高三数学开学考试试卷
2020.8
一、单选题（每小题 5 分，计 40 分）
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2，设 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若方程 表示椭圆，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数 是 上的减函数，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中，最小值为 4 的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则不等式 的解集
为（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的图象大致为（ ）
{ }2A x y x= = + { }2 1B x y x= = − A B =
[ )1,+∞ [ ] [ )2, 1 1,− − +∞
[ )2,+∞ [ ] [ )2, 1 2,− − +∞
i 2i
1 i−
2 2
15 3
x y
m m
+ =− + m
( )3,5− ( )5,3− ( ) ( )3,1 1,5− ( ) ( )5,1 1,3−
( ) ( )3 1 4 , 1
, 1
a x a xf x
ax x
− + −
a
1
2a < 1
2a ≤ 1
2a > 1
2a ≥
{ }na 1
12 ,0 ,2
12 1, 1,2
n n
n
n n
a a
a
a a
+
≤=
− < 1 1a
<
x∈R 2 1 0x x+ + < x∈R 2 1 0x x+ + ≥
x y∈R 2x ≥ 2y ≥ 2 4y+ ≥
a b∈R 0a ≠ 0ab ≠
( ) ( )3 0f x ax bx c ac= + + < ( )y f x=C． D．
12．设函数 ， ，给定下列命题，其中是正确命题的是（ ）
A．不等式 的解集为
B．函数 在 单调递增，在 单调递减
C．若 ，则当 时，有
D．若函数 有两个极值点，则实数
三、填空题（每小题 5 分，计 20 分）
13．已知 ，若 ，则 ________．
14 ． 设 函 数 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 且 ， 则 的 值 为
________．
15．已知 实数 满足 ， 方程 表示焦点在 轴上的椭圆．若
是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是________．
16．已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数 的取值集合是
________．
四、解答题（共 6 小题，计 70 分）
17．【本题满分 10 分】
在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下
面的问题中，并解决该问题．
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ________， ， ，求 的面
( ) lnf x x x= ( ) ( )f xg x x
′=
( ) 0g x > 1 ,e
+∞
( )g x ( )0,e ( ),e +∞
1m ≥ 1 2 0x x> > ( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 22
m x x f x f x− > −
( ) ( ) 2F x f x ax= − 10, 2a ∈
( ) 5 3 8f x x ax bx= + + − ( )2 10f − = ( )2f =
( )f x R ( ) ( )
( )2log 1 , 0
, 0
x xf x g x x
+ ≥= :q
2 2
11 2
x y
m m
+ =− −
y
p q a
( ) 2
e 2 ln
x
f x k x kxx
= − + 2x = ( )f x k
2 2 22b ac a c+ = + cos sina B b A= sin cos 2B B+ =
ABC△ A B C a b c π
3A = 2b = ABC△积．
18．【本题满分 12 分， 】
已知函数 ，若函数 在点 处的切线方程是 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）求 的单调区间．
19．【本题满 12 分， 】
在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友
圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的喜
爱程度，随机调查了观看该演讲的 140 名观众，得到如下的列联表：（单位：名）
男 女 总计
喜爱 40 60 100
不喜爱 20 20 40
总计 60 80 140
（1）根据以上列联表，判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关；
（精确到 0.001）
（2）从这 60 名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为 6 的样本，然后随机选取两
名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．
附表：
0.10 0.05 0.25 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
，其中 ．
20．【本题满分 12 分， 】
如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 ， ， ， ，
， 是 的中点．
6 6+
( ) ( )3 0f x ax x b a= − + ≠ ( )f x ( )( )1, 1f 2 3 0x y− + =
( )f x
( )f x
6 6+
( )2
0P K k≥
0k
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
6 6+
P ABCD− PA ⊥ ABCD BC AD AB BC⊥ 2PA AB= =
2 2AD BC= = M PD（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
21．【本题满分 12 分， 】
某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每批产品的非原料总成本 （元）
与生产该产品的数量 （千件）有关，经统计得到如下数据：
1 2 3 4 5 6 7
6 11 21 34 66 101 196
根据以上数据，绘制如图所示的散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数
模型 和指数函数模型 分别对两个变量的关系进行拟合．
（1）根据散点图判断，哪一个函数模型适宜作为 关于 的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表 1 中的数据，建立 关于 的回归方程；
（3）已知每件产品的原料成本为 10 元，若该产品的总成本不得高于 123470 元，请估计最多能生产多少千
件产品．
参考数据： ， ．
CM PAB
M AC D− −
3 6 3+ +
y
x
x
y
lny a b x= + ( ), 0xy c d c d= ⋅ >
y x
y x
lgi iv y=
1
1
7 i
n
i
v v
=
= ∑
y v
7
1
i i
i
x y
=
∑ 7
1
i i
i
x v
=
∑ 0.541062.14 1.54 2535 50.12 3.47
参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二
乘估计公式分别为 ， ．
22．【本题满分 12 分， 】
