湖南省2021届高三上学期第二次月考数学试题 含答案详解

2021 届高三第二次月考 数学试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 一．单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求. 1.已知集合 ，若 有 2 个子集，则 不可能为（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 2.已知实数 ， ， 满足 ，且 ，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3.已知函数 ，则 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.已知函数 的图象与直线 的相邻交点间的距离为 ，若定义 ，则函数 ， 在区间 内的图 象是( ) A． B． C． D． 5.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了 某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： ， 其中 K 为最大确诊病例数．当 I( )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为( ) （参考数据 ln19≈3） { } { }0,2,1,0 2 =−== mxxBA BA m a b c a b c< < 0a b c+ + = ab ac< ac bc< 2 2 2a b c< < 2 2ab cb< ( ) ( )xxxf 2 2 2 log1 +=+ ( )3f ( ) 2tan( )( 0)f x xω ω= > 2y = π { }    < ≥= bab baaba,max ( ) max{ ( )h x f x= ( )cos }f x x 3,2 2 π π     ( ) )50(23.01 −−+= te KtI *t *tA．60 B．62 C．66 D．63 6.对于函数 ，把满足 的实数 叫做函数 的不动点。设 ， 若 有两个不动点，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 7.若曲线 的一条切线为 ，其中 为正实数，则 的取值 范围是（ ） A． B． C. D． 8.奇函数 定义域为 ，其导函数是 .当 时，有 ，则关于 的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 二．多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.下列选下选项中，值为 的是（ ） A．cos 72°cos 36° B． 1 sin 50°＋ 3 cos 50°. C．sin π 12sin5π 12 D． ； 10．某同学在研究函数 时，给出下面几个结论中正确的有( ) A． 的图象关于原点对称 B．若 ，则 C． 的值域为 D．函数 仅有一个零点 11．设 ，且 ，那么（ ） A． 有最小值 B． 有最大值 ( )lny x a= + y ex b= + ,a b 2 ea b + + [ )2,+∞ [ ),e +∞ [ )2,e 2 ,2 e e  + +∞   ( )xf ( ) 00 xxf = 0x ( )xf ( ) xaxf ln= ( )xf a ( )e,0 ( )+∞,e ( )+∞,1 ( )e,1 ( )f x ( ) ( ),0 0,π π−  ( )'f x 0 x π< < ( ) ( )' sin cos 0f x x f x x− < x ( ) 2 sin4f x f x π <    ,4 π π    , ,4 4 π ππ π   − −       ,0 0,4 4 π π   −       ,0 ,4 4 π π π   −       4 1 12sin12cos 22 ππ − ( ) 1 | | xf x x = + ( )x R∈ ( )f x 1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x≠ ( )f x ( 1,1)− ( ) ( )g x f x x= − 1, 1a b> > ( ) 1ab a b− + = +a b ( )2 2 1+ +a b ( )2 2 1+C． 有最大值 D． 有最小值 12.设函数 ，则下列说法正确的是( ) A． 定义域是（0，+ ） B． ∈（0，1）时， 图象位于 轴下方 C． 存在单调递增区间 D． 有且仅有一个极值点 三．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知 为自然常数，则函数 的零点为 14.已知 ，则 ＝ 15.已知函数 ，对于任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是 16.定义在 上函数 满足 ，且当 时， .则使得 在 上恒成立的 的最小值是 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分）在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相 应的问题. 在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足________________，且 ， 求 的面积. 18.