第三单元 导数及导数应用
A 卷 基础过关检测
一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三其他（文））若曲线 在 处的切线也是 的切
线，则 （ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．
【答案】B
【解析】由 得 ， ，又 ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，
设直线 与曲线 切于点 ，由 得 ， ，
所以 ， ，所以 ，解得 ．
故选：B．
2．（2020·黑龙江省高三其他（文））已知函数 ， ，
， ，…，依此类推， （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】解： ， ，
， ，
，…，由 ，
得 ，则 .
故选:A.
lny x= 1x = xy e b= +
b =
e−
lny x= 1y x
′ = | 11y x′ == ln1 0= lny x= 1x = 1y x= −
1y x= − xy e b= + 0 0( , )P x y xy e b= + exy′ = 0
0
| x
x xy e=′ =
0 1xe = 0 0x = 0
0 1y e b= − = + 2b = −
( ) π2 sin 4f x x = +
( ) ( )1f x f x′=
( ) ( )2 1f x f x′= ( ) ( )3 2f x f x′= 2020
π
4f =
2 2− 2±
( ) ( )1 2 cos 4f f x xx
π ′= = +
( ) ( )2 1 2 sin 4xf x f x
π +
′= −
=
( ) ( )3 2 2 cos 4xf x f x
π +
′= −
= ( ) ( )4 3 2 sin 4f x xf x
π += =
′
( ) ( )5 4 2 cos 4f x xf x
π += =
′ 2020 4 505= ×
( ) ( )42020 2 sin 4f x f x x
π = = + 2020
π 2 sin 24 2f
π = = 3．（2020·高三月考（文））已知 在 上是可导函数,则 的图象如图所示，
则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 的图像可知，在区间 上 ，在区间 ， .不等式
可化为 ，所以其解集为 .
故选：D
4．（2020·河北省衡水中学高三其他（文））已知函数 ，若关于 的不等式
在区间 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 ，当 时， ，令 ，则 ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以 .
当 时， ， ， ， ；
当 时， ，令 ，则 ，所以 .
( )f x R ( )f x
( )2 2 3 ( ) 0x x f x′− − >
( , 2) (1, )−∞ − +∞ ( , 2) (1,2)−∞ −
( , 1) ( 1,0) (2, )−∞ − ∪ − ∪ +∞ ( , 1) ( 1,1) (3, )−∞ − ∪ − ∪ +∞
( )f x ( ) ( ), 1 , 1,−∞ − +∞ ( )' 0f x > ( )1,1− ( )' 0f x <
( )2 2 3 ( ) 0x x f x′− − > ( ) ( ) ( )'3 1 0x x f x− ⋅ + ⋅ > ( , 1) ( 1,1) (3, )−∞ − ∪ − ∪ +∞
( ) 2
, 0
4 , 0
x xae x e xf x
x x a x
− − ≥= + − 0 1x≤ < ( ) 0g x′ < 1x >
( )y g x= [ )0,1 ( )1,+∞ ( )max
1 1g x e
= +
0x = ( ) 1g x = x → +∞ ( ) 1g x → 1a∴ ≤
4 0x− ≤ < 2 4a x x≥ + ( )22 4 2 4y x x x= + = + − max 0y = 0a ≥综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.
