第四章 三角函数与解三角形（B卷 滚动提升检测）-2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷（解析版）

第四章三角函数与解三角形 B 卷 滚动能力检测 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．（2020·河北省衡水中学高三其他（理））已知 ， ，则 （ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】∵ ， ， ∴ ，∴ . 故选：A. 2．（2020·山东省高三其他）已知函数 的导函数 ，则下列结论正确 的是（ ） A． 在 处有极大值 B． 在 处有极小值 C． 在 上单调递减 D． 至少有 3 个零点 【答案】C 【解析】解：由函数 的导函数 可知， 当 和 时， ， 单调递增区间为 和 ， 当 时， ， 单调递减区间为 ， 故 AB 错误，C 正确， 又 ， 的符号无法确定， 故无法确定 的零点个数，故 D 错误. 故选：C. 3．（2020·浙江省高三其他）若函数 的导函数 的图像如图所示，则（ ） 2 5cos 2 5 πα − = −   3, 2 πα π ∈   tanα = 3 2 1 2 2 5cos sin2 5 πα α − = = −   3, 2 πα π ∈   5cos 5 α = − tan 2α = ( )f x ( ) ( ) ( ) ( )3 24 1 2 3f x x x x x′ = − − − ( )f x 0x = ( )f x 2x = ( )f x [ ]1,3 ( )f x ( )f x ( ) ( ) ( ) ( )3 24 1 2 3f x x x x x′ = − − − ( ),1x∈ −∞ ( )3,+∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),1−∞ ( )3,+∞ [ ]1,3x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x [ ]1,3 ( )1f ( )3f ( )f x ( )f x '( )f xA．函数 有 1 个极大值，2 个极小值 B．函数 有 2 个极大值，2 个极小值 C．函数 有 3 个极大值，1 个极小值 D．函数 有 4 个极大值，1 个极小值 【答案】B 【解析】 由导函数图像可知原函数的单调性为先增后减再增再减，最后增，所以原函数 有 2 个极大值，2 个极 小值， 所以选 4．（2020·河南省高三其他（理））若角 的终边过点 ，且 则实数 的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】： ，则点 的坐标为 ， 因为 ．所以角 的终边在第二象限或第三象限，故 ． 再根据三角函数的定义得： ，即 ，解得 （舍)或 . 故选：C． 5．（2020·陕西省高三其他（理））在四边形 中， ，且 ， ， ， 则边 的长（ ） A． B． C． D． ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x B α 8 , 6cos( )60P m− −  4cos 5 α = − m 1 2 − 3 2 − 1 2 3 2 6cos60 3− = − P ( 8 , 3)P m− − 4cos 5a = − a 0m > 2 8 4 564 9 m m − = − + 2 1 4m = 1 2m = − 1 2m = ABCD 2D B∠ = ∠ 1AD = 3CD = 3cos 3B∠ = AC 3 4 2 2 2 3【答案】D 【解析】 ， ， 由余弦定理得 ， 因此， . 故选：D. 6．（2020·河北省衡水中学高三其他（理）） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，利用正弦定理得 ，即 ，所以 ， .代入 ，解得 ，又 ， ， 同号，所以 ，所以 . 故选：D. 7．（2020·湖北省华中师大一附中高三其他（理）） 中， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 2D B∠ = ∠ 2 2 3 1cos cos2 2cos 1 2 13 3D B B  ∴ ∠ = ∠ = ∠ − = × − = −    2 2 2 2 2 12 cos 1 3 2 1 3 123AC AD CD AD CD D  = + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × × − =   2 3AC = ABC cos :cos :cos 6 :3 : 2A B C a b c= cosC 3 3 1 3 2 2 3 10 10 6 3 2 cos cos cos a b c A B C = = 6sin 3sin 2sin cos cos cos A B C A B C = = 6tan 3tan 2tanA B C= = 1tan tan3A C= 2tan tan3B C= ( ) tan tantan tan 1 tan tan A BC A B A B += − + = − − tan 3C = ± tan A tan B tanC tan 3C = 10cos 10C = ABC sin 2sin cos 0A B C+ = 3sin sinB C= cosC = 1 2 3 2 1 2 − 3 2 − 3sin sinB C= 3b c= 3 3b c= sin 2sin cos 0A B C+ = sincos 2sin 2 A aC B b = − = − 2 2 2 cos 2 a b cC ab + −= 2 2 2 2 2 a b c ab a b + = -- 化简得 ，代入 ，解得 ， 再将 、 代入 中， 即 ， 故选：C. 8．