专题11 三角函数（教案）-2021届沪教版高考数学一轮复习（上海专用）

2021 届高考数学一轮复习 专题 11 三角函数 教案 一、知识归纳 1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边 α 相同的角，都可以表示成 k·360 0+α 的 形式。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定 大小。 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算； ⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度 ⑵弧长公式： ；扇形面积公式： 。 2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角 三角函数的关系式、诱导公式： （1）三角函数定义：角 中边上任意一点 为 ，设 则： （2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦； （3）特殊角的三角函数值 α 0 2 sinα 0 1 0 -1 0 cosα 1 0 -1 0 1 tanα 0 1 不存在 0 不存在 0 （3）同角三角函数的基本关系： （4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）: 例题 1（2020·上海黄浦高三二模）如果 ， 为第三象限角，则 ________． 180= 1801 π= 1 )180( π= '1857≈ Rl θ= RlRS 2 1 2 1 2 == θ α P ),( yx rOP =|| ,cos,sin r x r y == αα x y=αtan 6 π 4 π 3 π 2 π π 2 3π π 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 3 3 3 xx xxx tancos sin;1cossin 22 ==+ 2 2sin 3 α = − α 3sin 2 π α + =  【答案】 【解析】 由 ， 为第三象限角,有 . 由诱导公式可得 所以 故答案为： 3、两角和与差的三角函数 （1）和（差）角公式 ① ② ③ （2）二倍角公式 ① ； ② ；③ （3）经常使用的公式 ①升（降）幂公式： 、 、 ； ②辅助角公式： （ 由 具体的值确定）； ③正切公式的变形： . 例题 2（2016·上海长宁高三一模） ，则 ___________． 【答案】 【解析】 由 两边平方，得 ，所以 ． 例题 3（2018·长宁上海市延安中学高三期中）若 ，则 ______. 【答案】 ;sincoscossin)sin( βαβαβα ±=± ;sinsincoscos)cos( βαβαβα =± βα βαβα tantan1 tantan)tan(  ±=± ααα cossin22sin = ααααα 2222 sin211cos2sincos2cos −=−=−= α αα 2tan1 tan22tan −= 2 1 cos2sin 2 αα −= 2 1 cos2cos 2 αα += 1sin cos sin 22 α α α= 2 2sin cos sin( )a b a bα α α ϕ+ = + + ϕ ,a b tan tan tan( )(1 tan tan )α β α β α β+ = + − ⋅ 1 3 2 2sin 3 α = − α 2 1cos 1 sin 3 α α= − − = − 3sin cos2 π α α + = −   3 1sin 2 3 π α + =   1 3 1sin cos 3 θ θ+ = sin 2θ = 8 9 − 1sin cos 3 θ θ+ = 11 2sin cos 1 sin 2 9 θ θ θ+ = + = 8sin 2 9 θ = − tan 2θ = − sin 2θ = 4 5 −【解析】 ． 故答案为： ． 例题 4（2017·上海市宜川中学高三其他）若 ，则 等于 ________． 【答案】 【解析】 ∵ ， ∴2（sinα+cosα）=sinα﹣cosα ∴sinα=﹣3cosα ∴tanα=﹣3 ∴tan2α= = = 故答案为 4、三角函数的图象与性质 （一）列表综合三个三角函数 ， ， 的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求 的周期， 或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心； 的对称轴是 ，对称中心是 ； 的对称轴是 ，对称中心是 的对称中心是 注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意 . （二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函 数 