THUSSAT2020年9月诊断性测试高三理科数学试卷.pdf

第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 9 月测试 理科数学试卷 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知全集  1 0 1 2 3 4U , , , , ,=− ,集合  1 1 3A x x ,x N ,B ,=   = ,则 ()U AB= A． 4 B． 2,4 C． 1,2,4− D． 1,0,2,4− 2．设 1+ iz i= （i 为虚数单位)，则 z 等于 A． 2 2 B． 2 C． 2 D． 1 2 3．已知 2log 48a = , 22 3 b = ,则 ab+= A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 4．设 ,mn是两条不同的直线， ,是两个不同的平面，已知 ,mn,则“ // , / /mn”是 “ //”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知 2cos 63  −= ,则 2cos 2 + 3   的值为 A． 5 9 B． 1 9 C． 1 9− D． 5 9− 6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（单位： 3cm ） A． 2 B． 4 C． 6 D．12 7．函数 )sin( xf x x =+（ ） 的图象是 .A .B . C D 8．已知 12,ee是单位向量，其夹角为 3  ,若 12| | 2( , )me ne m n+ = R ,则 2mn+ 的最大值为 A． 2 B． 3 C． 22 D． 23 9． 如图，已知 ABC 的顶点C 平面 ，点 ,AB在平面 的同一侧，且 2 3, 2AC BC==．若 ,AC BC 与平面 所成的角分别为 5 ,12 4 ,则 ABC 面积的取值范围是 A． 6,3 B． 3,3 C． 3,2 3 .D ． 6,2 3 10．已知点 F 为双曲线 ( ) 22 221 , 0xyC a bab− = ： 的右焦点，直线 3, , 33y kx k =  与双曲线C 交于 ,AB两点，若 AF BF⊥ ，则该双曲线的离心率的取值范围是 A． 2, 3 1+ B． 2, 2 6+ C． 2, 3 1+ D． 2, 2 6+ 11. 已知函数 ( 10), 9 1() |lg( 1)|,1 11 f x xfx xx + −  =  −   , 若 有 四 个 不 同 的 实 数 1 2 3 4, , ,x x x x 满 足 方 程 1 2 3 4f x f x f x f x= = =（ ） （ ） （ ） （ ）,且 1 2 3 4x x x x   ,则以下结论不一定正确的是 A． 1 4 2 3x x x x+ = + B． 1 3 2 4x x x x =  C． 1 2 3 4( 9)( 9) ( 1)( 1)x x x x+ + = − − D． 1 4 2 3( 10) ( +10)x x x x+  =  12．已知数列 na 满 足 ： 110, ln( 1) ( *)na nna a e a n N+= = + −  ,前 n 项和为 nS （ 参 考 数 据 ： ln2 0.693,ln3 1.099）,则下列选项错误的是 D.C.B.A. 1 21 2 -1 -1 -2 -2 x y O 1 21 2 -1 -1 -2 -2 x y O 1 21 2 -1 -1 -2 -2 x y O 1 21 2 -1 -1 -2 -2 x y O 俯视图 侧视图正视图 2 211 (第 9 题图) 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 (第 13 题图) A． 21na − 是单调递增数列， 2na 是单调递减数列 B． 1 ln3nnaa++ C． 2020 670S  D． 2 1 2nnaa−  二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．如右图所示的程序框图的输出值 1,3y（ ）,则输入值 x ． 14．已知抛物线 2 4yx= 的焦点为 F ,过 F 的直线交抛物线于 ,AB两点,若 2AF FB= ,则点 A 的坐标为 ． 15．小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的糖果可供选择（可以有糖 果不被选择），单价均为一元一颗，小红只有 7 元钱且要求全部花完，则不 同的选购方法共有 种． 16．已知 ,xyR ,且满足 0124 =+++ xyyx ,则 yxyx 422 +++ 的最小值为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分）在 ABC 中， ,,A B C   所对的边分别为 ,,abc,已知 2, 3cC==∠ ． （1）若 的面积为 3 ,求 ba, 的值； （2）若 是锐角三角形，求 ba + 的取值范围． 18．（12 分）已知四棱锥 P ABCD− 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD ⊥ 平 面 ,2ABCD PA PD AD= = = ,点 ,EF分别为 ,PD AB 的中点． （1）求证： //AE 平面 PFC ； （2）若CF 与平面 PCD所成角的正弦值为 6 4 ,求 AB 的长． 19．（12 分）已知数列{}na 中， 1 1 2a = ,且 1 1 31()1 2 2 n nn nnaan − −= −  −− ( )1*n n N且 ． （1）求数列{}na 的通项公式； （2）设数列{}na 的前 n 项和为 nS ,求满足 22 3 +5 0nS n n−的所有正整数 n 的值． 20．（12 分）设椭圆 22 22: 1( 0)xyC a bab+ =   的离心率 2 2e = ,且过点 21 2P  ， ．设 ,AB是椭圆C 上的 两个不同的动点，且直线 ,PA PB 的倾斜角互补． （1） 求证：直线 AB 的斜率为定值； （2） 求 PAB 的面积 S 的最大值． 21．（ 12 分）已知函数 ( , )xf x ae b a b= + （ ） R ,且 fx（ ）在点 1, (1)f（ ）处的切线方程为 xy = ． （1）求 ()fx的解析式； （2）证明：当 0x  时，有 35( )ln 2f x x x+成立． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分．作答时请写清题号． 22．（10 分）[选修 4—4：极坐标与参数方程] 在极坐标系中，极点为O ．曲线 : 13C  = ，过点 (5,0)A 作两条互相垂直的直线与C 分别交于点 ,PQ 和 ,MN． （1）当 |PQ| | | 2| | | | MN MN PQ+=时，求直线 PQ 的极坐标方程； （2）求 |PQ| | | | | 2 | | MN MN PQ+ 的最大值和最小值． 23．（10 分）[选修 4—5：不等式选讲] （1）已知 ,a b R+ ,且 23ab+=,则 22 12 ab+ 的最小值； （2）已知 ,x y R+ ,且 491xy+=,求 22 49 2x x y y+++ 的最小值． （第 18 题图）