2021届高三数学一轮基础复习讲义 第八章 8.2空间体表面积和体积-教师版

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　√　) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．(　×　) (3)球的体积之比等于半径比的平方．(　×　) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(　√　) (5)长方体既有外接球又有内切球．(　×　) (6)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2πS.(　×　) 1．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与 底面面积之和． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 第 1 课时 进门测 作业检查 阶段知识点梳理 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r1＋r2)l 3.柱、锥、台和球的表面积和体积 　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V＝1 3Sh 台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝1 3(S 上＋S 下＋ S 上 S 下)h 球 S＝4πR2 V＝4 3πR3 阶段训练 第 2 课时 题型一　求空间几何体的表面积 例 1　(1)(2016·淮北模拟)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　) A．21＋ 3 B．18＋ 3 C．21 D．18 (2)一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积 为________． 答案　(1)A　(2)12 解析　(1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为 6×(4－1 2)＋2× 3 4 ×( 2)2＝21＋ 3.故选 A. (2)设正六棱锥的高为 h，侧面的斜高为 h′. 由题意，得1 3×6×1 2×2× 3×h＝2 3， ∴h＝1， ∴斜高 h′＝ 12＋( 3)2＝2， ∴S 侧＝6×1 2×2×2＝12. 思维升华　空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系 及数量． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 　(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为____． 答案　26 解析　该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为 4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为 1，高为 1，所以表面积为 S＝S 长方体表－2S 半圆柱底－S 圆柱轴截面＋S 半 圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋1 2×2π×1＝26. 题型二　求空间几何体的体积 命题点 1　求以三视图为背景的几何体的体积 例 2　(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　) A.1 3＋2 3π B.1 3＋ 2 3 π C.1 3＋ 2 6 π D．1＋ 2 6 π 答案　C 解析　由三视图知，半球的半径 R＝ 2 2 ，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为 1，高为 1，∴V＝1 3 ×1×1×1＋1 2×4 3π×( 2 2 )3＝1 3＋ 2 6 π，故选 C. 命题点 2　求简单几何体的体积 例 3　(2016·江苏改编) 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 P－ A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四 棱锥的高 PO1 的 4 倍．若 AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积为________m3. 答案　312 解析　由 PO1＝2 m，知 O1O＝4PO1＝8 m．因为 A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱锥 P－A1B1C1D1 的体 积 V 锥＝1 3·A1B21·PO1＝1 3×62×2＝24(m3)； 正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的体积 V 柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)． 所以仓库的容积 V＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m3)． 思维升华　空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求 解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 　(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如 图所示，则该三棱锥的体积是________． (2)如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角 形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　) A. 2 3 B. 3 3 C.4 3 D.3 2 答案　(1) 3 3 　(2)A 解析　(1) 由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰长为 2 的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如 图)，且三棱锥高为 h＝1，则体积 V＝1 3Sh＝1 3×(1 2×2 3×1)×1＝ 3 3 . (2)如图，分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 DG，CH， 容易求得 EG＝HF＝1 2， AG＝GD＝BH＝HC＝ 3 2 ， ∴S△AGD＝S△BHC＝1 2× 2 2 ×1＝ 2 4 ， ∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝1 3× 2 4 ×1 2×2＋ 2 4 ×1＝ 2 3 .故选 A. 题型三　与球有关的切、接问题 例 4　已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1 ＝12，则球 O 的半径为(　　) A.3 17 2 B．2 10 C.13 2 D．3 10 答案　C 解析　如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线， 则垂足为 BC 的中点 M. 又 AM＝1 2BC＝5 2， OM＝1 2AA1＝6，所以球 O 的半径 R＝OA＝ (5 2 )2＋62＝13 2 . 引申探究 1．已知棱长为 4 的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？ 解　由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直 径．设该正方体外接球的半径为 R，内切球的半径为 r. 又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4 3， 从而 V 外接球＝4 3πR3＝4 3π×(2 3)3＝32 3π， V 内切球＝4 3πr3＝4 3π×23＝32π 3 . 2．