专题三 函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·四川泸州�高三其他（文））已知函数 ，若 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断函数的单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】
解：因为 ，当 时， 在定义域上单调递增，且 ，当
时 ，要使 ，则 解得 ，即
故选：C
【点睛】
本题考查分段函数的性质的应用，属于中档题.
2．（2020·湖南省高三月考）函数 的图象大致是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
ln( 1), 0( ) 0, 0
x xf x x
+ ≥= 3 ,2x ∈ +∞
2 1( ) ln( 4) xf x x e −= + −【分析】
首先通过特殊值 排除 ，再根据零点存在定理，可知 在 时存在零点，排除 ，可得结
果.
【详解】
当 时， 选项可排除
当 时，
可知 ，故 在 上存在零点， 选项可排除
本题正确选项：
【点睛】
本题考查由解析式判断函数图像，解决此类问题通常采用排除法，通过单调性、奇偶性、特殊值、零点的
方式排除错误选项，得到最终结果.
3．（2020·通榆县第一中学校高二期末（文））设 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分 和 两种情况解方程 ，可得出实数 的值.
【详解】
，当 时，令 ，解得 ；
当 时，令 ，解得 .
综上， 或 .
0x = ,C D ( )f x 0x > A
0x = ( ) 10 ln 4 0f e
= − > ,C D⇒
3x = ( ) 223 ln13 ln13 ln ef e e= − = −
2 2 42 2 16e ee > > =
2
ln ln16ee∴ >
( ) 2
3 ln13 ln 0ef e∴ = − <
( ) ( )0 3 0f f⋅ < ( )f x ( )0,3 A
B
( ) ( )
,0 1
2 1 , 1
x xf x
x x
<
−
(0, )+∞
D 2y x
= { | 0}y y ≠
( ) 13 1f x x x
= + + +
{ | 3x x ≥ − }1x ≠ − { 3x x − }1x ≠ − { }1|x x ≥ −
{ }| 3x x ≥ −
3 0
1 0
x
x
+ ≥
+ ≠
3x ≥ − 1x ≠ −
A
( )2 1f x + ( )2,0− ( )f x
( )2,0− ( )4,0− ( )3,1− 1 ,12
− 【分析】
由函数 的定义域为 ，得 ，求出 的取值范围作为函数 的定义域.
【详解】
的定义域为 ，即 ， ，
所以，函数 的定义域为 ，故选 C.
【点睛】
本题考查抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下两点：
（1）函数的定义域指的是自变量的取值范围；
（2）对于函数 和 的定义域的求解， 和 的值域相等，由此列不等式求出 的
取值范围作为函数的定义域.
10．（2020·湖南省高三月考）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 中心对称
B．函数 在 上是增函数
C．函数 的图象关于直线 x＝1 对称
D．函数 的图象上至少存在两点 A，B，使得直线 AB//x 轴
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意分离常数得 ，结合函数图象的变换可画出函数的图象，数形结合逐项判断即可得解.
【详解】
由题意 ，
则该函数的图象可由函数 的图象向右平移一个单位，再向上平移两个单位得到，如图，
( )2 1f x + ( )2,0− 2 0x− < < 2 1x + ( )f x
( )2 1f x + ( )2,0− 2 0x− < < 3 2 1 1x∴− < + <
( )f x ( )3,1−
( )f g x ( )f h x ( )g x ( )h x x
2( ) 1
xf x x
= −
( )f x (1,2)
( )f x ( ,1)−∞
( )f x
( )f x
2( ) 2 1f x x
= + −
2 2( ) 21 1
xf x x x
= = +− −
2y x
=由图象可得：
函数 的图象关于点 中心对称，故 A 正确；
函数 在 上是减函数，故 B 错误；
函数 的图象不关于直线 x＝1 对称，故 C 错误；
函数 的图象上不存在两个点的纵坐标相同，所以不存在两点 A，B，使得直线 AB//x 轴，故 D 错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数图象的变换及应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题.
11．（2020·安徽庐阳�高二开学考试）若函数 的最小值3，则实数 的值为
（ ）
A．5 或 8 B． 或 5 C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，①当 时，即 ， ，则当 时，
，解得 或 （舍）；②当 时，即 ，
( )f x (1,2)
( )f x ( ,1)−∞
( )f x
( )f x
( ) 1 2f x x x a= + + + a
1− 1− 4− 4− 8
1 2
a− > − 2a >
3 (1 ), 2
( ) { 1, 12
3 ( 1), 1
ax a x
af x x a x
x a x
− − + ≤ −
= + − − < ≤ −
+ + > −
2
ax = −
min ( ) ( ) 1 32 2
a af x f a a= − = − + + − + = 8a = 4a = − 1 2
a− < − 2a −
2
ax = − min ( ) ( ) 1 32 2
a af x f a a= − = − + + − + = 8a =
4a = − 1 2
a− = − 2a = ( ) 3 1f x x= + min ( ) 0f x = 8a =
4a = −
R ( )f x ( )f x¢
[ )0,x∈ +∞ ( ) ( )2xf x f x> −′ ( ) ( )2g x x f x= ( ) ( )2 1g x g x< −
( ), 1−∞ − 1, 3
−∞
11, 3
−
( ) 1, 1 ,3
−∞ − +∞
[ )0,x∈ +∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 (2 ) 0g x xf x x f x x f x xf x= + = ′+′ >′ ( ) ( )2g x x f x=
( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 1 2 1 2 1 3 2 1 0 1 3g x g x g x g x x x x x x< − ⇔ < − ⇔ < − ⇔ + − < ⇔ − < <
( ) ( )f x f x′ < ( )( ) x
f xg x e
= ( ) ( ) 0f x f x′ + <
( ) ( )xg x e f x= ( ) ( )xf x f x′ < ( )( ) f xg x x
= ( ) ( ) 0xf x f x′ + < ( ) ( )g x xf x=
2 1y x= + 1y x= + 1
2y x= 3y x=【分析】
选项中所涉及到的函数既是奇函数又是增函数的才能符合条件，要从这两个方面进行判断，这两个方面可
以借助于图象，也可以直接利用奇函数的定义和函数单调性的判定方法进行求解.
