第四单元 三角函数与解三角形(A卷 基础过关 检测）-2021年高考数学（文）一轮复习单元滚动双测卷（解析版）

第四单元 三角函数与解三角形 A 卷 基础过关检测 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．（2020·高三其他（文））在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ， ， ，则 （ ） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解析】由正弦定理可得 ，故 ，故 ， 若 为锐角，则 ， 故 . 若 为钝角，则 ，故 . 故选：C. 2．（2020·全国高三（文））在 中，若 ，则 的形状是（ ） A．C 为直角的直角三角形 B．C 为钝角的钝角三角形 C．B 为直角的直角三角形 D．A 为锐角的三角形 【答案】C 【解析】因为 ， 所以 ， 所以 ， ABC A B C a b c 8a = 7b = 60B = ° sinC = 3 3 14 5 3 14 3 3 14 5 3 14 11 14 sin sin a b A B = 8 7 sin 3 2 A = 4 3sin 7A = A 1cos 7A = ( ) ( )sin sin sin sin cos cos sinC A B A B A B A Bπ= − − = + = + 4 3 1 1 3 5 3 7 2 7 2 14 = × + × = A 1cos 7A = − sinC = 4 3 1 1 3 3 3 7 2 7 2 14 × − × = ABC∆ cos cos a cA C b ++ = ABC∆ cos cos a cA C b ++ = 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a b c a c bc ab b + − + − ++ = 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 ( )a b c a c a b c ac a c+ − + + − = +所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 为直角. 故选：C 3．（2015·江西省高三一模（文））若 的三个内角满足 ,则 （ ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 【答案】C 【解析】试题分析：根据正弦定理，由条件 可得 ，设 ，则 ，由余弦定理可得 ，而 ,所以 为钝角，所以 为钝角三 4．（2015·河南省高三二模（文））△ABC 中, a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且 则角 B 的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】A 【解析】 由正弦定理得 可化为 化简得到 ，可以得到 ，由特殊角的三角函数值得到 . 故答案选 A. 2 3 3( ) ( ) ( )b a c a c ac a c+ − + = + 2 2 2( ) ( )( ) ( )b a c a c a ac c ac a c+ − + − + = + 0a c+ > 2 2 2( )b a ac c ac− − + = 2 2 2a c b+ = B ABC∆ 6sin 4sin 3sinA B C= = ABC∆ 6sin 4sin 3sinA B C= = 6 4 3a b c= = 6 4 3 12 ( 0)a b c k k= = = > 2 , 3 , 4a k b k c k= = = 2 2 2 2 2 2 2 4 9 16 1cos 02 12 4 a b c k k kC ab k + − + −= = = − < (0, )C π∈ C ABC ( ) (sin sin ) ( 3 ) sinb c B C a c A− ⋅ + = − ⋅ ( ) ( ) ( )sin sin 3 sinb c B C a c A− ⋅ + = − ⋅ ( )( ) ( 3 )b c b c a c a− + = − 2 2 2 3b c a ac− = − 2 2 2 3 cos2 2 a c b Bac + − = = 6B π=5．（2020·全国高三其他（文））若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，得 ， 又 ，所以 . ， ， 又因为 ，所以 . 故 ，所以 . 故选：D 6．