专题 4.1 等差数列与等比数列
一、单选题
1、（2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
等差数列 公差 （ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】∵a1=12，S5=90，∴5×12+ d=90，
解得 d=3．故选 C．
2、已知公差不为 0 的等差数列 ，前 项和为 ，满足 ，且 成等比数列，则
（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为 ，则 ，
解得 或 （舍），故 ，
故选：B.
3、设数列{an}是等差数列，若 a3+a4+a5＝12，则 a1+a2+…+a7＝（ ）
A．14 B．21 C．28 D．35
【答案】C
【解析】数列{an}是等差数列，则 ；
故选：
4、（2019 年高考全国 III 卷理数）已知各项均为正数的等比数列 的前 4 项和为 15，且 ，
{ }na n nS 1 512, 90a S= =
{ }na d =
3
2
5 4
2
×
{ }na n nS 3 1 10S S− = 1 2 4, ,a a a 3a =
2 6 5 6 12
d ( ) ( )
1 1
2
1 1 1
3 3 10
3
a d a
a d a a d
+ − = + = +
1 2
2
a
d
=
=
1 5
0
a
d
=
=
( )3 2 2 3 1 6a = + × − =
3 4 5 4 43 1 42a a a a a= =+ ∴ =+
1 2 47 7 28a a a a=…+ =+ +
C
{ }na 5 3 13 4a a a= +则 （ ）
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为 ，则 ，
解得 ， ，故选 C．
5、等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由等差数列的性质及求和公式得， , ，
故选 C.
6、（2018年高考全国I卷理数）设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为 ，根据题中的条件可得 ，
整理解得 ，所以 ，故选 B．
7、（2019·湖南衡阳市八中高三月考（理））公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：
他提出让乌龟在阿基里斯前面 1000 米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍.
当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑完下一个 100 米时，乌
龟仍然前于他 10 米.当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟仍然前于他 1 米……，所以，阿基里斯永远追不上
乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为 米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A． B． C． D．
3a =
q
2 3
1 1 1 1
4 2
1 1 1
15
3 4
a a q a q a q
a q a q a
+ + + =
= +
1 1,
2
a
q
=
=
2
3 1 4a a q∴ = =
{ }na n nS 7 0a > 8 0a <
7 8S S< 15 16S S< 13 0S > 15 0S >
1 13
13 7
13( ) 13 02
a aS a
+= = > 1 15
15 8
15( ) 15 02
a aS a
+= = <
nS { }na n 3 2 43S S S= + 1 2a = 5a =
12− 10−
10 12
d 3 2 4 33 3 2 2 2 4 22 2d d d
× × × + ⋅ = × + + × + ⋅
3d = − 5 1 4 2 12 10a a d= + = − = −
210−
410 1
90
− 510 1
900
− 510 9
90
− 410 9
900
−【答案】B
【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为
当阿基里斯和乌龟的速度恰好为 米时，乌龟爬行的总距离为
故选
8、（2020 届高三月考）已知数列 满足 且 ，则
（ ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】 ,∴数列 是以 2 为公差的等差数列，
，
， ， ，
故选：B.
9、（2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，
则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由已知 ，得 ，
故选：C.
9、（2020 届浙江省宁波市高考模拟）各项都是正数的等比数列 的公比 ，且
1
10
210−
55
2
1100 1 10 110100 10 ... 10 1 9001 10
−
− − + + + = =
−
B
{ }na 1 2n na a+ = + 2 4 6 9a a a+ + =
3 5 7 9log ( )a a a+ + =
1
3
− 1
3
1 12 2n n n na a a a+ += + ∴ − = { }na
( ) ( ) ( ) ( )7 9 2 2 4 64 65 3 3 3 9a a a a d a d a d a a a d∴ + + = + + + + + = + + +
2 4 9ba a a+ + = 5 7 9 9 9 2 27a a a∴ + + = + × = ( )3 5 7 9 3log log 27 3a a a∴ + + = =
{ }na nS 3
5
2a = 9 9S =
7a =
1
2
1
2
−
7
1 9 3 7
9
59( )9( ) 9( ) 2 92 2 2
aa a a aS
++ += = = = 7
1
2a = −
{ }na 1q ≠ 2 3 1
1, ,2a a a成等差数列，则 的值为（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【解析】根据题意有 ，即 ，因为数列各项都是正数，所以 ，而
，故选 C.
