专题二 二次函数、方程与不等式
一、单选题
1．（2019·江西新余�高二期末（文））正数 a,b 满足 ,若不等式 对任
意实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式求得 的最小值，把问题转化为 恒成立的类型，求解 的最大值即可.
【详解】
,
，且 a,b 为正数，
，
当且仅当 ，即 时， ，
若不等式 对任意实数 x 恒成立，
则 对任意实数 x 恒成立，
即 对任意实数 x 恒成立，
，
，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题.
2．（2019·高一月考）已知不等式 的解集是 ,则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
9a b ab+ = 2 2 18a b x x m+ ≥ − + + −
[ )3,+∞ ( ]3,−∞ ( ],6−∞ [ )6,+∞
+a b ( )m f x≥ ( )f x
9a b ab+ =
1 9 1a b
∴ + =
1 9 9 9( )( ) 10 10 2 16b a b aa b a b a b a b a b
∴ + = + + = + + + ⋅ =
9b a
a b
= 4, 12a b= = ( ) 16mina b+ =
2 2 18a b x x m+ ≥ − + + −
216 2 18x x m≥ − + + −
2 2 2m x x≥ − + +
2 22 2 ( 1) 3 3x x x− + + = − − +
3m∴ ≥
2 1 0ax bx− − ≥ 1 1[ , ]2 3
− −
2 0x bx a− − <
(2,3) ( ,2) (3, )−∞ ∪ +∞ 1 1( , )3 2
1 1( , ) ( , )3 2
−∞ ∪ +∞【答案】A
【解析】
【分析】
根据所给的不等式的解集，并结合一元二次方程根与系数的关系求出 的值，然后再解不等式即可．
【详解】
∵不等式 的解集是 ，
∴ 是方程 的两根，
∴ ，解得 ．
∴不等式 为 ，
解得 ，
∴不等式的解集为 ．
故选 A．
【点睛】
本题考查二次不等式的解法，解题时注意结合“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方
程的根与二次函数图象与 x 轴交点横坐标间的关系，解题的关键是根据条件求出 的值．
3．（2019·高一月考）已知平面内， ， ，且
，则 的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】
【分析】
令 ， ，将 ， 表示成 ， ，即可将 表示成
，展开可得： ，再利用基本
a b，
2 1 0ax bx− − ≥ 1 1
2 3
− − ，
1 1
2 3x x= − = −， 2 1 0ax bx− − =
1 1 5
2 3 6
1 1 1 1
2 3 6
b
a
a
= − + − = − − = − × − =
6
5
a
b
= −
=
2 0x bx a− − < 2 5 6 0x x− + <
2 3x< <
( )2 3，
a b，
• 0AB AC = • 1AB AC =
4AB ACAP
AB AC
= +
•PB PC
AB m= AC n= PB PC PB AB AP= − PC AC AP= − PB PC⋅
1 4 4 1m nPB PC AB AC AC ABm n n m
− − ⋅ = − ⋅ −
4 17PB PC m n⋅ = − − + 不等式即可求得其最大值.
【详解】
令 ， ，则
又 ，
所以
当且仅当 时，等号成立.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的应用及利用基本不等式求最值，考查转化能力及计算能力，属于难题.
4．（2020·营口市第二高级中学高二期末）若 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题得 ，化简 ，再利用基本不等式求解.
【详解】
由题得 ，
所以
.
当且仅当 时取等.
AB m= AC n= 1mn =
1 4mPB AB AP AB ACm n
−= − = − 4 1nPC AC AP AC ABn m
−= − = −
1 4 4 1m nPB PC AB AC AC ABm n n m
− − ⋅ = − ⋅ −
2 21 4 1 1 4 4 4 1m n m nAB AC AB AC AC ABm n m m n n n m
− − − −= × ⋅ − × − × + × ⋅
4 17 2 4 17 13m n mn= − − + ≤ − + =
12, 2m n= =
0, 0a b> > 7a b+ = 4 1
2a b
+ +
8
9
9
8
102
77
( 2) 9a b+ + = 4 1 1 4 1 ( 2)]2 9 2 a ba b a b
+ = × + × + ++ +（ ）[
( 2) 9a b+ + =
4 1 1 4 1 1 4 19= ( 2)]2 9 2 9 2 a ba b a b a b
+ = × + × × + × + ++ + +（ ） （ ）[
1 4( 2) 1 4( 2)(5 ) (5 2 ) 19 2 9 2
b a b a
a b a b
+ += + + ≥ + ⋅ =+ +
6, 1a b= =故选：B
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．（2020·全国高三其他（理））已知 ， 均为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C．9 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，则, ,再换元法利用函数导数研究函数最值得到或
利用基本不等式推广运用求最值得解.
