第39讲 圆与方程（解析版）2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）

第 39 讲 圆与方程 一、 考情分析 1、掌握确定圆的几何要素； 2、掌握圆的标准方程与一般方程. 二、 知识梳理 1.圆的定义和圆的方程 定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 圆心 C(a，b) 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 半径为 r 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标：(－D 2 ，－E 2) 方程 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 半径 r＝1 2 D2＋E2－4F 2.点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M 在圆外； (2)|MC|＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在圆上； (3)|MC|＜r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M 在圆内. [微点提醒] 1.圆心在坐标原点半径为 r 的圆的方程为 x2＋y2＝r2. 2.以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 三、 经典例题 考点一　圆的方程 【例 1】 (1)(一题多解)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为 ________________.(2)(一题多解)已知圆 C 的圆心在直线 x＋y＝0 上，圆 C 与直线 x－y＝0 相切，且在直线 x－y－3＝ 0 上截得的弦长为 6，则圆 C 的方程为________. 【答案】(1)x2＋y2－2x＝0　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝2 【解析】　(1)法一　设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则{F＝0， 1＋1＋D＋E＋F＝0， 4＋2D＋F＝0， 解得 D＝－2，E＝0，F＝0， 故圆的方程为 x2＋y2－2x＝0. 法二　设 O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则 kOA＝1，kAB＝－1，所以 kOA·kAB＝－1，即 OA⊥AB， 所以△OAB 是以角 A 为直角的直角三角形，则线段 BO 是所求圆的直径，则圆心为 C(1，0)，半 径 r＝1 2|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即 x2＋y2－2x＝0. (2)法一　∵所求圆的圆心在直线 x＋y＝0 上， ∴设所求圆的圆心为(a，－a). 又∵所求圆与直线 x－y＝0 相切， ∴半径 r＝2|a| 2 ＝ 2|a|. 又所求圆在直线 x－y－3＝0 上截得的弦长为 6，圆心(a，－a)到直线 x－y－3＝0 的距离 d＝ |2a－3| 2 ， ∴d2＋( 6 2 )2 ＝r2，即（2a－3）2 2 ＋3 2 ＝2a2，解得 a＝1， ∴圆 C 的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 法二　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线 x－y－3＝0 的距离 d＝ |a－b－3| 2 ， ∴r2＝（a－b－3）2 2 ＋( 6 2 )2 ，即 2r2＝(a－b－3)2＋3.① 由于所求圆与直线 x－y＝0 相切，∴(a－b)2＝2r2.② 又∵圆心在直线 x＋y＝0 上，∴a＋b＝0.③ 联立①②③，解得{a＝1， b＝－1， r＝ 2， 故圆 C 的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法三　设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为(－D 2 ，－E 2)，半径 r＝1 2 D2＋E2－4F， ∵圆心在直线 x＋y＝0 上，∴－D 2 －E 2 ＝0，即 D＋E＝0，① 又∵圆 C 与直线 x－y＝0 相切， ∴ |－D 2 ＋E 2| 2 ＝1 2 D2＋E2－4F， 即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)， ∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.② 又知圆心(－D 2 ，－E 2)到直线 x－y－3＝0 的距离 d＝ |－D 2 ＋E 2 －3| 2 ， 由已知得 d2＋( 6 2 )2 ＝r2， ∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③ 联立①②③，解得{D＝－2， E＝2， F＝0， 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋2y＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 规律方法　求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：① 圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点 与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 考点二　与圆有关的最值问题　 角度 1　斜率型、截距型、距离型最值问题 【例 2－1】 已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y x 的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值； (3)求 x2＋y2 的最大值和最小值.【解析】　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心， 3为半径的圆. (1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x ＝k，即 y＝kx. 当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k－0| k2＋1 ＝ 3，解得 k＝± 3(如图 1). 