A = { }2,3,5B = ( )U A B∩
{ }2,5 { }1,3,4 { }2,4 { }2,3,5
{ }1,2,3,4,5U = ( ) { }2,5U A = ( ) { }B 2,5U A =
{ }na 1 0a > 1 4a a< 3 5a a<
{ }na q
1 4a a< 3
1 1a a q< 1 0a > 3 1q∴ > 1q >
2 4
3 1 1 5a a q a q a∴ = < =
3 5a a< 2 4
1 1a q a q< 1 0a > 4 2q q∴ > 1q > 1q < −
1q < − 3
4 1 0a a q= < 4 1a a∴ <
∴ 1 4a a< 3 5a a<
A
( ) 1ln1
xf x xx
−= −+
( ) ( )2 1 0f a f a+ − >
1, 3
−∞
1 1,2 3
−
10, 3
10, 2
【解析】由题知 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数且在 上单调递减，
由 ，
可知 ，于是有 ，解得 .
故选：C
4．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
且 ，故 ，
而 ，所以 .
故选：C.
5．命题 ：存在实数 ，对任意实数 ，使得 恒成立； ： ，
为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于命题 ，由于 ，所以命题 为真命题.对于命题 ，由于 ，由
解得 ，且 ，所以 是奇
函数，故 为真命题.所以 为真命题. 、 、 都是假命题.
故选：A
( )f x ( )1,1− ( ) 1 2ln ln 11 1
xf x x xx x
− = − = − − + +
( )f x ( )1,1−
( ) ( )2 1 0f a f a+ − >
( ) ( )2 1f a f a> −
1 1 1
1 2 1
2 1
a
a
a a
− < − b a c> > c a b> > c b a> >
5
1 1 1 0.26 5
6
1 1 1 1 1
5 5 6 65
a b = = > > = =
1 061 1 15 5a = < =
1 a b> >
3 3
77
2 3
5log log 17c = > = c a b> >
p 0x x ( )0sin sinx x x+ = − q 0a∀ > ( ) ln a xf x a x
+= −
p q∧ ( ) ( )p q¬ ∨ ¬ ( )p q∧ ¬ ( )p q¬ ∧
p ( )sin sinx xπ+ = − p q 0a >
0a x
a x
+ >− a x a− < < ( ) ( )1
ln ln lna x a x a xf x f xa x a x a x
−− + + − = = = − = − + − −
( )f x
q p q∧ ( ) ( )p q¬ ∨ ¬ ( )p q∧ ¬ ( )p q¬ ∧6．已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可知 ，则 为钝角，由正弦定理，得 .
因为 ，所以 ，则 ，
又在 中， ，得 ，所以
，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
故选:A.
7．已知函数 的最小正周期为 ，将 的图象向右平移 个
单位长度，所得图象关于 轴对称，则 的一个值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数的最小正周期公式可得： ，
则函数的析式为 ，
将 的图象向右平移 个单位长度或所得的函数解析式为：
，
函数图象关于 轴对称，则函数 为偶函数，即当 时：
ABC A B C a b c cosa b C= − 5sin 5B = 2b =
a
2 5 2 2 10
cosa b C= − cos 0C < C sin sin cosA B C= −
5sin 5B = 2 2 5cos 1 sin 5B B= − = sin 1tan cos 2
BB B
= =
ABC ( )sin sin sin cos cos sinA B C B C B C= + = + cos sin 2sin cosB C B C= −
tan 2tan 1C B= − = − 3
4C
π= 2cos 2C = −
2b = 2cos 2 22a b C
= − = − × − =
( ) sin ( , 06f x x x R
πω ω = + ∈ > ） π ( )f x φ(φ 0)>
y φ
2
3
π
3
π
4
π
8
π
2 2 2T
π πω π= = =
( ) sin 2 6f x x
π +
=
( )f x ϕ
( ) ( )sin 2 sin 2 26 6g x x x
π πϕ ϕ = − + = − +
y ( )g x 0x =，
则 ， ①
令 可得： ，
其余选项明显不适合①式.
本题选择 B 选项.