（2020·天津高三三模（理））若函数 的图象关于 对称，则函数 在 上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由辅助角公式可得： ，函数图像关于 对称， 则当 时， ，即 ， 由于 ，故令 可得 ， 函数的解析式为 ， ，则 ，故函数在定义域内单调递减， 函数的最小值为： . 故选 C. 9．（2020·河北省高三其他（理））已知函数 ，其图象相 邻的最高点之间的距离为 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象， 2 2 22a b c+ = 3 3b c= 3 3a c= 3 3b c= 3 3a c= 2 2 2 cos 2 a b cC ab + −= 2 2 2 2 3 3 3 3 1cos 232 3 c c c C c æ ö æ öç ÷ ç ÷+ -ç ÷ ç ÷è ø è ø= = - æ öç ÷´ ç ÷è ø ( ) ( ) ( )( )3sin 2 cos 2 0 πf x x xθ θ θ= + + + < < π ,02      ( )f x π π,4 6  −   1− 1 2 − 3− 3 2 − ( ) 2sin 2 6f x x πθ = + +   π ,02      2x π= ( )72 6 6x k k Z πθ θ π π+ + = + = ∈ ( )7 6k k Zθ π π= − ∈ 0 πθ< < 2k = 5 6q p= ( ) 52sin 2 2sin26 6f x x x ππ = + + = −   π π,4 6x  ∈ −   π π 2 32 ,x  ∈ −   2sin 2 36 6f π π   = − × = −       ( ) ( )2sin 0, 2f x x πω ϕ ω ϕ = + > 1 1x > 1 1 2 1 1 1 x xx x xe −− = − ( ) 1 , 1x xh x x xe −= − > ( ) 2 21 x x x x x eh x e e − − −= − =′ ( )1,x∈ +∞ 2 xy x e= − − 12 2 1 0xx e e− − < − − < ( ) 0h x′ < ( )1,+∞ ( )h x ( )1,+∞ ( ) ( )1 1h x h< = − 1x > 1 1 1 11x x xx x xe e e e − −  − < − = − −   ( )h x ( ), 1−∞ − ( ) ( )( )ln 1 ex mf x x ax ax−= + − − a ( ) 0f x < m ( )1,+∞ ( ),1−∞ ( )1,2 ( )2,1− a y ax= ( ) ln 1g x x= + ( ) ex mh x −=直线 与函数 ，函数 相切于同一点的情况，设切点为 ， 由 ， 可知， ，解得 ， 作出下图， 由图象观察可知，当 时，函数 越偏离函数 ，符合题意，即实数 的取值范围为 . 故选 B. 12．（2020·河南省高三其他（理））已知函数 与 的图象上存在两对关 于直线 对称的点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数 与 的图象上存在两对关于直线 对称的点， 所以函数 与函数 的图象有两个交点，即方程 ， 有两解， 即方程 ， 有两解， 令 ， ， y ax= ( )g x ( )h x ( )0 0,x y ( ) 1g x x ′ = ( ) ex mh x −′ = 0 0 0 0 0 0 1 e e ln 1 x m x m x y y x − −  =  =  = +  0 0 1 1 1 x y m =  =  = 1m < ( )h x ( )g x m ( ),1−∞ ( ) 2 1 ,f x x ax x ee   = − ∈     ( ) xg x e= y x= a 1 ,e ee  −   1(1, ]e e − 1[1, ]e e − 1[1, ]e e + ( ) 2 1 ,f x x ax x ee   = − ∈     ( ) xg x e= y x= ( ) 2 1 ,f x x ax x ee   = − ∈     ( ) lnh x x= 2 lnx ax x− = 1( )x ee ≤ ≤ ln xa x x = − 1( )x ee ≤ ≤ ln xy x x = − 1( )x ee ≤ ≤则 ， 当 时， ，函数 为减函数； 当 时， ，函数 为增函数. 故当 时， ， 又 ， 所以当 时， ， 画出函数图象，如图： 由图可知 的取值范围 . 故选：B. 二、填空题：本大题共 4 小题，共 20 分。 13．（2020·湖北省华中师大一附中高三其他（理））函数 在点 处的切线方程为 ______． 