考点3.9 函数模型及其应用（解析版）-备战2021年高考数学（理）考点手册

考点 3.9 函数模型及其应用 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) 反比例函数模型 f (x)＝k x＋b(k，b 为常数且 k≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0) 指数函数模型 f (x)＝bax＋c (a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1) 对数函数模型 f (x)＝blogax＋c (a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1) 幂函数模型 f (x)＝axn＋b (a，b 为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上 的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现 为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现 为与 x 轴平行 随 n 值变化而各有 不同 值的比较 存在一个 x0，当 x>x0 时，有 logax 80 3x < x 80(0, )3 80x = 50v = ( ) ( 40) 85v f x k x= = − − + 50 40 85k= − + 7 8k = 801100 135 ( ) ,0 403 7 ( 40) 85 ,40 808 xx x x q vx x x x x  − < − 90x > 60 ( ) |120 |f x x= − 60 | 60 |, 90( ) |120 |, 90 x xf x x x −=  − >  ( ) {| |tf x t x= − |120 |}minx− | |, 0.5(120 )( ) |120 |, 0.5(120 )t t x x tf x x x t − +=  − > +  ( )tf x 2 2 21 1 3(120 ) 60 36002 4 4S t t t t= + − = − + (60)S S< 23 60 3600 27004 t t− + < 20 60t< < 2 ω (20,0) (60,0) 2015− (%) (%) (%)（数据来源于国家统计年鉴） （1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋 势： （2）设 表示 1978 年，第 年卫生总费用与年份 之间拟合函数 研究函 数 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份． 【解析】（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2） 是减函数，且 ， 在 上单调递增， 令 ，解得 ， 当 时，我国卫生总费用超过 12 万亿， 预测我国到 2028 年我国卫生总费用首次超过 12 万亿． 7．（2017•上海）根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为 和 （单位： 辆），其中 ， ，第 个月底的共享单车的保有量是前 个月的累计 投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第 个月底的单车容纳量 （单位：辆）．设 在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【解析】（1） ， 1t = n t 6.4420 0.1136 357876.6053( ) 1 tf t e −= + ( )f t 6.4420 0.1136ty e −= 6.4420 0.1136 0ty e −= > 6.4420 0.1136 357876.6053( ) 1 tf t e −∴ = + N 6.4420 0.1136 357876.6053 1200001 te − >+ 50.68t > ∴ 51t ∴ *( )n n N∈ na nb 45 15,1 3 10 470, 4n n na n n  += − +    5nb n= + n n n 24( 46) 8800nS n= − − + 45 15,1 3 10 470, 4n n na n n  += − +    5nb n= + 4 1 5 1 15 20a∴ = × + = 4 2 5 2 15 95a = × + = 4 3 5 3 15 420a = × + = 4 10 4 470 430a = − × + = 1 1 5 6b = + = 2 2 5 7b = + =前 4 个月共投放单车为 ， 前 4 个月共损失单车为 ， 该地区第 4 个月底的共享单车的保有量为 ． （2）令 ，显然 时恒成立， 当 时，有 ，解得 ， 第 42 个月底，保有量达到最大． 当 ， 为公差为 等差数列，而 为等差为 1 的等差数列， 到 第 42 个 月 底 ， 单 车 保 有 量 为 ． ． ， 第 42 个月底单车保有量超过了容纳量． 8．（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件， 在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足 再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 记 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数， 表示 1 台机器在购买易损零件上所需 的费用（单位：元）， 表示购机的同时购买的易损零件数． 