江苏省南京大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三数学阶段检1 含答案详解

2020-2021 学年度第一学期高三阶段检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 3.考试时间 120 分钟，满分 150 分 一、单项选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合퐴 = {푥| - 1 2 < 푥 < 2},퐵 = {푥|푥2 ≤ 1}，则 A∪B= （ ） A． B．{푥| - 1 2 < 푥 ≤ 1} C． D．{푥|1 ≤ 푥 < 2} 2．设函数푦 = 푓(푥)的图像与푦 = 2푥+푎的图像关于直线푦 = - 푥对称，且푓( - 2) + 푓( - 4) = 1，则푎 = ( ) A． - 1 B．1 C．2 D．4 3．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼 到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大 灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个。若在这座楼阁的灯球中，随机选取 两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为( ) A. B. C. D. 4．已知 y＝f(x)为 R 上的可导函数，当 x≠0 时， >0，若 F(x)＝f(x) ＋ ，则函数 F(x)的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.0 或 2 5.函数푓(푥) = 푥2 +푥푠푖푛푥的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（|φ|＜휋 2）的图象如图所示，为了得到 g（x）＝ sin3x 的图象，只需将 f（x）的图象（　　） A．向右平移휋 4个单位长度 B．向左平移휋 4个单位长度 C．向右平移 휋 12个单位长度 D．向左平移 휋 12个单位长度 { | 1 2}x x− ≤ < { | 2}x x < 119 1077 160 359 958 1077 289 359 ( ) ( )f xf ' x x + 1 x7．已知 a=1 3 1 2，b=ln1 3，，c=푒 1 3则（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 8．南京某学校为了解 1 000 名学生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被 抽到，则以下 4 名学生中被抽到的是（ ） A．8 号学生 B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 二、多项选择题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分) 9.已知 f(x)＝sin2x，g(x)＝cos2x，下列四个结论正确的是（ ） A.f(x)的图象向左平移 个单位长度，即可得到 g(x)的图象 B.当 x＝ 时，函数 f(x)－g(x)取得最大值 C.y＝f(x)＋g(x)图象的对称中心是( ，0)，k∈Z D.y＝f(x)·g(x)在区间( ， )上单调递增 10.已知函数 f(x)＝ ，则下列结论正确的是（ ） A.函数 f(x)不存在两个不同的零点 B.函数 f(x)既存在极大值又存在极小值 C.当－e > S CD A B E19.已知函数 f(x)=m + lnx x ，m∈R，x>1. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调区间； (Ⅱ)若 f(x) 0，且푎 ≠ 1），且푓(3) = 1. （1）求푎的值，并写出函数푓(푥)的定义域； （2）设函数푔(푥) = 푓(1 + 푥) - 푓(1 - 푥)，试判断푔(푥)的奇偶性，并说明理由； （3）若不等式푓(푡 ⋅ 4푥) ≥ 푓(2푥 - 푡)对任意푥 ∈ [1,2]恒成立，求实数푡的取值范围.2020/2021 学年度第一学期阶段检测试卷答案 数学 1.A 2.C 3.C 4.A 5.A 6.C 7.B 8. C 9.CD 10.BCD 11.CD 12.BC 13. m＝o 或-1 2或1 3 14（1，0） 15. 16. 17.解答： f(x)=1+cos(2x+π 6 )+sin2x =1+cos2xcosπ 6 −sin2xsinπ 6 +sin2x =1+ 3 2 cos2x+1 2sin2x =sin(2x+π 3 )+1 (1)f(α)=sin(2α+π 3 )+1 =1， ∴sin(2α+π 3 )=0；2α+π 3 =kπ，α=kπ 2 −π 6 (k∈z)， 又∵α∈(0,π)∴α=π 3 或5π 6 (2)f(x)单调增，故 2x+π 3 ∈[2kπ−π 2 ,2kπ+π 2 ]， 即 x∈[kπ−5π 12 ,kπ+π 12](k∈Z)， 从而 f(x)的单调增区间为[kπ−5π 12 ,kπ+π 12](k∈Z). 18.证明：如图 1，连接 BE、BD，由底面 ABCD 是正方形可得 AC⊥BD。 ∵ SD ⊥ 平 面 ABCD ， ∴ BD 是 BE 在 平 面 ABCD 上 的 射 影 ， ∴ AC ⊥ BE·········4 分 （Ⅱ）如图 1，由 SD⊥平面 ABCD 知，∠DBE= 휙, ∵ SD⊥平面 ABCD，CD ⊂ 平面 ABCD, ∴ SD⊥CD。 又底面 ABCD 是正方形， ∴ CD⊥AD，而 SD ∩ AD=D，CD⊥平面 SAD. 连接 AE、CE，过点 D 在平面 SAD 内作 DE⊥AE 于 F，连接 CF，则 CF⊥AE， 故∠CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角，即∠CFD=휃。 在 Rt△BDE 中， ∵ BD=2a，DE=휆푎，퐵퐸 = 4푎2 + 휆2푎2 ， 푠푖푛휙 = 퐷퐸 퐵퐸 = 휆 휆2 + 4 在 Rt△ADE 中, ∵ 퐴퐷 = 2푎,퐷퐸 = 휆푎, ∴ 퐴퐸 = 푎 휆2 + 2 从而퐷퐹 = 퐴퐷 ⋅ 퐷퐸 퐴퐸 = 2휆푎 휆2 + 2 在RtΔCDF中，퐶퐹 = 퐷퐹2 + 퐶퐷2 = 2 휆2 + 1 휆2 + 2 푎. 4 3 3y x= ±∴ 푐표푠휃 = 퐷퐹 퐶퐹 = 휆 2휆2 + 2 푠푖푛휙 = 푐표푠휃 即 휆 휆2 + 4 = 휆 2휆2 + 2 ⇔휆2 = 2 由휆 ∈ (0,2]，解得휆 = 2，即为所求. 19. (Ⅰ)f′(x)=1 - m - lnx x2 ,x>1 当 1−m⩽0 时,即 m⩾1 时,1−m−lnx⩽0 在[1,+∞)上恒成立， 所以 f(x)的单调减区间是[1,+∞),无单调增区间. 当 1−m>0 时,即 m0 得 x∈(1,e1-m). 由 f′(x)1,gmax(x)1 ①m⩽0 时,g′(x)>0,(x>1),g(x)在(1,+∞)递增， ∴x>1,g(x)>g(1)=0,舍去 ②m⩾1 2时,g′(x)1),g(x)在(1,+∞)递减， ∴x>1,g(x)g(1)=0,(舍去)， 综上,m⩾1 2 20.（1）由已知得出联列表： 所以 ， （必须保留小数点后三位，否则不给分） 有 99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关； （2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为 ， 2 2 60 (10 8 12 30) 7.033 6.63522 38 40 20K × × − ×= ≈ >× × × ∴ 12 3 20 5P = = ， （3）若选方案一，则需付款 元 若选方案二，设实际付款 元，，则 的取值为 1200，1080，1020， ， ， ， 选择第二种优惠方案更划算 21．解：（1）由题意知，f（x）＝a•푏＝msin2x+ncos2x， 根据 y＝f（x）＝的图象过点（ 휋 12 , 3)和（2휋 3 ，﹣2）， 得到{ 3 = 푚푠푖푛휋 6 + 푛푐표푠휋 6 ―2 = 푚푠푖푛4휋 3 + 푛푐표푠4휋 3 解得 m＝ 3，n＝1； f（x）＝a•푏•＝ 3sin2x+cos2x＝2sin（2x+휋 6）， 当﹣휋 6≤x≤휋 3时，﹣휋 6≤2x+휋 6≤5휋 6 ， ∴﹣1≤2sin（2x+휋 6）≤2； ∴函数 y＝f（x）的最大值为 2，此时 x＝휋 6， 最小值为﹣1，此时 x＝﹣휋 6； （2）将函数 y＝f（x）的图象向右平移휋 4个单位后，得函数 y＝2sin[2（x﹣휋 4） +휋 6]＝2sin（2x﹣휋 3）的图象； 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得函数 y＝g （x）＝2sin（푥 2﹣휋 3）的图象， 令 t＝푥 2﹣휋 3，t∈[﹣휋 3，2휋 3 ]，如图所示， 当 3 2 ≤sint＜1 时，g（x）＝m 在[0，2π]有两个不同的解， ∴ 3≤2sin（푥 2 - 휋 3）＜2， 则实数 m 的取值范围是 3≤m＜2． 3( )5Bξ∴  3, =×= 5 33)(ξE 5 9 1200 100 1100− = X X ( ) 0 2 0 2 1 1 11200 =2 2 4P X C    ∴ = =        ( ) 1 1 1 2 1 1 11080 = =2 2 2P X C    = =        ( ) 2 0 2 2 1 1 11020 =2 2 4P X C    = =        ( ) 1 1 11200 1080 1020 10954 2 4E X∴ = × + × + × = 1100 1095> ∴ ，22．【详解】(1)푓(3) = 푙표푔푎 3 = 1，푎 = 3；푓(푥) = 푙표푔3 푥(푥 > 0) (2)푔(푥) = 푓(1 + 푥) - 푓(1 - 푥) ∴ {1 + 푥 > 0 1 - 푥 > 0∴ 푔( -푥) = 푓(1 - 푥) - 푓(1 + 푥) = - 푔(푥) ∴푔(푥)为奇函数； (3)푓(푥) = 푙표푔3 푥 ∴ 푓(푥)是单调递增函数 푓(푡 ⋅ 4푥) ≥ 푓(2푥 - 푡) ∴푡 ⋅ 4푥 ≥ 2푥 - 푡 > 0 ∴푡(4푥 + 1) ≥ 2푥 ∴푡 ≥ 2푥 4푥 + 1 = 1 2푥 + 1 2푥 令푦 = 2푥 + 1 2푥 푥 ∈ [1,2]时上式为增函数 ∴푦1 2 5 2푚푖푛 ∴푡 ≥ 1 5 2 = 2 5 又∵2푥 - 푡 > 0 ∴푡 < (2푥)푚푖푛 综上푡 ∈ 2 5,2). 1 1x− <