2021届高三数学专题复习练习 数系的扩充与复数的引入(教师版)

【课前测试】 1、设复数 z＝2－i 1＋i，则 z 的共轭复数为(　　) A.1 2－3 2i B.1 2＋3 2i C．1－3i D．1＋3i 解析：选 B.z＝2＋i 1－i＝ （2＋i）（1＋i） 2 ＝1 2＋3 2i. 答案：B 2、设(1＋i)x＝1＋yi，其中 x，y 是实数，则|x＋yi|＝(　　) A．1 B. 2 C. 3 D．2 解析：选 B.因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以 x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝　 12＋12＝ 2，选 B. 答案：B 3、若复数 z＝2－i，则 z － ＋10 z ＝________. 解析：∵z＝2－i，∴ z － ＋10 z ＝(2＋i)＋ 10 2－i＝(2＋i)＋ 10(2＋i) (2－i)(2＋i)＝6＋3i. 答案：6＋3i数系的扩充与复数的引入 【知识梳理】 一、数系的扩充与复数的概念 1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是 a，虚部是 b． (2)复数的分类 复数 z＝a＋bi(a，b∈R) {实数（b＝0）， 虚数（b ≠ 0）{纯虚数（a＝0，b ≠ 0）， 非纯虚数（a ≠ 0，b ≠ 0）. (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c 且 b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量OZ → 的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2(r≥0，a、 b∈R)． 二、复数的几何意义 1．复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点 都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的两种几何意义 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) ――→ 一一对应 复平面内的点 Z(a，b)．(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) ――→ 一一对应 平面向量OZ→ . 3．复数的模 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为 OZ→ ，则OZ→ 的模叫做复数 z 的模，记作|z|，且|z|＝ a2＋b2． 三、复数的加减运算及其几何意义 1．复数加减法的运算法则及加法运算律 (1)加减法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2 ＝(a－c)＋(b－d)i． (2)加法运算律 对任意 z1，z2，z3∈C， ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1． ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2．复数加减法的几何意义 如图：设复数 z1，z2 对应的向量分别为OZ1→ ，OZ2→ ，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，则与 z1＋z2 对应的向量是OZ→ ，与 z1－z2 对应的向量是Z2Z1→ . 四、复数代数形式的乘除运算 1．复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数的乘法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． (2)复数乘法的运算律 对任意复数 z1、z2、z3∈C，有交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 2. 共轭复数 (1)如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数．z 的共轭 复数用z表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi． (2)复数与共轭复数的乘法性质 zz＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2. 3．复数的除法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则z1 z2＝a＋bi c＋di＝ac＋bd c2＋d2 ＋bc－ad c2＋d2 i(c＋di≠0)．【课堂讲解】 考点一 复数的有关概念 例 1、(1)设 i 是虚数单位，若复数 z＝a－ 10 3－i(a∈R)是纯虚数，则 a 的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：∵z＝a－ 10 3－i＝a－ 10(3＋i) (3－i)(3＋i)＝(a－3)－i 为纯虚数，∴a－3＝0，即 a＝3. 答案：D (2)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i 是虚数单位)，则 a，b 的值分别等于(　　) A．3，－2 B．3,2 C．3，－3 D．－1,4 解析：(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以 a＝3，b＝－2. 答案：A (3)若复数 z 满足 2z＋z＝3－2i，其中 i 为虚数单位，则 z＝(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 2z＋z＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.所以 a＝1，b＝－ 2，故 z＝1－2i，故选 B. 答案：B (4)i 为虚数单位，i607 的共轭复数为(　　) A．i B．－i C．1 D．－1 解析：因为 i607＝i4×151＋3＝i3＝－i, 所以其共轭复数为 i.答案：A 变式训练： 1、下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A．i(1＋i)2　　　　　　 B.i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i) 解析：i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除 A；i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数， 排除 B；(1＋i)2＝2i，2i 是纯虚数．故选 C. 答案：C 2、已知 a∈R，i 为虚数单位，若a－i 2＋i为实数，则 a 的值为________． 解析：因为a－i 2＋i＝ （a－i）（2－i） （2＋i）（2－i）＝2a－1－（a＋2）i 5 为实数，所以 a＋2＝0，即 a＝－ 2. 答案：－2 3、已知 a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则 a2＋b2＝________，ab＝________． 解析：因为(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，所以{a2－b2＝3， 2ab＝4， 所以{a＝2， b＝1 或{a＝－2， b＝－1，所以 a2 ＋b2＝5，ab＝2. 答案：5　2 考点二 复数的运算 例 2、(1)(1＋i)(2＋i)＝(　　) A．1－i B.1＋3i C．3＋i D．3＋3i 解析：(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i＋i2＝1＋3i.故选 B. 答案：B(2)复数1＋2i 2－i 等于(　　) A．i B.1＋i C．－i D．1－i 解析：1＋2i 2－i ＝ （1＋2i）（2＋i） （2－i）（2＋i） ＝5i 5 ＝i. 答案：A (3)若复数 z 满足 2z＋z＝3－2i，其中 i 为虚数单位，则 z 等于(　　) A．1＋2i B.1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，所以 2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得 3a＋bi＝ 3－2i，所以{3a＝3， b＝－2，解得{a＝1， b＝－2， 所以 z＝1－2i，故选 B. 答案：B 变式训练： 1、已知 z＝ 2＋i 1－2i(i 为虚数单位)，则复数 z＝(　　) A．－1 B．1 C．i D．－i 解析：由题意得 2＋i 1－2i＝ (2＋i)(1＋2i) (1－2i)(1＋2i)＝2＋4i＋i＋2i2 5 ＝i. 答案：C 2、已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi＝1＋i，则 z2＝(　　) A．－2i B．2i C．－2 D．2解析：由 zi＝1＋i 得 z＝1＋i i ＝1－i，所以 z2＝(1－i)2＝－2i. 答案：A 3、若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为(　　) A．－4 B.－4 5 C．4 D．4 5 解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|， 所以{3b－4a＝0， 3a＋4b＝5，解得 b＝4 5. 答案：D 考点三 复数的几何意义 例 3、(1)复平面内表示复数 z＝i(－2＋i)的点位于(　　) A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：z＝i(－2＋i)＝－2i＋i 2＝－1－2i，故复平面内表示复数 z＝i(－2＋i)的点位于第三象 限，故选 C. 答案：C (2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B.(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，其在复平面内对应的点(a＋1，1－a)在第二象限， 故{a＋1 < 0， 1－a > 0，解得 a