【详解】
选项 A 中，设函数 ， ，函数 是偶函数，不符合题意；
选项 B 中，设函数 ， ，则函数 为非奇非偶函数，选项 B 不符合题意；
选项 C 中，函数 的定义域为 ，则 为非奇非偶函数，选项 C 不符合题意；
选项 D 中， 是单调递增且满足 ，则 是奇函数，符合条件.
故选 D.
【点睛】
本题重点考查常见函数的单调性和奇偶性，注意它们的判定方法，属基础题.
14．（2020·通榆县第一中学校高二期末（文））已知 是定义在 R 上的偶函数，并满足：
，当 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由 ，证明函数为周期为 4 的周期函数，再利用周期性和对称性，将 转化到
时求解.
【详解】
，
，
，即函数 的一个周期为 4．
．
( )y f x= ( ) ( )f x f x− = 2 1y x= +
( )y f x= ( ) ( )f x f x− ≠ ± 1y x= +
1
2y x= [0, )+∞ 1
2y x=
3y x= ( ) ( )f x f x− = − 3y x=
( )f x
( ) ( )
12f x f x
+ = − 2 3x≤ ≤ ( )f x x= ( )5.5f =
5.5 5.5− 2.5− 2.5
( ) ( )
12f x f x
+ = − ( )5.5f
2 3x≤ ≤
( ) ( )
12f x f x
+ = −
( ) ( )
( )
( )1 14 12f x f xf x
f x
∴ + = − = − =+ −
( ) ( )4f x f x∴ + = ( )f x
( ) ( ) ( )5.5 1.5 4 1.5f f f∴ = + =是定义在 R 上的偶函数，
．
当 ， ，
．
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了函数的周期性和函数的奇偶性，还考查转化求解问题的能力，属于中档题．
15．（2020·全国高三其他（理））已知 是定义在 上的偶函数，对任意 都有 ，
且 ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数 是偶函数和对称性求出函数的周期，再化简计算得出 的值．
【详解】
由 ，知 为周期函数，且周期 ，则
．
故选:A
【点睛】
本题考查函数的性质，涉及到奇偶性，对称性和周期性，考查学生逻辑推理能力，属于中档题．
16．（2020·黑龙江萨尔图�高三开学考试（文））函数 的图象大致是（ ）
( )f x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5.5 1.5 1.5 1.5 4 2.5f f f f f∴ = = − = − + =
2 3x≤ ≤ ( )f x x=
( )2.5 2.5f∴ =
( )5.5 2.5f∴ =
( )f x R x∈R ( ) ( )3f x f x= −
( )2 4f = ( )2020f
( )f x ( )2020f
( ) ( ) ( )3 3f x f x f x= − = − ( )f x 3T =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2020 3 673 1 1 1 2 4f f f f f= × + = = − = =
( ) sin lnf x x x x= −A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据函数的奇偶性排除 A，C 选项，再根据函数在 上的单调性排除 D.
【详解】
， 为偶函数，排除 A，C 选项；
当 时， ， ，排除 D 选项，故选 B．
故选 B
【点睛】
本题考查函数图象的辨别，可以利用函数的定义域、单调性及奇偶性来排除选项，属于基础题.
17．（2020·全国高三其他（文））已知函数 为奇函数，且 ，则
（ ）
A． B．7 C．0 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 为奇函数，可求得 a，b 的值，代入所求，即可得结果.
(0,1)
( ) sin( ) ln sin ln ( )f x x x x x x x f x− = − − − − = − = ( )f x∴
(0,1)x∈ sin 0,ln 0x x x> < ( ) 0f x∴ >
( )f x ( ) ( )
3
2
3
2
, 0,
,4 , 0
ax xxf x a b R
bx xx
− +
( )2 =f −
7−
( )f x【详解】
当 时， ， ，又 是奇函数，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查奇函数定义的应用，分段函数求值问题，考查计算化简的能力，属基础题.
18．（2020·湖北黄石港�黄石一中高二期末）已知三个函数 y=x3，y=3x， ，则( )
A．定义域都为 R B．值域都为 R
C．在其定义域上都是增函数 D．都是奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据各选项性质对每个函数进行判断，
【详解】
函数 的定义域为（0，+∞），即 A 错误；
函数 y=3x 的值域是（0，+∞），即 B 错误；
函数 y=3x 和 是非奇非偶函数，即 D 错误，
三个函数在定义域内都是增函数，只有 C 正确．
故选：C.
