河南省中原名校联盟 2020—2021 学年高三上学期第一次质量考评
数学（文）试题
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 z 满足 ，则 z 对应复平面内的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知 ，则 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知 为第二象限角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线 的右焦点为 ，过 F 作直线 l，若 l 与双曲线 E 有
且只有一个交点，且 l 与 y 轴的交点为 ，则双曲线 E 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等比数列 的公比为 q，前 n 项和为 ，若 成等差数列，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
7．若从 四个字母中任选一个字母，再从 1，2，3，4 四个数字中任选两个数字组成一组“代码”
{ 2 2 3}, { 2, 1,0,2,4}A x Z x x B= ∈ − < < + = − − A B∩ =
{ 1,0,2}− { 2,0,4}− {0,2} {0,4}
( 2)(1 ) 2z i i− − =
( )2( ) ( 1)lg 1f x x x= + − ( )f x
θ 1sin 4
θ = 3cos 22
π θ + =
7
8
7
8
− 15
8
15
8
−
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b
− = > > ( ,0)( 0)F c c >
(0, 2 )P c−
3 5 6 3 1+
{ }na nS 1 3 4, ,a S S 2q q− =
1− 2−
, , ,A B C D
则该组“代码”恰好包含两个奇数或两个偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，则 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．直线 与圆 交于 两点，若 ，则 的值
（ ）
A．3 B．7 C．8 D．13
10．已知等比数列 满足： ，若 的个位数为 ，则数列 的前 21 项的和
（ ）
A．60 B．80 C．120 D．180
11．在古代，正四棱台也叫“方亭”，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍”，图 1 是
上底为 a，下底为 b 的一个“方亭”，图 2 是由图 1 中的“方亭”得到的“刍甍”，已知“方亭”的体积为
，“刍甍”的体积为 ，若 （约等于 0.618，被称为黄金分割比例，且 恰好是方程
的一个实根，台体的体积公式为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线 的焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 两点（设点 A 在第一象限），分别过
作准线的垂线，垂足分别为 ，若 为等边三角形， 的面积为 ，四边形 的
面积为 ，则 （ ）
1
8
1
6
1
4
1
3
( ) 0.2
2 0.40
1log 3, log ,2 , lg3a b c−= = = , ,a b c
a c b< < c a b< < b a c< < b c a< <
: 4l y kx= + 2 2: 4O x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 2 0x x y y+ = 2k
{ }na ( )*2 1n nS a n N= − ∈ 2 na
nb { }nb
1V 2V 5 1
2
a
b
−= 5 1
2
−
2 1 0x x+ − = ( )1
3V h S SS S′= + + 2
1
V
V
=
5 1
2
− 5 1
4
+ 1
2
1
4
2: 2C y px= ,A B
,A B 1 1,A B 1AFA 1BFB 1S 1 1A B BF
2S 1
2
S
S
=
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知向量 ，若单位向量 满足 ，则 ____．
14．已知实数 x，y 满足不等式组 ，则 的最大值为_____．
15．已知函数 ，若 为偶函数，且 时， ，若 在
上的值域为 ，则实数 m 的取值范围为______．（结果用区间表示）