8．函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
【答案】C
【解析】
试题分析：函数在 处无意义，由图像看 在 轴右侧，所以 ， ，由
即 ，即函数的零点 ，故选 C．
9．函数 对于任意实数 ，都 与 成立，并且当 时，
.则方程 的根的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
对任意实数 x 都有
f（x+2）＝f[1+（1+x）]＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x），
( )2 2 26 6 2x k k Z
π π πϕ ϕ π− + = − + = + ∈
( )
2 6
k k Z
π πϕ = − − ∈
1k = −
3
πϕ =
( ) ( )2
ax bf x
x c
+=
+
0a > 0b > 0c <
0a < 0b > 0c >
0a < 0b > 0c <
0a < 0b < 0c <
P P y 0, 0c c− > < ( ) 20 0, 0bf bc
= > ∴ >
( ) 0, 0,f x ax b= ∴ + = bx a
= − 0 0 0. 0, 0bx a a b ca
= − > ∴ < ∴ <
( )f x x ( ) ( )f x f x− = (1 ) (1 )f x f x− = + 0 1x≤ ≤
( ) 2f x x= ( ) 02019
xf x − =
2020 2019 1010 1009由于 f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x）
∴f（x+2）＝f（x）
∴函数 f（x）是以 2 为周期的周期函数，且值域为 ．
方程 的根的个数即函数 图象与直线 的交点个数，
当 时， ，当 时，函数 图象与直线 无交点，
由图像可得二者的交点个数为 2020 个
故选 A
10．若函数 在 上单调递减，则实数 m 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意， ，
所以 对 恒成立.
设 ， ，则 在 上恒成立，
由二次函数图象得 即 ，
解得 .
故选：B.
11．已知函数 的图象向左平移 个单位长度后，图象关于原点对称，若
在 上单调递增，则正实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
[ ]0,1
( ) 02019
xf x − = ( )f x y 2019
x=
2019x = y 12019
x= = x 2019> ( )f x y 2019
x=
( ) sin2 4 sinf x x x m x= − − [0,2π]
( 2,2)− [ 2,2]− ( 1,1)− [ 1,1]−
( ) 2sin cos 4 sin sin 2 4 sinf x x x x m x x x m x= − − = − −
2 2( ) 2(2cos 1) 4 cos 4cos cos 6 0f x x m x x m x′ = − − − = − − ≤ [0,2π]x∀ ∈
cos [ 1,1]t x= ∈ − 2( ) 4 6g t t mt= − − ( ) 0g t ≤ [ 1,1]−
( 1) 0,
(1) 0,
g
g
− ≤
≤
4 6 0
4 6 0
m
m
+ − ≤
− − ≤
2 2m− ≤ ≤
( ) ( )sin 2 2f x x
πϕ ϕ = + ( ) 0f x >
( )0, ∞+ ( )1 ,e− +∞ ( ),e−∞ ( ),e +∞
1x = 1(1) 1 1 cos(1 1) 0f e a= + × − × − > 1a e> −
0x > ( ) 0f x > ( )cos 1 0
xe a xx
+ − − > ( )0, ∞+
( ) ( ), 0,
xes x xx
= ∈ +∞ ( ) ( )
2
1xe xs x x
−′ =
( )0,1x∈ ( ) 0s x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0s x′ >
( )s x ( )0,1 ( )1,+∞
( )s x e≥ 1a e> − ( )cos 1 1 0
xe a x e ax
+ − − ≥ + − >
1a e> −13．已知在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， .若 ， ，则
____________.
【答案】
【解析】根据正弦定理和余弦定理可得：
，
，
， ，
故答案为： .
14．已知 ，命题“存在 ，使 ”为假命题，则 的取值范围为______.
【答案】
【解析】命题：“存在 ，使 ”为假命题
即 恒成立，则 ，
即： ，解得 ，
故实数 a 的取值范围为
故答案为：
15．曲线 : 在点 处的切线方程为_______________.
【答案】y=2x﹣e
【解析】
， ，所以切线方程为 ，化简得 .
