云南省2021届高三高中新课标第一次摸底测试数学（理科）试题 Word版含答案详解

2021 届高中新课标高三第一次摸底测试 理科数学 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试 卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答 题卡上对应的答题区城内,写在试卷、草稿纸和答题卡,上的非答题区域均无效。 5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题 目要求的。 1.复数 z 满足 ,则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 A.(1,0) B. (0, ) C.( ,0) D.(0, 1) 2.已知集合 A = ,集合 B = ,则 A B = A.[0,1] B.[- 1,1] C.[-1,0) D.[- 1,0] 3.抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 ，则 A. B. C. D.1 4.我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题,某学校抽取了部分男、 女学生意愿的一份样本,制作出如下两个等高堆积条形图 根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是 A.样本中的男生数量多于女生数量 B.样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量 C.对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数 1 3 2 2z i i⋅ = + 1− 1− { }2 2 1x x y+ = { }2y y x=  2 2 ( )y px p= > 2 2 1x y− = 2 2 p = 4 3 2D.对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数 5.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读。 数学中有回文数,如 343 ,12521 等。两位数的回文数有 11 ,22 ,3,……,99 共 9 个,则在三位数的 回文数中偶数的个数是 A.40 B.30 C.20 D.10 6.函数 的单调递减区间是 A. B. C. D. 7.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为 A. B. C. D. 8.已知圆 C: 与 x 轴,y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,则弦长 A. B.5 C. D. 9.将多项式 分解因式得 ，则 A.16 B.14 C. D. 10.在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平面 ABC,∆ABC 是边长为 3 的等边三角形,∆SAB 是以 AB 为斜边的直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为 A.32π B.16π . C.24π D.12π 11.已知函数 的最小正周期是 π,把它图象向右平移 个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论: ①函数 f(x)的图象关于直线 x = 其对称. ②函数 f(x)的图象关于点( ,0)对称 ③函数 f(x)在区间 上单调递减④函数 f(x)在 上有 3 个零点 正确的结论是 A.①②③ B.①②④ C.②③ D.②④ 12.已知定义在 R.上的偶函数 f(x), 对任意 x∈R,都有 f(2-x) =f(x +2),且当 时 .若在 a > 1 时,关于 x 的方程 恰有三个不同的实数根,则 实数 a 的取值范围是 A.(1,2) B. ( ,2) C. (2, +∞) D.(2, +∞) 4( ) 3lnf x x xx = + − ( 1,4)− (0,1) (4, )+∞ (0,4) 16 3 π 64 3 π 16 9 π 64 9 π 2 2 4 2 0x y x y+ − − = AB = 5 2 5 3 2 2 6 5 7 6 5 1 0a x a x a x a x a+ + + + + 2 5( 2) ( 1)x x− + 5a = 6− 10− ( ) sin( )( 0, )2f x x πω ϕ ω ϕ= + > < 3 π 12 π− 6 π [ , ]2 12 π π− − 3[ , ]3 2 π π [ 2,0]x∈ − ( ) 2 1xf x −= − ( 2)( ) log 0x af x +− = 2 32 2 3( ,2 )−∞ 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若 x, y 满足约束条件 ，则 z =2x +y 的最大值是__________。 14. 已知 ,则 在 方向上的投影为_________. 15. 已知抛物线 C:y2 =4x 的焦点为 F,直线 l: 与 C 交于 P、Q(P 在 x 轴上方) 两点,若 ,则实数λ的值为_______ 16.如图,正方体 ABCD –A1B1C1D1 的棱长为 1 ,线段 AC1 上有两个动点 E、F,且 EF ,给出下列四个结论: ①CE⊥BD ②三棱锥 E - BCF 的体积为定值 ③∆BEF 在底面 ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形 ④在平面 ABCD 内存在无数条与平面 DEA1 平行的直线 其中,正确的结论是____________ 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ~ 21 题为必考题,每 个试题考生都必须作答。