5．（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高二期中（文））函数 的图象与直线 相切，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，
由 得切点为（2，ln2），
代入 ，
得 ．
故选 A．
6．（2020·福建省高三其他（文））已知函数 （ ， 为自然对数的底数）与
的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
设 上一点 ， ，且 关于 轴对称点坐标为 ，
在 上
，有解，即 有解
令 ，则 ，
a [ ]0,1
( )ln 0y x x= > 1
2y x a= +
a
ln 2 1− ln 2 1+ ln 2 2ln 2
( ) 1'y x x
=
1 1
2x
=
1
2y x a= +
ln 2 1a = −
( ) 2g x a x= − 1 x ee
≤ ≤ e
( ) 2lnh x x= x a
2
11, 2e
+
21, 2e −
2
2
1 2, 2ee
+ −
)2 2,e − +∞
( )h x ( )0 0,2lnM x x 0
1 x ee
≤ ≤ M x ( )0 0, 2lnM x x′ − 0
1 x ee
≤ ≤
( )g x
2
0 0
12ln x a x x ee
∴− = − ≤ ≤
2
0 0
12lnx x a x ee
− = ≤ ≤
( ) 2 12lnf x x x x ee
= − ≤ ≤ ( ) ( )( )2 1 122 x xf x x x x
+ −′ = − = 1 x ee
≤ ≤当 时， ；当 时，
在 上单调递减；在 上单调递增
， ，
可得 图象如下图所示：
有解等价于 与 图象有交点
本题正确选项：
7．（2020·浙江省高三期末）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
∴ 1 ,1x e
∈
( ) 0f x′ < ( ]1,x e∈ ( ) 0f x′ >
( )f x∴ 1 ,1e
( ]1,e
( ) ( )min 1 1f x f∴ = = 2
1 1 2f e e
= +
( ) 2 2f e e= −
( )f x
2
0 0
12lnx x a x ee
− = ≤ ≤
y a= ( )y f x=
( ) ( )1f a f e∴ ≤ ≤ 21, 2a e ∴ ∈ −
B
2 lnx xy x
=C． D．
【答案】D
【解析】令 ,则 ,
所以函数 为偶函数,其图像关于 轴对称,故 不正确,
当 时, , ,
由 ,得 ,由 ,得 ,
所以 在 上递减,在 上递增,
结合图像分析, 不正确.
故选:D
8．（2020·黑龙江省高三其他（文））已知点 在直线 上，点 在曲线 上，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设与直线 平行的直线 的方程为 ，
∴当直线 与曲线 相切，且点 为切点时， 两点间的距离最小，
设切点 ，
，所以 ，
， ，
点 ，
2 ln | |( ) | |
x xf x x
=
2( ) ln | |( ) ( )| |
x xf x f xx
− −− = =−
( )f x y B
0x >
2 ln( ) lnx xf x x xx
= = ( ) 1 lnf x x′ = +
( ) 0f x′ > 1x e
> ( ) 0f x′ < 10 x e
< <
( )f x 1(0, )e
1( , )e
+∞
,A C
P 1y x= − Q 2 2x y=
PQ
1
4
1
8
2
2
2
4
1y x= − l y x m= +
l 2 2x y= Q ,P Q
( )0 0,Q x y
2 212 2x y y x= ⇔ = y x′ =
0 1x∴ = 0
1
2y∴ =
∴ 11, 2Q
直线 的方程为 ，
两点间距离的最小值为平行线 和 间的距离，
两点间距离的最小值为 .
故选：D．
9．（2020·江西省高三其他（文））下列四个命题中，正确的有（ ）
①两个变量间的相关系数 r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；
②命题“ ，使得 ”的否定是：“对 ，均有 ”；
③命题“ 为真”是命题“ 为真”的必要不充分条件；
④若函数 在 有极值 0，则 ， 或 ， .
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
对于①：相关系数 r 的绝对值越趋近于 1，相关性越强；越趋近于 0，相关性越弱，故①错误；
对于②，命题“ ，使得 ”的否定是：“对 ，均有 ”，故②错误；
对于③：若 为真，则 p、q 均为真命题，此时 为真，故命题“ 为真”是命题“ 为真”
的充分条件，故③错误；
对于④; ,因为 在 有极值 0，故 ，解得
，或 经检验，当 a=2,b=9 时， ，此时 在
处取得极小值，符合条件；当 a=1,b=3 时， 恒成立，此时 没有极
值点，故不符合条件；所以 a=2,b=9.故④错误.
