专题 4.2 数列的通项与求和
一、单选题
1、（2020·浙江镇海中学高三 3 月模拟）已知公差不为零的等差数列 满足 ， 为数列 的
前 项和，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设公差为 ，由 得到 ，
整理得到 ，因 ，故 ，
，所以 ，故选 A.
2、已知等差数列 的前 项之和为 ，前 项和为 ，则它的前 项的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于等差数列 中 也成等差数列，即 成等差数列，所
以 ，故选 C.
3、设等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】 是等差数列
又 ，
∴公差 ，
{ }na 2
3 1 4a a a= nS { }na
n 3
1
S
S
9
4
9
4
− 3
2
3
2
−
d 2
3 1 4a a a= ( ) ( )1 1 1
2 32a d a a d= ++
2
1 4 0a d d+ = 0d ≠ 1 4a d= −
3 13 3 9S a d d= + = − 3
1
9 9
4 4
S d
S d
−= =−
{ }na m 30 m2 100 m3
130 170 210 260
{ }na 2 3 2, ,m m m m mS S S S S− − 330,70, 100mS −
3 3100 110, 210m mS S− = ∴ =
{ }na nS 1 12, 0, 3m m mS S S− += − = = m =
{ }na
( )1 02
ms
m
m a aS
+∴ = =
( )1 1 2m m ma a S S −⇒ = − = − − = −
1 1 3m m ma S S+ += − =
1 1m md a a+= − =，故选 C．
4、（2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）已知数列 中， ， ( )，则 等于
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
∵ ， ( )，
，
，
，
，
…，
∴数列 是以 3 为周期的周期数列，
，
，
故选：A.
5．（2020·浙江镇海中学高三 3 月模拟）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由题得 ，则有 ，
，故选 C．
1 13 2 5ma a m m m+= = + = − + ⇒ =
{ }na 1 2a =
1
11n
n
a a −
= − 2n ≥ 2018a
1
2
1
2
− 1−
1 2a =
1
11n
n
a a −
= − 2n ≥
2
1 11 2 2a∴ = − =
3 1 2 1a = − = −
4 1 ( 1) 2a = − − =
5
1 11 2 2a = − =
{ }na
2018 3 672 2= × +
2018 2
1
2a a∴ = =
{ }na 1 12 ( , 2)n n na a a n n∗
− + ∈ ≥N≤ ＋
5 2 14 3a a a≤ − 2 7 3 6a a a a+ ≤ +
7 6 6 33( )a a a a− ≥ − 2 3 6 7a a a a+ ≥ +
1 1n n n na a a a− +− ≤ − 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6a a a a a a a a a a a a− ≤ − ≤ − ≤ − ≤ − ≤ −
7 6 4 3 5 4 6 5 6 33( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a− ≥ − + − + − = −6、（2020·浙江高三）等差数列{an}的公差为 d，a1≠0，Sn 为数列{an}的前 n 项和，则“d＝0”是“ Z”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】等差数列{an}的公差为 d，a1≠0，Sn 为数列{an}的前 n 项和，
若 d＝0，则{an}为常数列，故 an= ，
即 ⇒“ Z”，
当 Z 时，d 不一定为 0，
例如，数列 1，3，5，7，9，11 中， 4，d＝2，
故 d＝0 是 Z 的充分不必要条件．
故选：A．
7、（2020 届山东省德州市高三上期末）对于数列 ，规定 为数列 的一阶差分数列，其中
，对自然数 ，规定 为数列 的 阶差分数列，其中
.若 ，且 ，则数列 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题中定义可得 ，
即 ，即 ，
等式两边同时除以 ，得 ， 且 ，
2n
n
S
S
∈
1a
2 1 12 ,n nS na S na= = 2n
n
S
S
∈
2n
n
S
S
∈
6
3
1 3 5 7 9 11
1 3 5
S
S
+ + + + += =+ +
2n
n
S
S
∈
{ }na { }na∆ { }na
( )*
1n n na a a n+∆ = − ∈N ( )2k k ≥ { }k
na∆ { }na k
1 1
1
k k k
n n na a a− −
+∆ = ∆ − ∆ 1 1a = ( )2 *
1 2n
n n na a a n+∆ − ∆ + = − ∈N { }na
2 12n
na n −= × 12n
na n −= ×
( ) 21 2n
na n −= + × ( ) 12 1 2n
na n −= − ×
( ) ( )2 *
1 1 1 2n
n
n n n n n na a a a a a na+ + +∆ − ∆ + = ∆ − ∆ − ∆ + = − ∈N
( )1 12 2n
n n n n n n na a a a a a a+ +− ∆ = − − = − = − 1 2 2n
n na a+ = +
12n+ 1
1
1
2 2 2
n n
n n
a a+
+ = + 1
1
1
2 2 2
n n
n n
a a+
+∴ − = 1 1
2 2
a =所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， ，
因此， .