3 3 5 8b = + = 4 4 5 9b = + = ∴ 1 2 3 4 20 95 420 430 965a a a a+ + + = + + + = 1 2 3 4 6 7 8 9 30b b b b+ + + = + + + = ∴ 965 30 935− = n na b 3n 4n 10 470 5n n− + + 465 11n ∴ 4n { }na 10− { }nb ∴ 4 42 1 42 430 50 6 4739 535 42 39 535 42 87822 2 2 2 a a b b+ + + +× + − × = × + − × = 42 4 16 8800 8736S = − × + = 8782 8736> ∴ x y n（Ⅰ）若 ，求 与 的函数解析式； （Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于 ”的频率不小于 0.5，求 的最小值； （Ⅲ）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件， 分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器 的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 【解析】（Ⅰ）当 时， （Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为 16 个频率为 0.06， 更换的易损零件数为 17 个频率为 0.16， 更换的易损零件数为 18 个频率为 0.24， 更换的易损零件数为 19 个频率为 0.24 又 更换易损零件不大于 的频率为不小于 0.5． 则 的最小值为 19 件； （Ⅲ）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件， 所须费用平均数为： （元 假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 20 个易损零件， 所须费用平均数为 （元 购买 1 台机器的同时应购买 19 台易损零件． 1．（2020•梅河口市校级模拟）“开车不喝酒，喝酒不开车．”近日，公安部交通管理局下发《关于 2019 年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定， 根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精 含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的 19n = y x n n 19n = 19 200, 19 3800, 19 19 200 ( 19) 500, 19 500 5700, 19 x xy x x x x × = = × + − × > − >     n 19n n∴ 1 (70 19 200 4300 20 4800 10) 4000100 × × + × + × = ) 1 (90 4000 10 4500) 4050100 × + × = ) 4000 4050 × C 5G 5G 2log (1 )SC W N = + C W S N S N比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽 ，而将信噪比 从 1000 提升至 4000，则 大约增加了 　　 附： A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当 时， ， 当 时， ， 因为 ， 所以将信噪比 从 1000 提升至 4000，则 大约增加了 ， 故选 ． 4．（2020•吉林四模）某品牌牛奶的保质期 （单位：天）与储存温度 （单位： 满足函数关系 ，该品牌牛奶在 的保质期为 270 天，在 的保质期为 180 天，则该品 牌牛奶在 的保质期是 　　 A．60 天 B．70 天 C．80 天 D．90 天 【答案】C 【解析】某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位： 满足函数关系 ， 该品牌牛奶在 的保质期为 270 天，在 的保质期为 180 天， ，解得 ， 该品牌牛奶在 的保质期： （天 ． 故选 ． 5．（2020•成都模拟）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为 的半圆形空地 的内部修建 一矩形观赛场地 ，如图所示．则观赛场地的面积最大值为 　　 W S N C ( ) 2 0.3010lg ≈ 10% 20% 50% 100% 1000S N = 2log 1000C W= 4000S N = 2log 4000C W= 2 2 log 4000 4000 3 2 2 3.6020 1.2log 1000 1000 3 3 lg lg lg += = ≈ ≈ S N C 20% B y x C)° ( 0, 1)kx by a a a+= > ≠ 0 C° 8 C° 24 C° ( ) y x C)° ( 0, 1)kx by a a a+= > ≠ 0 C° 8 C° ∴ 0 8 270 180 k b k b a a + +  =  = 8 2 3 ka = ∴ 24 C° 24 8 3 32( ) ( ) 270 803 k b k by a a a+= = × = × = ) C 20 2m O ABCD ( )A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意矩形的另两个顶点在半圆轴上时，矩形面积才能取得最大值， ， 设矩形在半圆板直径上的一边长为 ， 角如图所示， 则 ，另一边的长为 ， 矩形面积为 ， 当 即 时，也即长为 ， 宽为 时，矩形面积最大． 