（本小题满分 12 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足：a1＝1，Sn＋1－1＝Sn＋an， 数列{bn}为等比数列，满足 b1＝4b3，b2＝1 4 1 2F F、 2 2 2y x= + C ( )0k k ≠ l x C , , (P Q R P 1 2 1RFF PFQ∠ = ∠ ( ) xaxxf ln−= Ra∈ x axfxh ++= 1)()( )(xh x axg +−= 1)( ],1[ e 0x )()( 00 xgxf ≤ a1.【答案】C 2.【解析】 且 ，则 ， .所以 .故选 B. 3. 【答案】C 已知函数 ，则 的值为( C ) 4.【答案】A 【解析】根据题意， 的图象与直线 的相邻交点间的距离为 ， 所以 的周期为 ， 则 ， 所以 ， 由正弦函数和正切函数图象可知 正确. 故选：A. 5. 【答案】D 【解析】 ，所以 ， 所以 ，解得 故选：D． 6. 【答案】B 7. 【答案】A 【解析】设切点为 ，则有 ， ， ，故选 A. 8. 【答案】D 【解析】令 ，则当 时， ，所以 当 时，函数 单调递减， 又 为奇函数，所以函数 ),( 00 yx eab 2,0 >∴> 21 2 ≥+=++ aab ea 0a b c+ + = a b c< < 0a < 0c > ac bc< ( ) ( )xxxf 2 2 2 log1 +=+ ( )3f ( ) 2tan( )( 0)f x xω ω= > 2y = π ( ) 2tan( )( 0)f x xω ω= > π 1T π πω π= = = { } 2sin , ,2( ) max 2tan ,2sin 32tan , , 2 x x h x x x x x π π ππ   ∈   = =    ∈    A ( ) )50(23.01 −−+= te KtI ( ) ( ) KetI t 95.01 K 5023.0 =+= −− ( ) 3195023.0 ≈=−∗t 635023.0 3 ≈+≈∗t ( )   −=⇒ +=+ =+ 2 ln 1 00 0 aeb bexax eax ( )( ) sin f xg x x = 0 x π< < 2 ( )sin ( )cos( ) 0sin f x x f x xg x x ′ −′ = < 0 x π< < ( )( ) sin f xg x x = ( )f x ( )( ) sin f xg x x =为偶函数， 而当 时，不等式 等价于 ，即 ，所以 ，根据偶函数性质得到 ，故选 D． 三．多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.【答案】A，C 【解析】对于 A 中 cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72° 2sin 36° ＝2sin 72°cos 72° 4sin 36° ＝sin 144° 4sin 36°＝1 4. 对于 B 中原式＝cos 50°＋ 3sin 50° sin 50°cos 50° ＝ 21 2cos 50°＋ 3 2 sin 50° 1 2 × 2sin 50°cos 50° ＝ 2sin 80° 1 2sin 100° ＝2sin 80° 1 2 sin 80° ＝4. 对于 C 中 sin π 12sin 5π 12＝sin π 12cos π 12＝ 2sin π 12cos π 12 2 ＝ sin π 6 2 ＝1 4. 对于 D 中 = ，故选 A，C。. 10．【答案】ABCD 【解析】函数 的定义域为全体实数， ，所以 是奇函数，图象关于原点对称， . 选项 A：由上分析函数关于原点对称，本选项是正确的； 选项 B：当 时， ，显然函数单调递增，此时 ； 当 时， ，显然函数单调递增，此时 ，因此函 数在整个实数集上是单调递增的，因此若 ，则 是正确的，本选项是 正确的； 选项 C：由选项 B 的分析可以知道本选项是正确的； 0 x π< < ( ) 2 ( )sin4f x f x π< ( )( ) 4 sin sin 4 ff x x π π< ( ) ( )4g x g π< 4 x π π< < ( ,0) ( , )4 4 π π π−  12sin12cos 22 ππ − 2 3 ( )f x ( ) ( )1 | | 1 | | x xf x f xx x −− = = − = −+ − + ( )f x , 01( ) 1 , 01 x xx xf x xx xx  ≥ += = +    ≠ 0x > 1x ≠ ( ) ln xef x x = (0,1) (1, )∪ +∞ ( ) ln xef x x = (0,1)x∈ ln 0x < ( ) 0f x < ( )f x (0,1) ( ) ( )2 ' ln 1ln x xxe xf x    − = ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) 1lng x x x = − ( ) 2 1 1 .( 0)g x xx x ′ = + > ( ) 0g x′ > ( )g x数 只有一个根 ，使得 ，当 时， ，函数单调递减， 当 时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以 D 正确； 故选 BCD． 三．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 1 14. 解析：由 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 两式平方相加，得 2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1， 整理得 sin(α＋β)＝－1 2. 15. 