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课堂 10 分钟达标练
1.过椭圆 +y2=1 的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于 A，B 两点，则|AB|等于
( )
A.4 B.2 C.1 D.4
【解析】选 C.因为 +y2=1 中 a2=4，b2=1，
所以 c2=3，所以右焦点坐标 F( ，0)，
将 x= 代入 +y2=1 得，y=± ，故|AB|=1.
2.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
【解析】选 A.直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆
相交.
3.椭圆 + =1 中，以点 M(-1，2)为中点的弦所在的直线斜率为 ( )
A. B. C. D.-
【解析】选 B.设弦的两个端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①-②得
+ =0，
又因为弦中点为 M(-1，2)，
所以 x1+x2=-2，y1+y2=4，
所以 + =0，所以 k= = .
4.已知点 M( ，0)，椭圆 +y 2=1 与直线 y=k(x+ )交于点 A，B，则△ABM 的周长为
________.
【解析】因为直线过椭圆的左焦点(- ，0)，所以△ABM 的周长为|AB|+|AM|+|BM|=4a=8.
答案：8
5.设椭圆 C： + =1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为 .
(1)求 C 的方程.
(2)求过点(3，0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标.
【解析】(1)将(0，4)代入 C 的方程得 =1，所以 b=4.
又由 e= = ，得 = ，
即 1- = ，所以 a=5.
所以 C 的方程为 + =1.
(2)过点(3，0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3).
设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程，得
+ =1，即 x2-3x-8=0，
x1+x2=3.
设线段 AB 的中点坐标为(x′，y′)，
则 x′= = ，
y′= = (x1+x2-6) =- ，
即中点坐标为 .
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