调研测试一（A卷 基础过关检测）-2021年高考数学（文）一轮复习单元滚动双测卷（解析版）

调研测试一 A 卷 基础过关检测 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．设函数 为奇函数，当 时， ，则 （ ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 【答案】C 【解析】函数 为奇函数， ， . 故选：C 2．函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 的值为（ ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】函数 是定义在 上的奇函数，则 ，解得： ， 则 . 故选：C. 3．函数 图象的大致形状是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ( )f x 0x > ( ) 2 2f x x= - ( )( )1f f = ( )f x ( ) 21 1 2 1f = − = − ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1f f f f= − = − = − − = ( )f x [ 2, ]m m− 0x < ( ) 3 1xf x = − ( )f m 2− 2 3 2 3 − ( )f x [ 2, ]m m− 2 0m m− + = 1m = ( )-1 2( )= (1)=- (-1)=- 3 -1 = 3f m f f ( ) 2 1 cos1 xf x xe  = − +  ( ) 2 1 e1 cos cos1 e 1 e x x xf x x x − = − = + +  ( ) 1 e cos( )1 e x xf x x − − −− = − =+ e 1cose 1 x x x − +，故 为奇函数，排除选项 A、C；又 ，排除 D，选 B. 故选：B. 4．下列叙述中正确的是（ ） A．若 a，b， ，则“ ”的充分条件是“ ” B．若 a，b， ，则“ ”的充要条件是“ ” C．命题“对任意 ，有 ”的否定是“存在 ，有 ” D．钱大姐常说“好货不便宜”，她的意思是：“好货”是“不便宜”的充分条件 【答案】D 【解析】对于 A，当 时，若 ， 不一定成立，A 错误； 对于 B，当 时可以推出 ，但是 不一定可以推出 ， 比如， ，所以“ ”的必要不充分条件是“ ”， B 错误； 对于 C，“对任意 ，有 ”的否定是“存在 ，有 ”，C 错误； 对于 D，根据充分条件的定义可知，“好货”是“不便宜”的充分条件，D 正确． 故选：D． 5．已知集合 ，函数 的定义域为集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵ ， ∴ . 故选：B. 6． 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 ， ，则 的周长的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 由正弦定理得 ， ( )f x= − ( )f x 1 e(1) cos1 01 ef −= a c> x∈R 2 0x ≥ x∈R 2 0x ≥ 2 4 0b ac− ≤ 0a < 2 0ax bx c+ + ≥ 2 2ab cb> a c> a c> 2 2ab cb> 0b = 2 2ab cb> a c> x∈R 2 0x ≥ x∈R 2 0x < 2{ | 6 }= 0A x x x− − ≤ ( )= (1 )f x ln x− B A B = [ 21]− ， [ 21)− ， [1 ]3， (13]， { | 2 3}A x x= − ≤ ≤ = 1 0{ | } { | }1B x x x x> = + ( )0, ∞+ ( )2019,+∞ ( ),2020−∞ ( ),0−∞ ( ) ( )x xg x e f x e= − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1x x x xg x e f x e f x e e f x f x′ ′ ′ = + − = + −   ( ) ( ) 1f x f x′+ < 0xe > ( ) ( ) ( ) 1 0xg x e f x f x′ ′∴ = + − + ( ) ( )2019 0g x g> = ( ),0−∞ 2( ) (1)e 2xf x f x′= − + (0, (0))f 2 e 2 e 1− 2e e 1− 4 2e e 1 − − ( ) (1)e 2xf x f x′ ′= − 1x = (1) (1)e 2f f′ ′= − 2(1) e 1f ′ = − 2( ) e 2e 1 xf x x′ = −− ( )f x (0, (0))f 2(0) 1k f e ′= = −11．已知函数 ， ，当 ，且 时，方程 根 的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】由题意，函数 ，在 上是奇函数，且是反比例函数， 又 ，所以 在 上是奇函数. 