【答案】 【解析】由题意， ，即切点为 ， 对函数求导， ， 2 2 1 lnx xy x − +′ = 1 1xe ≤ < 0y′ < y 1 x e< ≤ 0y′ > y 1x = min 1| 1xy y == = 1 1 1| |x ex e y e y ee e== = + = − ， 1x e = 1 maxy e e = + a 1(1, ]e e − ( ) ( )2 exf x x= − ( )( )2 2f, 2 2e 2e 0x y− − = ( ) ( ) 22 2 2 e 0f = − = ( )2,0 ( ) ( ) ( )e 2 e 1 ex x xf x x x′ = + − = −则 ，即切线的斜率为 ， 所以切线方程为 ，即 . 故答案为： . 14．（2020·河北省衡水中学高三其他（理））函数 的图象向右平移 个单位得到函 数 的图象，且 与 的图象关于点 对称，那么 的最小值等于_______________. 【答案】6 【解析】由图象平移规律可知 ，由 与 的图象关于点 对称，所以 ，化简得 恒成立，得 ，故 ， ，所以正数 的最小值为 6. 故答案为:6. 15．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知向量 ， ，函 数 ，下列命题，说法正确的序号是__________. ① ； ② 图象关于 称； ③若 ，则 ； ④若 ，则 . 【答案】②④ 【解析】 ( ) 22 ef ′ = 2e ( )2e 2y x= − 2 2e 2e 0x y− − = 2 2e 2e 0x y− − = ( ) ( )sin 0f x xω ω= > 3 π ( )y g x= ( )f x ( )g x ,03 π     ω ( ) sin ( )3g x x πω = −   ( )f x ( )g x ,03 π     2sin sin3 3x x ωπ πω ω    − = − −         2sin sin3 3x x ωπ ωπω ω   − = −       sin sin3 3 3x x ωπ ωπ ωπω ω   − = − −       23 k ωπ π= k Z∈ ω (sin , 3)m x= − 2co( o )s ,c sxn x= ( ) 2 3 1f x m n= ⋅ + +  ( ) 2 ( )6f x f x π − = − ( )6f x π − 4x π= 1 20 2x x π< < < ( ) ( )1 2f x f x< 1 2 3, , ,3 2x x x π π ∈   ( ) ( ) ( )1 2 3f x f x f x+ > 2( ) 2sin cos 2 3 cos 3 1f x x x x= − + + 1 cos22sin cos 2 3 3 12 xx x += − × + + sin 2 3 cos2 1x x= − +， ①当 时， ， ，故①错误； ② ，当 时，对应的函数值可取得最小值为 ，所以②正确； ③当 时， ，所以函数 在 不单调，故③错误； ④因为 ，所以 ，所以 ， 又 ，即 ， 所以 ， 恒成立，故④正确. 故答案为：②④ 16．（2020·江苏省西亭高级中学高三其他）已知函数 ，（e＝2.71828… 是自然对数的底数） ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取 值范围是____. 【答案】 ； 【解析】当 时， ，则 ， 即 在 递减，得 ， 当 时， 在 递增，则 ， 综合得 的值域为 . 由题若存在 ，使得 成立， 1 32( sin 2 cos2 ) 12 2x x= − + 2sin 2( 13) π= − +x 0x = ( ) ( ) 16 6f x f π π− = = 2 ( ) 2 (0) 1 3f x f− = − = + ( ) 2sin( 2 )6f x x− = −π 4x π= 2− (0, )2x π∈ 22 ( , )3 3 3x π π π− ∈ − ( ) 2sin(2 ) 13f x x π= − + (0, )2 π ,3 2x π π ∈   22 ,3 3 3x π π π − ∈   ( ) 3 1,3f x  ∈ +  2( 3 1) 3+ > min max2 ( ) ( )f x f x> 1 2 3, , ,3 2x x x π π ∈   ( ) ( ) ( )1 2 3f x f x f x+ > 3 23 5 (1 2)2 2( ) 1 1 (2 )2 2 x x x f x x x e − + + ≤ 0 x 1< < ( )g x 0′ < x 1> ( )g x ( )0,1 ( )1, ∞+ ( ) ( )maxg x g 1 1∴ = = − ( )f x ( )g x y m= m 1< − m ( ), 1∞− − ( ) ( ) xf x x 2 e 0+ − − + − ( ) ( ) x 1h x x 2 e lnx x,x ,12  = − + − ∈   ( ) ( ) x 1h x x 1 e x  = − − ′ 设 ， ，则 在 上单调递增. 又 ， . ，使得 ，即 ， . 当 时， ；当 时， ； 在 上单调递增，在 上单调递减. . 设 ， . 当 时， 恒成立，则 在 上单调递增， ，即当 时， . 当 时，关于 的不等式 在 上恒成立. 18．