的简图，并能由图象写出解析式． ⑴“五点法”作图的列表方式； siny x= cosy x= tany x= sin( )y A xω ϕ= + siny x= 2x k ππ= + ( )k Z∈ ( ,0)kπ ( )k Z∈ cosy x= x kπ= ( )k Z∈ ( ,0)2k ππ + ( )k Z∈ tany x= ( ,0)( )2 k k Z π ∈ 0ω > sin( )y A xω ϕ= + ( ) ( )22 2 2 2 22sin cos 2tan 4sin 2 sin cos 1 tan 51 2 θ θ θθ θ θ θ × −= = = = −+ + + − 4 5 − sin cos 1 sin cos 2 α α α α + =− tan2α 3 4 1 2 sin cos sin cos α α α α + =− 2 2 1 tan tan α α− 6 1 9 − − 3 4 3 4⑵求解析式 时处相 的确定方法：代（最高、低）点法、公式 . 例题 5（2020·上海高三专题练习）函数 的最小值是 _________ 【答案】1 【解析】 因为 ，所以 ， 因为 ，故 ，所以 ， 所以当 时， 的最小值为 ， （三）正弦型函数 的图象变换方法如下： 先平移后伸缩 　　 的图象 得 的图象 得 的图象 得 的图象 得 的图象． 先伸缩后平移 的图象 得 的图象 得 的图象 sin( )y A xω ϕ= + ϕ 1x ϕ ω= − sin( )y A xω ϕ= + siny x= ϕ ϕ ϕ 0) 或向右( 0) 平移 个单位长度 sin( )y x ϕ= + ( ) ω ω ω →横坐标伸长( 0< 1) 1到原来的 纵坐标不变 sin( )y xω ϕ= + ( ) A A A >→纵坐标伸长( 1) 或缩短( 0< < →横坐标伸长 或缩短 到原来的 纵坐标不变 sin( )y A xω= ( 0) ( 0)ϕ ϕ ϕ ω > 0,函数 y=sin( x+ )+2 的图象向右平移 个单 位后与原图象重合，则 的最小值是 A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】 函数 的图象向右平移 个单位后 所以有 故选 C 例题 7（2016·宝山上海交大附中高三月考）已知函数 的 图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列,把函数 的图象沿 轴向左平 移 个单位,得到函数 的图象.关于函数 ,下列说法正确的是（ ） A．在 上是增函数 B．其图象关于直线 对称 C．函数 是奇函数 D．当 时,函数 的值域是 【答案】D 【解析】 ， 由题意知 ，则 ， ， ， 把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位， sin ( )y A x xω ϕ= + ( 0) ( 0)k k k > ∴ ≥ ∴ = ≥ ( ) 3sin cos ( 0)f x x xω ω ω= + > x 2 π ( )f x x 6 π ( )g x ( )g x ,4 2 π π     4 πx = − ( )g x 2,6 3x π π ∈   ( )g x [ 2,1]− 3 1( ) 3sin cos 2( sin cos ) 2sin( )2 2 6f x x x x x x πω ω ω ω ω= + = + = + 2 2 T π= T π= 2 2 2T π πω π∴ = = = ∴ ( ) 2sin(2 )6f x x π= + ( )f x x 6 π得 ． 作出函数的图象： 对 A，函数在 ， 上是减函数，故 A 错误； 对 B，其图象的对称中心为 ，故 B 错误； 对 C，函数为偶函数，故 C 错误； 对 D， ， ， 当 ， 时，函数 的值域 是 ， ，故 正确． 故选：D． 5、解三角形 Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理 （ 是 外接圆直 径） 注：① ；② ； ③ 。 ⑵余弦定理： 等三个；注： 等三个。 Ⅱ．几个公式: ⑴三角形面积公式： ； ⑵内切圆半径 r= ；外接圆直径 2R= ⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中， 例题 8（2018·上海市七宝中学高三开学考试）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西 行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 的方向上，行驶 600m 后到达 处，测 得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度 ________ m. RC c B b A a 2sinsinsin === R2 ABC∆ CBAcba sin:sin:sin:: = CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 === CBA cba C c B b A a sinsinsinsinsinsin ++ ++=== Abccba cos2222 −+= bc acbA 2cos 222 −+= ))(2 1(,))()((sin2 1 2 1 cbapcpbpappCabahS ABC ++=−−−===∆ cba S ABC ++ ∆2 ;sinsinsin C c B b A a == sin sinA B A B> ⇔ > ( ) ( ) 2sin[2( ) ] 2sin(2 ) 2cos26 6 6 2g x f x x x x π π π π= + = + + = + = [ 4 π ]2 π ( ,0)4 π−  2cos(2 ) 16 π× = 22cos(2 ) 13 π× = − ∴ [ 6x π∈ 2 ]3 π ( )g x [ 2− 1] D A 30 B 75 30 CD =【答案】 【解析】 由题设可知在 中, ,由此可得 ,由正弦定理 可得 ,解之得 ,又因为 ,所以 ,应填 . 专题训练 1、（2020·宝山上海交大附中高三其他）函数 最小正周期为 ______________. 【答案】 【解析】 由 知，周期 ， 故填 . 2、（2016·上海高三月考）如图，为测量出高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观 测点，从 点测得 点的仰角 ， 点的仰角 以及 ；从 点测得 ．已知山高 ，则山高 __________ ． 100 6 100 6 3sin 2 cos2y x x= + π 3 13sin 2 cos2 2( sin 2 cos2 )2 2y x x x x= + = + 2sin(2 )6x π= + 2 2T π π= = π MN A C A M 060MAN∠ = C 045CAB∠ = 075MAC∠ = C 060MCA∠ = 100BC m= MN = m【答案】150 【解析】 在 中， , ，在 中， 由正弦定理可得 即 解得 ,在 中， ． 故答案为 150． 3、（2020·上海高三专题练习）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ， ，则 的值为___________． 【答案】 【解析】 试题分析：因 ,故 ,由题设可得 ,即 ,所 以 ,所以 , 应填 . 4、（2018·嘉定分校高三其他）若直线 与直线 垂直，则 ________. 【答案】 【解析】 ABC 45 , 90 , 100BAC ABC BC∠ = ° ∠ = ° = 100 100 2sin 45AC∴ = =° AMC 75 , 60 ,MAC MCA∠ = ° ∠ = ° 45 ,AMC∴∠ = ° ,sin sin AM AC ACM AMC =∠ ∠ 100 2 ,sin 60 sin 45 AM =° ° 100 3AM = Rt AMN sinMN AM MAN= ⋅ ∠ 100 3 sin 60= × ° 150( )m= ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ 3 15 12,cos 4b c A− = = − a 8 1 : cos 2 0l x yθ + = 2 :3 sin 3 0l x y θ+ + = sin 2θ = 12 13 −由于直线 与直线 垂直，则 ， 可得 ， . 故答案为： . 5、（2020·上海高三其他）函数 的定义域是______. 【答案】 【解析】 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 解得 或 或 . 故答案为： 6、（2020·上海高三专题练习）已知 、 、 分别为△ 三个内角 、 、 的对边， ，且 ，则△ 面积的最大值为_____. 【答案】 【解析】 因为 1 : cos 2 0l x yθ + = 2 :3 sin 3 0l x y θ+ + = 3cos 2sin 0θ θ+ = 3tan 2 θ = − 22 2 2 322sin cos 2tan 122sin 2 2sin cos sin cos tan 1 133 12 θ θ θθ θ θ θ θ θ  × −  ∴ = = = = = −+ +  − +   12 13 − ( )29 lg 2cos2 1y x x= − + − 5 53, , ,36 6 6 6 π π π π     − − −           ( )29 lg 2cos2 1y x x= − + − 29 0 2cos2 1 0 x x  − ≥  − > 3 3 1cos2 2 x x − ≤ ≤ > 3 3 ,6 6 x k x k k Z π ππ π − ≤ ≤ − < < + ∈ 53 6x π− ≤ < − 6 6x π π− < < 5 36 x π < ≤ 5 53, , ,36 6 6 6 π π π π     − − −           a b c ABC A B C 2a = (2 )(sin sin )b A B+ − = ( )sinc b C− ABC 3 (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C+ − = −， 又因为 ， 所以 ， 面积 ， 而 所以 ，即 面积的最大值为 ． 