16．已知正三棱锥 的底面边长为 3，若外接球的表面积为 ，则 ______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
已知 的内角 的对边分别为 ，若 ．
（1）求角 C
（2）若 的面积为 ，则 的最小值．
18．（本小题满分 12 分）
随着经济环境的好转，各地陆续出台刺激消费的政策，2020 年 4 月以后，我国国民消费量日益增加．某地
一大型连锁酒店 4 月到 7 月的营业额，统计如下：
月份：x 4 5 6 7
销售额：y（万元） 20 50 100 150
据分析，销售收入 y（万元）与月份 x 具有线性相关关系．
（1）试求 y 关于 x 的线性回归方程；（参考数据： ）
（2）若该酒店的利润为 ，试估计该酒店从几月份起，月利润会超过 60 万元？
（附：在线性回归方程中 ， ．）
1
3
1
4
1
6
1
7
(1,2)a = b 2a b⋅ = − | 2 |a b− =
1
2 2
1
y x
y x
x
+
≥ −
≥
3 2z x y= +
2
,0 2( ) 2
2 2 , 2
x xf x
x x
−=
− >
( )g x 0x ( ) ( )g x f x= ( )g x
[ ,3]( 3)m m < [ 4,0]−
P ABC− 16π PA =
ABC , ,A B C , ,a b c 2 cos 2c B a b= +
ABC 4 3 2 23a c+
4
2
1 1
1980, 126
n
i i i
i i
x y x
= =
= =∑ ∑
0.2 6z y= −
ˆˆ ˆy bx a= + 1
2 2
1
ˆ ˆˆ,
n
i i
i
n
i
i
x y nxx y
b a y bx
x nx
=
=
−
= = −
−
∑
∑
19．（本小题满分 12 分）
如图，S 是圆锥的顶点， 是圆锥底面圆 O 的直径，点 C 在圆锥底面圆 O 上，D 为 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 为正三角形，且 ，设三棱锥 的体积为 ，圆锥的体积为 ，求
．
20．（本小题满分 12 分）
已知函数 ．
（1）若 ，求证： 在 上单调递增；
（2）若 ，都有 ，求实数 m 的取值范围．
21．（本小题满分 12 分）
如图，直线 与椭圆 交于 M，N 两点，与直线 交于
点 P，且椭圆 E 的离心率为 ．
（1）若点 M 在第二象限，且 的最小值为 （其中 O 为坐标原点），求椭圆 E 的方程；
AB BC
SOD ⊥ SBC
SAB 2 4BC AC= = S ABC− 1V 2V
2
1
V
V
2( ) 2 ln ( 0, )f x mx x x x m R= − > ∈
1m > ( )f x (0, )+∞
1x∀ ( ) 1f x >
1 :l y kx=
2 2
2 2: 1 ( 0)x yE a ba b
+ = > > 2 : 2 0l x y a− + =
3
2
| | | |PM ON+ 2 2
（2）若椭圆 E 的方程为（1）中所求方程，且 ，求 的取值范围．
【选考题】
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目
计分．
22．（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 l 被曲线 C 截得的弦长；
（2）设点 P 的直角坐标为 ，直线 l 与曲线 C 交于 两点，求 ．
23．（本小题满分 10 分）【选修 4—5：不等式选讲】
已知函数 的最小值为 m．
（1）求 m 的值；
（2）若 ，且 ，求证： ．
中原名校 2020—2021 学年上期质量考评一
高三文科数学·全解全析
1．【答案】C
【解析】由题意，得 ，故 ．故选 C．
2．【答案】A
【解析】由 ，得 ，对复平面内的点为
，在第一象限．故选 A．
3．【答案】B
【解析】由 ，可得 或 ，解得 ，故 共有 2 个零点．故选 B．
4．【答案】D
3
8k
| |
| |
OP
MN
xOy
22cos
2sin cos
x
y
ϕ
ϕ ϕ
=
=
ϕ
( )6 R
πθ ρ= ∈
( 3, 1)− − ,A B 1 1
| | | |PA PB
+
( ) | 1| | 2 4 |f x x x= − + +
0, 0a b> > 2a b m+ = 2 2 9
5a b+
{ 1 3} {0,1,2}A x Z x= ∈ − < < = {0,2}A B∩ =
( 2)(1 ) 2z i i− − = 2 2 (1 ) 22 2 (1 ) 2 11 2
i i iz i i ii
+ += + = + = + + = +−
(1,1)