【解析】根据函数 对于任意 ，都有 ， 可得函数 在区间 为单调递减函数， 由 ，可得函数 为偶函数，图象关于 轴对称， 所以函数 在区间 为单调递增函数， 当 时，函数 ，可得 ， 根据函数 在区间 为单调递增函数，可得 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，可转化为 在 上恒成立， 令 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ， ( ) 0f x′ = 0x 0( ) 0f x′ = 0(0, )x x∈ ( ) 0f x′ < 0( , )x x∈ +∞ 2 1− )2,( e−∞ ( )f x 1 2, ( ,0)x x ∈ −∞ ( ) ( ) ( )2 1 2 1 0x x f x f x− − ( )g x 1x = ( )g x (1)g e=所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 . 16. 【解析】根据题设可知，当 时， ，故 ， 同理可得：在区间 上， ， 所以当 时， . 作函数 的图象，如图所示. 在 上，由 ，得 . 由图象可知当 时， .. 五、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 【答案】横线处任填一个都可以，面积为 ． 【解析 1】（1)在横线上填写“ ”. 解：由正弦定理，得 . 由 ， 得 . 由 ，得 . 所以 . 又 所以 . 2 (1)a g e≤ = 2 ea ≤ a ( , ]2 e−∞ [ )1,2x∈ [ )1 0,1x − ∈ ( ) ( ) ( )1 11 1 2 32 2f x f x x= − = − − [ )( ), 1n n n Z+ ∈ ( ) ( )1 11 2 2 12 2n nf x x n = − − + ≤  4n ≥ ( ) 1 16f x ≤ ( )y f x= 7 ,42     ( ) 1 11 2 78 16f x x=  − −  =  15 4x = 15 4x ≥ ( ) 1 16f x ≤ 3 3( cos ) sinb C a c B− = 3(sin cos sin ) sin sinB C A C B− = sin sin( ) sin cos cos sinA B C B C B C= + = + 3 cos sin sin sinB C C B− = 0 C π< < sin 0C ≠ 3 cos sinB B− = cos 0B ≠ tan 3B = −又 ，得 . 由余弦定理及 ，得 ， 即 .将 代入，解得 . 所以 . 【解析 2】在横线上填写“ ”. 解：由 及正弦定理，得 . 又 ， 所以有 . 因为 ，所以 . 从而有 .又 ，所以 由余弦定理及 ，得 即 .将 代入，解得 . 所以 . 【解析 3】在横线上填写“ ” 解：由正弦定理，得 . 由 ，得 ，所以 由二倍角公式，得 . 由 ，得 ，所以 .所以 ，即 . 由余弦定理及 ，得 . 即 .将 代入，解得 . 所以 . 18. 0 B π< < 2 3B π= 2 3b = 2 2 2 2(2 3) 2 cos 3a c ac π= + − 212 ( )a c ac= + − 4a c+ = 4ac = 1 sin2ABCS ac B=△ 1 342 2 = × × 3= 2 2 cosa c b C+ = 2 2 cosa c b C+ = 2sin sin 2sin cosA C B C+ + = sin sin( ) sin cos cos sinA B C B C B C= + = + 2cos sin sin 0B C C+ = (0, )C π∈ sin 0C ≠ 1cos 2B = − (0, )B π∈ 2 3B π= 2 3b = 2 2 2 2(2 3) 2 cos 3a c ac π= + − 212 ( )a c ac= + − 4a c+ = 4ac = 1 1 3sin 4 32 2 2ABCS ac B= = × × =  sin 3 sin 2 A Cb A a += sin sin 3sin sin 2 BB A A π −= 0 A π< < sin A θ≠ sin 3 cos 2 BB = 2sin cos 3 cos2 2 2 B B B= 0 2 2 B π< < cos 02 B ≠ 3sin 2 2 B = 2 3 B π= 2 3B π= 2 3b = 2 2 2 2(2 3) 2 cos 3a c ac π= + − 212 ( )a c ac= + − 4a c+ = 4ac = 1 sin2ABCS ac B=△ 1 342 2 = × × 3=【解】　(1)由 Sn＋1－1＝Sn＋an，得 Sn＋1－Sn＝an＋1， 即 an＋1－an＝1，又 a1＝1， 所以数列{an}是首项和公差均为 1 的等差数列，可得 an＝n。 因为数列{bn}为等比数列，满足 b1＝4b3，b2＝1 41 4 。 当 q＝－1 2 时，－1 2b1＝1 4 ，得 b1＝－1 2 ，不满足 b2′ xh 0>x ax +>1 0)( x ax +′ xh 1−>a )(xh )1,0( +a ),1( +∞+a 1−≤a )(xh ),0( +∞ ],1[ e 0x )()( 00 xgxf ≤ ],1[ e 0x 0)( 0 ≤xh x axaxxh ++⋅−= 1ln)( ],1[ e 0)( min ≤xh ea ≥+1 1−≥ ea )(xh ],1[ e 01)()( min ≤−++== ae aeehxh 1 12 − +≥ e ea 11 12 −>− + ee e 1 12 − +≥ e ea 11≤+a 0≤a )(xh ],1[ e 011)1()( min ≤++== ahxh 2−≤a③当 ，即 时，∴ ， ∵ ， ， ，此时不存在 使 成立， 综上可得所求 的范围是： 或 。 ea