故选：B.
8、（2020 届浙江省嘉兴市高三 5 月模拟）已知数列 ，满足 且
设 是数列 的前 项和，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 且 ，
得 ， ，
所以， ，
，
又 ，所以 ，解得 ，
故选：C.
9、在数列 中，已知 ， ，则“ ”是“ 是单调递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若在数列 中，已知 ， ， ，则 ，解得 ．
若数列 是单调递增数列，则对任意的 都满足：
，
2
n
n
a
1
2
1
2
( )1 1 12 2 2 2
n
n
a nn∴ = + − =
12n
na n −= ⋅
{ }na 1a a=
*
1
*
1 2 1, N2
2 2 , N
n
n
n
a n k ka
a n k k
+
= − ∈=
= ∈
， ，
， ．
nS { }na n 2020 1S = a
1
3030
1
2020
1
1515 1
1a a=
*
1
*
1 2 1, N2
2 2 , N
n
n
n
a n k ka
a n k k
+
= − ∈=
= ∈
，
，
2
1
2a a= 3a a= 4
1
2a a=
, 2 1,
1 , 2 ,2
n
a n k k N
a
a n k k N
∗
∗
= − ∈= = ∈
2020
11010 1010 15152S a a a= + × =
2020 1S = 1515 1a = 1
1515a =
{ }na 2
na n nλ= + n ∗∈N 1 2a a< { }na
{ }na 2
na n nλ= + n ∗∈N 1 2a a< 1 4 2λ λ+ < + 3λ > −
{ }na n ∗∈N
( ) ( )2 2
1 1 1 2 1 0n na a n n n n nλ λ λ+ − = + + + − − = + + >，即 .
因此，“ ”是“ 是单调递增数列”的充分必要条件.
故选：C.
二、多选题
10、已知 是等差数列 的前 项和，且 ，有下列四个命题，其中是真命题的是
A．公差 B．在所有 中， 最大
C． D．满足 的 的个数有 15 个
【答案】
【解析】 ，且 ，
，即 ，
又 ， ，
，即 ，
，故选项 ， 为真命题；
， ，
，即 ，
又 ，
，
又 ，
，
又 ，
，
故选项 为真命题，选项 为假命题；
故选： ．
11、（2019 秋•济宁期末）若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝2an+1，（n∈N*），则下列说法正确的是（ ）
A．a5＝﹣16 B．S5＝﹣63
C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn+1}是等比数列
【答案】AC
1 2nλ∴ > − − ( )max1 2 3nλ > − − = −
1 2a a< { }na
nS *{ }( )na n N∈ n 8 9 7S S S> > ( )
0d < 0nS < 17S
8 9a a> 0nS > n
ABC
8 9S S> 9 8 9S S a= +
8 8 9S S a∴ > + 9 0a <
8 7S S> 8 7 8S S a= +
7 8 7S a S∴ + > 8 0a >
9 8 0d a a∴ = − < A C
9 7S S> 9 7 8 9S S a a= + +
7 8 9 7S a a S∴ + + > 8 9 0a a+ >
1 15 82a a a+ =
1 15
15 8
15( ) 15 02
a aS a
+∴ = = >
1 16 8 9a a a a+ = +
1 16
16 8 9
16( ) 8( ) 02
a aS a a
+∴ = = + >
1 17 92a a a+ =
1 17
17 9
17( ) 17 02
a aS a
+∴ = = <
B D
ABC【解析】：∵Sn＝2an+1，（n∈N*），
∴①当 n＝1 时，a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝﹣1，
②当 n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an+1﹣2an﹣1﹣1，∴2an﹣1＝an，∴ 푎푛
푎푛―1
= 2，