【详解】
法一 ，
令 ，设 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ．
所以当 时， 取得最小值，为 12，即当 ， 时， 取最小值，为
，
法二
当且仅当 即当 ， 时， 取最小值，为 ，
故选：B．
【点睛】
a b 2 24a b a b− = 1 1
a b
+
2 3
2 24a b a b− = 2 2 2 21 1 1 1 4 4( ) ( ) 16a ba b a b ab ab
+ = − + = +
2 24a b a b− =
2 2 2 2 21 1 1 1 4 4 4( ) ( ) ( ) 16a b a ba b a b ab ab ab ab
−∴ + = − + = + = +
x ab= ( ) 2 416f x x x
= + ( ) ( )3
2 2
4 32 432 0xf x x xx x
−′ = − = >
( ) 0f x′ > 1
2x > ( ) 0f x′ < 10 2x< <
1
2x = ( )f x 3 1
2a
+= 3 1
2b
−= 1 1
a b
+
2 3
2 24a b a b− =
2 2 21 1 1 1 4 4( ) ( ) ( )a b
a b a b ab ab ab
−∴ + = − + = +
2 2 416a b ab
= + 2 2 2 232 2 2 216 + 3 16 =12a b a bab ab ab ab
= + ≥ × ×
2 2
2 2
216 =
4
a b ab
a b a b
− =
3 1
2a
+= 3 1
2b
−= 1 1
a b
+ 2 3本题考查基本不等式的应用求最值，属于基础题.
6．（2020·高一月考）已知 m＞0，xy＞0，当 x+y＝2 时，不等式 ≥4 恒成立，则 m 的
取值范围是（ ）
A．[ ，+∞） B．[2，+∞） C．（0， ] D．（ ，2]
【答案】B
【解析】
【分析】
要使不等式 ≥4 恒成立，只需 ，将 乘以 ，然后利用基本不等式即可求
出 的最小值，解关于 的不等式即可.
【详解】
要使不等式 ≥4 恒成立，只需 ，
，
，
，
，
，
，
令 ，且 ，则不等式化为 ，
解得 ，即 ，
2 m
x y
+
2 2 2
2 m
x y
+
min
2 4m
x y
+ ≥
2 m
x y
+
2
x y+
2 m
x y
+ m
2 m
x y
+
min
2 4m
x y
+ ≥
2x y+ =
( )2 1 2 12 2 2
m m y mx mx yx y x y x y
∴ + = + + = + + +
0, 0m xy> >
0, 02
y mx
x y\ > >
1 2 1 2 12 2 2 2 2 2
y mx m y mx m m m
x y x y
∴ + + + ≥ ⋅ + + = + +
min
2 2 1 42 2
m m m
x y
∴ + = + + ≥
2
mt = 0t > 2 2 3 0t t+ − ≥
1t ≥ 12
m ³.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查不等式的恒成立、以及基本不等式的应用，属于中档题.
7．（2020·北京高二期中）已知函数f（x）＝2ax2+（a+2）x+1（a＜0），那么不等式 f（x）＞0 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对 因式分解，比较 所得两根的大小，由此求得 的解集.
【详解】
依题意 ，令 ，
由于 ，故解得 ，且 ，
所以 的解集为 .