已知棱长为 a 的正四面体，则此正四面体的表面积 S1 与其内切球的表面积 S2 的比值为多少？ 解　正四面体的表面积为 S1＝4· 3 4 ·a2＝ 3a2，其内切球半径 r 为正四面体高的1 4，即 r＝1 4· 6 3 a＝ 6 12a， 因此内切球表面积为 S2＝4πr2＝πa2 6 ，则S1 S2＝ 3a2 πa2 6 ＝6 3 π . 3．已知侧棱和底面边长都是 3 2的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？ 解　依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为 3 2× 2＝6，高为 (3 2)2－(1 2 × 6)2＝3， 因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心， 其外接球的半径为 3. 思维升华　空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图 形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA＝a，PB＝b，PC ＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2＝a2＋b2＋c2 求解． 　(1)(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱 ABC —A1B1C1 内有一个体积为 V 的球．若 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是(　　) A．4π B.9π 2 C．6π D.32π 3 (2)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为(　　) A.81π 4 B．16π C．9π D.27π 4 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)由题意知，底面三角形的内切圆直径为 4.三棱柱的高为 3，所以球的最大直径为 3，V 的最 大值为9π 2 . (2) 如图，设球心为 O，半径为 r， 则在 Rt△AOF 中，(4－r)2＋( 2)2＝r2， 解得 r＝9 4， ∴该球的表面积为 4πr2＝4π×(9 4)2＝81 4 π. 17．巧用补形法解决立体几何问题 典例　(2016·青岛模拟) 如图，在△ABC 中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面 ABC，且 AE∥FC∥BD， BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________． 思想方法指导　解答本题时可用“补形法”完成．“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法， 在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破 解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主 要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等． 解析　用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使 AA′＝BB′＝CC′＝8，所以 V几何体＝1 2V 三 棱柱＝1 2×S△ABC×AA′＝1 2×24×8＝96. 答案　96 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1. 1．(2017·合肥质检)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　) 第 3 课时 阶段重难点梳理 重点题型训练 A．12＋4 2 B．18＋8 2 C．28 D．20＋8 2 答案　D 解析　由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为 2 的等腰直角三角形、 侧棱长为 4，所以表面积为1 2×2×2×2＋4×2×2＋4×2 2＝20＋8 2，故选 D. 2．(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的 体积为(　　) A. (4＋π) 3 3 B. (8＋π) 3 6 C. (8＋π) 3 3 D．(4＋π) 3 答案　B 解析　由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为 1， 四棱锥的底面是一个边长为 2 的正方形，它们的高均为 3.则 V＝1 3·(1 2π＋4)· 3＝ (8＋π) 3 6 .故选 B. 3．(2015·山东)在梯形 ABCD 中，∠ABC＝π 2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形 ABCD 绕 AD 所 在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A.2π 3 B.4π 3 C.5π 3 D．2π 答案　C 解析　过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而 形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 V＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB2·BC －1 3·π·CE2·DE＝π×12×2－1 3π×12×1＝5π 3 ，故选 C. 4．(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　) A．1＋ 3 B．2＋ 3 C．1＋2 2 D．2 2 答案　B 解析　由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为 S表＝ 2×1 2×2×1＋2× 3 4 ×( 2)2＝2＋ 3，故选 B. 5．(2016·广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其 直径组成的图形，则此几何体的体积是(　　) A.20 3 π B．6π C.10 3 π D.16 3 π 答案　C 解析　该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以 V＝1 2×π×4×1＋1 2×1 3×π×4×2＝10 3 π.故选 C. 6．(2016·福建第二次月考) 如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球 面上，AB＝AC，侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为(　　) A. 2 B. 2 2 C．2 D．1 答案　A 解析　由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为 1，则正方形的边长为 2.∵ABC—A1B1C1 为 直三棱柱，∴平面 ABC⊥平面 BCC1B1，∴BC 为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝ 1.∴侧面 ABB1A1 的面积为 2×1＝ 2.故选 A. 7．(2016·北京)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________． 答案　3 2 解析　由三视图知该四棱柱为直四棱柱， 底面积 S＝ (1＋2) × 1 2 ＝3 2，高 h＝1， 所以四棱柱体积 V＝S·h＝3 2×1＝3 2. 8．已知四面体 ABCD 满足 AB＝CD＝ 6，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体 ABCD 的外接球的表面 积是________． 答案　7π 解析　(图略)在四面体 ABCD 中，取线段 CD 的中点为 E，连接 AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2， ∴AE⊥CD，BE⊥CD.