又 ，所以 时， ； 时， ； 时， ； 时， . 所以 在 上单调递减；在 上单调递增；在 单调递减；在 上单调递增. 作出 的图象，如下图所示， ， ， ， ，则 与 的图象在 上有 1 个交点； ， ， ，则 与 的图象在 上有 1 个交点； ， ， ，则 与 的图象在 上有 1 个交点； ， ， ，则 与 的图象在 上有 1 个交点. 故 与 的图象在 上有 4 个交点，根据对称性可知，二者图象在 上 4 个交点，故当 ，且 时，方程 根的个数是 8. 故选：D. π( ) 2f x x = − ( ) cos sing x x x x= − [ 4π,4π]x∈ − 0x ≠ ( ) ( )f x g x= π( ) 2f x x = − [ ) ( ]4π,0 0,4π−  ( ) ( ) ( )( ) cos sin cos sing x x x x x x x g x− = − − − − = − + = − ( )g x [ ) ( ]4π,0 0,4π−  ( ) sing x x x′ = − ( )0,πx∈ ( ) 0g x′ < ( )π,2πx∈ ( ) 0g x′ > ( )2π,3πx∈ ( ) 0g x′ < ( )3π,4πx∈ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,π ( )π,2π ( )2π,3π ( )3π,4π ( ), ( )f x g x ( )0 0g = ( )π πg = − ( ) 1π 2f = − ( ) ( )π πf g> ( )f x ( )g x ( )0,πx∈ ( )2π 2πg = ( ) 12π 4f = − ( ) ( )2π 2πg f> ( )f x ( )g x ( )π,2πx∈ ( )3π 3πg = − ( ) 13π 6f = − ( ) ( )3π 3πf g> ( )f x ( )g x ( )2π,3πx∈ ( )4π 4πg = ( ) 14π 8f = − ( ) ( )4π 4πg f> ( )f x ( )g x ( )3π,4πx∈ ( )f x ( )g x ( ]0,4π [ )4π,0− [ 4π,4π]x∈ − 0x ≠ ( ) ( )f x g x=12．若直线 ， ． ， 与 平行，则下列选项中正确的 （ ） A．p 是 q 的必要非充分条件 B．q 是 p 的充分非必要条件 C．p 是 q 的充分非必要条件 D．q 是 p 的非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】因为 与 平行，所以 或 . 经检验，当 或 时，两直线平行. 设 ， 或 ， 因为  , 所以 p 是 q 的充分非必要条件. 故选：C. 二、填空题：本大题共 4 小题，共 20 分。 13．已知 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 时， ，则 __________． 【答案】 ． 【解析】 又当 时， 2 1 : 3 2 0l a x y− + = 2 : 2 5 0l ax y a+ − = : 0p a = 1:q l 2l 1l 2l 2 5 ( 3) 2 0, 0a a a× − − × = ∴ = 6 5a = − 0a = 6 5a = − { | 0}A a a= = { | 0B a a= = 6}5a = − A B ( )f x [ ]2,0x∈ − ( ) 3xf x = − ( )5f = 1 3 − ( ) ( ) ( ) ( )5 4 1 1 1= + = = −f f f f [ ]2,0x∈ − ( ) 3xf x = −所以 故 故答案为： 14．若 ，则 __________. 【答案】 【解析】由两角差的正切公式，可得 ，解得 ， 又由 . 故答案为： . 15．甲，乙两艘救助船所在位置为 、 ，且 、 相距 1 海里，经测量求救呼叫信号发出的位置 与这 两船构成的角度为 ，救助船甲与救助船乙及求救呼叫信号发出的位置所构成角度为 ， ，可以 判断三者构成的三角形 是锐角三角形，则求救呼叫信号发出的位置与救助船乙的距离的范围是 __________． 【答案】 【解析】由题意可设求救呼叫信号发出的位置为 ，求助船甲所在的位置为点 ， 救助船乙所在的位置为点 ， 为锐角三角形，且 ， ， 则求救呼叫信号发出的位置与救助船乙的距离范围即为 的取值范围， ( ) 1 11 3 3 −− = − = −f ( ) 15 3 = −f 1 3 − πtan 34 θ − =   3πcos 2 2 θ − =   4 5 π tan 1tan( ) 34 1 tan θθ θ −− = =+ tan 2θ = − 2 2 2 3π 2sin cos 2tan 4cos(2 ) sin 2 2sin cos2 sin cos tan 1 5 θ θ θθ θ θ θ θ θ θ− = − = − = − = − =+ + 4 5 B C B C A α β 1 2 α β= ABC ( )2, 3 A B C ABC 1BC = 2B A= AC在 中，由正弦定理得 ， 由 为锐角三角形得 ， 又 ， 故 ，得 ． 