故选：A
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
8．（2020·高一月考）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x（件）与单价 P（元）之间的
关系为 ，生产 x 件所需成本为 C（元），其中 元，若要求每天获利不少于 1300
元，则日销量 x 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设该厂每天获得的利润为 元，
2m∴ ≥
1 1,2
− − a
1 1, 2a
1 1, ,2
−∞ − ∪ − +∞ a
1 1, ,2
−∞ ∪ +∞ a
( )f x ( ) 0f x = ( ) 0f x >
( ) ( )( )1 2 1f x ax x= + + ( ) 0f x =
0a < 1 2
1 1,2x x a
= − = − 1 2x x<
( ) 0f x > 1 1,2
− − a
160 2P x= − 500 30C x= +
20 30x≤ ≤ 20 45x≤ ≤ 15 30x≤ ≤ 15 45x≤ ≤
y则 ， ，
根据题意知， ，解得： ，
所以当 时，每天获得的利润不少于 元，故选 ．
点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）
函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种
条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是
由建立的函数解析式决定的．
9．（2020·安徽黄山�高一期末）在 上定义运算 ，若不等式 的解
集为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知定义可把问题转化为 恒成立，然后结合二次不等式的恒成立问题对 进行分类讨论可求．
【详解】
解：由 的解集为 可得 恒成立，
即 恒成立，
当 时， 恒成立，满足题意；
当 时，有 ，解可得 ，
综上可得， ．
故选： ．
【点睛】
本题以新定义为载体，主要考查了不等式的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
10．（2020·黑龙江松北�哈九中高一月考）一元二次不等式 的解集是 ，则 的
值是（ ）
A．10 B．-10 C．14 D．-14
2(160 2 ) (500 30 ) 2 130 500y x x x x x= − ⋅ − + = − + − (0 80)x< <
22 130 500 1300x x− + − ≥ 20 45x≤ ≤
20 45x≤ ≤ 1300 B
R :⊗ ( 2)A B A B⊗ = − 1ax x⊗ > −
x∈R a
0 4a< < 4 0a- < <
0 1a≤ < 04 ≤ − a
1ax x⊗ > − x∈R ( 2) 1ax x − > −
2 2 1 0ax ax− + >
0a = 1 0>
0a ≠ 2
0
4 4 0
a
a a
>
− 1 1,2 3
−
2 2 0ax bx+ + = 1
2
− 1
3
1 1
2 3
1 1 2
2 3
b
a
a
− + = − − × =
12a = − 2b = −
14a b+ = −
D
2 2 1 0ax ax+ − <
( ], 1−∞ − ( )1,0− ( ]1,0− [ )0,+∞
0a = 0a ≠当 时，不等式化为 恒成立；
当 时，一元二次不等式 对于一切实数 x 都恒成立，等价于 ，解得
，
综上可得实数 a 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了分类讨论思想，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.
12．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）要使关于 的方程 的一根比1 大且另一
根比 1 小，则 的取值范围是
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，二次函数 的图象与 轴的两个交点在 的两边，则 ，
由此求解关于 的不等式得答案．
【详解】
解：方程 对应的二次函数为 ，
其图象是开口向上的抛物线，要使方程 的一根比 1 大且另一根比 1 小，
则抛物线与 轴的两个交点在 的两边，
，即 ，
解得 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，考查数学转化思想方法，灵活运用“三个二次”的结合是
关键，属于基础题．
13．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）若函数y＝ 的定义域为 R，则实数 a 的取值
0a = 1 0− <
0a ≠ 2 2 1 0ax ax+ − < 2
0
4 4 0
a
a a
2 1a− < <
2 2( ) ( 1) 2f x x a x a= + − + − x 1x = ( )1 0f <
a
2 2( 1) 2 0x a x a+ − + − = 2 2( ) ( 1) 2f x x a x a= + − + −
2 2( 1) 2 0x a x a+ − + − =
x 1x =
( ) 21 1 1 2 0f a a∴ = + − + − < 2 2 0a a+ − <
2 1a− < <
D
2
1
4 2
ax
ax ax
+
− +范围是（ ）
A．（0， ] B．（0， ） C．[0， ] D．[0， ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数 的讨论，根据 即可求得结果.
【详解】
要满足题意，只需 在 上恒成立即可.
当 时，显然满足题意.
当 时，只需 ，
解得 .
综上所述，
故选： .
【点睛】
本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.
14．（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）若命题：“ ， ”为真命题，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分类讨论， 时满足题意， 时利用二次函数的性质求解．
【详解】
时，不等式为 恒成立，
时，由题意得 ，解得 ，
综上 的取值范围是 ．
1
2
1
2
1
2
1
2
a Δ
2 4 2 0ax ax− + > R
0a =
0a > 2Δ 16 8 0a a= − <
10, 2a ∈
10, 2a ∈
D
0x R∀ ∈ 2 2 0ax ax− − ≤ a
( , 8] [0, )−∞ − +∞ ( 8,0)− ( ,0]−∞ [ 8,0]−
0a = 0a ≠
0a = 2 0− ≤
0a ≠ 2
0
8 0
a
a a
1 2( , )x x
2
1 2 1 22 , 8x x a x x a+ = = − 2 1 15x x− =
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1( ) ( ) 4 36 15x x x x x x a− = + − = =解得 ，因为 ，所以 .
故选：A.
