高三理科数学参考答案.pdf

书书书 【高三理科数学测试参考答案　（第 １　　　　页　共 ６页）】 ２０２０－２０２１学年高三年级模拟调研考试 理科数学参考答案 １．【答案】　Ｂ 【解析】　ｚ＝－１－ｉ，ｚ＋１ ｚ ＝ －ｉ －１－ｉ＝ｉ（１－ｉ） ２ ＝１ ２＋１ ２ｉ，则 ｚ＋１ ｚ ＝槡２ ２． ２．【答案】　Ａ 【解析】　由题意，Ａ＝ ｘｘ≤４＋{ }ａ，Ｂ＝ ｘ０≤ｘ≤{ }３，又 Ａ∩Ｂ＝ ｘ０≤ｘ≤{ }２，故 ４＋ａ＝２，得 ａ ＝－２，故选 Ａ． ３．【答案】　Ｃ 【解析】　如图，Ｏ为正八棱锥 Ｓ－ＡＢＣＤＥＦＧＨ底面外接圆心，连接 ＯＡ，ＯＢ，ＯＥ，由题意，∠ＯＡＢ＝ ３π ８，∠ＳＡＢ＝α，则 １ ２ＡＢ＝ＳＡ·ｃｏｓα＝ＯＡ·ｃｏｓ３π ８ＳＡ ＯＡ＝ ｃｏｓ３π ８ ｃｏｓα． ４．【答案】　Ａ 【解析】　设 Ｍ（ｘ１，ｙ１），由抛物线性质得：ｘ１ ＝４－２＝２，∴ｙ２ １ ＝８·２＝１６ ｙ１ ＝４，故 Ｍ到 ｘ的 距离为 ４，故选 Ａ． ５．【答案】　Ｄ 【解析】　由题意，得：ｂ＝－２，故 ｙ与 ｚ正相关，ｙ与 ｘ负相关，可得：ｚ与 ｘ负相关． ６．【答案】　Ｃ 【解析】　ｆ′（ｘ）＝ ａ ２槡ｘ －１ ｘ２ ，则 ｋ＝ｆ′（１）＝ａ ２－１＝１ａ＝４，ｆ（１）＝５，故切线为 ｙ－５＝ｘ－１ｙ ＝ｘ＋４，比较 ｙ＝ｘ＋ｎ，ｎ＝４． ７．【答案】　Ｃ 【解析】　由图知 ｆ（ｘ）的最大值为 ３，即 ２＋ａ＝３ａ＝１，又 ２ｃｏｓφ＋１＝２φ＝±π ３ ，由图可看出 ｆ（ｘ）的图像是由 ｇ（ｘ）＝ｃｏｓ２ｘ的图像首先向左平移，再向上平移后得来的，则 φ＝π ３ ． ８．【答案】　Ｄ 【解析】　由题意，ｘ３ｙ２项为 ａｙ（－１）１·Ｃ１ ４ｘ３ｙ＋ｘ２ ｙ·（－１）３·Ｃ３ ４ｘｙ３＝－４（１＋ａ）ｘｙ３，故 －４（１＋ ａ）＝４，所以 ａ＝－２． ９．【答案】　Ｂ 【解析】　１－２ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎα＋１＝０２ｓｉｎ２α－３ｓｉｎα－２＝０，ｓｉｎα＝－１ ２或 ｓｉｎα＝２，由 ｓｉｎα≤１， 所以 ｓｉｎα＝－１ ２，ｃｏｓα＝槡３ ２ｔａｎα＝－槡３ ３．【高三理科数学测试参考答案　（第 ２　　　　页　共 ６页）】 １０．【答案】　Ａ 【解析】　如图，设正方形 ＡＢＣＤ外接圆的圆心为 Ｏ１，由题意，∠ＯＡＯ１ ＝π ４，则 ＡＯ１ ＝ＡＯ·ｃｏｓπ ４ ＝ＡＤ·ｓｉｎπ ４ＡＯ＝ＡＤ＝４，表面积 Ｓ＝４π·４２＝６４π． １１．【答案】　Ｄ 【解析】　Ｈ是 ＢＣ中点，如图，Ａ 槡３，( )０， ＡＭ ２ ＝ 槡( )３－２２ ＋ ３２ 槡＝１６－４ ３， ＡＰ ２ ＝ ＡＮ ２ － ＮＰ ２ ＝ ＡＨ ２＋ ＮＨ( )２ － ＣＨ ２＋ ＮＨ( )２ ＝ ＡＨ ２ － ＣＨ ２ ＝ ＡＭ ２－ ＭＨ( )２ － ＭＣ ２－ ＭＨ( )２ ＝ ＡＭ ２ － ＭＣ ２ 槡＝１２－４ ３为 定 值，∴ ＡＰ 为定值，设△ＰＢＣ的 ＢＣ边上高为 ｈ，由△ＰＢＣ的面积 Ｓ＝ １ ２ ＢＣ ｈ，由于 ＢＣ 不变，则当 ＰＡ⊥ ＢＣ时，ｈ最大，Ｓ＝１ ２ ＢＣ ｈ最大，则 ＡＰ的方程为：ｙ＝－槡３ ３ ｘ 槡( )－ ３ ｘ 槡＋ ３ｙ 槡－ ３ ＝０． １２．