第 22.23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17. (12 分) 已知数列 的前 n 项和为 ,且 . (1)求 的值，猜想数列 的通项公式并加以证明; (2)求 . 18. (12 分) 如图,在六面体 ABCDEF 中,AB//CD,AB⊥AD,且 AB =AD = CD= 1,四边形 ADEF 是正方形,平面 ADEF⊥平面 ABCD. (1)证明:平面 BCE⊥平面 BDE; (2)若∆BCE 中，∠BEC=30°，求二面角 C-BE-F 的余弦值。 3 3 0 4 0 x y x y x y + − ≥  ≤  + − ≤ ( 2, 3), (1, 3)a b= − =  a b 2 1 0x y− − = PF FQλ=  3= 3 { }na nS 2 ( )n nS a n n N ∗= − ∈ 1 2 3, ,a a a { }na 1 3 5 2 3 ( )na a a a n N ∗ ++ + + + ∈ 1 219. (12 分) 计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”, 两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格" ,并颁发合格证书.甲、乙、两三人在理论考 试中“合格”的概率依次为 、 、 ,在实际操作考试中“合格”的概率依次为 、 、 ,所有考试是否合格相互之间没有影响. (1)假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性 最大? (2)这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率. 20. (12 分) 已知点 Q 是圆 M: 上一动点(M 为圆心),点 N 的坐标为(1 ,0) ,线段 QN 的 垂直平分线交线段 QM 于点 C,动点 C 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的轨迹方程; (2)直线 l 过点 P(4,0)交曲线 E 于点 A,B,点 B 关于 x 的对称点为 D,证明:直线 AD 恒过定点. 21. (12 分) 已知函数 (1)判断函数 f(x)的单调性; (2)若 当 时,不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围。 4 5 3 4 2 3 1 2 2 3 5 6 2 2( 1) 16x y+ + = ( ) 1( )xf x e ax a R= − − ∈ ( ) ln( 1)g x x= + (0, )x∈ +∞ ( ) ( )g x f x参考答案（理科数学） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C C A D C C C D A B 1. 解析：因为 ，所以 ，所以复数 在复平面内对应 的点的坐标为 ，选 B． 2. 解 析 ： 因 为 集 合 ， 集 合 ， 所 以 ，选 A． 3. 解析：因为抛物线的焦点为 ，双曲线的渐近线为 ，所以抛物线的焦点到 双曲线的渐近线的距离为 ，又因为 ，所以 ，选 C． 4. 解析：由等高堆积条形图 1 可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本 中的女生数量多于男生数量，A 错误；从图 2 可以看出男生和女生中选择理科的人数均 高于选择文科的人数，选 C． 5. 解析：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为 ， ， ， ，另外 中间一位数有 种可能，所以有 个，选 A． 6. 解析：函数的定义域是 ， ，令 ，解得 ，故函数 在 上单调递减，选 D． 7. 解析：由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，观察到正视图中 和 的分界线可知 俯视图是圆心角为 的扇形，故该几何体的体积为 ，选 C． 8. 解 析 ： 令 ， ； ， . 所 以 ， ， 所 以 ，选 C． 9. 解析：由题意， ， ，所以 ，选 C． 221 3 1 3i 12 2 2 2   + = + =        1 iiz = = − z ( )0, 1− { } [ ]2 2 1 1,1A x x y= + = = − { } [ )0,B y y x= = = +∞ [ ]0,1A B =I ( ,0)2 p 0x y± = 2 2 22 21 1 p d = = + 0p > 2p = 2 4 6 8 10 4 10 40× = (0, )+∞ 2 2 4 3 ( 1)( 4)( ) 1 x xf x x x x + −= − − =＇ ( ) 0f x < nm ,cos 5 15−= M CN A− − 5 15− A B C 4 1 2( ) 5 2 5P A = × = 3 2 1( ) 4 3 2P B = × = 2 5 5( ) 3 6 9P C = × = ( ) ( ) ( )P C P B P A> > D 2 1 4 2 1 5 3 1 5 11( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 9 5 2 9 5 2 9 30P D P ABC P ABC P ABC= + + = × × + × × + × × = 11 30分 20. 