所以y x 的最大值为 3，最小值为－ 3. (2)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直线 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最 大值或最小值，此时|2－0＋b| 2 ＝ 3，解得 b＝－2± 6(如图 2). 所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6. (3)x2＋y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个 交点处取得最大值和最小值(如图 3). 又圆心到原点的距离为 （2－0）2＋（0－0）2＝2， 所以 x2＋y2 的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2 的最小值是(2－ 3)2＝7－4 3. 规律方法　把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转 化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (1)形如 m＝y－b x－a 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如 m＝ax＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如 m＝(x－a)2＋(y－b)2 的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 角度 2　利用对称性求最值 【例 2－2】 已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆 C1， C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A.5 2－4 B. 17－1 C.6－2 2 D. 17 【答案】A【解析】P 是 x 轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋ |PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作 C1 关于 x 轴的对称点 C′1(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋ |PC2|≥|C1′C2|＝5 2，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5 2－4. 规律方法　求解形如|PM|＋|PN|(其中 M，N 均为动点)且与圆 C 有关的折线段的最值问题的基本 思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； (2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 考点三　与圆有关的轨迹问题 【例 3】 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程. 【解析】　(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2，2y). 因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2). (2)设 PQ 的中点为 N(x，y). 在 Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|. 设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以 x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0. 规律方法　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. [方法技巧] 1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指 根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算. 3.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程. 4.熟练掌握配方法，能把圆的一般方程化为标准方程. 四、 课时作业 1．圆 的半径为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，圆 ，可化为 ，所以 ，故选 B． 2．设 ，则以线段 为直径的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 的中点坐标为 ，圆的半径为 ， 所以圆的方程为 . 3．圆心在 轴上，半径为 1，且过点 的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆心在 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为 ，则圆的方程为 ，又点 在圆上，所以 ，解得 . 4．已知圆的一条直径的端点分别是 ， ，则此圆的方程是（ ） A． B． C． D． 2 2 2 1x y y+ + = 1 2 2 4 2 2 2 1x y y+ + = 2 2( 1) 2x y+ + = 2R = (2, 1), (4,1)A B− AB 2 2( 3) 2x y− + = 2 2( 3) 8x y− + = 2 2( 3) 2x y+ + = 2 2( 3) 8x y+ + = AB (3,0) 2 2(2 4) ( 1 1)| | 22 2 ABr − + − −= = = 2 2( 3) 2x y− + = y ( )1 2， ( )22 2 1x y+ − = ( )22 2 1x y+ + = ( ) ( )2 21 3 1x y− + − = ( )22 3 1x y+ − = y ( )0,b 2 2( ) 1x y b+ − = ( )1 2， ( )21 2 1b+ − = 2b = ( )0,0A ( )2,4B ( ) ( )2 21 2 5x y− + − = ( ) ( )2 21 2 25x y− + − = ( )2 25 5x y− + = ( )2 25 25x y− + =【答案】A 【解析】 直径两端点为 圆心坐标为 圆的半径 ， 圆的方程为： . 