( ) 0f x = 2
1 0
1 0
x
x
+ =
− >
2 1 1x − = 2x = ± ( )f x
【解析】由 为第二象限角，且 ，可得 ，故
．故选 D．
5．【答案】B
【解析】由题意，得直线 l 的斜率为 ，由 l 与双曲线 E 有且只有一个交点可知直线 l 与双曲线 E 的
一条渐近线平行，故 ，即 ，所以 ，所以双曲线 E 的离心率为 ．故
选 B．
6．【答案】B
【解析】因为数列 的公比为 q，由 成等差数列可得 ，即 ，即
．故选 B．
7．【答案】D
【解析】所有“代码”有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 24 组，
其中恰好包含两个奇数或两个偶数的“代码”有 8 组，故所求概率为 ．故选 D．
8．【答案】C
【解析】由对数函数的性质可得 ，即 ；又 ，故
，即 ； ，即 ．故 ．故选 C．
9．【答案】B
【解析】由条件可得 ，圆 O 的圆心为 ，半径为 2．由 可得 ，故
，故 为等腰直角三角形，做点 O 到直线 l 的距离为 ，即 ，解得 ．故
选 B．
10．【答案】C
【解析】由 ，可得 ，两式相减可得 ，即
θ 1sin 4
θ = 15cos 4
θ = − 3cos 2 sin22
π θ θ + = =
1 15 152sin cos 2 4 4 8
θ θ = × × − = −
2 2c
c
=
2b
a
= 2 2 2 24a b c a= = − 2 25a c= 5c
a
=
{ }na 1 3 4, ,a S S 4 3 3 1S S S a− = − 4 2 3a a a= +
2 1 0q q− − =
12A 13A 14A 23A 24A 34A 12B 13B 14B 23B 24B
34B 12C 13C 14C 23C 24C 34C 12D 13D 14D 23D 24D 34D
8 1
24 3P = =
2 2 2log 2 log 3 log 4< < 1 2a< < 0.4 0.4log 0.2 log 0.4 1> =
( ) 0.2
0.40 log 0.2 1−< < 0 1b< < 3 3
1 log 10 log 9 2lg3
= > = 2c > b a c< <
1 2 0x x ≠ (0,0) 1 2 1 2 0x x y y+ = 1 2
1 2
1y y
x x
⋅ = −
OA OB⊥ AOB 2 2
4 2
1k
=
+
2 7k =
2 1n nS a= − 1 12 1n nS a+ += − 1 1 12 2n n n n na S S a a+ + += − = −
，
又 ，所以 ，所以 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 ，
所以数列 ，所以数列 ，所以数列
，故数列 的前 21 项的和为 ．故选 C．
11．【答案】D
【解析】设“方亭”的高为 h，则 ，
，
∴ ．设 ，则 ，即 ，
∴ ．故选 D．
12．【答案】D
【解析】由条件可得 ， ，直线 的方程为
，与 联立，消去 y，整理得 ，解得 或 ，故
，则 ，则 的面积为
，四边形 的面积为
，故 ．故选 D．
13．【答案】
【解析】由条件可得 ，故 ，故
1 2n na a+ =
1 1 12 1a S a= = − 1 1a = { }na 12n
na −=
{ } 11,2,4,8,16,32, ,2 ,n
na −= { } 121 2 4 8 16 32 22 2 ,2 ,2 ,2 2 ,2 , ,, 2 ,
nn
na
−
=
{ } 2,4,6,6,6,6, ,6,nb = { }nb 2 4 6 19 120+ + × =
( )2 2
1
1
3V h a ab b= + +
( )2 2 2
2 1
1 12 22 2 6
b aV V a h h a h b a ab
− = − − × × × = − −
( )
( )
2
2 2
2
2
2 21
1 22 16
1 2 13
a ah b a abV b b
V a ah a ab b
b b
− −− − = = ×
+ + + +
5 1
2m
−= 2 1 0m m+ − = 2 1m m+ =
( )2
2
2
1
21 1 2 1 1
2 1 2 2 1 4
m mV
V m m
− + −= × = × =+ + +
1 1 60AFx AFA A FO °∠ = ∠ = ∠ = 1 1 30BFB OFB °∠ = ∠ = AB
3 2
py x = −
2 2y px=
2
2 33 5 04
px px− + =
6
px = 3
2
px =
3 3, 3 , ,2 6 3
p p pA p B