【点睛】
本题考查指数函数、对数函数、幂函数的性质，掌握三个基本初等函数的性质是解题基础．
19．（2020·上海高一开学考试）函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
0x > 0x− < ( ) 3
2
af x x x
− = + ( )f x ( ) ( ) 3 3
2 2
4af x f x x bxx x
= − − = − − = +
4a = − 1b = −
( )
3
2
3
2
4 , 0,
4 , 0,
x xxf x
x xx
− −
( ) ( ) ( )
3
2
42 2 8 1 7
2
f − = − − − = − =
−
3logy x=
3logy x=
3logy x=
( )f x ( ),−∞ +∞ ( )1 1f = −
1 ( 2) 1f x− ≤ − ≤ xA． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由奇函数的性质可得出 ，由此可将所求不等式化为 ，由函数
在 上的单调性可得出关于 的不等式，解出即可.
【详解】
解：由函数 为奇函数，得 ，
不等式 即为 ，
又 在 单调递减，所以得 ，即 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，在解函数不等式时，要将不等式转化为 ，
借助函数的单调性脱去 ，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．（2020·全国高三课时练习（理））若 a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】
【分析】
本题也可用直接法，因为 ，所以 ，当 时， ，知 A 错，因为 是增
函数，所以 ，故 B 错；因为幂函数 是增函数， ，所以 ，知 C 正确；取
，满足 ， ，知 D 错．
【详解】
取 ，满足 ， ，知 A 错，排除 A；因为 ，知 B 错，排除 B；取
，满足 ， ，知 D 错，排除 D，因为幂函数 是增函数， ，所以
，故选 C．
[ ]2 2− , [ ]1,1− [ ]0,4 [ ]1,3
( )1 1f − = ( ) ( ) ( )1 1 1f f x f≤ − ≤ − ( )y f x=
( ),−∞ +∞ x
( )f x ( 1) (1) 1f f− = − =
1 ( 2) 1f x− ≤ − ≤ (1) ( 2) ( 1)f f x f≤ − ≤ −
( )f x ( , )−∞ +∞ 1 2 1x≥ − ≥ − 1 3x≤ ≤
( ) ( )1 2f x f x<
f
a b> 0a b− > 1a b− = ln( ) 0a b− = 3xy =
3 3a b> 3y x= a b> 3 3a b>
1, 2a b= = − a b> 1 2a b= < =
2, 1a b= = a b> ln( ) 0a b− = 9 3 3 3a b= > =
1, 2a b= = − a b> 1 2a b= < = 3y x= a b>
3 3a b>【点睛】
本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，
利用特殊值排除即可判断．
21．（2020·山西高二期中（文））已知关于 的方程 有两个不等实根，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出函数图像,结合函数图像即可求得方程 有两个不等实根时实数 的取值范围.
【详解】
由题意,画出 的图像如下图所示:
由图像可知,若方程 有两个不等实根
则函数图像在 轴左侧的最大值大于等于 1 即可
所以
即
故选:D
【点睛】
本题考查了绝对值函数图像的画法,函数与方程的关系,属于基础题.
22．（2020·全国高一课时练习）高为 、满缸水量为 的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满
x 2 1x m− = m
( , 1]−∞ − ( ), 1−∞ − [1, )+∞ ( )1,+∞
2 1x m− = m
( ) 2xf x m= −
2 1x m− =
y
1m >
(1, )m∈ +∞
H V缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 时水的体积为 ，则函数 的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的自变量为水深 ，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着
水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解.
【详解】
根据题意知，函数的自变量为水深 ，函数值为鱼缸中水的体积，所以当 时，体积 ，所以函数
图像过原点，故排除 A、C；
再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快
再慢的，故选 B.
【点睛】
本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重
考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
23．（2020·浙江高一课时练习）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，
在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t（单位：分钟）满足函数关系 p=at2+bt+c（a，b，c 是常数），如图
记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
h v ( )v f h=
h
h 0h = 0v =A．3.50 分钟 B．3.75 分钟 C．4.00 分钟 D．4.25 分钟
【答案】B
【解析】
由图形可知，三点 都在函数 的图象上，
所以 ，解得 ，
所以 ，因为 ，所以当 时， 取最大值，
故此时的 t= 分钟为最佳加工时间，故选 B.
考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查
同学们分析问题与解决问题的能力.