16．已知函数 ，有下列四个命题：
ABC A B C a b c sin 3sinC A= cos 2
bC a
= −
A =
6
π
∴ 2 2 2
3 ,
,2 2
c a
a b c b
ab a
= + − = −
a b⇒ =
∴
2 2 2 2
2
3cos 2 232 3
b c a cA bc c
+ −= = =
⋅ ⋅
0 A π< < ∴
6A
π=
6
π
a R∈ x∈R 2 3 0x ax a− − ≤ a
( )12,0−
x∈R 2 3 0x ax a− − ≤
2 3 0x ax a− − > ∆ < 0
2 12 0a a∆ = + < 12 0a− < <
( )12,0−
( )12,0−
C lny x x= ( ),M e e
' ln 1y x= + '| ln 1 2x ey e= = + = 2( )y e x e− = − 2 0x y e− − =
( ) 2 ln xf x x x
= −①函数 是奇函数；
②函数 在 是单调函数；
③当 时，函数 恒成立；
④当 时，函数 有一个零点，
其中正确的是____________
【答案】③④
【解析】由题, 的定义域为 ,
① ,且 ,所以 不是奇函数,故①错误；
② ,当 时, ,
则 ,
令 ,则 , ,
所以存在 ,使得 ,
所以当 时, , 是单调减函数；
当 时, , 是单调增函数,
所以②错误；
③由②可知,当 时, 在 上有最小值,且 ,
所以 ,
( )f x
( )f x ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞
0x > ( ) 0f x >
0x < ( )f x
( )f x ( ) ( ),0 0,−∞ +∞
( ) ( )2 2ln lnx xf x x xx x
− = − − = +−
( ) ( ) 22 0f x f x x+ − = ≠ ( )f x
( ) ( )
2
2
ln , 0
ln , 0
xx xxf x xx xx
− >= − − ( ) 2 ln xf x x x
= −
( ) 3
2 2
1 ln 2 1 ln2 x x xf x x x x
− − +′ = − =
( ) 32 1 lnh x x x= − + ( )1 1 0h = >
1
31 1 1ln 02 3 2h
= ( )f x
0x x= ( )f x ( )0,+¥ 3
0 02 ln 1 0x x+ − =
20
0
0 0
ln 1 2x xx x
= −因为 ,
由 ,则 ,即 ,
所以 ,
所以当 时, 恒成立,故③正确；
④当 时, ,且 , ,
所以 在 内有一个零点,故④正确.
故答案为:③④
三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余每题 12 分共 70 分）
17．已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的极值.
【答案】(1) x＋y－2＝0；(2) 当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；当 a＞0 时，函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值 a－
aln a 无极大
解：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ .
(1)当 a＝2 时，f(x)＝x－2ln x，
f′(x)＝1－ (x>0)，
因而 f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0.
(2)由 f′(x)＝1－ ＝ ，x>0 知：
①当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数 f(x)无极值；
②当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a，
又当 x∈(0，a)时，f′(x) ( ) 0f x >
0x < ( ) ( )2 ln xf x x x
−= − ( )1 1 0f − = > 2
1 1 0f ee e
− = − 0，
从而函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；
当 a>0 时，函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值 a－aln a，无极大值．
18．△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 ．
（1）求 cosC 的值；
（2）若 A＝C，求 sinB 的值．
【答案】（1） （2）
【解析】解：（1）由正弦定理： ，且 得
，
整理得： ，故由余弦定理： ；
（2）由（1） ，又 C 为△ABC 内角，故 ，
，则 ．
19．已知函数 .
（1）求 在区间 上的值域；
（2）若 ，且 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）
.
5(sin C sin B) 5sin A 8sin B
a b c
− −= +
4
5
24
25
sin sin sin
a b c
A B C
= = 5(sin C sin B) 5sin A 8sin B
a b c
− −= +
5( ) 5 8c b a b
a b c
− −= +
( )2 2 25 8a b c ab+ − = 2 2 2 4cos 2 5
a b cC ab
+ −= =
4cos 5C = 2 3sin 1 cos 5C C= − =
A C= 24sin sin( ) sin( ) sin 2 2sin cos 25B A C A C C C Cπ= − − = + = = =
( ) 22 3sin cos 2sin 1f x x x x= + −
( )f x 0, 2
π
( ) 2
3f α = − 0, 2α π∈
cos2α
[ ]1,2− 2 6 1
6
+
( ) 22 3sin cos 2sin 1f x x x x= + −
3sin 2 cos2 2sin 2 6x x x
π = − = − 因为 ，所以 ，
所以 .
故 在区间 上的值域是 .
（2）由 ，知 ，
又因为 ，所以 .
故
.
20．设函数 .
（1）对于任意实数 ， 恒成立，求 的最大值；
（2）若方程 有且仅有一个实根，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由题意 ，
因为 ， ，即 恒成立，
所以 ，可得 ，
所以 的最大值为 ；
（2）因为当 或 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
所以当 时， 取极大值 ；
0, 2x
π ∈
526 6 6x
π π π− ≤ − ≤
1 sin 2 12 6x
π − ≤ − ≤
( )f x 0, 2
π
[ ]1,2−
( ) 2
3f α = − 1sin 2 06 3
πα − = − ( ) 0f x′ > ( )f x
1 2x< < ( ) 0f x′ < ( )f x
1x = ( )f x 5(1) 2f a= −当 时， 取极小值 ；
所以当 或 时，方程 仅有一个实根.
所以 或 即 或 ，
故 的取值范围为 .