故选:A
10．（2020·江西省高三其他（文））若函数 在其定义域上有两
个零点，则 的取值范围是（ ）
∴ l 1
2y x= −
,P Q∴ 1
2y x= − 1y x= −
,P Q∴
1 1 22
42
− +
=
x∃ ∈R 2 1 0x x+ + < x∀ ∈R 2 1 0x x+ + >
p g∧ p q∨
3 2 2( ) 3f x x ax bx a= + + + 1x= − 2a = 9b = 1a = 3b =
x∃ ∈R 2 1 0x x+ + < x∀ ∈R 2 1 0x x+ + ≥
p q∧ p q∨ p q∨ p q∨
2( ) 3 6′ = + +f x x ax b ( )f x 1x = − ( )
( )
21 3 1 0
1 3 6 0
f a b a
f a b
− = − + − = − = − + =′
2
9
a
b
=
=
1
3
a
b
=
=
2( ) 3 12 9 3( 1)( 3)f x x x x x′ = + + = + + ( )f x 1x = −
2 2( ) 3 6 3 3( 1) 0f x x x x′ = + + = + ≥ ( )f x
( ) ( ) ( )2 2 lnf x ax a x x a= + − − ∈R
aA． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ， .
（1）当 时，对任意的 ， ，
若 ，则 ；若 ，则 .
此时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
当 时， ；当 时， .
由于函数 在其定义域上有两个零点，
则 ，解得 ；
（2）当 时，令 ，可得 ， .
①若 ，即当 时，对任意的 ， 恒成立，
所以，函数 在定义域上单调递减，至多一个零点，不合乎题意；
②若 ，即当 时，
令 ，得 或 ；令 ，得 .
此时，函数 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 .
当 时， ；当 时， .
则有 或 ，
若 ，则 ，舍去；
( )( )4 ln 2 1 ,+ +∞ ( )(0,4 1 ln 2+
( ) ( ){ },0 4 1 ln 2−∞ + ( )( )0,4 ln 2 1+
( )y f x= ( )0, ∞+ ( ) ( ) ( )( )2 1 112 2 x axf x ax a x x
− +′ = + − − =
0a ≥ 0x > 1 0ax + >
10 2x< < ( ) 0f x′ < 1
2x > ( ) 0f x′ >
( )y f x= 10, 2
1 ,2
+∞
0x +→ ( )f x → +∞ x → +∞ ( )f x → +∞
( )y f x=
1 1 ln 2 02 4
af = + − +
0a < ( ) 0f x′ = 1
1
2x = 2
1x a
= −
1 1
2a
− = 2a = − 0x > ( ) 0f x′ ≤
( )y f x=
1 1
2a
− > 2 0a− < <
( ) 0f x′ < 10 2x< < 1x a
> − ( ) 0f x′ > 1 1
2 x a
< < −
( )y f x= 10, 2
1 ,a
− +∞
1 1,2 a
−
0x +→ ( )f x → +∞ x → +∞ ( )f x → −∞
1 1 ln 2 02 4
af = + − =
1 1 11 ln 0f a a a
− = − − − =
1 1 ln 2 02 4
af = + − =
( )4 ln 2 1a = +若 ，令 ，令 ，其中 .
.
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增.
所以， ，则方程 无解；
③若 ，即当 时，
令 ，得 或 ；令 ，得 .
此时，函数 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 .
当 时， ；当 时， .
则有 或 ，
若 ，则 ，舍去；
若 ，令 ，令 ，其中 .
，所以，函数 在区间 上单调递减，
所以， ，此时方程 无解.
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：A.
11．（2020·全国高三月考（文））若函数 与函数 有两条公切线，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
1 1 11 ln 0f a a a
− = − − − =
1t a
= − ( ) 1 lng t t t= + − 1
2t >
( ) 1 11 tg t t t
′ −= − =
1 12 t< < ( ) 0g t′ < ( )y g t=
1t > ( ) 0g t′ > ( )y g t=
( ) ( )min 1 2 0g t g= = > ( ) 0g t =
1 10 2a
< − < 2a < −
( ) 0f x′ < 10 x a
< < − 1
2x > ( ) 0f x′ > 1 1
2xa
− < <
( )y f x= 10, a
−
1 ,2
+∞
1 1, 2a
−
0x +→ ( )f x → +∞ x → +∞ ( )f x → −∞
1 1 ln 2 02 4
af = + − =
1 1 11 ln 0f a a a
− = − − − =
1 1 ln 2 02 4
af = + − =
( )4 ln 2 1a = +
1 1 11 ln 0f a a a
− = − − − =
1t a
= − ( ) 1 lng t t t= + − 10 2t< <
( ) 1 11 0tg t t t
−′ = − = < ( )y g t= 10, 2
( ) 1 3 ln 2 02 2g t g > = + >
( ) 0g t =
a ( )( )4 ln 2 1 ,+ +∞
( ) ( )ln 0 1f x x x= < ≤ ( ) 2g x x a= +
a
1ln 2 ,2
− − +∞
1 3ln 2 ,2 4
− − − C． D．
【答案】D
【解析】设公切线与函数 的图象切于点 ，
因为 ，所以 ，所以在点 处斜线的斜率 ，
所以切线方程为 ；
设公切线与函数 的图象切于点 ，
因为 ，所以 ，所以在 处点斜线的斜率 ，
所以切线方程为 ，
所以有 ，
因为 ，所以 ， ．又 ，
令 ，则 ，所以 ，
令 且 ，得 ；
令 且 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数.