故答案为： . 16．已知函数 ， ① 当 时， 有最大值； ② 对于任意的 ，函数 是 上的增函数； ③ 对于任意的 ，函数 一定存在最小值； ④ 对于任意的 ，都有 ． 其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】② ③ 【解析】由函数的解析式可得： ， 当 时， ， ， 单调递增，且 ， 据此可知当 时， 单调递增，函数没有最大值，说法①错误； 当 时，函数 均为单调递增函数，则函数 是 上的增函数，说法②正确； 当 时， 单调递增，且 ， 且当 ，据此可知存在 ， 在区间 上， 单调递减； 在区间 上， 单调递增； 函数 在 处取得最小值，说法③正确； ABC 1 2cossin 2 sin 2cos AC BC AC AC AA A A = ⇒ = ⇒ = ABC 0 2 90 0 45A A° < < ° ⇒ ° < < ° 0 180 3 90 30 60C A A° < = °− < ° ⇒ ° < < ° 2 330 45 cos2 2A A° < < ° ⇒ < < ( )2cosA 2, 3AC = ∈ ( )2, 3 ( ) lnxf x e a x= + 1a = ( )f x 0a > ( )f x ( )0, ∞+ 0a < ( )f x 0a > ( ) 0f x > ( )' x af x e x = + 1a = ( ) 1' xf x e x = + ( ) 2 1'' xf x e x = − ( )''f x ( )1 1 0f e= − > 1x > ( )' 0f x > ( )f x 0a > , lnxy e y a x= = ( )f x ( )0,+ ∞ 0a < ( )' x af x e x = + ( )' 1 0af a e−− = − > 0 lim 0x x ae x→  + =   ( )0 0,x a∈ − ( )00, x ( ) ( )' 0,f x f x< ( )0 ,x +∞ ( ) ( )' 0,f x f x> ( )f x 0x x=当 时， ， 由于 ，故 ， ，说法④错误； 综上可得：正确结论的序号是②③. 三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余每题 12 分共 70 分） 17．已知 （1）化简 （2）若 是第二象限角,且 ,求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） ． （2） ， ， ∵ 是第二象限角， ∴ ， ． 18．在 中，角 的对边分别为 ，且 . (Ⅰ)求 的值； (Ⅱ)若角 边上的中线 ，求 的面积. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 1a = ( ) lnxf x e x= + ( )5 0,1e− ∈ ( )5 1,ee e − ∈ ( ) 5 55 5ln 5 0e ef e e e e − −− −= + = − < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3sin 3 cos 2 sin 2 cos sinf ππ α π α α α π α π α  − − −  = − − − ( )f α α 1cos 2 3 απ + = −   ( )f α cosα 2 2 3 − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3sin 3 cos 2 sin sin cos cos2 coscos sin cos sinf ππ α π α α α α αα απ α π α α α  − − −  − = = =− − − − 1cos sin2 3 π α α + = − = −   1sin 3 α∴ = α 2 2 2cos 1 sin 3 α α= − − = − ( ) 2 2cos 3f α α∴ = = − ABC∆ 、 、A B C a b c、 、 ( ) ( )3 2 cos 3 cosc b A a Cπ− − = A ,6B BC π= 7AM = ABC∆ 6A π= 3ABCS∆ =【解析】 ，即 ， 又∵ ，∴ ，∴ .又 ,所以， . (Ⅱ)由 ，知 ，在 中，由余弦定理得 ，解得 ，∴ . 19．已知函数 . （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性； （Ⅱ）令 ，若对任意的 x＞0，a＞0，恒有 f（x）≥g（a）成立，求实数 k 的最大整 数. 