− 1 | 2| | | 6 2 3
p p pBF BB= = + = 1BFB
2
1
1 3 3
2 6 2 3 9
p p p pS = × + × − = 1 1A B BF
2
2
3 1 339 2 3
pS p p p
= + ⋅ − − ⋅ =
27 3
9
p
2
1
2
2
3
19
77 3
9
p
S
S p
= =
17
| | 5a = 2 2 2| 2 | | | 4 4 | | 5 4 ( 2) 4 17a b a a b b− = − ⋅ + = − × − + =
．故答案为： ．
14．【答案】17
【解析】不等式组 表示的平面区域如下图的阴影部分所示，平移直线 可知，
在点 A 处取得最大值．由 ，可得 ，故 的最大值为
．故答案为：17 ．
15．【答案】
【解析】由题意，可以画出函数 的大致图象如下．由 ，结合图象可知，
．故答案为： ．
16．【答案】 或 2
【解析】由外接球的表面积为 ，可得其半径为 2，设 的中心为 ，则外接球的球心一定在
上，由正三棱锥 的底面边长为 3，得 ，在 中，由勾股定理可得
，解得 或 ．又 ，故 或
，故答案为： 或 2．
| 2 | 17a b− = 17
1
2 2
1
y x
y x
x
≤ +
≥ −
≥
3 2 0x y+ =
3 2z x y= + 2 2
1
y x
y x
= −
= + (3,4)A 3 2z x y= +
3 3 2 4 17× + × =
[ 3,0]−
( )g x (0) 0, ( 3) (3) 4g g g= − = = −
3 0m− ≤ ≤ [ 3,0]−
2 3
16π ABC 1O 1PO
P ABC− 1 3AO = 1Rt AOO
( )2 2 2
1 2 ( 3) 2PO − + = 1 3PO = 1 1PO = 2 2 2
1 1PA PO AO= + 9 3 2 3PA = + =
1 3 2PA = + = 2 3
17．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）由 及正弦定理可得 ，
∴ ，（3 分）
即 ，
又 ，故 ，故 ．（6 分）
（2）因为 的面积为 ，所以 ，即 ，故 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 80．（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）由题中数据可得 ，
，（2 分）
∴ ，（4 分）
，（6 分）
∴y 关于 x 的线性回归方程为 ．（8 分）
（2）由（1）可得 ，
令 ，解得 ，（10 分）
故估计该平台从 12 月份起，月利润会超过 60 万元．（12 分）
19．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）由圆锥的性质可知， 底面圆 O，
∵ 在底面圆 O 上，∴ ，
∵点 C 在圆 O 上，∴ ，（2 分）
2 cos 2c B a b= + 2sin cos 2sin sinC B A B= +
2sin cos 2sin( ) sinC B B C B= + +
2sin cos sin 0B C B+ =
sin 0B > 1cos 2C = − 2
3C
π=
ABC 4 3 1 sin 4 32 ab C = 1 3 4 32 2ab× = 16ab =
2 2 2 2 2 2 212 cos 2 16 162c a b ab C a b a b = + − = + − × × − = + +
2 2 2 2 2 2 23 3 16 4 16 4 16 80a c a a b a b ab+ = + + + = + + ≥ + =
2 4 2a b= ± 2 23a c+
4 5 6 7 5.54x
+ + += =
20 50 100 150 804y
+ + += =
1
222
1
1980 4 5.5 80 220ˆ 44126 4 5.5 5
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
=
=
− − × ×= = = =− ×−
∑
∑
ˆˆ 80 44 5.5 162a y bx= − = − × = −
ˆ 44 162y x= −
0.2 (44 162) 6 8.8 38.4z x x= × − − = −
8.8 38.4 60x − > 98.4 123 11.28.8 11x > = ≈
SO ⊥
BC BC SO⊥
AC BC⊥
又点 O，D 分别为 的中点，∴ ，∴ ，
又 ，且 平面 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴平面 平面 ．（6 分）