17．（2020·全国高一课时练习）函数 ，记 的解集为 ，若 ，则
的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为 ，且 ，所以解集 ；然后根据 ，
得不等式组 ，可得 的取值范围．
【详解】
函数 ，抛物线开口向上，又 ，所以 ,则 的解集
为 ，得 ，解得 ，所以正确选项为 A．
【点睛】
本题主要考查含参数的一元二次不等式解法，确定两根的大小是解决本题的关键．
18．（2020·全国高一课时练习）若 0 5
2a =
2 22 8 ( 0)y x ax a a= − − > 0y ≤ A ( )1,1 A− ⊆ a
1 ,2
+∞
1 ,4
+∞
1 1,4 2
1 1,4 2
2 22 8 ( 2 )( 4 )− − = + −x ax a x a x a 2 4a a− < [ ]2 ,4A a a= − ( )1,1 A− ⊆
2 1
4 1
a
a
− ≤ −
≥
a
( )( )2 22 8 2 4y x ax a x a x a= − − = + − 0a > 2 4a a− < 0y ≤
[ ]2 ,4A a a= − 2 1
4 1
a
a
− ≤ −
≥
1
2a ≥
1x t
−
1x x tt
<
}x t<
1x x t
1x t x t
< 0⇔(x－t) { }2 1 ,x x− < < 2y ax x c= + +
b
a
c
a
1
a
c
a
2y ax x c= + + 1
2
9
4【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法和二次函数的图象，以及一元二次方程根与系数的关系.一元二次不等式，
一元二次方程，与一元二次函数的问题之间可相互转化，也体现了数形结合的思想方法.
20．（2019·山东济宁�高一月考）已知集合 ，则 =
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想
解题．
【详解】
由题意得， ，则
．故选 C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
21．（2020·浙江高一单元测试）如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客
车营运的总利润 y（单位：10 万元）与营运年数 x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，
则每辆客车应营运
A．3 年 B．4 年
C．5 年 D．6 年
【答案】C
【解析】
可设 y=a(x－6)2+11，又曲线过(4，7)，∴7=a(4－6)2+11 ∴a=－1．
{ } }24 2 { 6 0M x x N x x x= − < < = − − a b n
( )
( ) 0
− c 2 x c< <
2c < 2c x< <
2c =
2>c { }2x x c< 0a = 0a <
( )3 ( ) 1f x > a
( )1 1a = ( ) 2 2f x x x= − ( ) 0f x <
2 2 0x x− < 0 2x< <
( ) 0f x < ( )0,2
( )2 ( ) 23f x a< 2 22 3 0x ax a− − <
( 3 )( ) 0x a x a− + ( ),3a a−
0a =
0a < ( )3 ,a a−
( )3 ( )2,x∈ +∞ ( ) 1f x >
( )2,x∈ +∞ 2 2 1 0x ax− − >
24 4 0a∆ = + >
2
bx aa
= − =
2
4 4 1 0
a
a
> 1 4
a b
+
(1) 2f = ( ) 2f x > ( 1,1)− a
9
2
[ 1,1]−
( )1 3f = 2a b+ = 1 4
a b
+
( )1 2f = 1a b+ = ( )2 1 1 0ax a x− + + > ( 1,1)−
( 1,1)− ( ) ( 1)( 1) 0g x ax x= − − >（1）函数 ，由 ，可得 ，
所以 ，
当 时等号成立，因为 ， ，解得 时等号成立，
此时 的最小值是 .
（2）由 ，即 ，
又由 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
等价于 是不等式 解集的子集，
①当 时，不等式的解集为 ，满足题意；
②当 时，不等式的解集为 ，则 ，解得 ，故有 ；
③当 时，即 时，不等式的解集为 ，满足题意；
④当 时，即 时，不等式的解集为 ，不满足题意，（舍去），
综上所述，实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，以及一元二次不等式的恒成立问题的求解，其中解答中熟记基本不等
式的应用，以及熟练应用一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，
属于中档试题.