10、（2020 届浙江省杭州市建人高复高三 4 月模拟）设等差数列 的公差为 d，若数列 为递减数列，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为 是等差数列，则 ，又由于 为递减数列，所以
，故选 C.
11、（2020 届山东实验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，
五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，己知她 5 天共织布 5
尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于 30 尺，则至少需要（ ）
A．6 天 B．7 天 C．8 天 D．9 天
【答案】C
【解析】
设该女子第一天织布 尺，
则 ，
3 4
4 5
a a
a a
+
+
1 5
2
− 5 1
2
+
5 1
2
− 5 1
2
+ 5 1
2
−
2 1 3
12 2a a a+ = ⋅ 2 1 0q q− − = 1 5
2q
+=
3 4
4 5
1 2 5 1
21 5
a a
a a q
+ −= = =+ +
{ }na 1{2 }naa
0d < 0d > 1 0a d < 1 0ad>
{ }na 2
1 1 1 ( 1)
1 ( 1) 2 2na a a a n d
na a n d + −= + − ∴ = { }12 na a
1
1
1 1
- 0
1
2 2 1 2 02
n
n
a a
a d
a a a d+
= > = ∴ <
x
5(1 2 ) 51 2
x − =−解得 ，
前 天织布的尺数为： ，
由 ，得 ，
解得 的最小值为 8．
故选： ．
12、（2020 届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知 是公差为 的等差数列，前 项和是 ，若
，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】 ， ， ， ， .
， .
故选：D
二、多选题
13、若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝2an+1，（n∈N*），则下列说法正确的是（ ）
A．a5＝﹣16 B．S5＝﹣63
C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn+1}是等比数列
【答案】AC
【解析】：∵Sn＝2an+1，（n∈N*），
∴①当 n＝1 时，a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝﹣1，
②当 n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an+1﹣2an﹣1﹣1，∴2an﹣1＝an，∴ 푎푛
푎푛―1
= 2，
∴数列{an}是首项为﹣1，公比为 2 的等比数列，故选项 C 正确，
∴푎푛 = ― 2푛―1，푆푛 = ―(1 ― 2푛)
1 ― 2 = 1 ― 2푛
∴푎5 = ― 24 = ―16，푆5 = ―(1 ― 25)
1 ― 2 = ―31，故选项 A 正确，选项 B 错误，
又∵푆푛 +1 = 2 ― 2푛，∴数列{Sn+1}不是等比数列，故选项 D 错误，
5
31x =
∴ n ( )5 2 131
n −
5 (2 1) 3031
n − 2 187n
n
C
{ }na d n nS
9 8 10S S S< <
0d > 17 0S > 0d < 17 0S <
0d > 18 0S < 0d > 18 0S >
9 8 10S S S< 10 0a∴ > 0d >
17 9 017S a= 故选：AC．
14、（2019 秋•潍坊期末）设数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和，a1＞0 且 S6＝S9，则（ ）
A．d＞0 B．a8＝0
C．S7 或 S8 为 Sn 的最大值 D．S5＞S6
【答案】BC
【解析】：a1＞0 且 S6＝S9，∴6a1 + 6 × 5
2 d＝9a1 + 9 × 8
2 d，化为：a1+7d＝0，可得 a8＝0，d＜0．
S7 或 S8 为 Sn 的最大值，S5＜S6．
故选：BC．
15、（2020 届山东省潍坊市高三上期末）已知等比数列 的公比 ，等差数列 的首项 ，
若 且 ，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】 等比数列 的公比 ，
和 异号， ，故 A 正确；
但不能确定 和 的大小关系；故 B 不正确；
和 异号，且 且 ，
和 中至少有一个数是负数，
又 ， ，故 D 正确，
一定是负数，即 ，故 C 不正确；
故选：AD
16、（2020 届山东省济宁市高三上期末）设等比数列 的公比为 q,其前 n 项和为 ,前 n 项积为 ,并满
足条件 , ,下列结论正确的是（ ）
A．S2019 10 10a b>
9 10 0a a⋅ < 9 10a a> 10 0b > 9 10b b>
{ }na 2
3q = −
9a∴ 10a 9 10 0a a∴ <
9a 10a
9a 10a 9 9a b> 10 10a b>
9b∴ 10b
1 12 0b = > 0d∴ < 9 10b b∴ >
10b∴ 10 0b <
{ }na nS nT
1 2019 20201, 1a a a> > 2019
2020
1 01
a
a
− A
2
2019 2021 20201 1 0a a a− = − < B
2019T { }nT CD
AB
{ }na n ∗∈N 1 2 4a a a= + 8 3a = − 20a
{ }na 1 5 2 4a a a a∴ + = + 1 2 4a a a= + 5 0a∴ =
8 5 3 18 5 3
a ad
− −∴ = = = −− 20 5 15 15a a d= + = −
15−
2
1 4 6
1
3a a a= =，
121
3
q 2
1 4 6
1 ,3a a a= = 3 2 51 1( ) ,3 3q q= 0q ≠所以 所以 ．
18、（2020 届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研）已知等差数列{an}的公差 d 不为 0，且 a1，
a2，a4 成等比数列，则 的值为_____.