所以函数 与函数 有两条公切线，
满足 ，即 ，
3ln 2, 4
− −
1 3ln 2 ,2 4
− − −
( ) lnf x x= ( )1 1,lnA x x ( )10 1x< ≤
( ) lnf x x= ( ) 1f x x
′ = ( )1 1,lnA x x 1 1
1
1( )k f x x
′= =
( )1 1
1
1lny x x xx
− = −
( ) 2g x x a= + ( )2
2 2,B x x a+
( ) 2g x x a= + ( ) 2g x x′ = ( )2
2 2,B x x a+ ( )2 22k g x x′= =
( ) ( )2
2 2 22y x a x x x− + = −
2
1
2
1 2
1 2
ln 1
xx
x x a
=
− = − +
10 1x< ≤ 2
1
1 2 1xx
= ≥
2
1
2x ≥ 2
2 2ln 2 1a x x= − + −
2
1 ,2t x = ∈ +∞
( ) 2 2ln 2 1 ln 2 ln 1h t t t t t= − + − = − − + − ( ) 22 1th t t
−′ =
( ) 0h t′ > 1
2t ≥ 2
2t >
( ) 0h t′ < 1
2t ≥ 1 2
2 2t≤ <
( )h t 1 2,2 2
2 ,2
+∞
( ) ( )ln 0 1f x x x= < ≤ ( ) 2g x x a= +
( )2 1
2 2h h t h
< ≤
( )1 3ln 2 2 4h t− − < ≤ −所以 ．
故选：D．
12．（2019·全国高三月考（文））定义在 上的函数 满足 ，且对任意的
都有 （其中 为 的导数），则下列一定判断正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，因为当 时，
，所以 ，则 在 上单调递增.
因为 ，即 ，
所以 ，所以 关于 对称，
则 ，因为 在 上单调递增，
所以 ，则有 ， ，
， ，所以 A、B、C 均错，
故选 D
二、填空题：本大题共 4 小题，共 20 分。
13．（2020·四川省成都七中高三其他（文））已知函数 为 的导函数，则
的值为__________.
【答案】3
【解析】
试题分析：
14．（2020·黑龙江省高三其他（文））函数 为奇函数，当 时，
1 3ln 2 ,2 4a ∈ − − −
R f x（ ） 4( 1) ( 2) ( )xe f x f x+ + = − 1x ≥
( ) 2 ( ) 0f x f x′ + > ( )f x′ f x（ ）
4e (2) (0)f f> 2e (3) (2)f f<
6e (3) ( 1)f f< − 10e (3) ( 2)f f< −
2( ) ( )xF x e f x= 2 2 2( ) 2e ( ) e ( ) e 2 ( ) ( )x x xF x f x f x f x f x′ ′ ′ = + = + 1x
2 ( ) ( ) 0f x f x′ + > ( ) 0( 1)F x x′ > F x（ ） [1, )+∞
4( 1) ( 2) ( )xe f x f x+ + = − 2( 2) 2( 2) e ( )x xe f x f x+ −+ = −
( 2) ( )F x F x+ = − F x（ ） 1x =
( 2) (4)F F− = F x（ ） [1, )+∞
0 2 3 1 4 2F F F F F F<
26e (3) e ( 1)f f−< − 10e (3) ( 2)f f< −
( ) (2 +1)e , ( )xf x x f x= ′ ( )f x (0)f ′
( ) (2 +3) , (0) 3.xf x x e f= ∴ ′ =′
( )( )f x x R∈ 0x >，则不等式 的解集为______.