最大面积是 ． 故选 ． 6．（2020•茂名二模）在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称 为方圆图．圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用．山西应县木塔是我国 现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示．以该木塔底层的边 作方 形，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等．以塔底座的边作方形，作方圆图，会发现方圆的 切点 正好位于塔身和塔顶的分界．经测量发现，木塔底层的边 不少于 47.5 米，塔顶 到点 的距离不超过 19.9 米，则该木塔的高度可能是 　　 （参考数据： 2400m 2400 2m 2600m 2800m 20 2OD m= 2x θ 20 2 cosx θ= 20 2 sinCD θ= 1600sin cos 800sin 2S θ θ θ= = 2 90θ = ° 45θ = ° 40 2 cos45 40° = 20 2 sin 45 20° = 2800m D AB D AB C D ( ) 2 1.414)≈A．66.1 米 B．67.3 米 C．68.5 米 D．69.0 米 【答案】B 【解析】设该木塔的高度为 ，则由图可知， （米 ． 同时 ， （米 ． 即木塔的高度 约在 67.165 米至 67.9 米之间， 结合选项，可得 ． 故选 ． 7．（2020•漳州三模）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．中国茶的发现和利用已有四千七百多 年的历史，且长盛不衰，传遍全球为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”， 为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量 克与食客的满意率 的关系，通过试验调查研究，发 现可选择函数模型 来拟合 与 的关系，根据以下数据： 茶叶量 克 1 2 3 4 5 4.34 4.36 4.44 4.45 4.51 可求得 关于 的回归方程为 　　 h 2 47.5 1.414 67.165h AB= × = ) 2 1 2 CD h −= 2 19.9 67.91.4142 1 2 11 22 CD CDh∴ = = ≈ − −−  ) h B B x y bx cy ae += y x x (100 )ln y y x ( )A． B． C． D． 【答案】D 【解析】可令 ， 因为 ， ． 所以 关于 的回归直线过点 ， 又 ， ， ， ， 把 代入上面 4 个解析式检验可知只有 过点 ， 故选 ． 8．（2020•济南模拟）“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是 将每一期增长量相加后，除以期数，即 ．国内生产总值 被公认为是衡量国家 经济状况的最佳指标，如表是我国 年 数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 国内生产总值 万亿 68.89 74.64 83.20 91.93 99.09 根据表中数据， 年我国 的平均增长量为 　　 0.043 4.291xy e −= 0.043 4.291xy e += 0.043 4.2911 100 xy e −= 0.043 4.2911 100 xy e += (100 )Y ln y= 1 (1 2 3 4 5) 35x = + + + + = 1 (4.34 4.36 4.44 4.45 4.51) 4.425Y = + + + + = Y x (3,4.42) 0.043 4.2911 (100 ) 0.043 4.291100 xy e Y ln y x+= ⇔ = = + 0.043 4.2911 (100 ) 0.043 4.291100 xy e Y ln y x−= ⇔ = = − 0.043 4.291 0.043 4.291(100 ) (100 ) 0.043 4.291 100x xy e Y ln y ln e x ln+ += ⇔ = = = + + 0.043 4.291 0.043 4.291(100 ) (100 ) 0.043 4.291 100x xy e Y ln y ln e x ln− −= ⇔ = = = − + (3,4.42) 0.043 4.291Y x= + (3,4.42) D 1 1 ( ) 1 n i i i a a n − = − − ∑ ( )GDP 2015 2019− GDP / 2015 2019− GDP ( )A．5.03 万亿 B．6.04 万亿 C．7.55 万亿 D．10.07 万亿 【答案】C 【解析】设 2015 年国内生产总值为 万亿，则依次 万亿， 万亿， 万亿， 万亿． 年我国 的平均增长量为： 万亿． 答： 年我国 的平均增长量为 7.55 万亿． 故选 ． 9．（2020•厦门模拟）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游 速为 （单位： ，鲑鱼的耗氧量的单位数为 ．科学研究发现 与 成正比．当 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为 890．则当 时，其耗氧量的单位数为 　　 A．2670 B．7120 C．7921 D．8010 【答案】C 【解析】 与 成正比，比例系数设为 ， 可得 ， 当 时， ， 即有 ， 即 ， 则当 时， ， 即 ， 则 ， 可得 ， 故选 ． 