5．若方程 表示圆，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题 ，则 解得 6．圆 是心直线 的定点为圆心，半径 ，则圆 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 有 ，所以直线过定点 ，则所求 圆的方程为 ，故选择 A. 7．圆的方程为 ，则圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将 配方,化为圆的标准方程可得 , 即可看出圆的圆心为 . 8．圆心为 ，半径为 5 的圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D  ( ) ( )0,0 , 2,4 ∴ ( )1,2 ( ) ( )2 2 51 0 2 0r = − + − = ∴ ( ) ( )2 21 2 5x y− + − = 2 2 2 0x y a+ + = a 0a < 0a = 0a ≤ 0a > 2 2 2x y a+ = − 2 0a− > 0a < 2 2 2 10 0x y x y+ + + − = (1, 1)− 1( , 1)2 − ( 1,2)− 1( , 1)2 − − 2 2 2 10 0x y x y+ + + − = ( )2 21 1 451 1 102 4 4x y + + + = + + =   1( , 1)2 − − ( )3,1 ( ) ( )2 23 1 5x y+ + + = ( ) ( )2 23 1 25x y+ + + = ( ) ( )2 23 1 5x y− + − = ( ) ( )2 23 1 25x y− + − =【解析】∵所求圆的圆心为 ，半径为 5， ∴所求圆的标准方程为： ， 9．圆 的圆心和半径分别是（ ）． A． ，4 B． ，4 C． ，2 D． ，2 【答案】C 【解析】 ,即为 ，∴圆的圆心为 ，半径为 2， 10．过点 ，且圆心在直线 上的圆的方程是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线 上，排除 B、D， 点 在圆上，排除 A 11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 A： ，点 B(3，0)，过动点 P 引圆 A 的切线，切点为 T．若 PT＝ PB，则动点 P 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 P(x，y)，∵PT＝ PB，∴PT2＝2PB2 ∴ 整理得： . 12．若 是圆的方程，则实数 k 的取值范围是（） A．k 【答案】B ( )3,1 ( ) ( )2 23 1 25x y− + − = ( ) ( )2 22 3 4x y− + + = ( )2, 3− ( )2,3− ( )2, 3− ( )2,3− ( ) ( )2 22 3 4x y− + + = ( ) ( )2 2 22 ( 3) 2x y− + − − = ( )2, 3− ( ) ( )1, 1 , 1,1A B− − 2 0x y+ − = ( ) ( )2 23 1 4x y− + + = ( ) ( )2 23 1 4x y+ + − = ( ) ( )2 21 1 4x y− + − = ( ) ( )2 21 1 4x y+ + + = 2 0x y+ − = ( )1,1B − 2 2( 1) 1x y− + = 2 2 2 14 18 0x y x+ − + = 2 2 14 18 0x y x+ + + = 2 2 10 18 0x y x+ − + = 2 2 10 18 0x y x+ + + = 2 2 2 2 2( 1) 1 2[( 3) ]x y x y− + − = − + 2 2 10 18 0x y x+ − + = 2 2 2 0x y x y k+ − + + = 5 4 3 2 3 2【解析】 是圆的方程,则有 故选 B 13．方程 x2+y2+ax﹣2by+c＝0 表示圆心为 C（2，2），半径为 2 的圆，则 a，b，c 的值依次为（ ） A．4、2、4 B．﹣4、2、4 C．﹣4、2、﹣4 D．4、﹣2、﹣4 【答案】B 【解析】x2+y2+ax﹣2by+c＝0 可化为： ，解得 14．已知点 为圆 : 上的一点，则 的最大值是（ ） A．2 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【解析】由圆的方程可知圆心为 ，半径为 1. 可看作点 距离的平方即 ， 又 即 ，故 的最大值为 16，故选：D. 15．当点 在圆 上变动时，它与定点 的连线 的中点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 中点的坐标为 ，则 ， 因为点 在圆 上，故 ，整理得到 . 16．已知直线 ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆 x2＋y2－2y－5＝0 的圆心，则 ＋ 的最小值是（ ） A．9 B．8 C．4 D．2 【答案】A 2 2 2 0x y x y k+ − + + = 2 2 5( 2) 1 4 0, 4k k− + − > 0，所以 ＋ ≥2 ＝4. 当且仅当 ＝ 时等号成立． 由此可得 b＝2c，且 b＋c＝1，即 b＝ ， c＝ 时， ＋ 取得最小值 9. 17．已知半径为 1 的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】设圆心 ，则 ， 化简得 ， 所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1 为半径的圆， 所以 ，所以 ， 当且仅当 在线段 上时取得等号，故选：A. 18．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个 有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营， 4 b 1 c 4 b 1 c 4c b b c 4c b b c 4c b b c ⋅ 4c b b c 2 3 1 3 4 b 1 c (3,4) ( ),C x y ( ) ( )2 23 4 1x y− + − = ( ) ( )2 23 4 1x y− + − = C (3,4)M | | 1 | |OC OM+ ≥ 2 23 4 5= + = | | 5 1 4OC ≥ − = C OM怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，若将军从点 处出 发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最 短总路程为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题点 和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧， 设点 关于直线 的对称点 ， 中点 在直线 上， 解得： ，即 ，设将军饮马点为 ，到达营区点为 ，则总路程 ，要使路程最短，只需 最短，即点 到军营的最短距离，即点 到 区域的最短距离为： 19．