【答案】
【解析】 ，由于 ，所以 为奇函数.
当 时， ， ， 为减函数，则 在
为减函数.
由于 ，由此画出 的大致图象如下图所示，
将 代入 得 ，所以 .
结合表格可知，当 时 .
所以不等式 的解集为 .
故答案为：
( ) ( )
l 0n x f xf x x
′ ⋅ + < ( ) 0f x >
( ),0−∞
( ) ( ) ( )ln 0F x f x x x= ⋅ ≠ ( ) ( ) ( )lnF x f x x F x− = − ⋅ = − ( )F x
0x > ( ) ( ) lnF x f x x= ⋅ ( ) ( ) ( )' ' ln 0f xF x f x x x
= ⋅ + < ( )F x ( )F x
( ),0−∞
( ) ( ) ( ) ( )1 1 ln1 0, 1 1 0F f F F= ⋅ = − = − = ( )F x
( ), 1−∞ − ( )1,0− ( )0,1 ( )1,+∞
( )F x + − + −
ln x + − − +
( )f x + + − −
1x = ( ) ( )
l 0n x f xf x x
′ ⋅ + < ( )1 0f < ( ) ( )1 1 0f f− = − >
0x < ( ) 0f x >
( ) 0f x > ( ),0−∞
( ),0−∞15．（2020·浙江省高三其他）已知函数 ，若对任意的 ，
总存在 ，使得 成立，则正整数 的最小值为_________．
【答案】2
【解析】由题意，函数 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
又由 ，所以 在 上的值域为 ，
又因为 ，则 ，
因为正整数 ，即 ，所以 时， ， 在 上单调递减，
又由 ，
所以 在 上的值域为 ，
若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
则 ，解得 ，又因为 ，所以 的最小值为 2．
故答案为：2.
16．（2020·滨海县八滩中学高三其他）已知函数 的图象上有且仅有两个不同的
点关于直线 的对称点在 的图象上，则实数 的取值范围是________．
3
2
2 7( ) , ( ) 31 8
xf x g x x axx
= = − ++ 1
1 1,2 2x ∈ −
2
1 1,2 2x ∈ −
( ) ( )1 2f x g x= a
2
2( ) 1
xf x x
= +
( )
( ) ( )
2 2
2 22 2
2 1 2 2 2 2( )
1 1
x x x xf x
x x
+ − ⋅ − +′ = =
+ +
1 1,2 2x ∈ − ( ) 0f x′ > ( )f x 1 1,2 2
−
5 5
1 4 1 4( ) , ( )2 2f f− = − = ( )f x 1 1,2 2
−
4 4,5 5
−
3 7( ) 3 8g x x ax= − + 2( ) 3 3 3( )( )g x x a x a x a′ = − = − +
a 1a ≥ 1 1,2 2x ∈ − ( ) 0g x′ < ( )g x 1 1,2 2
−
1 1 3 7 3 1 1 3 7 3 31 ,2 8 2 8 2 2 8 2 8 4 2
a a a ag g = − + = − − = − + + = +
( )g x 1 1,2 2
−
3 3 31 ,2 4 2
a a − +
1
1 1,2 2x ∈ − 2
1 1,2 2x ∈ −
( ) ( )1 2f x g x=
3 41 2 5
3 3 4
4 2 5
a
a
− ≤ −
+ ≥
6
5a ≥ *a N∈ a
( ) 2
ln 2 , 0
5 , 04
x x x x
f x
x x x
− >= + ≤
2y = − 3 0kx y− − = k【答案】
【解析】
【详解】
直线 关于直线 对称的直线 的方程为 ，即 ，对应
的函数为 .
所以，直线 与函数 的图象有两个交点.
对于一次函数 ，当 时， ，且 .
则直线 与函数 的图象交点的横坐标不可能为 .
当 时，令 ，可得 ，
此时，令 .
当 时， ，当 时， ；当 时， .
此时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
函数 的极小值为 ；
当 时， ，当 时， ；当 时， .
此时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
函数 的极大值为 .