24．（2020·浙江高一课时练习）某厂印刷某图书总成本 y（元）与图书日印量 x（本）的函数解析式为
y=5x+3000，而图书出厂价格为每本 10 元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200 本 B．400 本 C．600 本 D．800 本
【答案】C
【解析】
【分析】
该厂为了不亏本，日印图书至少为 x 本，则利润函数 f（x）=10x-（5x+3000）≥0，由此能求出结果．
【详解】
该厂为了不亏本，日印图书至少为 x 本，
则利润函数 f（x）=10x-（5x+3000）≥0，
解得 x≥600．
∴该厂为了不亏本，日印图书至少为 600 本．
(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5) 2p at bt c= + +
9 3 0.7
{16 4 0.8
25 5 0.5
a b c
a b c
a b c
+ + =
+ + =
+ + =
0.2, 1.5, 2a b c= − = = −
20.2 1.5 2p t t= − + − = 215 130.2( )4 16t− − + 0t > 15 3.754t = = p
3.75故选：C．
【点睛】
本题考查函数的实际应用问题，是基础题．
25．（2020·浙江高一课时练习）一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出
水口的出水速度如图乙所示，某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下 3 个论断：①0 点到 3 点只进水不出水；②3 点到 4 点不进水只出水；③4 点到 6 点不进水不
出水，则一定正确的是( )
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】
【分析】
由甲，乙图得进水速度 1，出水速度 2，结合丙图中直线的斜率解答．
【详解】
由甲、乙两图可知进水速度为 1，出水速度为 2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速
度是 2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是 2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减
少速度也是 0，故③不正确．
【点睛】
数形结合是解决此题的关键，本题关键是抓住斜率为解题的突破口．
26．（2020·浙江高一课时练习）某市出租车起步价为 5 元(起步价内行驶里程为 3 km)，以后每 1 km 价为
1.8 元(不足 1 km 按 1 km 计价)，则乘坐出租车的费用 y(元)与行驶的里程 x(km)之间的函数图像大致为( )
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据出租车的计价方法可知函数图象为分段函数 ,观察图象逐一判定是否符合规则即可判定.
【详解】
出租车起步价为 5 元（起步价内行驶的里程是 ).
对应的值都是 5，
以后毎 价为 元，
不足 按 计价，
时，
时， ，故选 B.
【点睛】
本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命
题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细
理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
27．（2020·浙江高一开学考试）下列各曲线中，不能表示 y 是 x 的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
3km
( ]0,3∴
1km 1.8
1km 1km
3 4x∴ < ≤ 5 1.8 6.8,y = + =
4 5x< ≤ 5 1.8 1.8 8.6y = + + =【解析】
【分析】
如图，在 x 允许的取值范围内取 x＝x0，此时函数 y 与之对应的有 2 个值，不符合函数的定义，即得解．
【详解】
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，
那么就说 y 是 x 的函数，x 是自变量．
如图，C 选项中，在 x 允许的取值范围内取 x＝x0，此时函数 y 与之对应的有 2 个值，y＝y1，y＝y2，不符合
函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数的概念，解题的关键是掌握函数的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
28．（2019·浙江南湖�高一月考）设 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,若对
任意的 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则当 ,有 , ,可得
,即 在 上是单调递增函数,且满足 ,结合已知,即可得求答案.
【详解】
是定义在 上的奇函数,且当 时,
( )f x R 0x ≥ ( ) 2f x x=
[ ], 2x a a∈ + ( ) ( )2f x a f x+ ≥ a
[ 2, )+∞ [2, )+∞
( ]0,2 [ 2, 1] [ 2,2]− −
( )f x R 0x ≥ ( ) 2f x x= 0x < 0x− > 2( ) ( )f x x− = −
2
2
, 0( )
, 0
x xf x
x x
≥= − 2( ) ( )f x x− = −
2( )f x x∴− = 2( )f x x= −
2
2
, 0( )
, 0
x xf x
x x
≥∴ = − < −
，（ ）
， 或
⋅有甲持钱 ,乙持钱 ,丙持钱 ,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计 钱,要按个人带钱多少的
比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ）
A．甲付的税钱最多 B．乙、丙两人付的税钱超过甲
C．乙应出的税钱约为 D．丙付的税钱最少
【答案】B
【解析】
【分析】
通过阅读可以知道 说法的正确性,通过计算可以知道 说法的正确性.
【详解】
甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的 不超过甲。可
知 错误:乙应出的税钱为 .可知 正确.
故选:B
【点睛】
本题考查了数学阅读能力,考查数学运算能力.属于基础题.
32．（2020·浙江高一课时练习）在实数 中定义一种运算“ ”，使其具有下列性质：
（1）对任意 ， ， .
（2）对任意 ， .
（3）对任意 ， .则函数 的单调递减区间
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据新定义把 表示为通常的运算，然后利用函数性质得减区间．
【详解】
在（3）中，令 ，得 ，
560 350 180 100
32
,A D ,B C
,A D 35 1
100 2
<
B 350100 32560 350 180
× ≈+ + C
R *
a b R∈ * *a b b a=
a R∈ *0a a=
, ,a b c∈R ( * )* *( ) ( * ) ( * ) 2a b c c ab a c b c c= + + − ( ) * 2
xf x x=
1, 2
−∞
3 ,2
− +∞
3, 2
−∞
3, 2
−∞ −
( )f x
0c = * ( * )*0 0*( ) ( *0) ( *0) 2 0a b a b ab a b ab a b= = + + − × = + +则 ，易知函数 的单调递减区间为 .
故选：D．
【点睛】
本题考查新运算，解题关键是把新定义运算转化为通常的运算，然后利用函数知识得出结论，考查了学生
的阅读理解能力，转化与化归能力，创新意识．
33．（2020·浙江高一单元测试）已知函数 ，若 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数的图象对 分两种情况讨论即可得到.
