第三单元 导数及导数应用
B 卷 滚动提升检测
一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（2020·广东省高三二模（文））已知函数 为偶函数，若曲线 的一条切线与直线
垂直，则切点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
为偶函数，则 ， ，
设切点得横坐标为 ，则 解得 ，（负值舍去）所以
.
故选：D
2．（2020·石嘴山市第三中学高三开学考试（理））设函数 ,则 ( )
A．-6 B．-3 C．3 D．6
【答案】C
【解析】：则 f′（1），
由 f′（x）＝2x+1，
∴f′（1）＝3，
∴ ，
故选 C．
3．（2020·全国高三其他（文））函数 的部分图象大致为（ ）
( ) x
x
af x e e
= + ( )y f x=
2 3 0x y+ =
2 2 2ln 2 ln 2
( )f x ( ) ( )( 1) 0x x x x
x x
a af x e e e e ae e
− −
−− = + = + ∴ − − = ∴ 1a = ( ) x xf x e e−∴ = +
'( ) .x xf x e e−∴ = − 0x 0 0
0
3'( ) .2
x xf x e e−= − = 0 2xe =
0 ln 2x =
2( )f x x x= +
0
(1 ) (1)lim
x
f x f
x∆ →
+ ∆ − =∆
( ) ( )
0
1 1
x
f x flim x→
+ − =
( ) ( )
0
1 1 3
x
f x flim x→
+ − =
( ) cosxf x e x= −A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由 ，则
当 时， 则 ，
所以函数 在 上单调递增，则排除选项 A，C
又 ，排除除选项 B
故选：D
4．（2019·全国高三月考（文））已知函数 ，则 （ ）
A． B．3 C．-3 D．
【答案】C
， ，
， .
故选： .
5．（2020·高三其他（文））设函数 ，则
（ ）
( ) cosxf x e x= − ( ) sinxf x e x′ = +
0x > e 1x > ( ) sin 0xf x e x′ = + >
( )f x ( )0 + ∞，
2 2cos2 2f e e
π ππ π− − − = − − = > （ ）
3( ) 2 (1) 1f x x xf ′= + − (1)f ′ =
3
2
3
2
−
3 '( ) 2 (1) 1f x x xf= + − ( )' 2 '( ) 3 2 1f x x f∴ = +
( )' '(1) 3 2 1f f∴ = + ( )' 1 3f∴ = −
C
( ) ( )
1
2
1 2 , 2
3 log 2 , 2
x xf x x x
− + ≥= + − ( ) 0f x′ >
3x a= ( )f x ( ) ( )3 3
23
2 3af a a
a
= + = 1a =
0 0 2
0
1,2A x x x
+
( ) 3
22f x x
′ = − 3
0
21 2 x
= −
3
0 2x = 3
0 0 1 2 1y x= − = − ( ) 2
12f x x x
= +
: 1l y x= − ( )y f x=
: 1l y kx= −
( )y f x= l 2
12 1x kxx
+ = −
2
12 1x kxx
+ = − 3
1 1 2k x x
= + +
1t x
= 3 2k t t= + + t R∈ 0t ≠
( ) 3 2h t t t= + + t R∈ ( ) 23 1 0h t t′ = + >
( )h t ( )h t R∈ 3 2k t t= + + t R∈ 0t ≠
( )0 2k h= = 3 2k t t= + +
2k ≠ 3 2k t t= + +
2k = ( )y f x= l 2k ≠ ( )y f x= l8．（2020·福建省高三其他（文））已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 时，由 得 ，两边取以 e 为底的对数得： ，
当 时由 得 ，解得 ，
综上 或 ，
故选：A
9．（2020·广东省高三二模（文））设函数 ，则满足 的 x 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵函数 在 上单调递减，在 上为常数 1，
所以由 得 ，解得 ．
故选：D.