作出函数 和函数 的图象如下图所示：
( )3, 1,4
−∞ +∞
3 0kx y− − = 2y = − l ( )4 3 0kx y− − − − = 1 0kx y+ + =
1y kx= − −
l ( )y f x=
1y kx= − − 0x = 1y = − ( )0 0f =
l ( )y f x= 0
0x ≠ ( )1kx f x− − = ( ) 1f xk x
+− =
( ) ( ) 1ln 2, 01
1 5 , 04
x xf x xg x x x xx
+ − >+ = =
+ + ( ) 2 2
1 1 1xg x x x x
−′ = − = 0 1x< < ( ) 0g x′ < 1x > ( ) 0g x′ >
( )y g x= ( )0,1 ( )1,+∞
( )y g x= ( )1 1g = −
0x < ( ) 2
2 2
1 11 xg x x x
−′ = − = 1x < − ( ) 0g x′ > 1 0x− < < ( ) 0g x′ <
( )y g x= ( ), 1−∞ − ( )1,0−
( )y g x= ( ) 31 4g − = −
y k= − ( )y g x=由图象可知，当 或 时，即当 或 时，直线 与函数 的图象有
两个交点.
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余每题 12 分共 70 分）
17．（2020·江苏省高二月考）已知函数 ， .
（1）求证：函数 的图象恒在函数 图象的上方；
（2）当 时，令 的两个零点 ， .求证： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）证明：构造函数 .
则 ，令 得
时 ， 时
在 为减函数，在 为增函数，
所以 ，即
故函数 的图象恒在函数 图象的上方.
（2）证明：由 有两个零点，
1k− < − 3
4k− > − 3
4k < 1k > y k= − ( )y g x=
k ( )3, 1,4
−∞ +∞
( )3, 1,4
−∞ +∞
( ) ( )1 lnf x x x= − ( ) 3lng x x x e
= − −
( )y f x= ( )y g x=
0m > ( ) ( ) ( )h x mf x g x= + 1x ( )2 1 2x x x< 2 1
1x x e e
− < −
( ) ( ) ( ) ( )3ln , 0h x f x g x x x x xe
= − = − + >
( ) ln 1 1 lnh x x x′ = + − = ( ) 0h x′ = 1x =
( )0,1x∴ ∈ ( ) 0h x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ <
( )h x∴ ( )0,1 ( )1,+∞
( ) ( ) 3 31 0 1 03
eh x h e
−> = − + = > ( ) ( )f x g x>
( )y f x= ( )y g x=
( ) ( ) ( ) ( ) 31 ln lnh x mf x g x m x x x x e
= + = − + − −当 时
则 在 为增函数，且 ，则当 时 ， 为减函数，当
时 ， 为增函数， ，
又 ，
.
在 和 上各有一个零点 ， ，
故 .
18．（2020·河南省高三月考（文））已知函数 在点 处的切线方程为
.
（1）求实数 的值；
（2）若存在 ，满足 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 实数 的值为 .
(2) .
【解析】详解：（1）函数 的定义域为 ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
又 ,
∴所求切线方程为 ，
即 .
又函数 在点 处的切线方程为 ，
0m > ( ) 1 1ln 1 1h x m x x x
′ = + − + −
( )h x′ ( )0, ∞+ ( )1 0h′ = ( )0,1x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )1,x∈ +∞
( ) 0h x′ > ( )h x ( ) ( )min
31 1 0h x h e
∴ = = − <
1 1 1 1 1 3 1 21 ln ln 1 1 0h m me e e e e e e e
= − + − − = − + − >
( ) ( ) 31 1 0h e m e e e
= − + − − >
( )h x∴ 1 ,1e
( )1,e 1x ( )2 1 2x x x<
2 1
1x x e e
− < −
( )
ln
xf x ax bx
= − + ( )( ),e f e
2y ax e= − +
b
2
0 ,x e e ∈ ( )0
1
4f x e≤ + a
b e
2
1 1 ,2 4e
− +∞
( )f x ( ) ( )0,1 1,∪ +∞
( )
ln
xf x ax bx
= − +
( ) 2
ln 1' ln
xf x ax
−= −
( )'f e a= −
( ) ef e ae b= − +
( ) ( )y e ae b a x e− − + = − −
y ax e b= − + +
( )f x ( )( ),e f e 2y ax e= − +∴ .