【答案】1
【解析】由 的等差数列 ,
因为 成等比数列,则 ,即 ,
可得 ,则 ,
故答案为：1
19、（2020 届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）设等差数列 的前 项和为 ，若
，则 的值为_______.
【答案】 .
【解析】由 得 ，即 ，
，
故答案为： .
20、（2019 年高考北京卷理数）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2=−3，S5=−10，则 a5=__________，Sn
的最小值为___________．
【答案】 0， .
【解析】等差数列 中, ,得 又 ,所以公差 ,
,
由等差数列 的性质得 时, , 时, 大于 0,所以 的最小值为 或 ,即为 .
21、（2020 届江苏省如皋中学、、宿迁中学三校高三联合考试）如图，将数列 中的所有项按
3,q =
5
5
1
5
1 (1 3 )(1 ) 1213
1 1 3 3
a qS q
−−= = =− −
1a
d
0d ≠ { }na
1 2 4, ,a a a 2
2 1 4a a a= ⋅ ( ) ( )2
1 1 1 3a d a a d+ = +
1a d= 1 1a
d
=
{ }na n nS
1 3 20, 3a a a≠ = 10
5
S
S
16
3
3 23a a= ( )1 12 3a d a d+ = + 12d a= −
1
10 1 1
5 1 1
1
10 910 10 90 162
5 4 5 20 35 2
a dS a a
S a aa d
×+ −∴ = = =× −+
16
3
10−
{ }na 5 35 10S a= = − 3 2,a = − 2 3a = − 3 2 1d a a= − =
5 3 2 0a a d= + =
{ }na 5n ≤ 0na ≤ 6n ≥ na nS 4S 5S 10−
{ }na每一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列 构成一个公比为 2 的等比数列，从第 2
行起，每一行都是一个公差为 的等差数列，若 ，则 ________.
【答案】3
【解析】 从第 2 行起，每一行都是一个公差为 的等差数列，
，第 行的个数为 ，
从第 1 行到第 行的所有数的个数总和为 ，
， 是第 行第 个数，
，
整理得 .
故答案为:3.
四、解答题
22、（2018 年高考全国 II 卷理数）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
【答案】（1）an=2n–9；（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】（1）设{an}的公差为 d，由题意得 3a1+3d=–15．
由 a1=–7 得 d=2．
所以{an}的通项公式为 an=2n–9．
（2）由（1）得 Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当 n=4 时，Sn 取得最小值，最小值为–16．
23、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）已知数列 满足：
1 2 5, , ,a a a
d 3 865, 524a a= = d =
1
2 3 4
5 6 7 8 9
a
a a a
a a a a a
⋅⋅⋅
d
2 3 5a a d d∴ = − = − n 2 1n −
n 2(1 2 1)
2
n n n
+ − =
286 9 5= + 86a∴ 10 5
8 8 8
86 82 24 2 4 5 2 (2 4) 524a a d a d d∴ = + = ⋅ + = ⋅ − − =
252 756, 3d d= ∴ =
nS { }na n 1 7a = − 3 15S = −
{ }na
nS nS
{ } { },n na b.
（1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】（1）证明：因为 ，
所以 ．
因为
所以
所以 ．
又 ，
所以 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，
所以 ．
（2）解：由（1）可得 ，
所以
．
24、已知等差数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式及前 项和 ；
（2）记数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最小值.