10．（2020•张家口二模）为彻底打赢脱贫攻坚战，2020 年春，某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬 1 68.89a = 2 74.64a = 3 83.20a = 4 91.93a = 5 99.09a = 2015 2019− GDP (74.64 68.89) (83.20 74.64) (91.93 83.20) (99.09 91.93) 4 − + − + − + − 5.75 8.56 8.73 7.16 30.2 7.554 4 + + += = = 2015 2019− GDP C v / )m s Q v 3log 100 Q 1 /v m s= 2 /v m s= ( ) v 3log 100 Q k 3log 100 Qv k= 1v = 890Q = 31 log 8.9k= 8.9log 3k = 2v = 32 log 100 Qk= 8.9 3 8.92 log 3 log log100 100 Q Q= = 28.9100 Q = 7921Q = C菜大棚脱贫致富，若该农户计划种植冬瓜和茄子，总面积不超过 15 亩，帮扶资金不超过 4 万元， 冬瓜每亩产量 10000 斤，成本 2000 元，每斤售价 0.5 元，茄子每亩产量 5000 斤，成本 3000 元， 每斤售价 1.4 元，则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为 　　 A．4 万元 B．5.5 万元 C．6.5 万元 D．10 万元 【答案】B 【解析】设冬瓜和茄子的种植面积分别为 ， 亩，总利润 万元， 则目标函数 ， 线性约束条件为 ，即 ， 作出可行域如图，由 可得 ，即 ， 平移直线 ，可知直线 经过点 时， 即 ， 时， 取得最大值 5.5 万元． 故选 ． 11．（2020•合肥三模）某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在 某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测 器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时， ( ) x y z (0.5 10000 2000 ) (1.4 5000 3000 )z x x y y= − + −  3000 4000 1000(3 4 )x y x y= + = + 15 2000 3000 40000 0, 0 x y x y x y +  +      15 2 3 40 , 0 x y x y x y +  +     15 2 3 40 x y x y + =  + = 5 10 x y =  = (5,10)A :3 4 0l x y+ = l (5,10)A 5x = 10y = z B反射光相对探测光会发生频移 ，其中 为测速仪测得被测物体的横向速度， 为激 光波长， 为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁 处，发出的激 光波长为 ，测得某时刻频移为 ，则该时刻高铁的速度约等于 　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 故 ，即 ， 故 米 小时 ． 故选 ． 12．（2020•成都模拟）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为 ，圆心角为 的扇形空地 的内部修建一平行四边形观赛场地 ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，作 ， ，垂足分别为 、 ，则平行四边形面积即为矩形 2 sin p vf ϕ λ= v λ ϕ 1m 91550 (1 10 )nm nm m−= 99.030 10 (1/ )h× ( ) 320 /km h 330 /km h 340 /km h 350 /km h 3 3 2 20 10 0.02sin 1.00041 (20 10 ) ϕ − − ×= = + × 9 9 0.022 1.00049.030 10 1550 10 v −× = ×  0.049.03 1550 1.004 v= 9.03 1550 1.0004 349982.480.04v ×= ≈ / 350 /km h≈ D 20 2m 4 π OPQ ABCD ( ) 2200m 2400(2 2)m− 2400( 3 1)m− 2400( 2 1)m− DE OP⊥ CF OP⊥ E F EFCD的面积， 设 ， 由 题 ， 则 ， ， 所以矩形 面积 ，其中 ， 则 ， ，所以当 时，矩形 面积最大，最大值为 ， 此时平行四边形 的面积也取得最大值． 故选 ． 13．（2020•房山区二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ， 经过 分钟后物体的温度 可由公式 求得，其中 是一个随着物体与空气的 接触状况而定的大于 0 的常数．现有 的物体，放在 的空气中冷却，4 分钟以后物体的 温度是 ，则 约等于 　　 （参考数据： A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】D 【解析】由题意可得： ， ， 两边取对数可得： ， ． 故选 ． 14．