（2020·上海高三其他）如图，某景区欲在两山顶 A，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高 ， ，在水平面上 E 处测得山顶 A 的仰角为 30°，山顶 C 的仰角为 60°， ，则两山顶 A、C 之间的距离为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ， 3sin 4 5x π + = −   2 4x π π− < < − tan 2x = 24 25 − 24 25 7 24 − 7 24 2 4x π π− < < − 04 4x π π− < + < 3sin 4 5x π + = −   4cos 4 5x π + =   sin sin sin cos cos sin4 4 4 4 4 4x x x x π π π π π π      = + − = + − +             3 2 4 2 7 2 5 2 5 2 10 = − × − × = − 2 4x π π− < < − 2 2cos 1 sin 10x x= − = sin coa st n 7xx x = = − 2 2 7tan 2 1 tan t 24 anx x x = =− 1( )AB km= 3( )CD km= 120BED∠ = ° 2 2( )km 10( )km 13( )km 3 3(km) 1,AB = 3CD = 30 ,AEB∠ = ° 60 ,CED∠ = ° 120BED∠ = °； 在 中，由余弦定理得： ， 所以 ； 所以 ， 即两山顶 A，C 之间的距离为 . 故选：C. 7．（2020·福建省高三其他（文））在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 ， ， ，当 的周长最短时，b 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知： ， 则 ， 所以 ， 又 ，所以 ，记 的周长为 则 则 1 3,tan30 3 3 ABBE∴ = = =° 3 3tan 60 3 CDDE = = =° BED 2 2 2 2 cosBD BE DE BE DE BED= + − × × × ∠ 13 3 2 3 3 2  = + − × × × −   9= 3BD = 2 2 2( ) 9 (3 1) 13AC BD CD AB= + − = + − = 13km ABC 60A∠ = ° 1b > 1 2c a= + ABC 2 2 2 21 2 + 1 2+ 60A∠ = ° 1 2c a= + 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 1 1 2 2    = + −      +  + aa bab 1b > 2 1 2 4 1 − + = − bb a b ABC l 2 1 2 42 1 1 2 − + = + + = ⋅ +− + bb l a b c bb ( ) ( ) ( ) ( ) 3 9 3 9 93 1 2 3 1 3 22 1 2 2 1 2 2 = − + + ≥ − ⋅ + = +− −l b bb b当且仅当 或 （舍）取等号 所以当 的周长最短时，b 的值为 故选：C 8．（2020·全国高三其他（文））已知 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ，则角 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由已知 ，得 ， 由正弦定理 及余弦定理 得， ，即 . 由余弦定理得， 又角 为 的内角，故 . 所以， . 故选：A. 9．（2020·甘肃省西高三其他（文））已知角 的终边经过点 ，函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，则 A． B． C． D． 【答案】B ( ) ( ) 3 23 1 12 1 2 − = ⇒ = +−b bb 21 2 − ABC 21 2 + ABC A B C a b c si2ta sin n sin n B C AA = A 0, 3 π     ,3 2 π π    2,2 3 π π     2 ,3 π π    si2ta sin n sin n B C AA = 2sin 2sin sin cosA B C A= sin sin sin a b c A B C = = 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= 2 2 2 2 2 2 b c aa bc bc + −= ⋅ 2 2 22b c a+ = 2 2 2 2 2 2 2 22 2 12cos 2 2 4 4 2 b cb cb c b c bcA bc bc bc bc a ++ −+ += =− = ≥ = A ABC 1 cos 12 A≤ < 0 3A π< ≤ ϕ (3, 4)P − ( ) sin( )( 0)f x xω ϕ ω= + > 2 π ( )4f π = 3 5- 3 5 4 5 − 4 5【解析】试题分析：由题意周期 ， ，角 的终边经过点 ，则 ， ， ．故选 B． 10．（2020·全国高三其他（文））函数 ， .若 ， ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意知 的值域包含于 的值域. ， . 当 时， 的值域为 ； 当 时， . 要使 值域包含于 值域，则 ，即 . 故选：D. 11．