∴数列{an}是首项为﹣1，公比为 2 的等比数列，故选项 C 正确，
∴푎푛 = ― 2푛―1，푆푛 = ―(1 ― 2푛)
1 ― 2 = 1 ― 2푛
∴푎5 = ― 24 = ―16，푆5 = ―(1 ― 25)
1 ― 2 = ―31，故选项 A 正确，选项 B 错误，
又∵푆푛 +1 = 2 ― 2푛，∴数列{Sn+1}不是等比数列，故选项 D 错误，
故选：AC．
12、（2019 秋•宁阳县校级月考）设 是数列 的前 项和，且 ， ，则
A． B．
C．数列 为等差数列 D．
【答案】
【解析】： 是数列 的前 项和，且 ， ，则 ，
整理得 （常数），
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．故 正确
所以 ，
故： ．
所以当 时，
（首项不符合通项），
故 故 正确
所以 ，故 正确．
故选： ．
nS { }na n 1 1a = − 1 1n n na S S+ += ( )
1
1
2n na −= −
1, 1,
1 1
1
n
n
a
n n
− == − −
1
nS
1 2 100
1 1 1 5050S S S
+ +…+ = −
BCD
nS { }na n 1 1a = − 1 1n n na S S+ += 1 1n n n nS S S S+ +− =
1
1 1 1
n nS S+
− = −
1
nS
1
1 1S
= − 1− C
1 1 ( 1)
n
n nS
= − − − = −
1
nS n
= −
2n
1
1 1
1n n na S S n n−= − = −−
1, 1,
1 1
1
n
n
a
n n
− == − −
B
1 2 100
1 1 1 (1 2 3 100) 5050S S S
+ +…+ = − + + +…+ = − D
BCD三、填空题
13、（2020 届江苏省南通市如皋中学高三下学期 3 月线上模拟）已知数列 是等差数列， 是
其前 n 项和.若 ，则 的通项公式 _______
【答案】
【解析】设数列 公差为 ，由已知得 ，解得 ．
∴ ．
故答案为： ．
14、（2020 届江苏省海安中学、金陵中学、高三 12 月联考）设 为数列 的前 n 项和，若
（ ），且 ，则 的值为______.
【答案】1240
【解析】当 时， ， ，可得 ，
当 时，由 ，得 ，
∴ ，即 ，
∴数列 是首项 ，公差为 6 的等差数列，
∴ ，
故答案为：1240.
15、（江苏省南通市 2019-2020 学年高三 9 月月考）设等比数列 的公比为 ，前
项和为 .若存在 ，使得 ，且 ，则正整数 的值为______.
【答案】
【解析】 ， ，得 ， ，解得 .
由 ，可得 ，所以， ，
*{ }( )na n N∈ nS
1 5 6 913, 18a a a S+ = = { }na =na
7n− +
{ }na d 1 1 1
1
( 4 ) 5 13
9 36 18
a a d a d
a d
+ + + =
+ =
1 6
1
a
d
=
= −
6 ( 1) 7na n n= − − = −
7n− +
nS { }na
( )3 1n nS na n n= − − n ∗∈N 2 11a = 20S
2n = ( )2 1 2 22 3 2 2 1S a a a= + = − × − 2 11a = 1 5a =
2n ≥ 1n n na S S −= − ( ) ( ) ( )( )13 1 1 3 1 2n n na na n n n a n n−= − − − − − − −
( ) ( ) ( )11 1 6 1n nn a n a n−− − − = − ( )*
1 6 2,n na a n n N−− = ≥ ∈
{ }na 1 5a =
20
20 1920 5 6 12402S
×= × + × =
{ }na ( )1q q > n
nS m N ∗∈ 2 1
5
2m m ma a a+ ++ = 2 9m mS S= m
3
2 1
5
2m m ma a a+ ++ = 2 5
2m m ma a q a q∴ + = 2 5 1 02q q− + = 1q > 2q =
2 9m mS S= ( ) ( )2
1 11 2 1 2
91 2 1 2
m ma a− −
= ×− −
( )21 2 9 1 2m m− = −即 ， ， ， ，解得 ，
故答案为 .