（2020·广东省高三月考（理））已知函数 ． （1）若 ，求函数 的值域； （2）设 的三个内角 所对的边分别为 ，若 为锐角且 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1） ( ) x 1u x e x = − ( ) x 2 1u x e 0x = + >′ ( )u x 1 ,12      1u e 2 02   = − 0 1x ,12  ∴∃ ∈   ( )0u x 0= 0x 0 1e x = 0 0lnx x∴ = − 0 1x ,x2  ∈   ( ) ( )u x 0,h x 0′ ( ]0x x ,1∈ ( ) ( )u x 0,h x 0′> < ( )h x∴ 0 1 ,x2     ( ]0x ,1 ( ) ( ) ( ) ( )0x 0 0 0 0 0 0 0max 0 0 1 2h x h x x 2 e lnx x x 2 2x 1 2xx x ∴ = = − + − = − ⋅ − = − − ( ) 2φ x 1 2xx = − − ( ) 2 2 2 2 2 2xφ x 2x x −∴ = − =′ 1x ,12  ∈   ( )φ x 0′ > ( )φ x 1 ,12      ( ) ( )φ x φ 1 3∴ < = − 1x ,12  ∈   ( )h x 3< − ∴ m 3≥ − x ( ) ( ) xf x x 2 e 0+ − < 1 ,12      ( ) 2sin ·cos3f x x x π = +   0 2x π≤ ≤ ( )f x ABC∆ , ,A B C , ,a b c A ( ) 3 , 2, 32f A b c= = = ( )cos A B− 30,1 2  +    5 7 14 ( ) ( ) 2sin 3 cos cos sin cos 3 cosf x x x x x x x= + = +由 得， ， ． ∴ ，即函数 的值域为 ． （2）由 得 ， 又由 ，∴ ，∴ ． 在 中，由余弦定理 ，得 ， 由正弦定理 ，得 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ 19．（2020·四川省高三二模（理））在 中，内角 的对边分别为 ，且 . （1）求角 C； （2）若 ，求 周长的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由 得 ． 根据正弦定理，得 ，化为 ， 整理得到 ，因为 ， 1 3 3 3sin 2 cos2 sin 22 2 2 3 2x x x π = + + = + +   0 2x π≤ ≤ 423 3 3x π π π≤ + ≤ 3 sin 2 12 3x π − ≤ + ≤   3 30 sin 2 13 2 2x π ≤ + + ≤ +   ( )f x 30,1 2  +    ( ) 3 3sin 2 3 2 2f A A π = + + =   sin 2 03A π + =   0 2A π< < 423 3 3A π π π< + < 2 ,3 3A A π ππ+ = = ABC∆ 2 2 2 2 cos 7a b c bc A= + − = 7a = sin sin a b A B = sin 21sin 7 b AB a = = b a< B A< 2 7cos 7B = ( ) 1 2 7 3 21 5 7cos cos cos sin sin 2 7 2 7 14A B A B A B− = + = × + × = ABC∆ , ,A B C , ,a b c 22 2 1 2cos 2 B Ca b c + + = −   2 3c = ABC∆ 2πC .3 = 4 2 3+ 22 2 1 2cos 2 B Ca b c + + = −   2 2 cosa b c A+ = sin 2sin 2cos sinA B A C+ = ( )sin 2sin 2cos sinA A C A C+ + = sin 2sin cosA A C= − sin 0A >故 ，又 ，所以 ． (2)由余弦定理有 ，故 ， 整理得到 ，故 ， 当且仅当时等号成立，所以周长的最大值为 ． 20．（2020·河南省高三其他（理））已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ． （1）求角 的大小； （2）若 ， ，求 的面积． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）因为 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 又 ， ， 所以 ，且 ， 所以 ， 所以 ； （2）因为 ， ， ， 所以 ， ； 又因为 ， 所以 ， 所以 ， 1cos 2C = − 0 C π< < 2 3C π= 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 2 12a b ab+ + = ( ) 2 2 12 12 2 a ba b ab + + = + ≤ +    4a b+ ≤ 2 2 2 3 4 2 3+ + = + ABC A B C a b c cos cos cos sin 2 sinA B C A B+ = A A B C+ = 1b = ABC 3A π= 3 2 2cosAcosB cosC sin AsinB+ = A B C π+ + = ( ) 2cosAcosB cos A B sin AsinB− + = 2cosAcosB cosAcosB sinAsinB sin AsinB− + = 2sinAsinB sinAcosAsinB= ( )0,A π∈ ( )0,B π∈ 0sinA ≠ 0sinB ≠ 1 2cosA = 3A π= A B C+ = A B C π+ + = 3A π= 6B π= 2C π= 1b = 1 sin30 sin 60 a=° ° 3a =所以 的面积 ． 