31．（2020·校高一期末（文））已知函数 ．
（1）当 时，求满足 的 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 ．
【答案】（1） ；（2）当 时，解集为 ；当 时，解集为空集；当 时，解集为
．
【解析】
【分析】
( )2( ) 2 3f x ax b x= + − + ( )1 2 3 3f a b= + − + = 2a b+ =
1 4 1 1 4 1 4 1 4 9( ) 5 (2 5)2 2 2 2
b a b aa ba b a b a b a b
+ = + + = + + ≥ × + =
4b a
a b
= 2a b+ = 0, 0a b> > 2 4,3 3a b= =
1 4
a b
+ 9
2
( )1 2 3 2f a b= + − + = 1a b+ =
( )2 2 3 2ax b x+ − + > ( 1,1)− ( )2 1 1 0ax a x− + + > ( 1,1)−
( 1,1)− ( ) ( 1)( 1) 0g x ax x= − − >
0a = ( ,1)−∞
0a < 1 ,1a
1 1a
≤ − 1a ≥ − 1 0a− ≤ <
0 1a< ≤ 1 1a
≥ 1( ,1) ( , )a
−∞ ∪ +∞
1a > 1 1a
< 1( , ) (1, )a
−∞ ∪ +∞
a [ 1,1]−
2( ) 2 , ,f x x ax x R a R= − ∈ ∈
1a = ( ) 0f x < x
x 2( ) 3f x a<
(0,2) 0a > ( ,3 )a a− 0a = 0a <
(3 , )a a−（1）解一元二次不等式可得；
（2）分类讨论，根据两根据的大小分类讨论．
【详解】
（1）当 时， ，所以 ，即
解得 .所以 的解集为 .
（2） 由 ，得 ，所以 ，
当 时，解集为 ；当 时，解集为空集；
当 时，解集为 ．
【点睛】
本题考查解一元二次不等式，对含参数的不等式一般需要分类讨论，分类的层次有三个：一是最高次项系
数的正负或者是 0，二是对应的一元二次方程有无实数解，三是方程有实数解，方程两根的大小关系．
32．（2020·高一月考）已知函数 .
（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求 和 的值；
（2）若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）依题意 ， 为方程 的两解，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）依题意对任意的 恒成立，当 时，显然成立，当 时，参变
分离，利用基本不等式求出 的取值范围；
【详解】
解：（1）关于 的不等式 的解集为 ，即 ， 为方程 的两解，所
以 解得
（2）对任意的 ， 恒成立，即 对任意的 恒成立，即
恒成立，
1a = 2( ) 2f x x x= − ( ) 0f x < 2 2 0x x− <
0 2x< < ( ) 2f x < (0,2)
2( ) 3f x a< 2 22 3 0x ax a− − < ( 3 )( ) 0x a x a− + <
0a > ( ,3 )a a− 0a =
0a < (3 , )a a−
( )2( ) ( 2) 4f x x a x a R= − + + ∈
x ( ) 0f x < ( )1,b a b
1 4x∀ ≤ ≤ ( ) 1f x a≥ − − a
3
4
a
b
=
= 4a ≤
1x = x b= 2 ( 2) 4 0x a x− + + =
[ ]1,4x∈ ( )2 2 5 1x x a x− + ≥ − 1x = ( ]1,4x∈
a
x ( ) 0f x < ( )1,b 1x = x b= 2 ( 2) 4 0x a x− + + =
1 2
4
b a
b
+ = +
=
3
4
a
b
=
=
[ ]1,4x∈ ( ) 1f x a≥ − − 2 ( 2) 5 0x a x a− + + + ≥ [ ]1,4x∈
( )2 2 5 1x x a x− + ≥ −①当 时，不等式 恒成立，此时
②当 时， ，
因为 ，所以 ，所以
当且仅当 时，即 ，即 时取等号，所以 ，
综上
【点睛】
本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，不等式恒成立问题，属于中档题.
33．（2020·江苏苏州�高二期末）解下列关于 x 的不等式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）整理化简，对一元二次不等式分解因式，求解即可；
（2）将不等式移项，根据分子恒为负数，则只需求 的解集即可.
【详解】
（1）原不等式可化为 ，即 ，
解得 或 ，
所以原不等式的解集为 .
（2）原不等式可化为 ，整理得 ，
1x = 0 4≤ a R∈
( ]1,4x∈ 2 2 5 411 1
x xa xx x
− +≤ = − +− −
1 4x< ≤ 0 1 3x< − ≤ ( )4 41 2 1 41 1x xx x
− + ≥ − ⋅ =− −
41
1
x
x
− =
− 1 2x − = 3x = 4a ≤
4a ≤
( 2) 1 (3 )x x x x+ − ≥ −
2
3 7 22 3
x
x x
− ≥+ −
[ )1, 1,2
−∞ − +∞ ( )3,1−
2 2 3 0x x+ − <
22 1 0x x− − ≥ ( )( )2 1 1 0x x+ − ≥
1
2x ≤ − 1≥x
[ )1, 1,2
−∞ − +∞
2
3 7 2 02 3
x
x x
− − ≥+ −
2
2
2 1 02 3
x x
x x
− − − ≥+ −由于
其恒为负值，故只要 ，
即 ，解之得 .