【详解】
因为函数 且 ,
函数 的图象如图:
22 3 1 3 9( ) * 2 2 2 2 2 8
x x xf x x x = = + = + −
( )f x 3, 2
−∞ −
( ) 21 0
1 0
x xf x
x
+ ≤= >
，
，
( ) ( )4 2 3f x f x>- - x
( )1，− + ∞ ( )1−∞ −， ( )1 4− ， ( )1−∞，
2 3x −
( ) 21 0
1 0
x xf x
x
+ ≤= >
，
，
( ) ( )4 2 3f x f x>- -
( )f x由图可知:当 ,即 时, ,即 ,
所以 ,
当 即 时, 即 ,所以 ,
综上所述: 实数 的取值范围是 .
故选:C.
【点睛】
本题考查了分类讨论思想,根据分段函数的图象解不等式,属于基础题.
34．（2020·浙江高一单元测试）二次函数 在区间 上为偶函数，又 ，
则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
2 3 0x − > 3
2x > 4 0x − < 4x <
3 42 x< <
2 3 0x − ≤ 3
2x≤ 4 2 3x x− < − 1x > − 31 2x− < ≤
x 1 4x− < <
( ) 2 2f x ax a= + 2,a a− ( ) ( )1g x f x= −
( )0g 3
2g
( )3g
3 (0) (3)2g g g < 0a <
2( ) xf x x a
= +
0a = 2
1( ) xf x x x
= =
0a > R (0) 0f =
0a < x a≠ ± −请点击修改第 II 卷的文字说明
三、填空题
40．（2020·高三其他）设函数f（x）的定义域为 R，满足 f（x+1）＝2f（x），且当 x∈（0，1]
时，f（x）＝2x2﹣2x.若对任意 x∈（﹣∞，m]，都有 f（x）≥﹣ ，则 m 的取值范围是_____.
【答案】（﹣∞， ]；
【解析】
【分析】
因为 ，可得 ，分段求解析式，结合图象可得结论．
【详解】
解：因为 ， ，
， 时， ， ，
， 时， ， ， ， ；
当 ， 时，由 解得 或 ，
若对任意 ， ，都有 ，则 ．
故答案为： ， ．
【点睛】
本题考查了函数与方程的综合运用以及数形结合思想的应用，属中档题．
41．（2020·高一月考）已知函数 f(x)＝ ，则函数 y＝f(x)的定义域为_____；函
数 的定义域是_____.
【答案】
8
9
4
3
( 1) 2 ( )f x f x+ = ( ) 2 ( 1)f x f x= −
( 1) 2 ( )f x f x+ = ( ) 2 ( 1)f x f x∴ = −
(0x∈ 1] 1( ) 2 ( 1) [ 2f x x x= − ∈ − 0]
(1x∴ ∈ 2] 1 (0x − ∈ 1] ( ) 2 ( 1) 4( 1)( 2) [ 1f x f x x x= − = − − ∈ − 0]
(1x∈ 2] 84( 1)( 2) 9x x− − = − 4
3x = 5
3x =
(x∈ −∞ ]m 8( ) 9f x −
4
3m
(−∞ 4]3
2 3 4x x− + +
(2 1)y f x= +
[ ]1,4− 31, 2
− 【解析】
【分析】
（1）满足 ，求出不等式的解集即可；
（2）令 满足 的定义域，求出 的范围即可.
【详解】
（1）令 ，
解得 ，
的定义域为 ；
（2） 的定义域为 ，
在函数 中，满足 ，
解得 ，
的定义域为 .
故答案为：（1） （2） .
【点睛】
本题主要考查给定函数和复合函数定义域的求法，其中涉及到一元二次不等式的解法，是一道基础题.
42．（2020·广东云浮�高一期末）已知函数 ，若 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据分段函数,代入自变量即可求解.
【详解】
函数
所以当 时, ,即 无解;
2 3 4 0x x− + + ≥
2 1x + ( )f x x
2 3 4 0x x− + + ≥
1 4x− ≤ ≤
( )f x∴ [ ]1,4−
( )f x [ ]1,4−
∴ (2 1)f x + 1 2 1 4x- £ + £
31 2x− ≤ ≤
(2 1)f x∴ + 31, 2
−
[ ]1,4− 31, 2
−
2
6, 0,( ) log ( ), 0,
x xf x x x
+= − 2( ) ( )g x x f x= g(2 ) g(1 )x x< −
11, 3
− 先根据已知得出函数的单调性，再根据单调性解不等式.
【详解】
因为 是 上的偶函数，所以 是 上的偶函数，
在 上单调递增，
，即
解得 ，解集为 .
【点睛】
本题主要考查函数与单调性的关系，注意构造的新函数的奇偶性及单调性的判断.
46．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数可得 a 以及 f(x)= f(-x)，并得到 b 最后可得结果.
【详解】
由题可知：a－1+2a=0，所以
又 f(x)= f(-x)，所以 ，
所以 ，则
故答案为：
【点睛】
本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握定义，简单计算，属基础题.