16、（2020 届高三月考）设等差数列 前 n 项和为 ．若 ， ，则
________， 的最大值为________．
【答案】4 42
【解析】
∵数列 是等差数列，∵ ，∴ ， ，
又 ， ， ，
，
,
∴当 或 时， 有最大值 42.
故答案为：（1）4；（2）42.
17、（2020 届山东省九校高三上学期联考）已知数列 中， ，其前 项和 满足
，则 __________； __________.
【答案】
【解析】
（1）由题： ，令 ，
，
得： ，所以 ；
（2）由题 ，
，化简得：
( )( ) ( )1 2 1 2 9 1 2m m m− + = − m N ∗∈ 1 2 0m∴ − ≠ 1 2 9m∴ + = 3m =
3
{ }na nS 2 10a = 5 40S = 5a =
nS
{ }na 5 40S = ( )1 5 35 5 2 402 2
a a a× + ×= = 3 8a∴ =
2 10a∴ = 2d∴ = − 2 ( 2) 10 ( 2) ( 2) 14 2na a n d n n∴ = + − × = + − × − = −
5 14 2 5 4a∴ = − × =
( )1 2 2(12 14 2 ) (26 2 ) 13 169(13 ) 13 ( )2 2 2 2 4
n
n
n a a n n n nS n n n n n
+ + − −= = = = − = − + = − − +
6n = 7 nS
{ }na 1
1
2a = n nS
( )2 0 2n n n nS a S a n− + = ≥ 2a = 2019S =
1
6
− 1
2020
( )2 0 2n n n nS a S a n− + = ≥ 2n =
2 2
2
2 2 2 2 2
2
2
1 1( ) 02 20,( )S a S a a a a a++ = + +− =−
2
3 1 02 4a + = 2
1
6a = −
( )2 0 2n n n nS a S a n− + = ≥ ( )1 2n n na S S n−− ≥=
( )2
1 1( ) 0 2n n n n n nS S S S S S n− −− + =− ≥−，
，
是一个以 2 为首项，1 为公差的等差数列，
， ，
故答案为：(1). (2).
18、（2020 届浙江省温丽联盟高三第一次联考）数列 的前 项和为 ， ，
，则 __________；若 时， 的最大值为__________.
【答案】26 807
【解析】∵ ， ，
∴ ， ， ， ， ，……
∴ ；
由 可知 ， ，
故 时， 的最大值为 807；
故答案为：26；807．
四、解答题
19、（2020 年高考全国Ⅰ卷理数）设 是公比不为 1 的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
【解析】（1）设 的公比为 ，由题设得 即 .
( )1 1 0 2n n n nS S S S n− −−+ = ≥
1 1
1 1 1 11 0, 1,( 2)
n n n n
nS S S S− −
+ − = − = ≥
1{ }
nS
1 1
n
nS
= + 1
1nS n
= + 2019
1
2020S =
1
6
− 1
2020
{ }na n nS 1 1a =
( )
( )1
1 4
44
n n
n n
n
a a
a a a+
+
2
2
3
4 1 2
1
m mm m
m
>∴ + −
>
2
2
2 1 04 1 2
1
m m
m m
m
− − > + −
>
61 1 2m< < +
*m N∈ 2m∴ = 12k∴ =∴存在 满足题意．
23、（2020 届山东省九校高三上学期联考）已知数列 是等比数列， 且 ， ， 成等差
数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）设数列 的公比为 ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即： ，
解得： .
∴ ，
∴ .
（2） ，
∴
.