所以实数 的值为 .
（2）由题意得 ，
所以问题转化为 在 上有解.
令 ， ，
则 .
令 ，
则当 时，有 .
所以函数 在区间 上单调递减，
所以 .
所以 ，
所以 在区间 上单调递减.
所以 .
所以实数 的取值范围为 .
19．（2020·河北省高三一模（文））已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若不等式 对 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）
【解析】（1） ，
令 ，得 ，
b e=
b e
( ) 0
0 0
0
1
ln 4
xf x ax e ex
= − + ≤ +
1 1
ln 4a x x
≥ − 2,e e
( ) 1 1
ln 4h x x x
= − 2,x e e ∈
( ) 2
2 2 2 2
1 1 ln 4' 4 ln 4 ln
x xh x x x x x x
−= − = ( )( )
2 2
ln 2 ln 2
4 ln
x x x x
x x
+ −
=
( ) ln 2p x x x= −
2,x e e ∈ ( ) 1 1 1' 0xp x x xx
−= − = <
( )p x 2,e e
( ) ( ) ln 2 0p x p e e e< = − <
( )' 0h x <
( )h x 2,e e
( ) ( )2
2 2 2
1 1 1 1
ln 4 2 4h x h e e e e
≥ = − = −
a 2
1 1 ,2 4e
− +∞
3( ) xf x x e=
( )f x
2( )f x mx x∈R m
[ 3, )− +∞ ( , 3)−∞ − 1, e
∞ − −
2 3 2( ) 3 e e e ( 3)x x xf x x x x x′ = + = +
( ) 0f x′ ≥ 3x ≥ −则 的单调递增区间为 ；
令 ，得 ，
则 的单调递减区间为 .
综上所述： 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）当 时，不等式 即 ，显然成立.
当 时，不等式 对 恒成立，等价于 对 恒成立.
设 ，
令 ，得 ；
令 ，得 且 .
所以 .
所以 ，即 的取值范围为 .
20．（2020·广东省高三二模（文））已知 .
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
（1） 的定义域为
∵ ， ，
∴当 时， ； 时，
∴函数 在 上单调递减；在 上单调递增.
（2）当 时，
( )f x [ 3, )− +∞
( ) 0f x′ < 3x < −
( )f x ( , 3)−∞ −
( )f x [ 3, )− +∞ ( , 3)−∞ −
0x = 2( )f x mx 0x
0x ≠ 2( )f x mx x∈R xm xe x∈R
( ) ( 0), ( ) ( 1)x xg x xe x g x x e′= ≠ = +
( ) 0g x′ < 1x < −
( ) 0g x′ > 1x > − 0x ≠
min
1( ) ( 1)g x g e
= − = −
1m e
− m 1, e
∞ − −
( ) ln
xef x a x axx
= + −
0a < ( )f x
1a = − 1( ) ( ) 0xf x bx b e xx
+ − − − ≥ [1, )+∞ b
1[ , )e
+∞
( )f x ( )0,+∞
( ) ( )( )
2
1 xx e ax
f x x
− −
′ = 0a <
( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
1a = − ( ) 1 xf x bx b e xx
+ − − −
( )1 xb x e lnx= − −由题意， 在 上恒成立
①若 ，当 时，显然有 恒成立；不符题意.
②若 ，记 ，则 ,
显然 在 单调递增，
（i）当 时，当 时，
∴ 时，
（ii）当 ， ，
∴存在 ，使 .
当 时， ， 时，
∴ 在 上单调递减；在 上单调递增
∴当 时， ，不符合题意
综上所述，所求 的取值范围是
21．（2020·四川省高三其他（文））已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）当 时，若对任意 都有 成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由函数 ，可得 的定义域为 ，
当 时， 的导数 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
所以当 时， 取得最小值 .