47．（2020·高二期末（理））已知函数 是幂函数，且该函数是偶函
( )f x R ( ) ( )2g x x f x= R
( ) ( )' 2 0xf x f x+ >
( ) ( )2 2 0x f x xf x∴ + >′
( ) ( )( ) ( ) ( )'2 22 0g x x f x xf x x f x′∴ ′= = + >
( ) ( )2g x x f x∴ = [ )0, R+∞
2 1x x∴ < − (x+1)(3 x-1) ( ) 1f x f x
>
( )2,3 x∈R ( ) 1f x f x
<
( ) ( ) ( )3, 2 0,2 3,− − +∞
0x > ( ) 1f x f x
<
( ) ( )0,2 3,+∞ 0x >
( ) 1f x f x
− − > − −
( )2,3 0t x= − <
0x > ( ) 1f x f x
<
( ) ( )0,2 3,+∞
0x > ( ) 1f x f x
− − > − −
( )2,3
0t x= − < ( ) 1f t f t
− > −
( )3, 2− −即当 时， 的解集为 ，
所以 的解集为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算能力和推理能力，属于中档题.
50．（2020·浙江高一单元测试）函数 同时满足：①对于定义域上的任意 ，恒有 ；②
对于定义域上的任意 ．当 ,恒有 ．则称函数 为“理想函数”，则下列三
个函数中：
（1） ，
（2） ，
（3） ．
称为“理想函数”的有 （填序号）
【答案】（3）
【解析】
∵函数 f(x)同时满足①对于定义域上的任意 x,恒有 f(x)+f(−x)=0；
②对于定义域上的任意 ， 当 时,恒有 ,则称函数 f(x)为“理想函数”，
∴“理想函数”既是奇函数，又是减函数，
在(1)中, 是奇函数,但不是增函数,故(1)不是“理想函数”；
在(2)中, ,是偶函数,且在(−∞,0)内是减函数,在(0,+∞)内是增函数,故(2)不是“理想函数”；
在(3)中, 是奇函数,且是减函数,故(3)能被称为“理想函数”．
故答案为(3).
0x < ( ) 1f x f x
<
( )3, 2− −
( ) 1f x f x
<
( ) ( ) ( )3, 2 0,2 3,− − +∞
( ) ( ) ( )3, 2 0,2 3,− − +∞
( )f x x ( ) ( ) 0f x f x+ − =
1 2,x x 1 2x x≠ ( ) ( )1 2
1 2
0f x f x
x x
− 0m = 0 2m< < 2m = 2m >
1 2, [ 2,1]x x ∈ − 1 2| ( ) ( ) |g x g x M− ≤转化为 ，进而得到 ，然后分别求出 ， 即可.
【详解】
解：（1）因为 的解集为 ，所以 的根为 ，2，
所以 ， ，即 ， ；所以 ；
（2） ，化简有 ，整理 ，
所以当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
（3）因为 时 ，根据二次函数的图像性质，有
，
则有 ，所以， ，
因为对于任意的 都有 ，
即求 ，转化为 ，
而 ， ，所以，
此时可得 ，
所以 M 的最小值为 .
【点睛】
本题主要考查了含参数的一元二次不等式，和不等式的恒成立问题，在解决含参数的不等式时首先要对参
数进行讨论．本题属于难题．
56．（2020·全国高一课时练习）某列火车从 A 地开往 B 地，全程 277km.火车出发 10min 开出 13km 后，以
120km/h 的速度匀速行驶试写出火车行驶的总路程 s 与匀速行驶的时间 t 之间的关系，并求离开 A 地 2h 时
火车行驶的路程.
1 2| ( ) ( ) |Maxg x g x M− ≤ ( ) ( )Max Ming x g x M− ≤ ( )Maxg x ( )Ming x
( ) 0f x ≤ [ 1,2]− 2 0x bx c+ + = 1−
1b− = 2c = − 1b = − 2c = − 2( ) 2f x x x= − −
( ) 2( 1)mf x x m> − − 2( 2) 2( 1)m x x x m− − > − − ( 2)( 1) 0mx x− − >
0m = ( ,1)−∞
0 2m< < 2( ,1) ,m
−∞ +∞
2m = ( ,1) (1, )−∞ +∞
2m > ( )2( , ) 1,m
−∞ +∞
[ 2,1]x ∈ − 2( ) 3 1 2 3f x x x x+ − = + −
2( ) 3 1 2 3 [ 4,0]f x x x x+ − = + − ∈ −
2( ) 3 1 2 3( ) 2 2f x x x xg x + − + −= = 1( ) ,116g x ∈
1 2, [ 2,1]x x ∈ − 1 2| ( ) ( ) |g x g x M− ≤
1 2| ( ) ( ) |Maxg x g x M− ≤ ( ) ( )Max Ming x g x M− ≤
( ) (1) 1Maxg x g= = 1( ) ( 1) 16Ming x g= − =
15
16M ≥
15
16【答案】 ，
【解析】
【分析】
首先计算出火车到达终点所需要的时间，再由匀速行驶与路程的关系即可得出关系式.
【详解】
解：因为火车匀速行驶的时间为 ，
所以 .因为火车匀速行驶 th 所行驶路程为 ，
所以火车行驶总路程 s 与匀速行驶时间 t 之间的关系是 .
离开 A 地 2h 时火车行驶的路程 .
【点睛】
本题考查了一次函数模型的应用，解题时注意定义域的取值范围，属于基础题.