所以原不等式的解集为 .
【点睛】
本题考查一元二次不等式以及分式不等式的求解，属综合基础题.
34．（2020·哈尔滨德强学校高一期末）关于 的不等式 的解集为 .
（1）求 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）关于 的不等式 的解集为 ，说明 ，且﹣1 和 2 是方程
的两实数根，利用根与系数关系可以直接求解出 的值；
（2）由（1）可知 的值，根据一元二次不等式的求解方法，可以直接求解出不等式 的
解集．
【详解】
（1）关于 的不等式 的解集为 ，
∴ ，且﹣1 和 2 是方程 的两实数根，
由根与系数的关系知， ，解得 ；
（2）由（1）知， 时，
不等式 为 ，
∴不等式 的解集是 .
22 1x x− − −
2
2 1 1 1 72 22 2 4 16x x x
= − + + = − + +
2 2 3 0x x+ − <
( )( )3 1 0x x+ − < 3 1x− < <
( )3,1−
x 2 2 0ax bx+ + > { }1 2x x− < <
,a b
x 2 2 0bx ax− − >
1, 1a b= − = { }2 1x x x− 或
x 2 2 0ax bx+ + > { }1 2x x− < < 0a <
2 2 0ax bx+ + = ,a b
,a b 2 2 0bx ax− − >
x 2 2 0ax bx+ + > { }1 2x x− < <
0a < 2 2 0ax bx+ + =
1 2
21 2
b
a
a
− + = −
− × =
1, 1a b= − =
1, 1a b= − =
2 2 0bx ax− − > 2 2 0 ( 2)( 1) 0 1 2x x x x x x+ − = ⇒ + − > ⇒ > < −或
2 2 0bx ax− − > { }2 1x x x− 或【点睛】
本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了一元二次方程与一元二次不等式之间的联系.
35．（2020·浙江高一开学考试）已知关于 x 的一元二次方程 kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围；
（2）当 k 取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为 α 和 β，求代数式 α3+β2+β+2016 的值．
【答案】（1）k＞﹣ 且 k≠0；（2）2020.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k≠0 且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不
等式的公共部分即可；
（2）k＝1．方程变为 x2﹣x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到 α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程根的定
义得到 α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，则 β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整体代入的方法计算 α3+β2+β+2016
的值．
【详解】
（1）根据题意得 k≠0 且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得 k＞﹣ 且 k≠0；
（2）∵k 取满足（1）中条件的最小整数，
∴k＝1．此时方程变为 x2﹣x﹣1＝0，
∴α+β＝1，αβ＝﹣1，
∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，
∴β2＝β+1，α2＝α+1
∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，
α3+β2+β+2016
＝2α+1+β+1+β+2016
＝2（α+β）+2018
＝2×1+2018
＝2020．
【点睛】
1
4
1
4本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣ ，x1x2＝
．也考查了根的判别式．
36．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式组 的解集 是不等式 解集的
子集，求实数 的取值范围．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
先解一元二次不等式组得 ，再根据题意转化为 在 上恒成
立求解即可.
【详解】
解： ．
所以 ，
由 是 解集的子集知， 在 上恒成立．
令 ，只需该函数在 上的最大值不超过 即可．
因该函数的对称轴为 ，所以 ，所以 ，解得 ．
故实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查一元二次不等式组的解法，不等式恒成立问题，是中档题.
四、填空题
37．（2020·四川眉山�高一期末）已知实数 ， ， 是 与 的等比中项，则 的最小值
是_________.
【答案】32
【解析】
【分析】
b
a
c
a
2
2
4 3 0
6 8 0
x x
x x
− + <
− + 2 8a 2b
2 3( 2) 2 28a b a b+= × = 3 1a b+ =
6 2 6 2 6 6 6 6( )(3 ) 20 20 2 32b a b aa ba b a b a b a b
+ = + + = + + ≥ + ⋅ =
6 6b a
a b
+ 1
4a b= =
6 2
a b
+ 32
32
0x > 0y > 3x y xy+ = 2 3t t x y+ < +
t
( )4,3−
3x y xy+ = xy 3 1 1x y
+ = 3x y+ 3 1
x y
+
3x y+ 12 ( )2
min3 12t t x y+ < + = t
0x > 0y > 3x y xy+ = 3x y xy+ = xy 3 1 1x y
+ =
( ) 3 1 9 93 3 6 6 2 12x y x yx y x y x y y x y x
+ = + + = + + ≥ + ⋅ =
3x y= 3x y+ 12由于不等式 恒成立，则 ，即 ，
解得 ，因此，实数 的取值范围是 ，故答案为 .