（2020·全国高三其他（文））设函数 ，则下列结论正确的个数是 （ ） ①当 时， 的最小正周期为 ； 2 2T π π= × = 2 2 πω π= = ϕ (3, 4)P − 3cos 5 ϕ = 4sin 5 ϕ = − ( ) sin(2 ) sin( )4 4 2f π π πϕ ϕ= × + = + 3cos 5 ϕ= = ( ) 2sin 2 2 3 cos 3x xf x = + − ( ) 24sin sin cos22 4 xg x x x ω πω ω = ⋅ + +   ( )0ω > 1 0, 4x π ∀ ∈   2 0, 4x π ∃ ∈   ( ) ( )1 2f x g x= ω 20, 3     2 10,3 3      100, 3     )2 ,3  +∞ ( )f x ( )g x ( ) sin 2 3 cos2 2sin 2 3f x x x x π = + = +   ( ) ( ) 1 cos 24sin cos2 2sin 1 sin cos22 x g x x x x x x πω ω ω ω ω ω  − +  = ⋅ + = ⋅ + + 22sin 2sin cos2 2sin 1x x x xω ω ω ω= + + = + 1 0, 4x π ∈   ( )f x [ ]1,2 2 0, 4x π ∈   0, 4x πωω  ∈   ( )f x ( )g x 4 6 πω π≥ 2 3 ω ≥ ( ) ( )22 cos 1 cos 1f x a x a x= + − ⋅ − 1a = ( )f x 2 π②当 时， 的最大值为 ； ③当 时， 的最大值为 ． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①当 时， ， 的最小正周期为 ，故①正确； ②因为 ，故②正确； ③当 时，设 ， ， 令 ， ， ， 且当 时， 取得极小值， 极小值为 ． 令 ，解得 ． （ⅰ）当 时， 在 内无极值点， ， ， ，所以 的最大值为 ． （ⅱ）当 时，由 ， 知 ．又 ， 所以 的最大值为 ，故③错误． 故选：C. 12．（2020·山西省高三月考（文）） 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，且 的面积为 ，则 （ ） 1a ≥ ( )f x 3 2a − 0 1a< < ( )f x 2 6 1 8 a a a + + 1a = ( ) 22cos 1 cos2f x x x= − = ( )f x 2 π ( ) ( )( ) ( )cos2 1 cos 1 2 1 3 2f x a x a x a a a= + − + ≤ + − = − 0 1a< < cost x= [ ]1,1t ∈ − ( ) ( )22 1 1g t at a t= + − − ( )1g a− = ( )1 3 2g a= − 1 4 at a −= ( )g t ( )2 211 6 114 8 8 aa a ag a a a −− + +  = − − = −   11 14 a a −− < < 1 5a > 10 5a< ≤ ( )g t [ ]1,1− ( )1g a− = ( )1 2 3g a= − ( ) ( )1 1g g− < ( )f x 2 3a− 1 15 a< < ( ) ( ) ( )1 1 2 1 0g g a− − = − > ( ) ( ) 11 1 4 ag g g a − − > >    ( ) ( )( )1 1 71 1 04 8 a aag ga a − +−  − − = >   ( )f x 21 6 1 4 8 a a ag a a − + +  =   ABC A B C a b c 2 32cos cos2 2 A B C − + = ABC 21 4 c C =A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【解析】 或 又 本题正确选项： 二、填空题：本大题共 4 小题，共 20 分。 13．（2020·全国高三其他（文））已知函数 ， ，则 的最大值是______. 【答案】 【解析】 . 所以，当 时， π 6 π 3 π 6 5π 6 π 3 2π 3 ( ) ( )22cos cos cos 1 cos cos cos sin sin 12 A B C A B A B A B A B − + = − + − + = + + − 3cos cos sin sin 2sin sin 1 2A B A B A B+ = + = 1sin sin 4A B⇒ = 21 1sin2 4ABCS ab C c∆ = = 21 1sin sin sin sin2 4A B C C⇒ = 1sin 2C⇒ = ( )0,C π∈ 6C π∴ = 5 6C π= 23 3 1cos 2cos 22 2 2 2 A BC −= − ≥ − = − 6C π∴ = A ( ) cos 4f x x π = −   x∈R 2 2 6 12f x f x π π      + − +             6 2 4 − 2 2 2 2cos cos6 12 12 6f x f x x x π π π π          + − + = − − −                     ( ) 1 cos 2 1 cos 2 1 3 16 3 cos2 sin 22 2 2 2 x x x x π π   + − + −    −   = − = ⋅ − 6 2 cos 24 4x π−  +   = cos 2 14x π + =  取最大值 . 