故答案为： ． 7、（2020·上海高三专题练习）已知函数 , ,若函数 在区间 内单调递增,且函数 的图像关于直线 对称,则 的值 为 ． 【答案】 【解析】 由 在区间 内单调递增,且 的图像关于直线 对称,可得 ,且 ,所以 8、（2019·浦东新区上海市浦东复旦附中分校高三二模）在平面内,定点 满足 ， 动点 满足 则 的最大值为________. 【答案】 【解析】 (2 )( ) ( )b a b c b c∴ + − = − 2 22 2a b ab b c bc∴ − + − = − 2a = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1, , cos ,2 2 3 b c aa b c bc b c a bc A Abc π+ −− = − ∴ + − = ∴ = = ∴ = ABC∆ 1 3sin2 4S bc A bc= = 2 2 2b c a bc+ − = 2 2 2b c bc a∴ + − = 2 2 4 2b c bc bc bc∴ + − = ≥ − 4bc∴  1 3sin 32 4S bc A bc= =  ABC∆ 3 3 ( ) ( )sin cos 0f x x xω ω ω= + > x R∈ ( )f x ( ),ω ω− ( )f x x ω= ω π 2 ( )f x ( ),ω ω− ( )f x x ω= π2ω ω≤ ( ) 2 2 2 πsin cos 2 sin 14f ω ω ω ω = + = ⇒ + =   2 π π π .4 2 2 ω ω+ = ⇒ = , ,A B C DA DB DC= =   2DA DB DB DC DC DA⋅ = ⋅ = ⋅ = −      ， ,P M 1AP PM MC= =  ， 2 BM 49 4由 ，可得 为 的外心， 又 可得 ，即 ， 即有 ，可得 为 的垂心， 则 为 的中心，即 为正三角形， 由 即有 ， 解得 ， 的边长为 ， 以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系 ， 可得 ， 由 ，可设 ， 由 ，可得 为 中点，即有 ， 则 ， 当 ，即 时，取得最大值，且为 ． 故答案为： ． 9、（2020·上海金山高三二模）已知函数 ，若 ，则 __________ 【答案】 DA DB DC= =   D ABC∆ DA DB DB DC DC DA⋅ = ⋅ = ⋅     ， ( ) 0, (DB DA DC DC DB⋅ − = ⋅     ) 0DA− = 0DB AC DC AB⋅ = ⋅ =    ,DB AC DC AB⊥ ⊥    D ABC∆ D ABC∆ ABC∆ 2DA DB⋅ = −  ， | | | | cos120 2DA DB °⋅ = −  | | 2DA = ABC∆ 4cos30 2 3° = A AD x xOy B(3, 3),C(3, 3),D(2,0)− | | 1AP = (cos ,sin ), (0 2 )P θ θ θ π≤ < PM MC=  M PC 3 cos 3 sin( , )2 2M θ θ+ + 22 2 3 cos 3 sin| | 3= 32+2BM θ θ + + − +         2 2(3 cos ) (3 3 sin ) 37 6cos 6 3sin 4 4 4 θ θ θ θ− + − += + = 37 12sin 6 4 πθ + −  = sin 16 πθ − =   2 3 πθ = 49 4 49 4 1( ) log sin 11 xf x xx −= + ++ ( ) 4f m = ( )f m− = 2−【解析】 令 ，则 ， ， 为奇函数， 又 ， ， ， . 故答案为： . 10、（2020·上海崇明高三二模）在 中， ， 则 面积的最大值是____________ 【答案】 【解析】 ， 当 时等号成立.此时 ，即 时，满足题意. 故答案为： . 