解：（1）因为线段 的中垂线交线段 于点 ，则 ， 所以 ， 由椭圆定义知：动点 的轨迹为以原点为中心的椭圆， 其中： ， ，又 ， 所以曲线 的轨迹方程为 . ………5 分 （2）设 ， ，则 ，由题意知直线 的斜率必存在， 设直线 的方程为： ， 由 消 得： ， 故 因为 ， ， 共线，其中 ， 所以 ， 整理得 ， 则 ，解得 ，此时 则直线 的方程为： ， 所以直线 恒过定点 ………12 分 21. 解：（1）函数 的定义域为 ， ， 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时，令 ，得 ． 所以 在 上单调递减；在 上单调递增． 综上所述，当 时， 在 上单调递增； QN QM C CQ CN= 4 2CM CN CM CQ QM MN+ = + = = > = C 2 4a = 2 2c = 2 2 2 =3b a c= − E 2 2 14 3 x y+ = ( )1 1,D x y ( )2 2,A x y ( )1 1,B x y− AD AD y kx m= + 2 2 + 14 3 y kx m x y = + = ， ， y ( ) ( )2224 3 8 4 3 0k mk mx x+ + + − = ( )( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 24 3 8 4 3 4 3 4 3 64 16 3 0 3 4 0k k k mkx x k m x x k m m m +  + = − +  − ⋅ = ∆ = − − > ⇒ +  − > + A B P ( )2 24,PA x y= − ( )1 14,PB x y= − − ( )( ) ( )2 1 2 14 4x y y x− − = − ( )( )1 2 1 22 4 8 0kx x m k x x m+ − + − = ( ) ( )2 2 2 2 4 3 8 8 04 4 3 4 3 k m mk mk m k k⋅ − − ⋅+ − =+ + − m k= − 23 3 0k∆ = + > AD ( )1y k x= − AD ( )1,0 ( )f x ( ),−∞ + ∞ ( ) exf x a¢ = + 0a ³ ( ) 0f x¢ > ( )f x ( ),−∞ + ∞ 0a < ( ) 0f x¢ = ln( )x a= - ( )f x ( ),ln( )a- ¥ - ( )ln( ),a- +¥ 0a ³ ( )f x ( ),−∞ + ∞当 时， 在 上单调递减；在 上单调递增．………6 分 （2）当 时， ，所以 ． 设 ， 则 ， 当 时， ， 在 上单调递增， 所以 ，所以 ， 故 ． 由（1）可知，当 时， 在 上单调递增． 所以 成立； 当 时， ，且 在 上单调递增， 所以 成立； 当 时， 在 上单调递减； 则有 ，不合题意． 综上所述，实数 的取值范围为 . ………12 分 （二）选考题：第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。 22. 解：（1）由 得 ， 代入曲线 得： ， 所以曲线 的普通方程为 . 因为直线 过点 ，斜率为 ， 所以 的参数方程为 （ 为参数）. ………5 分 （2）设 ， 所对应参数分别为 , ， 将 的参数方程代入曲线 得: ， 0a < ( )f x ( ),ln( )a- ¥ - ( )ln( ),a- +¥ ( )0,xÎ +¥ 1 1x + > ( ) ln( 1) 0g x x= + > ( ) ln( 1)h x x x= - + ( 0)x > 1( ) 1 1 1 xh x x x ′ = − =+ + 0x > ( ) 0h x′ > ( )h x ( )0,+¥ ( ) (0) 0h x h> = ln( 1)x x> + 0 ( )g x x< < 0a ³ ( )f x ( ),−∞ + ∞ ( ( )) ( )f g x f x< 1 0a- £ < ln( ) 0a− ≤ ( )f x ( )ln( ),a- +¥ ( ( )) ( )f g x f x< 1a < - ( )f x ( )0,ln( )a- ( ( )) ( )f g x f x> a [ )1,− +∞ 2 ,x x y y ′ =  ′ = 1 ,2 . x x y y  ′=  ′= 1C ( )2 2 12 x y ′  ′+ =   2C 2 2 14 x y+ = l ( 1,0)P − 3 3 l 31 ,2 1 .2 x t y t  = − +  = t A B 1t 2t l 2C 27 4 3 12 0t t− − =则 ,且 ， 所以， . ………10 分 23. 解：（1） 时，由不等式 可得： ， 可化为： 或 或 ， 解得： 或 或 ， 即： ，所以，不等式的解集为 . ………5 分 （2）因为 所以 的图象与 轴所围成的三角形的三个顶点分别为 ， ， ， 由题意， ， 整理得： ， 因为 ，所以解得： ， 所以，实数 的取值范围为 . ………10 分 ( )2 4 3 4 7 12 0∆ = + × × > 1 2 12 7t t = − 1 2 1 2 12 7PA PB t t t t⋅ = ⋅ = = 1a = ( ) 2f x ≥ ( ) 2 2 1 2f x x x= + − − ≥ 2 2 2 2 2 x x x < − − − + − ≥ 2 1 2 2 2 2 x x x − ≤ ≤  + + − ≥ 1 2 2 2 2 x x x >  + − + ≥ x∈∅ 2 13 x≤ ≤ 1 2x< ≤ 2 23 x≤ ≤ 2 ,23      2 2 , 2, ( ) 3 2 2 , 2 , 2 2 , , x a x f x x a x a x a x a − − < − = + − − ≤ ≤ − + + > ( )f x x 2 2 ,03 aA −     ( ), 2B a a + ( )2 2 ,0C a+ ( ) ( )1 2 22 2 2 62 3 aa a − + − + >   2 4 5 0a a+ − > 0a > 1a > a ( )1,+∞