在 Rt△AED 中，CD＝ 6，∴AE＝ 10 2 .同理 BE＝ 10 2 .取 AB 的中点为 F，连接 EF.由 AE＝BE，得 EF⊥AB.在 Rt△EFA 中，∵AF＝1 2AB＝ 6 2 ，AE＝ 10 2 ，∴EF＝1.取 EF 的中点为 O，连接 OA，则 OF＝1 2.在 Rt△OFA 中，OA＝ 7 2 .∵OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半 径是 7 2 ，∴外接球的表面积是 7π. 9．(2016·武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________． 答案　3π 解析　方法一　由三视图可知， 此几何体(如图所示)是底面半径为 1，高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的1 4，所以 V＝3 4 ×π×12×4＝3π. 方法二　由三视图可知，此几何体是底面半径为 1，高为 4 的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的1 4， 直观图如图(1)所示，我们可用两个大小与形状完全相同的该几何体补成一个半径为 1，高为 6 的圆 柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为 V＝1 2×π×12×6＝3π. 　　 10．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上，则该圆锥的体积与 球 O 的体积的比值为________． 答案　 9 32 解析　设等边三角形的边长为 2a，球 O 的半径为 R， 则 V 圆锥＝1 3·πa2· 3a＝ 3 3 πa3. 又 R2＝a2＋( 3a－R)2，所以 R＝2 3 3 a， 故 V 球＝4π 3 ·(2 3 3 a)3＝32 3π 27 a3， 则其体积比为 9 32. 11．已知一个几何体的三视图如图所示． (1)求此几何体的表面积； (2)如果点 P，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从 P 点 到 Q 点的最短路径的长． 解　(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥加一个圆柱组成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧 面积和圆柱的一个底面积之和． S 圆锥侧＝1 2(2πa)·( 2a)＝ 2πa2， S 圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2， S 圆柱底＝πa2， 所以 S 表＝ 2πa2＋4πa2＋πa2＝( 2＋5)πa2. (2)沿 P 点与 Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图． 则 PQ＝ AP2＋AQ2＝ a2＋(πa)2＝a 1＋π2， 所以从 P 点到 Q 点在侧面上的最短路径长为 a 1＋π2. 12．(2016·全国丙卷) 如图，四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3， PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点． (1)证明：MN∥平面 PAB； (2)求四面体 NBCM 的体积． (1)证明　由已知得 AM＝2 3AD＝2. 如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TN∥BC，TN＝1 2BC＝2. 又 AD∥BC，故 TN 綊 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN∥AT. 因为 AT⊂平面 PAB，MN⊄平面 PAB， 所以 MN∥平面 PAB. (2)解　因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为 1 2PA. 取 BC 的中点 E，连接 AE. 由 AB＝AC＝3 得 AE⊥BC，AE＝ AB2－BE2＝ 5. 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5， 故 S△BCM＝1 2×4× 5＝2 5. 所以四面体 NBCM 的体积 VN-BCM＝1 3×S△BCM×PA 2 ＝4 5 3 . *13.(2017·浙江七校联考)如图所示，在空间几何体 ADE－BCF 中，四边形 ABCD 是梯形，四边形 CDEF 是矩形，且平面 ABCD⊥平面 CDEF，AD⊥DC，AB＝AD＝DE＝2，EF＝4，M 是线段 AE 上 的动点． (1)试确定点 M 的位置，使 AC∥平面 MDF，并说明理由； (2)在(1)的条件下，平面 MDF 将几何体 ADE－BCF 分成两部分，求空间几何体 M－DEF 与空间几何 体 ADM－BCF 的体积之比． 解　(1) 当 M 是线段 AE 的中点时，AC∥平面 MDF. 理由如下： 连接 CE 交 DF 于点 N，连接 MN.因为 M，N 分别是 AE，CE 的中点，所以 MN∥AC.又因为 MN⊂平 面 MDF，AC⊄平面 MDF，所以 AC∥平面 MDF. (2)将几何体 ADE－BCF 补成三棱柱 ADE－B′CF，如图所示， 三棱柱 ADE－B′CF 的体积为 V＝S△ADE·CD＝1 2×2×2×4＝8，则几何体 ADE－BCF 的体积 VADE－ BCF＝VADE－B′CF－VF－BB′C＝8－1 3×(1 2 × 2 × 2)×2＝20 3 . 因为三棱锥 M－DEF 的体积 VM－DEF＝1 3×(1 2 × 2 × 4)×1＝4 3， 所以 VADM－BCF＝20 3 －4 3＝16 3 ， 所以两几何体的体积之比为4 3∶16 3 ＝1∶4. 作业布置 思导总结 1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于 12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D.3 2 cm 答案　B 解析　S 表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π， ∴r2＝4，∴r＝2 cm. 2．(2016·全国甲卷)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为(　　) A．12π B.32 3 π C．8π D．4π 答案　A 解析　由题意可知正方体的棱长为 2，其体对角线 2 3即为球的直径，所以球的表面积为 4πR2＝ (2R)2π＝12π，故选 A. 3．(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积 是________cm3. 答案　80　40 解析　由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的棱长为 2 cm，下 面长方体的底面边长为 4 cm，高为 2 cm，其直观图如图所示， 其表面积 S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)，体积 V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)． 4. 如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 的体积为 1，P 为侧棱 B1B 上的一点，则四棱锥 P－ACC1A1 的体积为 ______． 答案　2 3 解析　设点 P 到平面 ABC，平面 A1B1C1 的距离分别为 h1，h2，则棱柱的高为 h＝h1＋h2，又记 S＝S△ABC ＝ ，则三棱柱的体积为 V＝Sh＝1.而从三棱柱中去掉四棱锥 P－ACC1A1 的剩余体积为 V′＝ VP－ABC＋ ＝1 3Sh1＋1 3Sh2＝1 3S(h1＋h2)＝1 3，从而 ＝V－V′＝1－1 3＝2 3. 1 1 1A B CS 1 1 1－P A B CV 1 1－P ACC AV