设点 为圆 上的任意一点，点 ，则线段 长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点 ，则 ，化简可得： 即点 在直线 上， 圆 的圆心 到直线 的距离为 ， 则线段 长度的最小值为 20．如图，矩形 ABCD 中， ， ，M，N 分别为边 BC，CD 上的动点，P 为 MN 的中点，且 .则 AP 长度的最小值为（ ） 2 2 2x y+ ≤ ( )3,0A 4x y+ = 2 5 17 2− 17 3 2− ( )3,0A ( )3,0A 4x y+ = ( , )A a b′ AA′ 3( , )2 2 a bM + 4x y+ = 3 42 2 0 13 a b b a + + = − = − 4 1 a b =  = (4,1)A′ P B PB PA PB PA′+ = + PB PA′+ A′ A′ 2 2 2x y+ ≤ 2 17 2OA′ − = − P 2 2:( 1) 4C x y− + = (2 , 3)Q a a − ( )a R∈ PQ 5 2+ 5 5 2− 5 1− ( ),Q x y 2 , 3x a y a= = − 2 6 0x y− − = Q 2 6 0x y− − = C ( )1,0 2 6 0x y− − = 1 0 6 5 1 4 d − −= = + PQ 5 2− 4AB = 3AD = 2MN =A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】以 为 轴，以 为 轴建立直角坐标系， 设 ， ， 表示以 为圆心，半径为 2 的圆上的点， 表示圆上的点到 距离的一半， 到 的距离为 ， . 21．（多选题）已知曲线 .（ ） A．若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B．若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为 C．若 mn0，则 C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】对于 A，若 ，则 可化为 ， 13 3 2 2 5 AB x AD y ( )4,M y ( ),3N x 4 3,2 2 x yP + + ∴    ( ) ( )2 22 4 3 4MN x y∴ = − + − = ( ),x y\ ( )4,3 ( ) ( )2 2 2 24 3 1 4 32 2 2 x yAP x y + +   = + = + + +       ∴ AP ( )4, 3− −  ( )4, 3− − ( )4,3 ( ) ( )2 24 4 3 3 10- - + - - = min 10 2 42AP -\ = = 2 2: 1C mx ny+ = n my xn = ± − 0m n> > 2 2 1mx ny+ = 2 2 11 1 x y m n + =因为 ，所以 ， 即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确； 对于 B，若 ，则 可化为 ， 此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故 B 不正确； 对于 C，若 ，则 可化为 ， 此时曲线 表示双曲线， 由 可得 ，故 C 正确； 对于 D，若 ，则 可化为 ， ，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确； 22．（多选题）瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直 线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点 B(－1，3)，点 C(4，－2)，且 其“欧拉线”与圆 M： 相切，则下列结论正确的是（ ） A．圆 M 上点到直线 的最小距离为 2 B．圆 M 上点到直线 的最大距离为 3 C．若点（x，y）在圆 M 上，则 的最小值是 D．圆 与圆 M 有公共点，则 a 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】由 AB＝AC 可得△ABC 外心、重心、垂心均在线段 BC 的垂直平分线上，即△ABC 的“欧拉线”即为线 段 BC 的垂直平分线， 由点 B(－1,3)，点 C(4,－2)可得线段 BC 的中点为 ，且直线的 BC 的斜率 ， 0m n> > 1 1 m n < C y 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1x y n + = C n n 0mn < 2 2 1mx ny+ = 2 2 11 1 x y m n + = C 2 2 0mx ny+ = my xn = ± − 0, 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 1y n = ny n = ± C x 2 2 2( 3)x y r− + = 3 0x y− + = 2 3 0x y− + = 2 3x y+ 3 2 2− 2 2( 1) ( ) 8x a y a− − + − = [1 2 2,1 2 2]− + 3 1,2 2      3 2 11 4BCk += = −− −所以线段 BC 的垂直平分线的斜率 ， 所以线段 BC 的垂直平分线的方程为 即 ， 又圆 M： 的圆心为 ，半径为 ， 所以点 到直线 的距离为 ， 所以圆 M： ， 对于 A、B，圆 M 的圆心 到直线 的距离 ，所以圆上的点到直线 的最小距离为 ，最大距离为 ，故 A 正确，B 错误； 对于 C，令 即 ，当直线 与圆 M 相切时，圆心 到直线的距离 为 ，解得 或 ，则 的最小值是 ，故 C 正确； 对于 D，圆 圆心为 ，半径为 ，若该圆与圆 M 有公共点，则 即 ，解得 ，故 D 正 确. 23．（多选题）已知圆 的一般方程为 ，则下列说法正确的是（ ） A．圆 的圆心为 B．圆 被 轴截得的弦长为 8 C．圆 的半径为 5 D．