11、（2020·上海市七宝中学高三三模）用 表示函数 在闭区间 上的最大值， 若正数 满足 ，则 的最大值为________ 【答案】 【解析】 1( ) log sin1 xg x xx −= ++ ( )( ) 1f x g x= +  ( ) ( )1 1( ) log sin log sin1 1 x xg x x x g xx x + −− = + − = − − = −− + ∴ ( )g x ( ) 4f m = ∴ ( )( ) 1 3g m f m= − = ∴ ( )( ) 3g m g m− = − = − ∴ ( )( ) 1 2f m g m− = − + = − 2− ABC ( ) ( )3 cos ,cos , cos ,sinAB x x AC x x= =  ABC 3 4 ( )2 2 21 1sin , 1 cos ,2 2ABCS AB AC AB AC AB AC AB AC= ⋅ = ⋅ −        △ ( ) ( )222 2 2 21 1 4cos 3 cos sin cos2 2AB AC AB AC x x x x= ⋅ − ⋅ = − +    21 1 1 33 cos sin cos sin 22 2 6 2 4x x x x π = − = − − ≤   sin 2 16x π − = −   2 6 2x π π− = − 6x π= − 3 4 IM siny x= I a [0, ] [ ,2 ]2a a aM M≥ a 13 12 π①当 时， ， ， . 所以 ，舍去； ②当 时， ， ， ， 所以 ， ，即： ，得到 ； ③当 时， ， ， 或 ， 因为 ，所以 ，即： ， ， 所以 ； ④当 时， ， ， 不满足 ，舍去； 综上所述： . 故答案为： 12、（2020·上海普陀高三二模）在平面四边形 中， ， ， 若点 M 是边 上的任一动点，则 的最小值为 ______. 【答案】 【解析】 连接 ， ， ， ， ， 0, 2a π ∈   2 [0, ]a π∈ [0, ] sinaM a= [ ,2 ] 1a aM = sin 2a ≥ ,2a π π ∈    2 [ ,2 ]a π π∈ [0, ] 1aM = [ ,2 ] sina aM a= 1 2sina≥ 1sin 2a ≤ 5 6a π≥ 5 6 a π π≤ ≤ 3, 2a ππ ∈    2 [2 ,3 ]a π π∈ [ ]0, 1aM = [ ,2 ] sin 2a aM a= 1 [0, ] [ ,2 ]2a a aM M≥ 1 2sin2a≥ 1sin2 2a ≤ 2 2 2 6a ππ π≤ ≤ + 13 12 12a π ππ π≤ ≤ + = 3 ,2a π ∈ +∞  2 [3 , )a π∈ +∞ [0, ] [ ,2 ] 1a a aM M= = [0, ] [ ,2 ]2a a aM M≥ max 13 12a π= 13 12 π ABCD 0AB BC AD DC⋅ = ⋅ =    1AB AD= =  1 2AB AD⋅ = −  BC AM DM⋅  21 16 BD  0AB BC AD DC= =      90ABC ADC∴∠ = ∠ = °  1| || | cos cos 2AB AD AB AD BAD BAD= ∠ = ∠ = −     120BAD∴∠ = °， ， ， 是等边三角形， 以 为原点，以 为 轴，以 为 轴建立平面直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， 设 ， ，则 ， ， ， ， 当 时， 取得最小值 ． 故答案为： ． 13、（2018·高三期中）已知 为锐角， ， ．（1）求 的值；（2）求 的值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 解：（1）因为 ， ，所以 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． （2）因为 为锐角，所以 ． 2 2 2 cos 3BD AB AD AB AD BAD∴ = + − ∠ = 30ABD ADB∴∠ = ∠ = ° 60DBC BDC∴∠ = ∠ = ° BCD∴∆ B BC x BA y (0,1)A ( 3C 0) 3( 2D 3)2 (M x 0)(0 3)x  ( , 1)AM x= − 3( 2DM x= − 3)2- ∴ 2 23 3 3 21( )2 2 4 16AM DM x x x= − + = − +   ∴ 3 4x = AM DM   21 16 21 16 ,α β 4tan 3 α = 5cos( ) 5 α β+ = − cos2α tan( )α β− 7 25 − 2 11 − 4tan 3 α = sintan cos αα α= 4sin cos3 α α= 2 2sin cos 1α α+ = 2 9cos 25 α = 2 7cos2 2cos 1 25 α α= − = − ,α β ( )0,πα β+ ∈又因为 ，所以 ， 因此 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． 14、（2019·上海普陀高三一模） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．向 量 与 平行． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ， 求 的面积． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ． 【解析】 （1）因为向量 与 平行， 所以 ， 由正弦定理得 ， 又 ，从而 tanA＝ ，由于 0