10．（2020·辽宁省高三其他（文））已知函数 的图象如图所示，
令 ，则下列关于函数 的说法中不正确的是（ ）
, 0( )
ln , 0
xe xf x
x x
≤= >
1( ) 2f x ≤
( , ln 2] (0, ]e−∞ − ∪ ( , ln 2)−∞ −
(0, ]e ( , ln 2) (0, )e−∞ − ∪
0x ≤ 1( ) 2f x ≤ 1
2
xe ≤ ln 2x ≤ −
0x > 1( ) 2f x ≤ 1ln 2x ≤ 1
20 x e e< ≤ =
ln 2x ≤ − 0 x e< ≤
( ) ( )2log , 2
1, 2
x xf x
x
− ≤ −= > −
( ) ( )1 2f x f x+ <
( ], 1−∞ − ( )0, ∞+ ( )1,0− ( ), 1−∞ −
( ) ( )2log , 2
1, 2
x xf x
x
− ≤ −= > −
( , 2]−∞ − [ 2, )− +∞
( 1) (2 )f x f x+ < 2 1
2 2
x x
x
< +
< − 1x < −
( ) sin( )( 0, 0, )2f x A x A
πω ϕ ω ϕ= + > > <
( ) ( ) '( )g x f x f x= + ( )g xA．函数 图象的对称轴方程为
B．函数 的最大值为
C．函数 的图象上存在点 ，使得在 点处的切线与直线 ： 平行
D．方程 的两个不同的解分别为 ， ，则 最小值为
【答案】C
【解析】根据函数 f（x）＝Asin（ωx+ ）的图象知，
A＝2， ，
∴T＝2π，ω 1；
根据五点法画图知，
当 x 时，ωx+ ，
∴ ，
∴f（x）＝2sin（x ）；
∴f′（x）＝2cos（x ），
∴g（x）＝f（x）+f′（x）
＝2sin（x ）+2cos（x ）
＝2 sin（x ）
＝2 sin（x ）；
令 x kπ，k∈Z，
解得 x kπ，k∈Z，
∴函数 g（x）的对称轴方程为 x kπ，k∈Z，A 正确；
当 x 2kπ，k∈Z 时，函数 g（x）取得最大值 2 ，B 正确；
g′（x）＝2 cos（x ），
假设函数 g（x）的图象上存在点 P（x0，y0），使得在 P 点处的切线与直线 l：y＝3x﹣1 平行，
( )g x ( )12x k k Z
ππ= − ∈
( )g x 2 2
( )g x P P l 3 1y x= −
( ) 2g x = 1x 2x 1 2x x−
2
π
ϕ
2
4 3 6 2
T π π π= − =
2
T
π= =
6
π=
6 2
π πϕ ϕ= + =
3
πϕ =
3
π+
3
π+
3
π+
3
π+
2 3 4
π π+ +
2 7
12
π+
7
12 2
π π+ = +
12
π= − +
12
π= − +
7
12 2
π π+ = + 2
2 7
12
π+则 k＝g′（x0）＝2 cos（x0 ）＝3，
解得 cos（x0 ） 1，显然不成立，
所以假设错误，即 C 错误；
方程 g（x）＝2，则 2 sin（x ）＝2，
∴sin（x ） ，
∴x 2kπ 或 x 2kπ，k∈Z；
∴方程的两个不同的解分别为 x1，x2 时，
|x1﹣x2|的最小值为 ，D 正确．
故选 C．
11．（2020·高三其他（文））已知函数 ，若 恒成立，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，函数 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，此时函数 无最小值，
不符合题意，舍去；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数取得最小值，最小值为 ，
因为 恒成立，即 ，可得 ，
则 ， ，
设 ，则 ，
2 7
12
π+
7
12
π+ 3
2 2
= ＞
2 7
12
π+
7
12
π+ 2
2
=
7
12 4
π π+ = + 7 3
12 4
π π+ = +
2
π
( ) xf x e ax b= − − ( ) 0f x ≥ 2a b+
2 4e + 2e e
2
e
( ) xf x e ax b= − − ( ) xf x e a′ = −
0a ≤ ( ) 0xf x e a′ = − > ( )f x ( )f x
0a > ( ) 0xf x e a′ = − = lnx a=
( ,ln )x a∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
(ln , )x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
lnx a= ( )ln lnf a a a a b= − −
( ) 0f x ≥ ln 0a a a b− − ≥ (1 ln )b a a≤ −
2 2 (1 ln ) 3 lna b a a a a a a+ ≤ + − = − 0a >
( ) 3 ln , 0g x x x x x= − > ( ) 3 ln 1 2 lng x x x′ = − − = −当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
所以当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，
故 的最大值为 .