圆 被 轴截得的弦长为 6 【答案】ABCD 【解析】由圆 的一般方程为 ，则圆 ， 故圆心为 ，半径为 ，则 AC 正确； 令 ，得 或 ，弦长为 6，故 D 正确； 令 ，得 或 ，弦长为 8，故 B 正确. 1k = 1 3 2 2y x− = − 1 0x y− − = 2 2 2( 3)x y r− + = ( )3,0 r ( )3,0 1 0x y− − = 3 1 2 2 r − = = 2 2( 3) 2x y− + = ( )3,0 3 0x y− + = 3 3 3 2 2 d += = 3 0x y− + = 3 2 2 2 2− = 3 2 2 4 2+ = 3z x y= + 3 0x y z+ − = 3 0x y z+ − = ( )3,0 3 22 z− = 3 2 2z = + 3 2 2z = − 3x y+ 3 2 2− 2 2( 1) ( ) 8x a y a− − + − = ( )1,a a+ 2 2 ( )2 22 2 2 1 3 2 2 2a a− ≤ + − + ≤ + ( )2 22 2 18a a≤ − + ≤ 1 2 2 1 2 2a− ≤ ≤ + M 2 2 8 6 0x y x y+ − + = M ( )4, 3− M x M M y M 2 2 8 6 0x y x y+ − + = 2 2 2: ( 4) ( 3) 5M x y− + + = (4, 3)− 5 0x = 0y = 6y = − 0y = 0x = 8x =24．（多选题）以直线 与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】解：令 ，则 ；令 ，则 .所以设直线 与两坐标轴的交点分别为 . , 以 为圆心，过 点的圆的方程为： .以 为圆心，过 点的圆的方程为： . 25．（多选题）下列说法中正确的是（ ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．方程 能表示平面内的任何直线 C．圆 的圆心为 ，半径为 D．若直线 不经过第二象限，则 t 的取值范围是 【答案】BD 【解析】对于 ，若两条直线均平行于 轴，则两条直线斜率都不存在， 错误； 对于 ，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为 ，为直线两点式方程；当直线平行于 轴， 则原方程可化为 ；当直线平行于 轴，则原方程可化为 ； 综上所述：方程 能表示平面内的任何直线， 正确； 对于 ，圆的方程可整理为 ，则圆心为 ， 错误； 对于 ，若直线不经过第二象限，则 ，解得： ， 正确. 26．设圆的方程为 （1）求该圆的圆心坐标及半径. 2 4 0x y+ − = 2 2( 4) 20x y+ − = 2 2( 4) 20x y− + = 2 2( 2) 20x y+ − = 2 2( 2) 20x y− + = 0x = 4y = 0y = 2x = 2 4 0x y+ − = ( ) ( )0,4 , 2,0A B 2 22 4 2 5AB = + = A B ( )22 4 20x y+ − = B A ( )2 22 20x y− + = ( )( ) ( )( )2 1 1 2 1 1x x y y y y x x− − = − − 2 2 2 4 0x y x y+ + − = ( )1, 2− 5 ( )2 3 2 0t x y t− + + = 30, 2      A y A B 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x − −=− − x 1y y= y 1x x= ( )( ) ( )( )2 1 1 2 1 1x x y y y y x x− − = − − B C ( ) ( )2 21 2 5x y+ + − = ( )1,2− C D 2 3 02 02 t t −− ≥ − ≤ 30 2t≤ ≤ D 2 2 4 5 0x y x+ − − =（2）若此圆的一条弦 AB 的中点为 ，求直线 AB 的方程. 【解析】（1）由圆的方程为 则 所以可知圆心 ，半径 （2）由弦 的中垂线为 ,则 所以可得 ， 故直线 AB 的方程为： 即 27．已知圆心为 C（4，3）的圆经过原点 O． （1）求圆 C 的方程； （2）设直线 3x﹣4y+15＝0 与圆 C 交于 A，B 两点，求△ABC 的面积． 【解析】解：（1）圆 C 的半径为 ， 从而圆 C 的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25； （2）作 CD⊥AB 于 D，则 CD 平分线段 AB， 在直角三角形 ADC 中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3， 所以 ， 所以|AB|＝2|AD|＝8， 所以△ABC 的面积 ． (3,1)P 2 2 4 5 0x y x+ − − = ( )2 22 9x y− + = ( )2,0C 3r = AB CP 1 0 13 2CPk −= =− 1ABk = − ( )( )1 1 3y x− = − − 4 0x y+ − = 2 23 4 5OC = + = 2 2| | 4AD AC CD= − = 1 122S AB CD= =28．已知动点 到两定点 ， 的距离之比为 ． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）过曲线 上任意一点 作与直线 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值和 最小值． 【解析】解：（1）设 ，由题意知 ， 化简得 ， ∴ ． 即动点 的轨迹 的方程为 ． （2）记圆 上任意一点 到直线 的距离为 ，因为直线 与直线 夹角为 ，所以 ． ∵圆心 到直线 的距离为 ，且圆 的半径为 2， ∴ ， ， ∴ ， ． M 11A( ，) ( )2,2B 1 2 M C C P : 2 6 0l x y+ − = 30° l Q PQ ( , )M x y 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 2( 2) ( 2) x y x y − + − = − + − 2 2 2 22( 1) 2( 1) ( 2) ( 2)x y x y− + − = − + − 2 2 4x y+ = M C 2 2 4x y+ = C P l d PQ l 30° | | 2PQ d= ( )0,0C l 6 6 5 55 = C max 6 5 25d = + min 6 5 25d = − max 12 5| | 45PQ = + min 12 5| | 45PQ = −