（2020•山东模拟）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度 （每层玻璃的 厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量 满 POC θ∠ = 4POQ π∠ = 20 2 sinCD DE OE θ= = = 20 2(cos sin )EF OF OE θ θ= − = − EFCD 20 2(cos sin ) 20 2 sin 400(sin 2 cos2 1)S θ θ θ θ θ= − = + − 2400 2[sin(2 ) ]4 2 πθ= + − (0, )4 πθ ∈ 2 (4 4 π πθ + ∈ 3 )4 π 8 πθ = EFCD 400( 2 1)− ABCD D 1 Cθ ° 0 Cθ ° t Cθ° 0 1 0( ) kteθ θ θ θ −= + − k 80 C° 20 C° 40 C° k ( ) 3 1.099)ln ≈ 440 20 (80 20) ke−= + − 4 1 3 ke−∴ = 14 3 1.0993k ln ln− = = − = − 1.099 0.34k∴ = ≈ D d l q足关系式 ，其中玻璃的热传导系数 焦耳 （厘米 度），不流通、干 燥空气的热传导系数 焦耳 （厘米 度），△ 为室内外温度差， 值越小，保温效 果越好，现有 4 种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表： 型号 每层玻璃厚度 （单位：厘米） 玻璃间夹空气层厚度 （单位：厘米） 型 0.4 3 型 0.3 4 型 0.5 3 型 0.4 4 则保温效果最好的双层玻璃的型号是 　　 A． 型 B． 型 C． 型 D． 型 【答案】D 【解析】设 ， ， ， ， ， ， 和 △ 均为正常数， ， 型玻璃保温效果最好． 故选 ． 15．（2020•辽宁模拟）人们通常以分贝（符号是 为单位来表示声音强度的等级， 分贝是 较理想的安静环境，超过 50 分贝就会影响睡眠和休息，70 分贝以上会干扰谈话，长期生活在 90 分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露 在高达 150 分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听 力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为 的声音对应的等级为 ， 1 1 2 | | ( 2) Tq ld d λ λ λ = +  3 1 4 10λ −= × /  4 2 2.5 10λ −= × /  T q d l A B C D ( ) A B C D 1 1 2 2 ( 2) 2 16 2ly d l d l dd λ λ λ λ= + = + = + 48.8Ay∴ = 64.6By = 49Cy = 64.8Dy = A C B Dy y y y∴ < < < 1 λ | |T A C B Dq q q q∴ > > > D∴ D )dB 30 ~ 40 x ( )f x dB则有 ，则 的声音与 的声音强度之比为 　　 A．10 B．100 C．1000 D．10000 【答案】D 【解析】由题意，可知 当声音强度的等级为 时，有 ， 即 ， 则 ， 此时对应的强度 ， 当声音强度的等级为 时，有 ， 即 ， 则 ， 此时对应的强度 ， 的声音与 的声音强度之比为 ． 故选 ． 16．（2020•茂名二模）某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买 饲料优惠政策如下： （1）若购买饲料不超过 2000 元，则不给予优惠； （2）若购买饲料超过 2000 元但不超过 5000 元，则按标价给予 9 折优惠； （3）若购买饲料超过 5000 元，其 5000 元内的给予 9 折优惠，超过 5000 元的部分给予 7 折优 惠． 某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案： 方案一：分两次付款购买，分别为 2880 元和 4850 元； 方案二：一次性付款购买． 若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省 　　 元 A．540 B．620 C．640 D．800 【答案】C 【解析】由题意可得，方案一中第一次付款 2880 元时， 12( ) 10 1 10 xf x lg −= × × 90dB 50dB ( ) 90dB 1210 901 10 xlg −× =× 12 91 10 xlg − =× 9 12 101 10 x − =× 9 12 310 10 10x − −= × = 50dB 1210 501 10 xlg −× =× 12 51 10 xlg − =× 5 12 101 10 x − =× 5 12 710 10 10x − −= × = 90dB∴ 50dB 3 3 ( 7) 4 7 10 10 10 1000010 − − − − − = = = D ( )， 该款饲料的原价享受了 9 折优惠，则其原价为 元； 第二次付款 4850 元时， ，且 ， 其原来的价格为 元． 分两次购买饲料的原价为 元． 方案二：若一次性付款，则应付款为： 元， 方案二比方案一节省 元． 故选 ． 17．（2020•武汉模拟） 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： ．它表示： 在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率 取决于信道带宽 、信道内信号的平均功率 、信 道内部的高斯噪声功率 的大小，其中 叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽 ，而将 信噪比 从 1000 提升至 2000，则 大约增加了 　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将信噪比 从 1000 提升至 2000 时， 大约增加了 ， 故选 ． 