故选：B.
12．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三其他（文））已知函数 ，若函数
有 4 个零点，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数 ，
函数 有 4 个零点，即 有四个不同交点.
画出函数 图像如下图所示：
由图可知，当 时，设对应二次函数顶点为 ，则 ， ，
2x e> ( ) 0g x′ < ( )g x
20 x e< < ( ) 0g x′ > ( )g x
2x e= ( )g x 2 2 2 2 2( ) 3 lng e e e e e= − =
2a b+ 2e
2( 1) 1, 2
( ) 1 ( 2), 22
x x
f x
f x x
− − + M x
( )M x ( )0, ∞+ ( ) ( )0 0M x M> =
1xe x> +
0 1a< < ( )0,x∈ +∞ ( ) 1 0= − − >xf x e ax
0 (0, )x∃ ∈ +∞ ( ) ( )0 0 0f x g x >
0 (0, )x∃ ∈ +∞ ( )0 0g x >
( )0 0 0ln 1 0= − − >g x x ax 0
0 0
ln 1< −xa x x
( ) ln 1= −xh x x x
( ) 2
2 ln−′ = xh x x
( )20,x e∈ ( ) 0h x′ > ( )2 ,x e∈ +∞ ( ) 0h x′
( ) ( )
l 0n x f xf x x
′ ⋅ + < ( ) 0f x >
( ),0−∞
( ) ( ) ( )ln 0F x f x x x= ⋅ ≠ ( ) ( ) ( )lnF x f x x F x− = − ⋅ = − ( )F x
0x > ( ) ( ) lnF x f x x= ⋅ ( ) ( ) ( )' ' ln 0f xF x f x x x
= ⋅ + < ( )F x ( )F x
( ),0−∞
( ) ( ) ( ) ( )1 1 ln1 0, 1 1 0F f F F= ⋅ = − = − = ( )F x
( ), 1−∞ − ( )1,0− ( )0,1 ( )1,+∞
( )F x + − + −
ln x + − − +
( )f x + + − −
1x = ( ) ( )
l 0n x f xf x x
′ ⋅ + < ( )1 0f < ( ) ( )1 1 0f f− = − >结合表格可知，当 时 .
所以不等式 的解集为 .
故答案为：
三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余每题 12 分共 70 分）
17．（2019·福建省高三月考（文））设函数 的图像与直线 相
切于点 ．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）讨论函数 的单调性．
【答案】（1） （2）单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
【解析】(1)根据 建立关于 a,b 的方程.
（2）由 得函数的单调增区间；由 得函数的单调减区间.
解：(1)求导得 ．由于 的图像与直线 相切于点 ，所以
，
即 ，解得: .
(2)由 得：
0x < ( ) 0f x >
( ) 0f x > ( ),0−∞
( ),0−∞
( ) 3 23 3f x x ax bx= − + 12 1 0x y+ − =
( )1, 11−
a b
( )f x
1{ 3
a
b
=
= − ( 1,3)− ( , 1)(3, )−∞ − +∞
(1) 11, (1) 12f f ′= − = −
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
2( ) 3 6 3f x x ax b′ = − + ( )f x 12 1 0x y+ − = (1, 11)−
(1) 11, (1) 12f f ′= − = −
1 3 3 11{3 6 3 12
a b
a b
− + = −
− + = − 1, 3a b= = −
1, 3a b= = − 2 2( ) 3 6 3 3( 2 3) 3( 1)( 3)f x x ax b x x x x′ = − + = − − = + −令 f′(x)＞0，解得 x＜-1 或 x＞3；又令 f′(x) < 0，解得 -1＜x＜3．
故当 x ( , -1)时，f(x)是增函数，当 x (3, )时，f(x)也是增函数，
但当 x (-1 ，3)时，f(x)是减函数．
18．（2020·陕西省高三二模（文））已知函数 在 处取得极值 .