24、（2020 届山东省烟台市高三上期末）已知数列 的前 项和 满足 ，且
2, 12m k= =
{ }1na + 1 1a = 2a 3 2a + 4a
{ }na
1
1
n n
n
n n
a ab a a
+
+
−= { }nb n nS
{ }1na + q 1 1 2a + =
2
2
3
3
4
1 2
1 2
1 2
a q
a q
a q
+ =
+ =
+ =
2
2
3
3
4
2 1
2 1
2 1
a q
a q
a q
= −
= −
= −
( )3 2 42 2a a a+ = +
( )2 32 2 1 2 1 2 1q q q+ = − + −
2 34 2 2 2 2q q q+ = + −
( ) ( )2 24 1 2 1q q q+ = +
2q =
11 2 2 2n n
na −+ = ⋅ =
2 1n
na = −
( )( ) 11
2 1 1
2 1 2 12 1 2 1
n
n n nn nb ++
= = −− −− −
1 2 3 1n n nS b b b b b−= + + + + +
1 2 2 3 3 4
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
= − + − + − − − − − − − 1 1
1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1n n n n− +
+ + − + − − − − −
1
1 1
1 2 21 2 1 2 1
n
n n
+
+ +
−= − =− −
{ }na n nS ( ) ( )2 1n nS n a n N ∗= + ∈.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）因为 , ,
所以 , ,
两式相减得 ,
整理得 ,
即 , ,所以 为常数列,
所以 ,
所以
（2）由（1）, ,
所以
两式相减得：
，
，
化简得
25、（2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列 满足 成等差数列，且
；等差数列 的前 n 项和 .求：
（1） ；
1 2a =
{ }na
( )1 2 na
n nb a= − { }nb n nT
2 ( 1)n nS n a= + n ∗∈N
1 12 ( 2)n nS n a+ += + n ∗∈N
1 12 ( 2) ( 1)n n na n a n a+ += + − +
1 ( 1)n nna n a+ = +
1
1
n na a
n n
+ =+ n ∗∈N na
n
1 21
na a
n
= =
2na n=
( 1)2 =(2 1)4na n
n nb a n= − −
1 2 31 4 +3 4 +5 4 + +(2 1)4n
nT n= × × × −
2 3 14 1 4 +3 4 + +(2 3)4 (2 1)4n n
nT n n += × × − + −…
2 3 13 4+2 (4 +4 + +4 ) (2 1)4n n
nT n +− = × − −…
2 +1
14 43 4+2 (2 1)41 4
n
n
nT n +−− = × − −−
120 (6 5)4+9 9
n
n
nT
+−=
{ }na 1,a 2,a 3 1a a−
1 3 4a a a= { }nb 2( 1)log
2
n
n
n aS
+=
,na nb（2）数列 的前项和 .
【解析】（1）设 的公比为 q.
因为 成等差数列，
所以 ，即 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
因此 .
由题意， .
所以 ，
，从而 .
所以 的公差 .
所以 .
（2）令 ，则 .
因此 .
又
两式相减得
.
所以 .
{ }n na b nT
{ }na
1,a 2,a 3 1a a−
( )2 1 3 12a a a a= + − 2 32a a=
2 0a ≠ 3
2
2aq a
= =
1 3 4a a a= 4
1
3
2aa qa
= = =
1
1 2n n
na a q −= =
2( 1)log
2
n
n
n aS
+= ( 1)
2
n n+=
1 1 1b S= =
1 2 2 3b b S+ = = 2 2b =
{ }nb 2 1 2 1 1d b b= − = − =
1 ( 1) 1 ( 1) 1nb b n d n n= + − = + − ⋅ =
n n nc a b= 2n
nc n= ⋅
1 2n nT c c c= + +⋅⋅⋅+ 1 2 3 11 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2n nn n−= × + × + × +⋅⋅⋅+ − ⋅ + ⋅
2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2n n
nT n n += × + × + × +⋅⋅⋅+ − ⋅ + ⋅
2 3 12 2 2 2 2n n
nT n +− = + + +⋅⋅⋅+ − ⋅
12 2 2= 21 2
n
nn +− ⋅ − ⋅−
1 12 2 2n nn+ += − − ⋅
1(1 ) 2 2nn += − ⋅ −
1( 1) 2 2n
nT n += − ⋅ +
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