18．（2020•威海一模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能 量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为 ．2011 年 3 月 11 日，日 本东北部海域发生里氏 9.0 级地震与 2008 年 5 月 12 日我国汶川发生里氏 8.0 级地震所释放出来 的能量的比值为 　　 A． B．1.5 C． D． 【答案】A 【解析】设日本地震所释放出的能量是 ，汶川地震所释放出的能量是 ， 2880 2000> ∴ 2880 32000.9 = 5000 0.9 4500× = 4850 4500> ∴ 4850 45005000 55000.7 −+ = ∴ 3200 5500 8700+ = 5000 0.9 (8700 5000) 0.7 7090× + − × = (2880 4850) 7090 640+ − = C 5G 2log (1 )SC W N = + C W S N S N W S N C ( ) 10% 30% 50% 100% S N C 2 2 2 2 2 2 (1 2000) (1 1000) 2001 1001 10.967 9.967 10%(1 1000) 1001 9.967 Wlog Wlog log log Wlog log + − + − −= ≈ ≈+ A E M 4.8 1.5lgE M= + ( ) 1.510 1.5lg 1.510− 1E 2E则 ， ， ， ； ． 故选 ． 19．（2020•道里区校级一模）某商场每天的食品销售额 （万元）与该商场的总销售额 （万元） 具有相关关系，且回归方程为 ．已知该商场平均每天的食品销售额为 8 万元，估计 该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为 　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 商场每天的食品销售额 （万元）与该商场的总销售额 （万元）的线性回归方程为 ， 当商场平均每天的食品销售额为 8 万元时，该商场平均每天的总销售额为 ， 该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为： ， 故选 ． 20．（2020•运城一模）公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌 龟在跑步英雄阿基里斯前面 1000 米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米，当阿基里斯跑完下一 个 100 米时，乌龟先他 10 米，当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟先他 1 米， ，所以，阿 基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为 0.1 米时，乌龟爬行 的总距离为 　　 A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】D 【解析】由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列 ，且 ， ， ， 1 4.8 1.5 9 18.3lgE = + × = 2 4.8 1.5 8 16.8lgE = + × = 18.3 1 10E∴ = 16.8 2 10E = ∴ 1.51 2 10E E == A x y ˆ 9.7 2.4y x= + ( ) 1 10 1 9 1 8 1 7  x y ˆ 9.7 2.4y x= + ∴ 9.7 8 2.4 80y = × + = ∴ 8 1 80 10 = A …… ( ) 510 1 900 − 510 9 90 − 410 9 900 − 410 1 90 − { }na 1 100a = 1 10q = 0.1na =乌龟爬行的总距离为 ， 故选 ． 21．（2020•桥西区校级模拟）2019 年国际泳联游泳锦标赛在韩国光州举行，最终中国队收获 16 枚 金牌，位列金牌榜第振奋人心！在这届国际游泳锦标赛的 200 米男子自由泳决赛中，中国某游泳 名将的成绩是 1 分 44.93 秒，若该名将游泳时每划的距离略低于自身的身高（整个过程视为匀速， 且每划的距离视为近似相等），则他在这次决赛中前 20 秒的总划数可能为 　　 A．15 B．21 C．27 D．33 【答案】B 【解析】这名游泳名将每秒钟划水的距离约为 ， 若 20 秒的总划数为 21，则平均每秒钟的划数为 1.05， 则 ，符合每划的距离略低于自身的身高这条件，而其他选项不符合条件． 故选 ． 22．（2020•重庆模拟）为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度， 某地区在 2015 年以前的年均脱贫率（脱贫的户数占当年贫困户总数的比）为 ，2015 年开始 全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中 2019 年度实施的扶贫项目，各项目参 加户数占比（参加户数占 2019 年贫困总户数的比）及该项目的脱贫率见表： 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 参加占户比 脱贫率 那么 2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的 　　 倍． A． B． C． D． 【答案】B 【 解 析 】 2019 年 的 年 脱 贫 率 是 实 施 “ 精 准 扶 贫 ” 政 策 前 的 年 均 脱 贫 率 的 倍． 