【答案】　Ａ 【解析】　由函数 ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ ｘ，ｆ′（ｘ）＝１－ｌｎｘ ｘ ，可知，ｘ∈（０，ｅ），ｆ′（ｘ）＞０，ｘ∈（ｅ，＋∞），ｆ′（ｘ）＜０， 又 ｆ（２）＝ｌｎ２ ２ ＝２ｌｎ２ ４ ＝ｌｎ４ ４ ＝ｆ（４），ｌｎ３ ３ ＞ｌｎ４ ４ ＝ｌｎ２ ２ ＞ｌｎ５ ５，与 ２ａ＋ｌｎ２ ２ ＝３ｂ＋ｌｎ３ ３ ＝５ｃ＋ｌｎ５ ５５ｃ＞２ａ＞ ３ｂｃｌｎ５＞ａｌｎ２＞ｂｌｎ３． １３．【答案】　１ 【解析】　ｙ－２ｘ＝ｚｙ＝２ｘ＋ｚ，ｚ的几何意义是在 ｙ轴上截距，画出可行域 的图，如图，阴影部分，当直线 ｙ＝２ｘ＋ｚ过 ｘ＋２ｙ－２＝０与 ｙ轴交点时，ｚ最 大为 ｚ＝１． １４．【答案】　４ 【解析】　 ２ａ＋ｂ２＝４ａ２＋ｂ２＋４ａ·ｂ＝１６＋１－１＝１６ ２ａ＋ｂ ＝４． １５．【答案】 槡　 ５ 【解析】　由题意，可求得：Ｐ（ｃ，ｂｃ ａ），则 ｋＦ１Ｐ ＝ｔａｎπ ４＝ ｂｃ ａ ２ｃ＝ｂ ２ａｂ＝２ａｃ２－ａ２＝４ａ２，得：ｅ２＝５ 槡ｅ＝ ５．【高三理科数学测试参考答案　（第 ３　　　　页　共 ６页）】 １６．【答案】　５６ ６５ 【解析】　Ａ关于对角线 Ａ１Ｍ的对称点是 Ｎ，连 ＦＮ与 Ａ１Ｍ交于 Ｑ，此时 ＡＱ＋ＦＱ＝ＦＮ最小，由题意得：Ａ１Ａ＝ＡＭ＝６，ＡＮ 槡＝６ ２，ＦＮ＝ ７２＋４槡 ２ ＝ 槡６５，ＡＦ 槡＝ ５，由余弦定理得：ｃｏｓ∠ＡＮＦ＝ ７２＋６５－５ ２· 槡６２· 槡６５ ＝ １１ 槡１３０ ，ｃｏｓ ∠ＡＱＦ＝ｃｏｓ２∠ＡＮＦ＝２（ １１ 槡１３０ ） ２ －１＝５６ ６５． １７．【答案】　（１）ａｎ＝ｎ＋１；（２）ｎ·２ｎ＋２． 【解析】　（１）由题意， ａ２ ３＝ａ１ａ７ Ｓ５ { ＝２０  （ａ１＋２ｄ）２＝ａ１（ａ１＋６ｄ） ５（２ａ１＋４ｄ） ２{ ＝２０  ａ１＝２ ｄ{ ＝１ ， 得：ａｎ＝ｎ＋１． ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）ｂｎ＝２ａｎ·ａｎ＝（ｎ＋１）·２ｎ＋１， Ｔｎ＝２·２２＋３·２３＋… ＋ｎ·２ｎ＋（ｎ＋１）·２ｎ＋１①， ２Ｔｎ＝２·２３＋３·２４＋… ＋ｎ·２ｎ＋１＋（ｎ＋１）·２ｎ＋２②， ① －②得：－Ｔｎ＝２·２２＋２３＋２４＋… ＋２ｎ＋１－（ｎ＋１）·２ｎ＋２ ＝２３（１－２ｎ－１） １－２ ＋２·２２－（ｎ＋１）·２ｎ＋２＝－ｎ·２ｎ＋２， １０分!!!!!!!!!!!!!!! 得：Ｔｎ＝ｎ·２ｎ＋２． １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １８．【答案】　见解析 【解析】　（１）这代表前 ５局甲胜 ３局，第 ６局甲胜，则所求概率为：Ｃ３ ５·( )２ ３ ３ ·( )１ ３ ２ · ２ ３＝ １６０ ７２９． ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）这代表打了 ７局乙胜或甲胜，所求概率为：Ｃ３ ６·( )２ ３ ３ ·( )１ ３ ３ · ２ ３＋Ｃ３ ６·( )１ ３ ３ ·( )２ ３ ３ · １ ３ ＝１６０ ７２９． １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １９．【答案】　（１）见解析 ；（２）槡１５ ５ ． 【解析】　（１）取 ＣＢ１的中点为 Ｍ，连接 ＤＥ，ＭＥ，Ａ１Ｍ 则 ＥＭ∥ＢＢ１∥ＡＡ１，且 ＥＭ＝１ ２ＡＡ１＝Ａ１Ｄ， ∴四边形 Ａ１ＤＥＭ是平行四边形，与 Ａ１Ｍ平面 Ａ１ＣＢ１， ∴ＤＥ∥平面 Ａ１ＣＢ１． ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）以 Ｏ为原点，→ＯＣ、 →ＯＢ、ＯＯ→ １方向分别为 ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴的正方向建立空间直角坐标系 Ｏ－ ｘｙｚ，如图，设 ＯＢ＝ａ， 则 Ｂ（０，ａ，０），Ｃ（ａ，０，０），Ａ１（０，－ａ，２ａ），Ｂ１（０，ａ，２ａ）， 设平面 Ａ１ＢＣ的法向量为 ｍ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），设平面 Ａ１Ｂ１Ｃ的法向量为 ｎ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２），【高三理科数学测试参考答案　（第 ４　　　　页　共 ６页）】 则 ｍ·Ａ１ → Ｃ＝０ ｍ· →ＢＣ{ ＝０  ａｘ１＋ａｙ１－２ａｚ１＝０ ａｘ１－ａｙ１ { ＝０ ， ｎ·Ａ１ → Ｃ＝０ ｎ·Ａ１Ｂ→ １ { ＝０  ａｘ２＋ａｙ２－２ａｚ２＝０ ２ａｙ２ { ＝０ 令 ｘ１＝１，ｚ２＝１，得：ｍ＝（１，１，１），ｎ＝（２，０，１） ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!! 则 ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞＝ ｍ·ｎ ｍ · ｎ ＝ １＋２ 槡３·槡５ ＝槡１５ ５ ， １１分!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由图中可看出二面角 Ｂ－Ａ１Ｃ－Ｂ１是锐角， 故二面角 Ｂ－Ａ１Ｃ－Ｂ１的余弦值为 槡１５ ５ ． １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２０．【答案】　（１）ｘ２ ３＋ｙ２＝１；（２）ｘ＝３． 【解析】　（１）Ｂ（０，ｂ）， 由题意，ｋＢＤ ＝ ｂ －１＝ｔａｎ１３５°＝－１ｂ＝１， 椭圆 Ｃ的方程ｘ２ ３＋ｙ２＝１． ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）设 Ｐ（ｘ，ｙ），Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），过 Ｄ的动直线：ｙ＝ｋ（ｘ－１），代入椭圆 Ｃ的方程得： （３ｋ２＋１）ｘ２－６ｋ２ｘ＋３ｋ２－３＝０， 得：ｘ１＋ｘ２＝ ６ｋ２ ３ｋ２＋１，ｘ１·ｘ２＝３ｋ２－３ ３ｋ２＋１， ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ｘ２ ２ ３＋ｙ２ ２＝１３ｙ２ ２＝３－ｘ２ ２＝（槡３－ｘ２）（槡３＋ｘ２） ｙ２ ｘ２ 槡－ ３ ＝－ｘ２ 槡＋ ３ ３ｙ２ ， 分别由 Ｐ，Ａ１，Ｍ及 Ｐ，Ａ２，Ｎ三点共线，得： ｙ ｘ 槡＋ ３ ＝ ｙ１ ｘ１ 槡＋ ３ ，　 ｙ ｘ 槡－ ３ ＝ ｙ２ ｘ２ 槡－ ３ ， 两式相除得：ｘ 槡－ ３ ｘ 槡＋ ３ ＝ ｙ１ ｘ１ 槡＋ ３ ·ｘ２ 槡－ ３ ｙ２ ＝－ ｙ１ ｘ１ 槡＋ ３ · ３ｙ２ ｘ２ 槡＋ ３ ＝－３ｋ２（ｘ１－１）（ｘ２－１） （ｘ１ 槡＋ ３）（ｘ２ 槡＋ ３） ＝－ ３ｋ２［３ｋ２－３ ３ｋ２＋１－ ６ｋ２ ３ｋ２＋１＋１］ ３ｋ２－３ ３ｋ２＋１＋ 槡６３ｋ２ ３ｋ２＋１＋３ ＝－３ｋ２［３ｋ２－３－６ｋ２＋３ｋ２＋１］ ３ｋ２ 槡－３＋６３ｋ２＋９ｋ２＋３ ＝ １ 槡２＋ ３ 槡＝２－ ３， １０分!!! 得：ｘ 槡－ ３ ｘ 槡＋ ３ 槡＝２－ ３ｘ＝３，即 Ｐ在直线 ｘ＝３上． １２分!!!!!!!!!!!!!!!!! ２１．【答案】　（１）见解析；（２）（０，２］ 【解析】　（１）由 ｆ′（ｘ）＝（ｘ－ａ）ｅｘ＋ａ－ｘ＋ａ＝（ｘ－ａ）（ｅｘ＋ａ－１）＝０， 得 ｘ＝±ａ 当 ｘ＜－ａ时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增； 当 －ａ＜ｘ＜ａ时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减； 当 ｘ＞ａ时，ｆ＇（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增． ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）由（１）知 ｘ＝ａ是 ｆ（ｘ）在区间［０，２ａ］上的最小值点。 又∴ｆ（２ａ）－ｆ（０）＝（２ａ－ａ－１）ｅ２ａ＋ａ－１ ２（２ａ）２＋２ａ·ａ－（０－ａ－１）ｅ０＋ａ－０＋０【高三理科数学测试参考答案　（第 ５　　　　页　共 ６页）】 ＝（ａ－１）ｅ３ａ＋（ａ＋１）ｅａ＝ｅ２ａ［（ａ－１）ｅａ＋（ａ＋１）ｅ－ａ］， 设 ｇ（ｘ）＝（ｘ－１）ｅｘ＋（ｘ＋１）ｅ－ｘ，ｘ＞０ ∵ｘ＞０， ∴ｇ＇（ｘ）＝ｘｅｘ－ｘｅ－ｘ＝ｘ（ｅｘ－ｅ－ｘ）＞０， 又∵ｇ（０）＝（０－１）ｅ０＋（０＋１）ｅ－０＝０， ∴ｇ（ｘ）＞０， ∴ｆ（２ａ）－ｆ（０）＝ｅ２ａｇ（ａ）＞０ ∴ｆ（２ａ）＞ｆ（０）． ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２） ｍａｘ＝ｆ（ｘ）ｍａｘ－ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（２ａ）－ｆ（ａ）＝（ａ－１）ｅ３ａ＋ｅ２ａ－１ ２ａ２， １０分!!! 由题意得（ａ－１）ｅ３ａ＋ｅ２ａ≤（１＋ｅ－２）ｅ３ａ恒成立， ∴ａ－１＋ｅ－ａ≤１＋ｅ－２恒成立， 设关于 ａ的函数 Ｆ（ａ）＝ａ－１＋ｅ－ａ，Ｆ′（ａ）＝１－ｅ－ａ＞０， 即 Ｆ（ａ）＝ａ－１＋ｅ－ａ≤Ｆ（２）＝１＋ｅ－２， ∴ａ≤２， 所以 ａ的取值范围为（０，２］． １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２２．【答案】　（１）ｘ 槡＋ ３ｙ 槡－４３＝０，３ｘ－３ｙ 槡－４２＝０；（２）见解析． 【解析】　（１）当 ｋ＝１时，ρ＝ ４ ３ｃｏｓ（π ４＋θ） ρ（ 槡３２ ２ ｃｏｓθ－ 槡３２ ２ ｓｉｎθ）＝４， 即 槡３２ ２ ｘ－ 槡３２ ２ ｙ＝４３ｘ－３ｙ 槡－４２＝０， 由 ｘ＝－槡３ ２ｔ ｙ＝ｔ ２{ ＋４ （ｔ为参数）消去 ｔ并整理得：ｘ 槡＋ ３ｙ 槡－４３＝０． ５分!!!!!!!!!!!!! （２）当 ｋ＝２时，ρ２＝ ４ １＋３ｃｏｓ２（π ２＋θ） ＝ ４ １＋３ｓｉｎ２θρ２＋３ρ２ｓｉｎ２θ＝４， 得：ｘ２＋４ｙ２＝４ｘ２ ４＋ｙ２＝１， ｌ：ｘ 槡＋ ３ｙ 槡－４３＝０ｙ＝－槡３ ３ｘ＋４，代入 ｘ２＋４ｙ２＝４， 得：７ｘ２ 槡－３２３ｘ＋１８０＝０， （ 槡３２３）２ －４·７·１８０＜０， 所以，直线 ｌ和 Ｃ无交点． １０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２３．【答案】　（１）见解析；（２）ｘ≥ ５ ３． 【解析】　（１）依题意，【高三理科数学测试参考答案　（第 ６　　　　页　共 ６页）】 ｆ（ｘ）＝１ ２ ｘ－１ － ｘ＋１ ＝ １ ２ｘ＋３ ２ ，ｘ≤ －１ －３ ２ｘ－１ ２ ，－１＜ｘ＜１ －１ ２ｘ－３ ２ ，ｘ≥      １ ， 作出函数 ｆ（ｘ）的图象如图所示： ５分!!!!!!! （２）由（１）可知． 解法 １：ｆ（ｘ）≤ｘ－４ｆ（ｘ）－ｘ＋４≤０， ｆ（ｘ） － ｘ ＋ ４ ＝ －１ ２ｘ＋１１ ２ ，ｘ≤ －１ －５ ２ｘ＋７ ２ ，－１＜ｘ＜１ －３ ２ｘ＋５ ２ ，ｘ≥      １  －１ ２ｘ＋１１ ２≤０ ｘ≤{ －１ 或 －５ ２ｘ＋７ ２≤０ －１＜ｘ{ ＜１ 或 －３ ２ｘ＋５ ２≤０ ｘ≥{ １ ｘ≥ ５ ３． 解法 ２：图像法，直线 ｙ＝ｘ－４只与 ｆ（ｘ）中的射线 ＡＢ相 交于 Ｂ，由 ｙ＝－１ ２ｘ－３ ２≤０ ｙ＝ｘ{ －４  ｘ＝５ ３ ｙ＝－ { ７ ３ ， 得：Ｂ（５ ３，－７ ３）， 故当 ｘ≥ ５ ３，直线 ｙ＝ｘ－４不在 ｆ（ｘ）图像的下方， 即 ｆ（ｘ）≤ｘ－４，故解集为 ５ ３，＋[ )∞ ． １０分!!!!!