21．（2020·河北省高三其他（理））如图．在 中，点 P 在边 上， ， ， ． （1）求 ； （2）若 的面积为 ．求 【答案】（1） ；（2） ． （1）在 中，设 ， 因为 ， ， 又因为 ， ， 由余弦定理得： 即： ， 解得 ， 所以 ， 此时 为等边三角形， 所以 ； ABC 1 1 33 12 2 2S a b= × × = × × = ABC BC 3C π= 2AP = 4AC PC⋅ = APB∠ ABC 5 3 2 sin PAB∠ 2 3APB∠ = π 3 57sin 38PAB∠ = APC△ AC x= 4AC PC⋅ = 4PC x = 3C π= 2AP = 2 2 2 2 cos 3AP AC PC AC PC π= + − ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 4 42 2 cos 3x xx x π = + − ⋅ ⋅ ⋅   2x = AC PC AP= = APC△ 2 3APB∠ = π（2）由 ， 解得 ， 则 ， 作 交 于 D，如图所示： 由（1）知，在等边 中， ， ， 在 中 ． 在 中，由正弦定理得 ， 所以 ． 22．（2020·河南省高三二模（理））已知函数 ，且 . （1）求实数 的值； （2）令 在 上的最小值为 ，求证： . 【答案】（1） （2）证明见解析； 【解析】（1） 令 ，( ) 由 可得 故：等价于 在 时恒成立 令 ， 1 5 3sin2 3 2ABCS AC BC π= ⋅ ⋅ =△ 5BC = 3BP = AD BC⊥ BC APC△ 3AD = 1PD = Rt△ABD 2 2 3 16 19AB AD BD= + = + = ABP△ sin sin AB PB APB PAB =∠ ∠ 33 3 572sin 3819 PAB × ∠ = = ( ) 2ln( 1)f x a x= + + ( ) ( 1)f x a x≤ + a ( 1) ( )( ) 1 x f xg x x a += + − ( 1, )x a∈ − +∞ m 8 9m< < 2  ( ) 2ln( 1)f x a x= + + 1x t+ = 0t > ( ) ( )1f x a x≤ + ( )1 12ln( )a x a x+ + ≤ + 2ln 0a at t− + ≤ 0t > ( ) 2lnh t a at t= − +则 . ①当 时， ，故 在 上单调递增， 由于 ，不合题意 ②当 时， ， 故当 单调递增，当 ， ， 单调递减， 故 要使 在 时恒成立，则只需 即 ， ， 则 ， 时， ， 单调递减 时 ， 单调递增， 又 ， 满足条件 的只有 2. 即 . （2）由（1）知.令 ， 变形成 令 ， 则 由于 ， 2 2( ) ath t at t −′ = − = 0a ≤ ( ) 0h t′ > ( )h t ( )0, ∞+ ( )1 0h = 0a > 2( ) ( ) a t ah t t − − ′ = 2(0, )x a ∈ 2( , )x a ∈ +∞ ( ) 0h t′ < ( )h t max 2( ) ( ) 2 2ln2 2lnh t h a aa = = − + − ∴ ( ) 0h t ≤ 0t > ( )max 0h t ≤ 2 2ln2 2ln 0a a− + − ≤ ( ) 2 2ln 2 2lna a aϕ = − + − 2 2( ) 1 aa a a ϕ −′ = − = ∴ ( )0,2x∈ ( ) 0aϕ′ < ( )aϕ ( )2,x∈ +∞ ( ) 0aϕ′ > ( )aϕ  ( )2 0ϕ = ∴ a 2a = 1x t+ = ( 1) ( )( ) 1 x f xg x x a += + − ln2 2( ) ( 2)2 t tt tt tθ += >− ∴ 2 ln2( 2 4)( ) ( 2) ttt t θ − −′ = − ( ) 2ln 4s t t t= − − 2 2( ) 1 ts t t t −′ = − = 2t >. 即要 在 上单调递增， 又 ， ， ，使得 ，即： 且当 .时， ；当 时 ， 即 在 上单调递减，在 上单调递增 （因为 ）， 即 . . ∴ ( ) 0s t′ > ( )s t ( )2,+∞  ( )8 0s < ( )9 0s > ∴ ( )0 8,9t∃ ∈ ( )0 0s t = 0 02ln 4t t= − 02 t t< < ( ) 0s t < 0t t> ( ) 0s t > ( )xθ ( )02,t 0( )t ∞, + ∴ ( ) 2 0 0 0 0 0 min 0 0 0 0 2 2 ln 2( ) 2 2 t t t t tt t tt t θ θ + −= = = =− − 0 02ln 4t t= − 0m t= ∴ 8 9m<