（2）∵ 4，∴ ，
∴ 是边长为 的正三角形，
∴ ，
∴ ，
，（9 分）
∴ ．（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
【解析】解法一：（1）由题意得 ，且 ，
令 ，则 ，（3 分）
∵ ，
∴令 可得 ，令 可得 ，
∴函数 在 上单调递减，在 上递增，
∴ （的最小值为 ，即 ，
∴ 在 上单调递增．（6 分）
解法二：
∵
∵
,AB BC / /OD AC OD BC⊥
OD SO O∩ = ,OD SO ⊂ SOD BC ⊥ SOD
BC ⊂ SBC SOD ⊥ SBC
2 4BC AC= = 2 2 2 24 2 2 5AB AC BC= + = + =
SAB 2 5
3 2 5 152SO = × =
1
1 1 1 42 4 15 153 3 2 3ABCV S SO= × × = × × × × =
2
2
1 5 15( 5) 153 3V
ππ= × × × =
2
1
5 15
53
4 4153
V
V
π
π= =
0x > ( ) 2 2ln 2( 0)f x mx x x′ = − − >
( ) 2 2ln 2( 0)x mx x xϕ = − − > 2 2( 1)( ) 2 mxx m x x
ϕ ′ −= − =
1m >
( ) 0xϕ ′ < 10 x m
< < ( ) 0xϕ ′ > 1x m
>
( )xϕ 10, m
1 ,m
+∞
( )xϕ 1 12 2ln 2 2ln 0mm m
ϕ = − − = > ( ) 0f x′ >
( )f x (0, )+∞
1, 0m x> >
( ) 2( ln 1) 2( ln 1)f x mx x x x′ = − − > − −
令
（3 分）
∴ 在 递减在 递增
∴
∴
∴ 在 单调递增（6 分）
（2）当 时，由 可得 ，即 ，
设 ，
则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，（9 分）
又 ，∴当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
∴函数 的最大值为 ，
∴ ，即实数 m 的取值范围是 ．（12 分）
21．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）设椭圆 E 的焦距为 ，由题意得 ，
∴ ，∴ ，∴ ，（2 分）
由椭圆的对称性可得 ，故 ，
的最小值为点 O 到直线 的距离，
∴ ，∴故 ， ，椭圆 E 的方程为 ．（4 分）
( ) ln 1g x x x= − −
1 1( ) 1 xg x x x
′ −= − =
( )g x (0,1) (1, )+∞
( ) (1) 0g x g =
( ) 0f x′ >
( )f x (0, )+∞
1x ≥ ( ) 1f x > 2 2 ln 1mx x x− > 2
2 ln 1x xm x
+>
2
2 ln 1( ) ( 1)x xg x xx
+= ≥
2 2 2
4 4 3
(2ln 2) 2 (2 ln 1) 2 ln 2 2 2( ln 1)( ) ( 1)x x x x x x x x x x x xg x xx x x
′ + − + − + − − + −= = = ≥
( ) ln 1( 1)h x x x x x= − + − ≥ ( ) ln 1 1 ln 0( 1)h x x x x′ = − − + = − ≤ ≥
( )h x [1, )+∞
(1) 0h = 1x ≥ ( ) (1) 0h x h≤ = ( )g x [1, )+∞
( )g x (1) 1g =
1m > (1, )+∞
2c 3
2
c
a
=
2 2 2 23 4 4 4a c a b= = − 2 24b a= 2a b=
| | | |OM ON= | | | | | | | | | |PM ON PM OM OP+ = + =
| |OP 2 : 2 0l x y a− + =
2 2 2
2
a = 2a = 1b =
2
2 14
x y+ =
（2）由 ，消去 y，整理得 ，即 ，
∴ ，（6 分）
由（1）知 ，∴ ，
联立 ，解得 ，即 ，
∴ ，
∴ （9 分）
令 ，得 ，由 得 ，
∴ ，
当 时， ，此时， ；
当 时， ，
∵ ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，
此时 ．
综上可知， 的取值范围是 ．（12 分
2
2 14
y kx
x y
= + =
( )2 24 1 4k x+ =
2
2
4 1
x
k
= ±
+
2
2
2 2 2
2 2 4 1= 1