【解析】（1）设等差数列 的公差为 .依题意有
1 11 2 , , 2n n n na a n b a n b+ + = + − = =
{ }nb { }nb
{ }na n nS
nS
2
12 2 2
n n n+ += − −
n nb a n− =
n nb a n= +
1 2 1n na a n+ = + −
( ) ( )1 1 2n na n a n+ + + = +
1 2n nb b+ =
1 2b =
{ }nb 1 2b =
12 2 2n n
nb −= × =
2n
n na b n n= − = −
( )1 2 32 2 2 2n
nS = + + + + ( )1 2 3 n− + + + +
( ) ( )2 1 2 1
1 2 2
n n n− += +−
2
12 2 2
n n n+ += − −
{ }na 1 3 4 28, 4a a a a+ = − =
{ }na n nS
1{ }
nS n nT 99
100nT > n
{ }na d解得
所以 .
（2）因为 ，
所以 .
因为 ，即 ，
所以 .所以 的最小值为
25、（2020 届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知公差不为 0 的等差数列 的前 n 项和为 ，且
， 是 和 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，证明数列 是等比数列，并求 的前 n 项和 .
【解析】因为 是 和 的等比中项，所以
设数列 的首项为 ，公差为 ，则 ，
即 ，∵ ，∴ ①
，整理得 ②
（或 ，∴ ）
由①②解得
所以
（2）
因为
1 3
4 2
8,
4.
a a
a a
+ =
− =
1 2,
2.
a
d
=
=
22 ,n na n S n n= = +
2
1 1 1 1
1nS n n n n
= = −+ +
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) 12 2 3 1 1n
n
T S S S n n n
= + + + = − + − + + − = −+ +
99
100nT > 1 991 1 100n
− >+
99n > n 100
{ }na nS
5 25S = 2a 1a 5a
{ }na
{ }nb 2 na
nb = { }nb { }nb nT
2a 1a 5a 2
2 1 5a a a= ⋅
{ }na 1a d ( ) ( )2
1 1 1 4a d a a d+ = ⋅ +
2
12a d d= 0d ≠ 12a d=
5 1
5 45 252
dS a
×= + = 1 2 5a d+ =
5 35 25S a= = 3 15 2a a d= = +
1 1
2
a
d
=
=
1 ( 1) 2 1na a n d n= + − = −
2 12 2na n
nb −= =
2 1
1
2 1
2 42
n
n
n
n
b
b
+
+
−= =所以数列 是以 为首项，4 为公比的等比数列
所以数列 的前 n 项和为
26、（2020·浙江镇海中学高三 3 月模拟）在数列 中， ， ，且对任意的 N*，都有
.
（Ⅰ）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 N*都有 ，求实数 的取
值范围.
【解析】
（Ⅰ）由 可得 ．
又 ， ，所以 ，故 .
所以 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.所以 .
所以 .
（Ⅱ）因为 .
所以
.
又因为对任意的 都有 ，所以 恒成立，
即 ,即当 时， .
27、（2020 届浙江省嘉兴市高三 5 月模拟）已知数列 的前 项和为 ，且 ．公比大于 的
{ }nb 1 2b =
{ }nb ( ) ( )1 3 5 2 1 2 1 4 22 2 2 2 4 11 4 3
n
n n
nT −
−
= + + + + = = −−
{ }na 1 1a = 2 3a = n∈
2 13 2n n na a a+ += −
{ }+1n na a− { }na
1
2n
n
n n
b a a +
= { }nb n nS n∈ 1
n
n
S ma
≥ + m
2 13 2n n na a a+ += − 2 1 12( )n n n na a a a+ + +− = −
1 1a = 2 3a = 2 1 2 0a a− = ≠ 2 1
1
2n n
n n
a a
a a
+ +
+
− =−
1{ }n na a+ − 1 2n
n na a+ − =
1 2 1 1( ) ( )n n na a a a a a −= + − + + − 21 2 2 2n= + + + + 2 1n= −
1
2
(2 1)(2 1)
n
n n nb += − −
1
1
(2 1) (2 1)
(2 1)(2 1)
n n
n n
+
+
− − −= − − 1
1 1
2 1 2 1n n+= −− −
1 2n nS b b b= + + + 2 2 3 +1
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n
= − + − + + − − − − − − −
+1
1=1 2 1n
− −
*n N∈ 1
n
n
S ma
≥ +
+1
1 11 2 1 2 1n nm ≤ − −− −
1
min
1 11 2 1 2 1n nm +
≤ − − − − 1n = 1
3m ≤ −
{ }na n nS
2
2n
n nS
+= 0等比数列 的首项为 ，且 ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）若 ，求证： ， ．
【解析】（1）数列 的前 项和为 ，且 ，
当 时， ，
当 时， ，
经检验， 满足 ，
所以，数列 的通项公式为 ；
设 的公比为 ，
即 ，
将 代入 ，得 ，
解得 ，
所以，数列 的通项公式为 .