57．（2020·浙江高一课时练习）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前
行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为 2000m，如图是小明和爸爸所走的路程 s
（m）与步行时间 t（min）的函数图象．
（1）直接写出 BC 段图象所对应的函数关系式（不用写出 t 的取值范围）_______．
（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早 18 分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减
少多少分钟？
【答案】(1) s=40t–400 (2) 37.5min (3) 3min
【解析】
【分析】
1113 120 0 5s t t = + 233(km)
11(277 13) 120 (h)5
− ÷ =
110 5t 120 kmt
1113 120 0 5s t t = +
113 120 2 233(km)6s = + × − = （1）设出 对应的函数表达式，将 代入列方程组，解方程组求得 对应的函数
关系式.（2）设出小明爸爸所走路程与时间的函数关系式，将 代入列方程组，解方程组
求得明爸爸所走路程与时间的函数关系式，联立这个关系式和（1）中求得的关系式，解方程组求得第三次
相遇的时间.（3）先求得小明爸爸全程所用的时间，由此求得小明在步行过程中停留的时间需减少的时间.
【详解】
（1）设直线 BC 所对应的函数表达式为 s=kt+b，
将（30，800），（60，2000）代入得，
，解得 ，
∴直线 BC 所对应的函数表达式为 s=40t–400．
（2）设小明的爸爸所走路程 s 与时间 t 的函数关系式为 s=mt+n，
则 ，解得 ．
即小明的爸爸所走路程 s 与时间 t 的函数关系式是 s=24t+200，
解方程组 ，得 ，
即小明出发 37.5min 时与爸爸第三次相遇．
（3）当 s=2000 时，2000=24t+200，得 t=75，
∵75–60=15，
∴小明希望比爸爸早 18 min 到达公园，
则小明在步行过程中停留的时间需要减少 3min．
【点睛】
本小题主要考查一次函数的实际应用问题，考查二元一次方程组的解法，考查图像分析的方法，属于中档
题.
58．（2020·浙江高一单元测试）已知函数 .
（1）若 ，求 的定义域；
（2）若 在区间 上是减函数，求实数 的取值范围.
BC ( ) ( )30,800 , 60,2000 BC
( ) ( )0,200 , 25,800
30 800
60 2000
t b
t b
+ =
+ =
40
400
k
b
=
= −
200
25 800
n
m n
=
+ =
24
200
m
n
=
=
40 400
24 200
s t
s t
= −
= +
37.5
1100
t
s
=
=
( ) ( )3 11
axf x aa
−= ≠−
0a > ( )f x
( )f x ( ]0,1 a【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1) 由 且 结合负数不能开偶次方根有 即可求解；
(2)分别对分母大于零和小于零进行分类讨论，根据题意，求出函数 在 上的单调性结合函数
的定义域，化简即可求出实数 的取值范围.
【详解】
(1)当 且 时，由 得 ，即函数 的定义域是 .
(2)当 即 时，令
要使 在 上是减函数，则函数 在 上为减函数，即 ，并且且 ，
解得 ；
当 即 时 ，令
要使 在 上是减函数，则函数 在 为增函数，即
并且 ，解得
综上可知，所求实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查函数的定义域及其单调性的应用,在解题时,要注意复合函数性质的应用及考虑定义域.
59．（2020·浙江高一单元测试）已知函数 f(x)的定义域为(－2,2)，函数 g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数 g(x)的定义域；
(2)若 f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式 g(x)≤0 的解集．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
【详解】
（1）∵数 f（x）的定义域为（﹣2，2），函数 g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．
3, a
−∞
( ) ( ],0 1,3−∞
0a > 1a ≠ 3 0ax− ≥
3t ax= − ( ]0,1
( )f x a
0a > 1a ≠ 3 0ax− ≥ 3x a
≤ ( )f x 3, a
−∞
1 0a − > 1a > 3t ax= −
( )f x ( ]0,1 3t ax= − ( ]0,1 0a− < 3 1 0a− × ≥
1 3a< £
1 0a − < 1a < 3t ax= −
( )f x ( ]0,1 3t ax= − ( ]0,1 0a− >
3 1 0a− × ≥ 0a <
a ( ) ( ],0 1,3−∞
1 5( , )2 2
1 22x x
< ≤
∴ ，∴ ＜x＜ ，
函数 g（x）的定义域（ ， ）．
（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式 g（x）≤0，
∴f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），
∴ ，∴ ＜x≤2，
故不等式 g（x）≤0 的解集是 （ ，2]．
60．（2020·浙江高一课时练习）已知定义在 上的函数 满足：
①对任意 ， ， ；②当 时， ，且 ．
（1）试判断函数 的奇偶性．
（2）判断函数 在 上的单调性．
（3）求函数 在区间 上的最大值．
（4）求不等式 的解集．
【答案】（1）偶函数；（2）增函数；（3）2；（4） 或 .
【解析】
【分析】
（1）先用赋值法求 ，再令 ，得到 ，从而得到函数 的奇偶性；
（2）任取 ， ，且 ，则有 ．得 ，再运用变形
得到单调性；
（3）由奇偶性和单调性，求得函数 在区间 上的最大值；
（4）将不等式转化为 ，根据奇偶性和单调性，再转化为 ，求出解集.
