2021届高三《新题速递·数学（理）》9月刊（适用于高考复习）考点13 坐标系与参数方程 -解析版

考点 13 坐标系与参数方程 1．（2020·江苏南通高三其他）在极坐标系中，已知曲线 ，直线 （t 是参数）， 且直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点． （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设定点 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）曲线 ，化简得直角坐标方程为： ；即 ． （2）因为 ，所以直线 过 点.将直线 的参数方程代入曲线 的方程 中， 得 ，即 . 设 、 两点对应的参数分别为 ， ， 所以 ， ，所以 ． 2．（2020·全国高三其他（理））以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐 标方程为 （ ,a 为常数）），过点 、倾斜角为 的直线 的参数方程满足 ，（ 为参数）． （1）求曲线 C 的普通方程和直线 的参数方程； （2）若直线 与曲线 C 相交于 A、B 两点（点 P 在 A、B 之间），且 ，求 和 的 值． : 2C cosρ θ= 3 2: 1 2 tx l ty  =  = − + ( )0, 1P − ( )( )1 1PA PB+ + ( )2 21 1x y− + = 3 3+ 2 2 o: c sC ρ ρ θ= 2 2 2 0x y x+ − = 2 2( 1) 1x y− + = (0, 1)P − l P l C 2 2( 1) 1x y− + = 2 23 1( 1) ( 1+ ) 12 2 t t− + − = ( )2 3+1 1 0t t− + = A B 1t 2t 1 2 3+1t t+ = 1 2 1t t = ( )( ) 1 2 1 2+ + 31 +1 1 3t t tPA B tP ⋅+ + =+ = 2 2cos2 aρ θ = a R∈ ( )2,1P 30° l 32 2x t= + t l l 2PA PB⋅ = a PA PB−【答案】（1） 为参数）； （2） . 【解析】（1）由 得 ， 又 ， ，得 ，∴C 的普通方程为 ， ∵过点 、倾斜角为 的直线 的普通方程为 ， 由 得 ∴直线 的参数方程为 （t 为参数）； （2）将 代入 ，得 ， 依题意知 则上方程的根 、 就是交点 A、B 对应的参数，∵ ， 由参数 t 的几何意义知 ，得 ， ∵点 P 在 A、B 之间，∴ ， ∴ ，即 ，解得 （满足 ），∴ ， ∵ ，又 ， 2 2 2x y a− = 32 2 ( 1 2 x t t ty  = +  = + 4 3 2− 2 2cos2 aρ θ = ( )2 2 2 2cos sin aρ θ θ− = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2x y a− = 2 2 2x y a− = ( )2,1P 30° l ( )3 2 13y x= − + 32 2x t= + 11 2y t= + l 32 2 1 2 x t ty  = +  = + 32 2 1 2 x t ty  = +  = + 2 2 2x y a− = ( ) ( )2 22 2 3 1 2 3 0t t a+ − + − = ( ) ( )2 22 2 3 1 8 3 0a ∆ = − − − >  1t 2t ( )2 1 2 2 3t t a⋅ = − 1 2 1 2PA PB t t t t⋅ = ⋅ = ⋅ 1 2 2t t⋅ = 1 2 0t t⋅ < 1 2 2t t⋅ = − ( )22 3 2a− = − 2 4a = 0∆ > 2a = ± 1 2 1 2PA PB t t t t− = − = + ( )1 2 2 2 3 1t t+ = − −∴ ． 3．（2020·内蒙古青山北重三中高二期中（理））在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （其中 t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 A 的极坐 标为 ，直线 经过点 A．曲线 C 的极坐标方程为 ． （1）求直线 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）过点 作直线 的垂线交曲线 C 于 D，E 两点（D 在 x 轴上方），求 的值． 【答案】（1）直线 的普通方程为 ，曲线 C 的直角坐标方程为 ；（2） ． 【解析】（1）由题意得点 A 的直角坐标为 ，将点 A 代入 得 ， 则直线 的普通方程为 ． 由 得 ，即 ． 故曲线 C 的直角坐标方程为 ． （2）设直线 的参数方程为 （t 为参数）， 代入 得 ． 设 对应参数为 ， 对应参数为 ． 则 ， ，且 ， ． 