( )1 0xb x e lnx− − ≥ [ )1,+∞
0b ≤ 1x ≥ ( )1 0xb x e lnx− − ≤
0b > ( ) ( )1 xh x b x e lnx= − − ( ) 1xh x bxe x
′ = −
( )h x′ [ )1,+∞
1b e
≥ 1x ≥ ( ) ( )1 1 0h x h be≥ = −′ ≥′
[ )1,x∈ +∞ ( ) ( )1 0h x h≥ =
10 b e
< < ( )1 1 0h be −′ = <
11 1 0bh e b eb
= − >
′ − >
0 1x > ( ) 0h x′ =
( )01,x x∈ ( ) 0h x′ < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0h x′ >
( )h x ( )01, x ( )0 ,x +∞
( )01,x x∈ ( ) ( )1 0h x h< =
b 1 ,e
+∞
( ) ( )lnf x x a x= + 2( ) 2
ag x x x= +
0a = ( )f x
0a ≤ 1x ≥ ( ) ( )f x g x≥
1
e
− 2a ≤ −
( ) ( )lnf x x a x= + ( )f x (0, )+∞
0a = ( )f x ( ) 1 lnf x x′ = +
( ) 0f x′ > 1x e
> ( ) 0f x′ < 10 x e
< <
( )f x 10, e
1,e
+∞
1x e
= ( )f x 1
e
−（2）令 ，
因为对于任意 都有 ，只须 在 上恒成立，
又由 ，且 ，
记 ，则 ，
由已知 ，所以对于任 ，都有 恒成立，
又因为 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
由 ，解得 ，
所以当 时，对任意 都有 成立.
22．（2020·广东省高三月考（文））已知函数 ．
（1）若不等式 对任意 恒成立，求实数 m 的取值范围；
（2）若函数 在区间 内存在极值，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
（1）函数 的定义域为 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
2( ) ( ) ( ) ( )ln ,( 1)2
aF x f x g x x a x x x x= − = + − − ≥
1x ≥ ( ) ( )f x g x≥ ( ) 0F x ≥ [1, )+∞
( ) ln aF x x axx
′ = + − (1) 0F ′ =
( ) ( ) ln ,( 1)aG x F x x ax xx
′= = + − ≥ 2
1( ) aG x ax x
′ = − −
0a ≤ 1x ≥ 2
1( ) 0aG x ax x
′ = − − >
(1) (1) 0G F ′= = ( )F x [1, )+∞
min ( ) (1) 12
aF x F= = − −
1 02
a− − ≥ 2a ≤ −
2a ≤ − 1x ≥ ( ) ( )f x g x≥
( ) ( )1 ln 0f x m x mx
= + >
( )f x m> 0x >
( ) ( )2g x x f x= − 1 ,22
( )0,1 92 2, 2
( ) 1 lnf x m xm
= + (0, )+∞ ( ) 2 2
1 1m mxf x x x x
−′ = − + =
( ) 0f x′ = ( )1 0x mm
= >
10,x m
∈
( ) 0f x′ < 1 ,x m
∈ +∞
( ) 0f x′ >
( )f x 10, m
1 ,m
+∞ 所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
依题意，可得 ，即 ，解得 ，
故所求实数 m 的取值范围是 ．
（2）由 ，其中 ，
可得 ，
因为函数 在区间 内存在极值，
所以方程 在区间 上有两个不等的实根，或一根在 区间内，另一根在区间
外，
即方程 在区间 上有两个不等的实根或一根在 区间内，另一根在区间
外，
所以 或 ，
解得 或 ，
当 时，方程 的根为 ， 也符合题意．
故所求实数 m 的取值范围是 ．
1x m
= ( )f x 1l1 nmf m m m
= +
1ln m m mm
+ > 1ln 0m m
> 0 1m< <
( )0,1
( ) ( ) 12 2 lng x x f x x m xx
= − = − − 1 22 x< <
( ) 2
2 2
1 2 12 m x mxg x x x x
− +′ = + − =
( )g x 1 ,22
( )' 0g x = 1 ,22
1 ,22
1 ,22
( ) 22 1 0h x x mx= − + = 1 ,22
1 ,22
1 ,22
( )
2 8 0
1 22 4
1 1 1 1 02 2 2
2 8 2 1 0
m
m
h m
h m
∆ = − >
<
= − + >
( ) ( )1 3 12 9 2 02 2 2h h m m ⋅ = − −
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