【点睛】
本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求
最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.
39．（2020·校高一期末（文））已知正数 满足 ，则 的最大值为
________
【答案】81
【解析】
【分析】
由基本不等式求解．
【详解】
∵ ，∴ ，当且仅当 时等号成立．
故答案为：81．
【点睛】
本题考查基本不等式求最值．掌握应用基本不等式求最值的三个条件是解题关键．
40．（2020·江苏高三其他）已知 ， ，则 的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由 ，两次利用基本不等式即可求解.
【详解】
由 ， ，
，
2 3t t x y+ < + ( )2
min3 12t t x y+ < + = 2 12 0t t+ − <
4 3t− < < t ( )4,3− ( )4,3−
,x y 18x y+ = xy
0, 0x y> >
2
29 812
x yxy
+ ≤ = =
9x y= =
0x > 0y > 16yx x xy
+ +
4 2
216 16y yx xx xy xy
++ + = +
0x > 0y >
216 16 2 4 8 82 4 2y y y y yx x x x xx xy xy xy xy xy
+ ⋅ ⋅+ + = + ≥ + = + ≥ ⋅ =当且仅当 ， 时取等号，
故答案为：
【点睛】
本题考查了基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题.
41．（2019·江西新余�高二期末（文））设关于 x 的不等式 的解集为 ,则关于 x 的不等
式 的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知 2 且 ,利用标根法即可求得答案.
【详解】
不等式 ax+b> 0 的解集为{x|x< 2},
2 是方程 ax+b=0 的解，且 a { }2x x <
2 05 6
ax b
x x
+ ≥− −
( ) [ ), 1 2,6−∞ − ∪
0a b+ = 0a <
∴
2 0 ( 0)a b a∴ + = <
2
( 2) ( 2)0 0 05 6 ( 6)( 1) ( 6)( 1)
ax b a x x
x x x x x x
+ − −∴ > ⇒ > ⇔
2( )f x ax bx c= + + 9 4 0a c− < x∈R
( ) 0f x >
1
2
(2) 2 (1) (0)
− +
f
f f f【答案】
【解析】
【分析】
用 a、b、c 把各函数值表示出来，再由已知条件得到 a、b、c 之间的关系，进而得到不等式恒成立，即可求
范围
【详解】
∵
∴
又由二次函数 对任意的 都有 恒成立
知： ，而
∴ ，故
∴ ，令
即
∴ ，若
有 即可，而在 上 无最大值， 无最小值但
∴
故答案为：
1( , )2
+∞
1(0) , ( ) , (1) , (2) 4 22 4 2
a bf c f c f a b c f a b c= = + + = + + = + +
1( ) 2 4 1 22 4 2
(2) 2 (1) (0) 4 2 2( ) 8 8 4
a bf c a b c b c
f f f a b c a b c c a a
+ + + + += = = +− + + + − + + +
2( )f x ax bx c= + + x∈R ( ) 0f x >
2 4 0
0
b ac
a
∆ = − <
> 9 4 0a c− <
92 2 , 4
cac b ac a
− < < > 2 2c b c
a a a
− < <
1 2 1
2 2 4 2 2
c c b c c c
a a a a a
++ > > − 3
2
ct a
= >
2 22
2 2 4 2 2
t t b c t t
a
++ > > −
2 21 1 1 2 1 1( ) ( )2 2 8 4 2 2
b ct ta
++ > + > − 2 21 1 1 1( ) ( ) , ( ) ( )2 2 2 2f t t g t t= + = −
max min
1 2( ) ( )8 4
b cf t g ta
+> + > 3 ,2( )t ∈ +∞ ( )f t ( )g t
3 1( ) ( )2 2g t g> =
1( ) 12
(2) 2 (1) (0) 2
f
f f f
>− +
1( , )2
+∞【点睛】
本题考查了一元二次函数、一元二次不等式以及一元二次方程根与系数关系，首先由各函数值的表达式代
入目标式并化简，再由一元二次方程根与系数关系确定系数间的不等关系，进而构造一元二次函数，根据
不等式恒成立，求目标式范围
43．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范
围是_____.