故答案为： . 14．（2020·陕西省高三其他（文））在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 b＝1， ，则 S△ABC＝_____． 【答案】 【解析】根据正弦定理，有 ，即 ， 所以有 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 S△ABC＝ ， 故答案为： . 15．（2020·陕西省高三其他（文））在 中，内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，且 ， ， 边上的高为 ，则 的最大值为________. 【答案】 【解析】 因为 ， 所以由正弦定理得 ， 所以 ， 2 2 6 12f x f x π π      + − +             6 2 4 − 6 2 4 − 23, 3 π= ∠ =c C 3 4 sin sin b c B C = 1 3 2sin sin 3 B π= 1 3 2sin 3 2 B = = 1sin 2B = 1, 3, , (0, )b c b c B π= = < ∈ 6B π= 6A B C ππ= − − = 1 1 1 3sin 1 32 2 2 4bc A = × × × = 3 4 ABC∆ A B C a b c 3a = 3sin (sin 3 cos )sinC B B A= + BC h h 3 2 3sin (sin 3 cos )sinC B B A= + 3 (sin 3cos ) (sin 3cos ) 3c B B a B B= + ⋅ = + ⋅ sin 3 cosc B B= +所以 . 因为 ，所以当 时， 取得最大值为 . 故答案为： . 16．（2020·河南省南阳中学高三月考（文））在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， . 的面积 ，若 ，则角 的值为______. 【答案】 【解析】 因为 ，又 ，所以 所以 ，由余弦定理得 所以 由 结合正弦定理，得 所以 ，即 ，所以 ， 因为 ，所以得 ，或 （舍去），所以 . 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余每题 12 分共 70 分） 17．（2020·安徽省高三三模（文））已知函数 的部分图象如图所 示． 1sin (sin 3 cos ) sin sin 2 6 2h c B B B B B π = = + ⋅ = − +   0 B π< < 3B π= h 3 2 3 2 ABC∆ A B C a b c ABC∆ ( )2 21 4S a c= + 2sin 2 sin sinB A C= B 5 12 π 1 sin2S ac B= ( )2 21 4S a c= + ( )2 21 1 sin4 2a c ac B+ = 2 2 2 sina c ac B+ = 2 2 2 2 cosa c b ac B+ = + 22 sin 2 cosac B b ac B= + 2sin 2 sin sinB A C= 2 2b ac= 2 sin 2 2 cosac B ac ac B= + ( )2 sin cos 1B B− = 1sin 4 2B π − =   ( )0,B π∈ 4 6B π π− = 5 4 6B π π− = 5 12B π∠ = 5 12 π ( ) 2 sin( ) 0,| | 2f x x πω φ ω φ = + > 2 13sin cos cos2 2 2 2 A A C− + 3A π= 1 3,4 4      ∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ． 又∵ ， ∴ ，即 ，∴ ， ∴ 为正三角形， ． （2）由已知 ， ． ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ． 故 的取值范围是 ． 20．（2020·广东省金山中学高三三模（文））已知 内接于单位圆，且 ， 求角 C 求 面积的最大值． 【答案】（1） （2） 2B A C Bπ= + = − 3B π= 2sin sin sinB A C= 2b ac= 2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac= + − = + − 2 2a c ac ac+ − = ( )2 0a c− = a c= ABC 3A π= 2 3A C π+ = 2 1 3 1 cos 13sin cos cos sin2 2 2 2 2 2 2 A A C CA +− + = − + 3 1 2sin cos2 2 3A A π = − −   3 1 3sin cos sin2 4 4A A A= + − 3 1 1sin cos sin4 4 2 6A A A π = + = +   a c> 2 2 3A π π< < 2 5 3 6 6A π π π< + < 1 3sin2 6 2A π < +