（1）求 a、b 的值；
（2）若 有极大值 28，求 在 上的最大值.
【答案】(1) ；(2)-4.
【解析】
（1）因 故 由于 在点 处取得极值
故有 即 ，化简得 解得
（2）由（1）知 ，
令 ，得 当 时， 故 在 上为增函数；
当 时， 故 在 上为减函数
当 时 ，故 在 上为增函数．
由此可知 在 处取得极大值 ， 在 处取得极小值 由题设
条件知 得 此时 ， 因此 上
的最小值为
19．（2020·安徽省怀宁县第二中学高三月考）已知函数 .
（1）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ;(2) a .
【解析】
∈ −∞ ∈ +∞
∈
3( )f x ax bx c= + + 2x = 16c −
( )f x ( )f x [ 3,3]−
1, 12a b= = −
3( )f x ax bx c= + + 2( ) 3f x ax b=′ + ( )f x 2x =
(2) 0{ (2) 16
f
f c
=
= −
′ 12 0{8 2 16
a b
a b c c
+ =
+ + = −
12 0{4 8
a b
a b
+ =
+ = −
1{ 12
a
b
=
= −
3( ) 12f x x x c= − + 2( ) 3 12f x x=′ −
( ) 0f x′ = 1 22, 2x x= − = ( , 2)x∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x ( , 2)−∞ −
( 2,2)x∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( 2,2)−
(2, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (2, )+∞
( )f x 1 2x = − ( )f x 2 2x = (2) 16f c= −
16 28c+ = 12c = ( 3) 9 21, (3) 9 3f c f c− = + = = − + = (2) 16 4f c= − = − ( )f x
[ 3,3]− (2) 4f = −
2( ) 2 4f x x a x= + − −
( )f x [ 1, )− +∞ a
( ) 0f x ≥ x∈R a
[ ]4, 2− − 4≥（1）∵f(x)= ,又 f(x)在区间 上单调递增，
∴当 2 时，f(x)单调递增，则－ ，即 a
当-1 时，f(x)单调递增，则 .即 a -2，且 4+2a－2a－4 恒成立，故 a 的取值
范为
（2）若 f(x) 对 x 恒成立，即 对 x 恒成立，
当 x=2 时，成立，当 时 恒成立。令 g(x)= =
显然 g(x) ，故此时 a ,综合得 a 的取值范围为 a
20．（2020·全国高三其他（文））设函数 ， ， 为自然对数的底数.
（1）讨论 的极值点个数；
（2）当 ， 时，证明： .
【答案】（1）当 时，无极值点，当 时，唯一极小值点；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题意， ，记 ，
则 ，所以 在 上是增函数， .
①当 时， ，即 在 上恒成立，此时 在 上是增函数，
无极值点.
②当 时， ， ，
所以方程 在 上存在唯一零点 .
所以，当 时， ，即 ；当 时， ，即 .此时
在 上有唯一极小值点 .
（2）当 ， 时，要证： ，只需证 成立，即只需证明
在 恒成立.
2
2
2 4, 2
2 4, 2
x ax a x
x ax a x
+ − − >
− + − ≤
[ 1 ∞− +， ）
x >
2
a ≤２ 4;≥ −
2x< ≤ 12
a ≤ − ≤ 4 2 2 4a a≥ − + −
[ ]4, 2− −
0≥ ∈Ｒ 22 4a x x− ≥ − ∈Ｒ
x 2≠
24a 2
x
x
−≥ −
24
2
x
x
−
−
2, 2
2 , 2
x x
x x
− − >
+
( ) 2
2
xx e af x x
−′ = ( ) 2 xg x x e a= −
( ) ( ) ( )2 2 0 0xg x x x e x′ + > >= ( )g x ( )0, ∞+ ( )0g a= −
0a ≤ ( ) ( )0 0g x g> ≥ ( ) 0f x′ > ( )0, ∞+ ( )f x ( )0, ∞+
0a > ( )0 0g a= − < ( ) ( )1 0ag a a e= − >
( ) 0g x = ( )0, ∞+ ( )0 0,x a∈
( )00,x x∈ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > ( )f x
( )0, ∞+ 0x
1
2a ≥ ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )1 ax f x x
− < ( )( )1 1xx e a− − <
( )( ) 11 1 2
xx e− − < ( )0, ∞+而当 时， 成立，从而只需证明 在 恒成立即可.