4 1 4 1 4 1
kMN k
k k k
++ − − = + + +
2a = 2 : 4 0l x y− + =
4 0
y kx
x y
=
− + =
4
1
4
1
x k
ky k
= −
= −
4 4,1 1
kP k k
− −
2 2 2
2
4 4 4 1| | 1 1 ( 1)
k kOP k k k
+ = + = − − −
( )
2
22 2
2 2 22
2
4 1
4 2 1 8 3( 1)| | 4 1 8 34| | 2 1 2 1 ( 1)4 1
4 1
k
k k kkOP k k
MN k k k k kk
k
+
− + + −− + −= = = = +− + − + −+
+
8 3k t− = 3
8
tk
+= 3
8k ≥ 0t ≥
22 2
8 3 64
( 1) 10 253 18
k t t
k t tt
− = =− − ++ −
0t = 2
64 010 25
t
t t
=− +
| | 4 0 2| |
OP
MN
= + =
0t ≠ 2
64 64
2510 25 10
t
t t t t
=− + + −
25 10 2 25 10 0t t
+ − ≥ − = 5t =
64 (0, )25 10t t
∈ +∞
+ −
| | (2, )| |
OP
MN
∈ +∞
| |
| |
OP
MN [2, )+∞
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
【解析】（1）由 ，得 ，
故曲线 C 的普通方程为 ，
因为直线 l 的极坐标方程为 ，
所以直线 l 的直角坐标方程为 ，
所以圆心 C 到直线 l 的距离为 ，
所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ．（5 分）
（2）易知点 在直线 l 上，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），
代入曲线 C 可得 ，
即 ，
设 对应的参数分别为 ，则 ， ，
∴ ．．（10 分）
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
【解析】（1）由题意，得 ，
∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∴ 的最小值 ．（5 分）
（2）（解法一）由柯西不等式可得 ，
由（1）得 ，∴ ，
22cos
2sin cos
x
y
ϕ
ϕ ϕ
=
=
1 cos2
sin2
x
y
ϕ
ϕ
− =
=
2 2( 1) 1x y− + =
( )6 R
πθ ρ= ∈
3 0x y− =
|1 0 | 1
21 3
− =
+
212 1 32
− =
( 3, 1)P − −
33 2
11 2
x t
y t
= − +
= − +
2 23 13 1 1 12 2t t
− + − + − + =
2 ( 3 4) 2 3 4 0t t− + + + =
,A B 1 2,t t 1 2 3 4t t+ = + 1 2 2 3 4t t = +
1 1 | | | | 3 4 5 2 3
| | | | | | | | 22 3 4
PA PB
PA PB PA PB
+ + −+ = = =⋅ +
3 3, 2
( ) | 1| | 2 4 | 5, 2 1
3 3, 1
x x
f x x x x x
x x
− − < −
= − + + = + − ≤ ≤
+ >
( )f x ( , 2)−∞ − [ 2, )− +∞
( )f x ( 2) 2 5 3m f= − = − + =
( )( )2 2 2 2 22 1 (2 )a b a b+ + ≥ +
3m = 2 3a b+ =
∴ ，
∴ ，当且仅当 且 ，即 时等号成立．（10 分）
（解法二）由（1）得 ，∴ ，
两边平方，得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，当且仅当 且 ，即 时等号成立．（10 分）
( )2 25 9a b+ ≥
2 2 9
5a b+ ≥
2
a b= 2 3a b+ =
6
5
3
5
a
b
=
=
3m = 2 3a b+ =
2 24 4 9a b ab+ + =
2 24 2 (2 ) 4ab a b a b= ⋅ ⋅ ≤ +
( ) ( )2 2 2 2 2 29 4 4 5a b a b a b≤ + + + = +
2 2 9
5a b+ ≥
2
a b= 2 3a b+ =
6
5
3
5
a
b
=
=
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