1
百校联盟 2021 届普通高中教育教学质量监测考试
全国卷 理科数学
注意事项：
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分 150 分，测试时间 120 分钟。
5.考试范圃：必修 1～5，选修 2－1，2－2，2－3。
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.若 z＝2－i，则|z2－z|＝
A.3 B.2 C. D.
2.若集合 A＝{x|y＝log3(x2－3x－18)}，B＝{－5，－2，2，5，7}，则 A∩B＝
A.{－2，2，5} B.{－5，7} C.{－5，－2，7} D.{－5，5，7}
3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一
“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为 1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为
A.9π＋9 ＋9 B.18π＋18 ＋9 C.18π＋18 ＋18 D.18π＋9 ＋18
4.已知抛物线 C1：y2＝6x 上的点 M 到焦点 F 的距离为 ，若点 N 在 C2：(x＋2)2＋y2＝1 上，
则点 M 到点 N 距离的最小值为
A. －1 B. －1 C. －1 D.2
10 26
2 2 2 2
9
2
26 43 332
5.根据散点图可知，变量 x，y 呈现非线性关系。为了进行线性回归分析，设 u＝2lny，v＝(2x
－3)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程 u＝－ v＋2，则
A.变量 y 的估计值的最大值为 e B.变量 y 的估计值的最小值为 e
C.变量 y 的估计值的最大值为 e2 D.变量 y 的估计值的最小值为 e2
6.函数 f(x)＝ln2x－x3 的图象在点( ，f( ))处的切线方程为
A. B. C. D.
7.已知函数 f(x)＝3cos(ωx＋φ)(ω>0)，若 f(－ )＝3，f( )＝0，则 ω 的最小值为
A. B. C.2 D.3
8.(3x－2)2(x－2)6 的展开式中，x4 的系数为
A.0 B.4320 C.480 D.3840
9.已知圆 C 过点(1，3)，(0，2)，(7，－5)，直线 l：12x－5y－1＝0 与圆 C 交于 M，N 两点，
则|MN|＝
A.3 B.4 C.6 D.8
10.已知角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点(1，m)，其中 m>0；若 tan2α
＝－ ，则 cos(2α＋mπ)＝
A.－ B.－ C. D.
11.已知三棱锥 S－ABC 中，△SBC 为等腰直角三角形，∠BSC＝∠ABC＝90°，∠BAC＝2∠
BCA，D，E，F 分别为线段 AB，BC，AC 的中点，则直线 SA，SB，AC，SD 中，与平面 SEF
所成角为定值的有
A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
12.已知函数 f(x)＝ －m(lnx＋x＋ )恰有两个极值点，则实数 m 的取值范围为
A.(－∞， ] B.( ，＋∞) C.( ， )∪( ，＋∞) D.(－∞， ]∪( ，＋∞)
第 II 卷
1
3
1
2
1
2
5 3
4 4y x= − 5 24y x= − + 1 1
4 4y x= − 1
4y x= −
3
π
3
π
1
2
3
4
12
5
6
13
12
13
6
13
12
13
xe
x
2
x
1
2
1
2
1
2 3
e
3
e 1
2 3
e3
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
13.若实数 x，y 满足 ，则 z＝2x＋y 的最大值为 。
14.已知|a|＝5，|b|＝3，若 a 在 b 方向上的投影为－3，则|2a＋3b|＝ 。
15.已知三棱锥 S－ABC 中，SA⊥平面 ABC，SA＝AB＝4，BC＝6，AC＝2 ，则三棱锥
S－ABC 外接球的表面积为 。
16.已知 O 为坐标原点。双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，
，以 A 为圆心的圆 A 与 y 轴相切，且与双曲线的一条渐近线交于点 O，P，记双
曲线 C 的左顶点为 M，若∠PMF2＝∠PF2M，则双曲线 C 的渐近线方程为 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 10 分)
已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b－ ＝5cosA。
(1)求 c；
(2)若 b＝7，B＝ ，点 M 在线段 BC 上，AM＝5，求∠MAC 的余弦值。
18.(本小题满分 12 分)
已知数列{an}满足 a2＝2a1＝4，且 an＋1－bn＝2an，数列{bn}是公差为－1 的等差数列。
(1)证明{an－n}是等比数列；
(2)求使得 a1＋a2＋…＋an>2200 成立的最小正整数 n 的值。
19.(本小题满分 12 分)
已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，BB1＝3 ，点 M 是线段 AA1 上靠近 A 的
三等分点，点 N 在线段 B1C1 上。
x 2 0
x y 0
x y 3 0
+ ≥
− ≤
+ − ≤
13
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2OA AF=
5acosC
c
3
π
24
(1)求证：BM⊥MN；
(2)求二面角 C－B1M－C1 的余弦值。
20.(本小题满分 12 分)
疫情过后，为了增加超市的购买力，营销人员采取了相应的推广手段，每位顾客消费达到 100
元以上可以获得相应的积分，每花费 100 积分可以参与超市的抽奖游戏，游戏规则如下：抽
奖箱中放有 2 张奖券，3 张白券，每次任取两张券，每个人有放回的抽取三次，即完成一轮
抽奖游戏；若摸出的结果是“2 张奖券”三次，则获得 10100 积分，若摸出的结果是“2 张
奖券”一次或两次，则获得 300 积分，若摸出“2 张奖券”的次数为零，则获得 0 积分；获
得的积分扣除花费的 100 积分，则为该顾客所得的最终积分；最终积分若达到一定的标准，
可以兑换电饭锅。洗衣机等生活用品。
(1)求一轮抽奖游戏中，甲摸出“2 张奖券”的次数为零的概率；
(2)记一轮抽奖游戏中，甲摸出“2 张奖券”的次数为 X，求 X 的分布列以及数学期望；
(3)试用概率与统计的相关知识，从数学期望的角度进行分析，多次参与抽奖游戏后，甲的最
终积分情况。
21.(本小题满分 12 分)
已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点(－ ， )。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若过点 D(－ ，0)且斜率不为 0 的直线与椭圆 C 交于 P，Q 两点，点 A(1，0)，求证：AP⊥
AQ。
22.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝mx2＋lnx。
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
2
3
2
2
2
1
35
(1)若 m＝－4，求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)设 x1，x2 是 f'(x)＝1 的两个不相等的正实数解，求证：f(x1)＋f(x2)＋3
微信/支付宝扫码支付