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 在 上恒成立，
从而 在 上为减函数，且 ， .
因此，存在 ，使得 .
当 时， ； 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以， .
由 ，得 ，
所以， .
由于 在 上单调递减，所以 ， ，
即 从而 .
从而当 ， 时，不等式 成立.
21．（2020·全国高三其他（文））设函数 ，若 在 处的切
线方程为 ．
（1） ， ，证明： ；
（2）若任意正整数满足 ，求整数 的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
[ )1,x∈ +∞ ( )( ) 11 1 2
xx e− − < ( )( ) 11 1 2
xx e− − < ( )0,1
( ) ( )( )1 1xF x x e= − − ( )0,1x∈ ( ) 1 xf x xe=′ −
( ) ( ) 1 xG x f x xe′= = − ( )0,1x∈ ( ) ( )1 0xG x x e′ = − + < ( )0,1
( ) ( )G x f x= ′ ( )0,1 1 11 02 2f e ′ = − >
( )1 1 0f e′ = − <
1
1 ,12x ∈
( )1 0f x′ =
( )10,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )1,1x x∈ ( ) 0f x′ <
( )F x ( )10, x ( )1,1x
( ) ( ) ( )( )1
1 1max 1 1xF x F x x e= = − −
( ) 1
1 11 0xf x x e′ = − = 1
1
1xe x
=
( ) ( )( ) ( )1
1 1 1 1
1 1
1 11 1 1 1 2xF x x e x xx x
= − − = − − = + −
1
1
1x x
+
1
1 ,12x ∈ 1
1
1 52 2x x
< + < ( )1 1
1
1 12 2F x x x
= + − <
( )max
1
2F x < ( ) 1
2F x <
1
2a ≥ ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )1 ax f x x
− <
( ) ( ) ( )1 ln ,f x b x a x a b R= − − ∈ ( )f x ( )( )2 2f,
2 2ln 2 0x y− − =
1x∀ [ ]2 1,2x ∈ ( )1 3 2
2 2 2
2 1 3f x x x x
≥ − −
2
1 1 11 1 13 3 3n m + + ⋅⋅⋅ +
( ) af x b x
′ = − ( ) 12 2 2
af b′ = − =
( )2 ln 2 1 ln 2f b a= − = − 1b = 1a = ( ) 1 lnf x x x= − −
( ) 1 0xf x x
−′ = ≥ [ ]1,2x∈ ( ) ( )1 0f x f≥ =
1x =
( ) 3 2
2 3 1h x xx x
= − − [ ]1,2x∈ ( ) 2
4
3 2 6x xh x x
+ −′ =
( ) 23 2 6x x xϕ = + − ( )xϕ [ ]1,2x∈
( )1 1ϕ = − ( )2 10ϕ =
( )0 1,2x∃ ∈ ( )01,x x∈ ( ) 0xϕ < ( )0 ,2x x∈ ( ) 0xϕ >
( )h x ( )01, x ( )0 2x ,
( )1 2h = − ( ) 32 2h = − ( ) ( ) 32 2h x h≤ = −
2x =
( )1 3 2
2 2 2
2 1 3f x x x x
≥ − −
1x∀ [ ]2 1,2x ∈
(1,2)x∈ 1 ln 0x x− − > 11 3nx = + 1 1ln 1 3 3n n
+ −
( ),0x∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )0, 2x a∈ + ( ) 0f x′ >
( )f x [ ]1,2−
( )f x [ ]1,2− a 2a = −
[ ]0,1x∀ ∈ ( ) 1f x ≤ 0x = ( )0 1f a= − ≤
1a ≥ − 2 1a + ≥ ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x [ ]0,1
[ ]0,1x∀ ∈ ( ) 1f x ≤ ( ) ( )max
1 21 1e
af x f
−= = ≤
1 e
2a
−≥ 1a ≥ − 1 e
2a
−≥
a 1 e ,2
− +∞
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