【答案】（1）见解析（2）7 【解析】（1）此函数的定义域为 ， （1）当 时， 在 上单调递增， （2）当 时， 单调递减， 单调增 综上所述：当 时， 在 上单调递增 当 时， 单调递减， 单调递增. （2）由（Ⅰ）知 恒成立，则只需 恒成立， 则 ， 令 则只需 则 单调递减， ( ) ( )3sin 2sin cos 3 cosC B A sinA C− ⋅ − = ( )2sin cos 3sin 3sinB A A C B= + = ( )0,B π∈ sin 0B ≠ 3cos 2A = ( )0,A π∈ 6A π= 6 6 ，B A π π= = a b= ACM∆ 2 2 2 72 14cos 3 2 bb b π + − = = − 2b = 1 32 2 32 2ABCS∆ = × × × = ( ) ln ( )af x x a Rx = + ∈ ( 5) 2( ) a kg a a − −= ( )0,+∞ ( ) 2 2 1 ,a x af x x x x −=′ = − 0a ≤ ( ) 0,f x′ > ( )f x∴ ( )0,+∞ 0a > ( ) ( ) ( )0, , 0,x a f x f x 0a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( ) ( )0, ,x a f x∈ ( ) ( ), ,x a f x∈ +∞ ( ) ( )min ln 1,f x f a a= = + ( ) ( )f x g a∴ ≥ ( )ln 1a g a+ ≥ ( )5 2 2ln 1 5 ,a ka ka a − −+ ≥ = − − 2ln 6a ka ⇔ + ≥ − ( ) 2ln ,h a a a = + ( )min 6,h a k≥ − ( ) 2 2 1 2 2 ,ah a a a a −=′ = − ( ) ( ) ( )0,2 , 0,a h a h a′∴ ∈ ( ) ( )min 2 ln2 1h a h= = + ln2 1 6, ln2 7,k k k+ ≥ − ∴ ≤ + ∴ 7. ( ) cos 3xf x ae x= + − ( )( )0, 0f 0x y+ = ( )f x ( ) 1f x x> − ( )0,x∈ +∞ ( )' sinxf x ae x= − ( ) ( )' 0 1 1f a× − = − = − 1a = 0x ≤ 0 1xe< ≤ 1 cos 1x− ≤ ≤ ( ) 0f x < ( )f x 0x > e 1x > 1 sin 1x− ≤ ≤ ( )' sin 0xf x e x= − > ( )f x ( )0, ∞+ ( )0 0f < ( )2 0f > ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x ( ) ( ) ( ) ( )1 cos 2 0xg x f x x e x x x= − − = − + − > ( )' 1 sinxg x e x= − − ( ) ( )'h x g x= ( )' cosxh x e x= − 0x > e 1x > 1 cos 1x− ≤ ≤ ( )' 0h x > ( )h x ( )0, ∞+ ( ) ( )0 0h x h> = ( )' 0g x > ( )g x ( )0, ∞+ ( ) ( )0 0g x g> = ( ) ( )1 0f x x− − > ( ) 1f x x> − ( )0, ∞+ ( ) ( )2 1 1xf x ae x x= − − + a R∈ e ( )f x [ )0,+∞ a（2）若当 时，函数 有两个零点，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 解：（1） ， ∵ 在 上是增函数，∴ 对 成立， ∴ 对 成立. 令 ， ，则 对 成立， ∴ 在 上是增函数，∴ 时， ，∴ ， ∴ ，即 的取值范围是 . （2）由 得 ， 令 ， ，则 ， 由 得 ， ∴ 的单调增区间为 ，单调减区间为 . ， ， ， 时， ， 由题意知 ， ∴ 的取值范围是 . 22．在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的周长. 1 1x− < < ( )f x a [ )1,+∞ 21, 3 e     ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1x xf x ae x ae x′ = − + − = + − ( )f x [ )0,+∞ ( ) 0f x′ ≥ 0x ≥ ( ) 1 2 1xa e x ≥ + 0x ≥ ( ) ( )2 1xg x e x= + 0x ≥ ( ) ( )2 3 0xg x e x′ = + > 0x ≥ ( )g x [ )0,+∞ 0x ≥ ( ) ( )0 1g x g≥ = ( ) 10 1g x < ≤ 1a ≥ a [ )1,+∞ ( ) ( ) ( )2 1 1 0 1 1xf x ae x x x= − − + = − < < ( ) ( )2 1 1 1 11 xe x xx a − = − < 1cos 2B = − ( )0,B π∈ 2 3B π= 1 sin 32ABCS ac B∆ = = 4ac = ( )22 2 2 16b a c ac a c ac= + + = + − = 2 5a c+ = ABC∆ 4 2 5+