故选 ． 23．（2020•荆门模拟）我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等 ∴ 4 1 1100 0.1 10 110 11 901 10 n n a a qS q − ×− −= = =− − D ( ) 200 200 1.960 44.93 105 ≈ =+ 1.9 1.811.05 ≈ B 70% 45% 45% 10% 96% 96% 90% ( ) 7 5 477 350 487 350 37 28 45% 96% 45% 90% 10% 90% 477 70% 350 × + × + × = B一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间 四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？“则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级 较低的九等人所得黄金 　　 A．多 斤 B．少 斤 C．多 斤 D．少 斤 【答案】A 【解析】设十等人得金从高到低依次 ， ， ， ，则 为等差数列， 设公差为 ，则由题意可知 ； ， ， ； ． 即等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多 斤． 故选 ． 24．（2020•衡阳一模）衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现 100 万元年经营利润目 标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过 6 万元的前提下奖励，且奖金 （单位：万元）随 经营利润 （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不能超过利润的 ．下列函数模型中，符合该点要求的是 　　 （参考数据： ， A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于函数： ，当 时， ，不符合题意； 对于函数： ，当 时， ，不符合题意； 对于函数： ，不满足递增，不符合题意； ( ) 8 21 8 21 1 3 1 3 1a 2a …… 10a { }na d 1 2 3 8 9 10 4 3 a a a a a a + + =  + + = 2 4 3a∴ = 9 1a = 9 2 1 7 21 a ad −∴ = = − 1 9 88 21a a d∴ − = − = 8 21 A y x 20% ( ) 1001.015 4.432≈ 11 1.041)lg ≈ 0.04y x= 1.015 1xy = − tan( 1)19 xy = − 11log (3 10)y x= − 0.04y x= 100x = 4 3y = > 1.015 1xy = − 100x = 3.432 3y = > tan( 1)19 xy = −对于函数： ，满足 ， ，增函数， 且 ， 结合图象， 与 的图象如图所示： 符合题意， 故选 ． 25．（2020•湖北模拟）众所周知，银行的运营方式一直是个谜，但去银行存款却又是一个十分实际 的问题，所以理解清楚银行的运营方式对我们进入社会大展手脚是一个帮助．某人拟去附近的一 家银行存款，得知该银行对于数额非特别巨大的存款有如下两种存款方案（单次存款金额不得少 于 100 元） 方案一 定期存款策略：固定存款年，年利率为 ，存满一年后本金与利息作为下一年的本金 继续实行存款策略．若中途取出存款则会扣除全部利息并收取 元依本金数额而定的手续费 （从存款中扣除），具体扣费措施见附表．若一年内存在两次取出存款，则该人在这一年内将被 计入不诚信档案．当该人被计入不诚信档案后，收取的手续费将增加至四倍． 方案二 活期存款策略：年利率为 ，可以随时存取款并且不扣除利息以及手续费． 手续费附表 存款金额 的范 围 元 11log (3 10)y x= − (6x∈ 100] 11logy 11 11(3 100 10) log 290 log 1331 3× − = < = 1 5y x= 11logy = (3 10)x − D : [ ] 3% 5 50− [ ] 1% [ ] N / 100 1000N  1000 7000N<  7000 10000N<  10000>手续费 元 45 50 补充内容 ①年利率是指，理论上存款一年后获得的利息（即银行通过利用存款人的存款资金 进行理财而获得盈利后对存款人的账户相应地存入一定数额的报酬）与一年前的本金的比值．若 存款不满一年，获得的利息将按照存款时间与一年的比值乘以利率及本金来计算． ②注： 表示大于等于 的最小整数．如 则以下说法中正确的序号组合是 　　 ①若该人一年内选用定期存款存取同一笔钱共计扣除手续费 95 元，则他初始存入的金额小于 2020 元 ②若该人一年内选用定期存款存取同一笔钱共计扣除手续费 95 元，则他初始存入的金额可能为 5000 元 ③若该人要在一年后获得的利息最大，应选择方案一 ④若该人要在一年后获得的利息最大，应选择方案二 A．①③ B．②④ C．③ D．④ 【答案】D 【解析】设该人初始存入的金额为 元， 当 时，手续费 ， 当 时，手续费 ， 当 时，手续费 ， 命题①②错误； 由于定期存 的年利率比活期存款的年利率大， 若该人要在一年后获得的利息最大， 应该选择方案二， 命题③错误，命题④正确． 故选 ． 26．