4 3 2PA PB− = − xOy l 2 3 4 3 x at y t  = + = + 2, 6 π     l 2sin 4cosρ θ θ= l ( )3,0P l 1 1 PD PE − l 3 2y x= − 2 4y x= 1 2 ( )3,1 2 3 4 3 x at y t  = + = + 1 3 a t = = − l 3 2y x= − 2sin 4cosρ θ θ= 2 2sin 4 cosρ θ ρ θ= 2 4y x= 2 4y x= DE 33 2 1 2 x t y t  = −  = 2 4y x= 2 8 3 16 3 0t t+ − = D 1t E 2t 1 2 8 3t t+ = − 1 2 16 3t t = − 1 0t > 2 0t 则 ， 因为 ，当 ，即 时， ，此时 ， ， 所以此时 、 两点的极坐标 . 8．（2020·江苏清江浦高三三模）在直角坐标系 中，已知直线 的参数方程是 （t 是参数），若以 为极点， 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．求直线 l 被曲线 C 截得的弦长． 【答案】 【解析】消去参数 ，得直线 的普通方程为 ， 即 ，两边同乘以 得 ， 所以 ， 圆心 到直线 的距离 ， 所以弦长为 ． 9．（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））在直角坐标系中，直线 的参数方程为 ( 为参数)， 以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ( ) 4cos cos 4sin cos 4 2sin 2cosB AMN AB α ρ ρ α α α αα  = = − = − = −   0, 2 πα  ∈   2 = 2 πα = 4 πα min 4 2=2MN = − 4sin =2 24A πρ = 4 =4 2 cos 4 B ρ π= A B 2 2, 4 2,4 4 π π          , xOy l 2 1y t x t = +  = O x C 2 2sin( )4 πρ θ= + 2 30 5 t l 2 1y x= + 2 2sin( )4 πρ θ= + 2(sin cos )ρ θ θ= + ρ 2 2( sin cos )ρ ρ θ ρ θ= + ( ) ( )2 21 1 2x x− + − = C l 2 2 2 1 1 2 5 52 1 d − += = + 2 2 5 2 302 2 5 5AB  = − =    l 5 ,5 2 5 5 x t y t  =  = t x C，曲线 与 x 轴､y 轴分别交于 两点，直线 与曲线 交于 两点. （1）求 两点的极坐标； （2）求 的值. 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】（1）令 ，得 ，故 的极坐标为 ； 令 ，得 ，故 的极坐标为 . （2）由 得曲线 的直角坐标方程为 ， 将 的参数方程代入得 ， ， 则 . 10．（2020·全国高三其他（理））在平面直角坐标系 中， 为既为原点也为极坐标的极点，极轴即为 轴正半轴，已知直线 方程为 ，曲线 参数方程为 （ 为参变数，且 ） （1）写出直线 方程与曲线 的普通方程； （2）若 是曲线 上一动点，求 到直线 距离的取值范围． 【答案】（1） ， （ ， ）；（2） . 【解析】（1）∵ 极坐标方程为 ，整理得 ， 即 ， 2 2cos sin 2 cos 1 0ρ θ ρ θ ρ θ− − + = C ,A B l C ,P Q ,A B OP OQ− (1,0)A 1, 2B π     2 15 =0θ 2 2 1=0 =1ρ ρ ρ− + ∴， A (1,0)A = 2 πθ =1ρ B (1, )2B π cos , sinx yρ θ ρ θ= = C 2( 1)y x= − l 2 4 5 5 0t t− + = 1 2 4 5t t∴ + = 1 2 5 0t t = > 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 2 15OP OQ t t t t t t− = − = + − = xOy O x l 3sin 3 2 πρ θ − =   C 1 cos sin x y α α = +  = α 0 α π≤ ≤ l C P C P l :l 3 3 0x y− − = ( )2 2: 1 1C x y− + = 0 2x≤ ≤ 0 1y≤ ≤ [ ]0,1 l 3sin 3 2 πρ θ − =   3 1 3cos sin2 2 2 ρ θ ρ θ− = 3 cos sin 3ρ θ ρ θ− =将 代入得直线 普通方程 ， 又 参数方程为 （ 为参变数，且 ）， 可知 且 ， 消去参变数 得曲线 （ ， ）； （2）．根据（1）知，直线 方程 过定点（1，0），曲线 的轨迹是以（1，0）为圆心，半径 为 1 的的半圆，可知，动点 到直线 的距离最大值为 ，最小值为 ，故 的取值范围是 ． cos , sinx yρ θ ρ θ= = l 3 3 0x y− − = C 1 cos sin x y α α = +  = α 0 α π≤ ≤ 0 2x≤ ≤ 0 1y≤ ≤ α ( )2 2: 1 1C x y− + = 0 2x≤ ≤ 0 1y≤ ≤ l ( )3 1y x= − C P l 1d r= = 0d = d [ ]0,1d ∈