（2） ，
当 时， ，
即 ，
， ，
当 时， ，
{ }nb 1 1b = 2 3 20b b+ =
{ }na { }nb
2( )n
n
n
ac b
= 1 2 3
7... 2nc c c c+ + + + < ( )n ∗∈N
{ }na n nS
2
2n
n nS
+=
1n = 1 1
1 1 12a S
+= = =
2n ≥ ( ) ( )22
1
1 1
2 2n n n
n nn na S S n−
− + −+= − = − =
1 1a = na n=
{ }na na n=
{ }nb ( )0q q >
2 3 20b b+ = 2
1 1 20b q b q+ =
1 1b = 2
1 1 20b q b q+ = 2 20 0q q+ − = ( )0q >
4q =
{ }nb 14n
nb −=
2 2
1
( )
4
n
n n
n
a nc b −= =
2n ≥
22
2
1
2 2
1
1( 1) 1( 1) 94
4 4 16
4
nn
n
n
n
c n n
nc n
+
−
+ + + = = = ≤
1
9
16n nc c+ ≤
1 2c c 1= = 3
9
16c =
∴ 2n ≥
29
16
n
nc
− ≤
.
28、（2020 届山东实验中学高三上期中）设正项数列 的前 n 项和为 ，已知
(1)求证：数列 是等差数列，并求其通项公式
(2)设数列 的前 n 项和为 ，且 ，若 对任意 都成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）证明:∵ ，且 ，
当 时， ，解得 ．
当 时，有 即 ，即
．于是 ，
即 ．
∵ ，∴ 为常数
∴数列 是 为首项， 为公差的等差数列，∴ ．
（2）由（1）可得： ，
1 2 3 nc c c c∴ + + +…+
2 29 9 91 1 16 16 16
n− ≤ + + + +…+
191 161 91 16
n− − = +
−
116 91 17 16
n− = + −
16 23 71 7 7 2
< + = <
( )*
1 2 3
7 , n N2nc c c c∴ + + +…+ < ∈
{ }na nS ( )24 = +2n n nS a a n N ∗∈
{ }na
{ }nb nT
1
4
n
n n
b a a +
= ⋅ ( )1 2n
nT nλ < + − ⋅ n N ∗∈ λ
24 2n n nS a a= + 0na >
1n = 2
1 1 14 2a a a= + 1 2a =
2n ≥ 2
1 1 14 2n n nS a a− − −= + 2 2
1 1 14 4 2 2n n n n n nS S a a a a− − −− = − + −
2 2
1 14 2 2n n n n na a a a a− −= − + − 2 2
1 12 2n n n na a a a− −− = +
1 1 1( )( ) 2( )n n n n n na a a a a a− − −+ − = +
1 0n na a − >+ 1 2( 2)n na a n−− = ≥
{ }na 2 2 2na n=
1 1 1
( 1) 1nb n n n n
= = −+ +∴
，即 对任意 都成立
，
①当 为偶数时， 恒成立，
令 ，
，
在 上为增函数，
②当 为奇数时， 恒成立，又 ， 在
为增函数，
∴由①②可知：
综上所述 的取值范围为:
1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) 12 2 3 1 1 1n
nT n n n n
= − + − + + − = − =+ + +
( )1 2n
nT nλ∴ < + − ⋅ ( )1 21
nn nn
λ < + − ⋅+ n N ∗∈
( ) ( )
min
1 1 2( 1)nn n n
n
λ
+ + − ⋅ +⇔ <
2(6 2) 62BD PD= = =
n ( 2)( 1)n n
n
λ + +<
( ) ( 2)( 1) 2 3n nf n nn n
+ += = + +
( ) ( ) ( 1) 21 0( 1)
n nf n f n n n
+ −+ − = >+
( )f n∴ n N ∗∈
( ) ( )min 2 6f n f∴ = =
n ( 2)( 1)n n
n
λ − +< ( 2)( 1) 2 1n n nn n
− + = − − ( ) 2f n n n
= −易知： •n N∈
( ) ( )min 1 2f n f= = −
2λ < −
λ ( ), 2−∞ −
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