【详解】
（1）令 ，则 ，得 ；再令 ，
( ,0) (0, )−∞ +∞ ( )f x
x ( ,0) (0, )y ∈ −∞ ∪ +∞ ( ) ( ) ( )f x y f x f y⋅ = + 1x > ( ) 0f x > (2) 1f =
( )f x
( )f x (0, )+∞
( )f x [ 4,0) (0,4]− ∪
(3 2) ( ) 4f x f x− +
{ 2x x −∣
8}3x
(1) ( 1) 0f f= − = 1y = − ( ) ( )f x f x− = ( )f x
1x 2 (0, )x ∈ +∞ 1 2x x< 2
1
1x
x
> 2
1
( ) 0xf x
>
( ) ( )2 2
2 1 1
1 1
x xf x f x f x fx x
= ⋅ = +
( )f x [ 4,0) (0,4]− ∪
[ (3 2)] (16)f x x f− | (3 2) | 16x x −
1x y= = (1 1) (1) (1)f f f× = + (1) 0f = 1x y= = −则 ，得 ．
对于条件 ，令 ，则 ，
∴ ．又函数 的定义域关于原点对称，
∴函数 为偶函数．
（2）任取 ， ，且 ，则有 ．
又∵当 时， ，∴ ．
而 ， 即 ，
∴函数 在 上是增函数．
（3）∵ ，且 ，∴ ．
又由（1）（2）知函数 在区间 上是偶函数且在 上是增函数，
∴函数 在区间 上的最大值为 ．
（4）∵ ， ，
∴原不等式等价于 ，
又函数 为偶函数，且函数 在 上是增函数，
∴原不等式又等价于 ，即 或 ，
得 或 ，
得 或 ，
∴不等式 的解集为 或 ．
【点睛】
本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性的判断，最值，解抽象函数的不等式，考查了学生的分析推理能力，
运算能力，属于中档题.
五、双空题
61．（2020·浙江高一单元测试）函数 在区间 上的最大值为______，最小值为
[( 1) ( 1)] ( 1) ( 1)f f f− ⋅ − = − + − ( 1) 0f − =
( ) ( ) ( )f x y f x f y⋅ = + 1y = − ( ) ( ) ( 1)f x f x f− = + −
( ) ( )f x f x− = ( )f x
( )f x
1x 2 (0, )x ∈ +∞ 1 2x x< 2
1
1x
x
>
1x > ( ) 0f x > 2
1
0xf x
>
( ) ( ) ( )2 2
2 1 1 1
1 1
x xf x f x f x f f xx x
= ⋅ = + > 2 1( ) ( )f x f x>
( )f x (0, )+∞
(4) (2 2) (2) (2)f f f f= × = + (2) 1f = (4) 2f =
( )f x [ 4,0) (0,4]− ∪ (0,4]
( )f x [ 4,0) (0,4]− ∪ (4) ( 4) 2f f= − =
(3 2) ( ) [ (3 2)]f x f x f x x− + = − 4 2 2 (4) (4) (16)f f f= + = + =
[ (3 2)] (16)f x x f−
( )f x ( )f x (0, )+∞
| (3 2) | 16x x − (3 2) 16x x − (3 2) 16x x − −
23 2 16 0x x− − ≥ 23 2 16 0x x− + ≤
2x −≤ 8x ≥
(3 2) ( ) 4f x f x− + { 2x x −∣
8}3x
( )22 2 3y x x= − + [ ]0,3______．
【答案】9 1
【解析】
【分析】
根据二次函数的开口方向和对称轴，结合函数的定义域，求得函数的最大值和最小值.
【详解】
，该二次函数的开口向上，而 ，故当 时， ；当 时，
．
故答案为：9；1
【点睛】
本小题主要考查二次函数在给定区间上的最大值和最小值的求法，属于基础题.
62．（2020·全国高三其他（理））在实数集 中定义一种运算 ，满足下列性质：
①对任意的 ， ；
②对任意的 ， ， ；
③对任意的 ， ， ， ；
则 ______，函数 的最小值为______．
【答案】12 6
【解析】
【分析】
利用新定义运算，转化 ，再由性质③，①可得；
这样可得 ，函数 ，再
由基本不等式可得最小值．
【详解】
根据定义可得 ；
22( 1) 1, [0,3]y x x= − + ∈ 1 [0,3]∈ 3x = max 9y = 1x =
min 1y =
R Θ
m∈R 0m mΘ =
m n∈R m n n mΘ = Θ
m n t ∈R ( ) ( ) ( ) ( ) 2m n t t m n n t m t Θ Θ = Θ ⋅ + Θ + Θ −
2 4Θ = ( ) 4x
xf x e e
= Θ
( )2 4 2 4 0Θ = Θ Θ
( ) 0 0 ( ) 0 0 2 2a b a b ab a b ab a bΘ = Θ Θ = Θ + Θ + Θ − = + + − 4( ) 4 2x
xf x e x
= + + −
( )2 4 2 4 0 0 8 0 2 0 4 2 8 2 4 2 12Θ = Θ Θ = Θ + Θ + Θ − = + + − =
( ) 4 4 40 0 4 0 0 2x x x
x x xf x e e ee e e
= Θ = Θ Θ = Θ + Θ + Θ − ，当且仅当 时等号成立．
故答案为：12；6．
【点睛】
本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义运算，利用定义把新运算转化为熟悉的运算：加减乘除、
乘方、开方．
4 4 44 2 2 2 2 6x x x
x x xe e ee e e
= + + − = + + ≥ × + = ln 2x =
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