【答案】 ；
【解析】
【分析】
分三种情况讨论：（1）当 等于 0 时，原不等式变为 ，显然成立；
（2）当 时，根据二次函数的图象与性质可知解集为 不可能；
（3）当 时，二次函数开口向下，且与 轴没有交点即△小于 0 时，由此可得结论．
【详解】
解：（1）当 时，得到 ，显然不等式的解集为 ；
（2）当 时，二次函数 开口向上，函数值 不恒小于 0，故解集为 不可能．
（3）当 时，二次函数 开口向下，由不等式的解集为 ，
得到二次函数与 轴没有交点，即△ ，即 ，解得 ；
综上， 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
44．（2020·哈尔滨德强学校高一期末）若不等式 的解集是 ，函数
，当 时 恒成立，则实数 a 的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】
2 2 4 0ax ax+ − < R a
( ]4,0−
a 4 0− <
0a > R
0a < x
0a = 4 0− < R
0a > 2 2 4y ax ax= + − y R
0a < 2 2 4y ax ax= + − R
x 24 16 0a a= + < ( 4) 0a a + < 4 0a- < <
a ( ]4,0−
( ]4,0−
2 0ax bx c+ + ≥ 1 23x x
− ≤ ≤
2( )f x cx bx a= + + x∈R 49( ) 24f x
−≥
[ )1,0−根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得到 ，再根据二次函数的性质解答.
【详解】
解： 的解集是
所以 为方程 的解且
，则
，
，对称轴为
，
即
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次不等式和一元二次方的关系，二次函数的性质，属于基础题.
45．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二月考（理））若对于任意的 关于 的不等式
恒成立，则 的最小值为___________________
【答案】
5
3
2
3
b a
c a
= −
= −
2 0ax bx c+ + ≥
1 23x x
− ≤ ≤
1 , 23x x= − = 2 0ax bx c+ + = 0a <
1 52 3 3
1 22 3 3
0
b
a
c
a
a
= − + = −
∴ = − × = −
≤ ≤
[0,1]
x
4x x
y x与 的函数由题意，总的费用 ，当 时取“=”，所以答案为 20 吨。
【点睛】
实际问题一定注意实际问题中自变量的取值，取等号的条件。
48．（2020·全国高三课时练习（理））设 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值．
【详解】
，
当且仅当 ，即 时成立，
故所求的最小值为 ．
【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
49．（2020·浙江高一单元测试）当 时，函数 与 在同一点
取得相同的最小值，那么当 时， 的最大值是______．
【答案】4．
【解析】
【分析】
先利用基本不等式求得 图象的最低点坐标，根据二次函数的性质求得 和 ，最后根据 的
400 4004 4 4 160y x xx x
= × + = + ≥ 20x =
0, 0, 2 5x y x y> > + = ( 1)(2 1)x y
xy
+ +
4 3
2 6xy +
( 1)(2 1) 2 2 1,x y xy x y
xy xy
+ + + + +=
0, 0, 2 5, 0,x y x y xy> > + = > ∴
2 2 32 6 4 3xyxy
xy xy
⋅+ ≥ =
3xy = 3, 1x y= =
4 3
1 22 x≤ ≤ 2 ,( )y x bx c b c R= + + ∈
2 1x xy x
+ +′ =
1 22 x≤ ≤ 2y x bx c= + +
2 1x xy x
+ +′ = b c x范围求得 的最大值．
【详解】
(当且仅当 时取等号)
所以当 时， 取得最小值 3，
所以函数 在 时，当 时有最小值 3.
所以二次函数 的顶点坐标为
．
当 时， ．
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，基本不等式的应用．考查了学生对二次函数图象的理解和灵活运用，属
于中档题.
50．（2020·浙江高一单元测试）对于实数 x，当且仅当 时，规定 ，则不等式
的解集是_____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
先解关于 的二次不等式，得到 的范围，再根据 的定义，得到 的范围.
【详解】
解关于于 的二次不等式 ，
得 ，
因为当且仅当 时，规定 ，
2y x bx c= + +
2 1 1 11 1+2 3x xy x xx x x
′ + += = + + ≥ × = 1x =
1x = y′
2 ,( )y x bx c b c R= + + ∈ 1 22x ∈ ， 1x =
2y x bx c= + + ( )1,3
2( 1) 3y x∴ = − +
∴ 2x = max 4y =
1( )n x n n N≤ < + ∈ [ ]x n=
24[ ] 36[ ] 45 0x x− + <
{ 2 8}x x≤
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