21．已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ．
（1）求 的最小值；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）在 中，满足 ，即 ，
由正弦定理可得 ，
整理得 ，即 ，
因为 ，
又因为 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
又由 ．
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ．
（2）由（1）可得 ，又由正弦定理知 ，
所以 ， ，
因为 ，可得 ，
2x = ( )f x (2) 2f a= −
(2) 0f > (1) 0f < ( ) 0f x =
2 0a− > 5 02 a− < 2a < 5
2a >
a ( ) 5,2 ,2
−∞ +∞
ABC A B C a b c 3a c+ = cos 2
cos
C a c
B b
−=
b
a b< 2b = cos 6A
π +
3
2
7
4
ABC
cos 2
cos
C a c
B b
−= ( )cos 2 cosb C a c B= −
( )sin cos 2sin sin cosB C A C B= −
sin cos cos sin 2sin cosB C B C A B+ = ( )sin 2sin cosB C A B+ =
( ) ( )sin sin sinB C A Aπ+ = − =
(0, )A π∈ sin 0A > 1cos 2B =
0 B π< <
3B
π=
( ) 2
22 2 2 93 9 3 9 3 2 4
a cb a c ac a c ac ac
+ = + − = + − = − ≥ − =
3
2a c= = b 3
2
4 32 sin 3
bR B
= = 4 3
sin sin sin 3
a b c
A B C
= = =
4 3 sin3a A= 4 3 sin3c C=
3a c+ = 4 3 2sin sin 33 3A A
π × + − = 整理可得 ．
又 ， ，所以 ，故 ，
所以 ．
22．已知函数 ，其中 ．
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求实数 a 的值及函数
的单调区间；
（2）若函数 在定义域上有两个极值点 ， ，且 ，求证： ．
【答案】（1） , 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2）证明见解析
【解析】
（1）由 ，
得 ，
又 在点 处的切线与直线 平行，
所以 ，解得 ．
则 ，
得 ．
当 时， ， 单调递减，区间为 ；
当 时， ， 单调递增，区间为 ．
（2）证明：因为函数 在定义域上有两个极值点 ， ，且 ，
所以
在 上有两个根 ， ，且 ，
3sin 6 4A
π + =
a b<
3B
π=
3A
π<
6 6 2A
π π π< + <
23 7cos 16 4 4A
π + = − =
( ) ( )2 2 3 2 lnf x x a x a x= + − + a∈R
( )y f x= ( )( )1, 1f 2 1 0x y+ + =
( ) ( ) 4lng x f x x= −
( )f x 1x 2x 1 2x x< ( ) ( )1 2 10 0f x f x+ + >
1
2a = ( )g x ( )0,3 ( )3,+∞
( ) ( )2 2 3 2 ln , 0f x x a x a x x= + − + >
( ) ( ) 22 2 3 af x x a x
′ = + − +
( )y f x= ( )( )1, 1f 2 1 0x y+ + =
( )1 4 4 2f a′ = − = − 1
2a =
( ) 2 5 3lng x x x x= − −
( ) ( )( ) ( )2 1 332 5 0x xg x x xx x
+ −′ = − − = >
( )0,3x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0,3
( )3,x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )3,+∞
( )f x 1x 2x 1 2x x<
( ) ( ) 22 2 3 0af x x a x
′ = + − + =
( )0, ∞+ 1x 2x 1 2x x ×∆ = − − >
>
0 1a< <
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 1 1 2 2 22 3 2 ln 2 3 2 lnf x f x x a x a x x a x a x+ = + − + + + − +
( ) ( )( )2
1 2 1 2 1 2 1 22 2 3 2 lnx x x x a x x a x x= + − + − + +
( ) ( )( )23 2 2 3 3 2 lna a a a a a= − − + − − + 22 ln 4 9a a a a= − + −
( ) 22 ln 4 9g a a a a a= − + − 0 1a< <
( ) 2ln 2 6g a a a′ = − + ( ) ( ) 2ln 2 6h a g a a a′= = − + ( ) 2 2 0h a a
′ = − >
( ) ( )h a g a′= ( )0,1
( )3 3e 2e 0h − −= − < ( )1 4 0h = >
( )3 1e ,t −∈ ( ) 0h t = ln 3 0t t− + = ln 3t t= −
( )0,a t∈ ( ) ( ) 0h a g a′= < ( )g a ( )0,t
( )1a t∈ , ( ) ( ) 0h a g a′= > ( )g a ( ),1t
0 1a< <
( ) ( ) 2
min 2 ln 4 9g a g t t t t t= = − + − ( ) 2 22 3 4 9 2 9t t t t t t= − − + − = − −
( )3 1e ,t −∈ ( )22 2 9 1 10 10t t t− − = − − > −
( ) 10g a > − ( ) 10 0g a + >
( ) ( )1 2 10 0f x f x+ + >
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