（2020•衡阳模拟）2020 年 3 月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春 光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表： 购票人数 100 以上 / 5 [ ]500 N× 100010 5 [ ]1000 N −+ × [ ] [ ]x x [3.4] 4= ( ) N 100 1000N  10005 [ ] 10500y × = 100 7000N<  7000 100010 10 5 [ ] 501000y −+ + × = 7000 10000N<  50 45 95y = + = ∴ ? ∴ D 1~ 50 51~100门票叫个 13 元 人 11 元 人 9 元 人 两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费 1290 元；若合并成一个团队购 票，则需支付门票费 990 元，那么这两个旅游团队的人数之差为 　　 A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【解析】设两个旅游团队的人数分别为 ， ， 不能被 13 整除， 两个旅游人数之和： ， 若 ，则 11 得： ，① 由共需支付门票费为 1290 元可知， ，② 联立①②解得： ， ，不符合题意； 若 ，则 9 ，得 ，③ 由共需支付门票费为 1290 元可知， ， ， 得 ，④ 联立③④解得： 人， 人． 这两个旅游团队的人数之差为 人． 故选 ． 27．（2020•邵阳模拟）上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 ，充分展示了 我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图 2 为 骨笛测量春（秋 分”，“夏（冬 至”的示意图．图 3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽 略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹 角等于黄赤交角． / / / ( ) a b 990 ∴ 51a b+  51 100a b+  ( ) 990a b+ = 90a b+ = 11 13 1290a b+ = 150b = 60a = − 100a b+ > ( ) 990a b+ = 110a b+ = 1 50a  51 100b  11 13 1290a b+ = 70a = 40b = ∴ 70 40 30− = B 1) ) )由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如表： 黄赤交角 正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前 2000 年 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是 　　 A．公元前 2000 年到公元元年 B．公元前 4000 年到公元前 2000 年 C．公元前 6000 年到公元前 4000 年 D．早于公元前 6000 年 【答案】D 【解析】由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为 ，春秋分日光与垂直线夹角为 ， 则 即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图 3 近似画出如下平面几何图形： 则 ， ， ． 23 41° ′ 23 57° ′ 24 13° ′ 24 28° ′ 24 44° ′ ( ) α β α β− 16tan 1.610 α = = 16 9.4tan 0.6610 β −= = tan tan 1.6 0.66tan( ) 0.4571 tan tan 1 1.6 0.66 α βα β α β − −− = = ≈+ + ×， 估计该骨笛的大致年代早于公元前 6000 年． 故选 ． 28．（2020•淮北二模）1943 年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文 “西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管 内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法．若试管内某种 病毒细胞的总数 和天数 的函数关系为： ，且该种病毒细胞的个数超过 时会发生变 异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为 　　 天 A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【解析】 ， ， 两边同时取常用对数得： ， ， ， ， 该种病毒细胞实验最多进行的天数为 27 天， 故选 ． 29．（2020•九龙坡区模拟）我国古代数学专著《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题： “今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升， 共支米四百三石九斗二升，’问筑堤几日？“”其大意为：“官府陆续派遣 1864 人前往修筑堤坝， 第一天派出 64 人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多 7 人，修筑堤坝的每人每天发大 米 3 升，共发出大米 40392 升，问修筑堤坝多少天？“在这个问题中，修筑堤坝的天数为 　　 A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【解析】设第 天派出的人数为 ，则 是以 64 为首项、7 为公差的等差数列， 0.455 0.457 0.461<