已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 时，
求证：对任意 ， ，且 ，有 ．
参考答案
1-8：BBCAC CCB 9-12：ABC ABD ACD ACD
13． ； 14． ； 15． ；
16．
解：函数定义域 ， ，
由题意可得， 是 唯一的根，故 在 上没有变号零点 ，
即 在 时没有变号零点，令 ， ，则 ，
当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减，
故当 时， 取得最小值 ，故 即 ．
( )1 1,u v ( )2 2,u v ( ),n nu v v uα β= +
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
u v nuv
u nu
β =
=
−
=
−
∑
∑ a v uβ= −
6 6+
( ) ( )3 lnf x x k x k R= + ∈ ( )f x′ ( )f x
6k =
( )y f x= ( )( )1, 1f
( ) ( ) ( ) 9g x f x f x x
′= − +
3k ≥ −
1x [ )2 1,x ∈ +∞ 1 2x x> ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 22
f x f x f x f x
x x
′ ′+ −> −
26− 2− 1 3,3 8
2e ,4
− +∞
( )0,+∞ ( ) ( )( )22
4 3
e 2e 2 e 2 xx x kx xx x kf x kx x x
+ −−′ = − + =
2x = ( ) 0f x′ = 2 0xe kx+ = ( )0,+∞
2
ex
k x
− = 0x > ( ) 2
ex
g x x
= 0x > ( ) ( )
3
e 2x xg x x
−′ =
2x > ( ) 0g x′ > 0 2x< < ( ) 0g x′ <
2x = ( )g x ( ) 2e2 4g =
2e
4k− ≤
2e
4k ≥ −17．解：若选择① ，
则由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ．
若选择② ，
则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
若选择③ ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
由正弦定理 ，
得 ．
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
18．解：（1）由 ，
得 ，
所以 ，所以 ．
把 代入 ，得切点为 ，
2 2 22b ac a c+ = +
2 2 2 2 2cos 2 2 2
a c b acB ac ac
+ −= = =
( )0,πB∈ π
4B =
cos sina B b A=
sin cos sin sinA B B A=
sin 0A ≠ sin cosB B=
( )0,πB∈ π
4B =
sin cos 2B B+ =
π2 sin 24B + =
πsin 14B + =
( )0,πB∈ π π 5π,4 4 4B + ∈
π π
4 2B + = π
4B =
sin sin
a b
A B
=
32sin 2 3sin 2
2
b Aa B
×
= = =
π
3A = π
4B = π π 5ππ 3 4 12C = − − =
5π π πsin sin sin12 4 6C = = +
π π π π 6 2sin cos cos sin4 6 4 6 4
+= + =
1 sin2ABCS ab=△
1 6 2 3 33 22 4 4
+ += × × × =
( ) 3f x ax x b= − +
( ) 23 1f x ax′ = −
( )1 3 1 2f a′ = − = 1a =
1x = 2 3 0x y− + = ( )1,5所以 ，得 ，
所以 ．
（2）由（1）知， ，
令 ，
解得 或 ；
令 ，
解得 ．
所以 ）的增区间为 ， ，减区间为 ．
19．解：（1）由题意得 ，
所以不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．
（2）抽样比为 ，样本中喜爱该演讲的观众有 名，不喜爱该演讲的观众有 名．记
喜爱该测讲的 4 名男性观众为 ， ， ， ，不喜爱该演讲的 2 名男性观众为 1，2，则基本事件分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，共 15 个．其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有 6 个，故所求概率为
．
20．解：（1）如图，取 的中点 ，连接 ， ．
∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ ，
( )1 1 1 5f b= − + = 5b =
( ) 3 5f x x x= − +
( ) 23 1f x x′ = −
( ) 23 1 0f x x′ = − >
3
3x > 3
3x < −
( ) 23 1 0f x x′ = − <
3 3
3 3x− < <
( )f x 3, 3
−∞ −
3 ,3
+∞
3 3,3 3
−
( )2
2 140 60 20 40 20 7 1.167 3.84180 60 100 40 6K
× × − ×= = ≈ ( )1
2
1x t tx
= >．①
令 ， ．
当 时， ，
由此可得 在 单调递增，所以当 时， ，即 ．
因为 ， ， ，
所以
．②
由（Ⅰ）（ii）可知，当 时， ，即 ，
故 ③
由①②③可得 ．
所以，当 时，任意的 ， ，且 ，有 ．
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 22x x f x f x f x f x′ ′− + − −
( ) 2 2 3 3 1
1 2 1 2 1 2
1 2 2
3 3 2 ln xk kx x x x x x kx x x
= − + + + − − +
3 3 2 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2
2 1 2
3 3 2 lnx x xx x x x x x k kx x x
= − − + + − −
( )3 3 2
2
13 3 1 2lnx t t t k t tt
= − + − + − −
( ) 1 2lnh x x xx
= − − [ )1,x∈ +∞
1x > ( ) 2
2
1 2 11 1 0h x x x x
′ = + − = − >
( )h x [ )1,+∞ 1t > ( ) ( )1h t h> 1 2ln 0t tt
− − >
2 1x ≥ ( )33 23 3 1 1 0t t t t− + − = − > 3k ≥ −
( ) ( )3 3 2 3 2
2
1 13 3 1 2ln 3 3 1 3 2lnx t t t k t t t t t t tt t
− + − + − − ≥ − + − − − −
3 2 33 6ln 1t t t t
= − + + −
1t > ( ) ( )1g t g> 3 2 33 6ln 1t t t t
− + + >
3 2 33 6ln 1 0t t t t
− + + − >
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 22 0x x f x f x f x f x′ ′− + − − >
3k ≥ − 1x [ )2 1,x ∈ +∞ 1 2x x> ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 22
f x f x f x f x
x x
′ ′+ −> −
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