重庆2020届高三下学期第九次质检文科数学试卷 含答案详解

重庆 2020 级高三第九次教学质量检测考试 数 学（文科） 2020.6 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无 效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的． 1． A． B． C． D． 2．设复数 ，则 A． B． C． D． 3．用列举法表示集合 ，则下列表示正确的是 A． B． C． D． 4．已知 ，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯，侯、公，共五级．若要给有 巨大贡献的 2 人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则两人被封同一等级的概率为 A． B． C． D． 6．已知直线 l，m 和不重合的平面 ， ， ，以下为 的充分条件的是 sin cos12 12 π π = 1 4 1 2 3 2 3 1 2 − ( )4i i iz = + z = 1 i+ 1 i− − 1 i− + 1 i− 3 5( , ) 3 x yA x y x y + =  = |  − =  { }2, 1x y= = − ( ){ }2, 1− { }2, 1− { }1,2− x y< 1 1 x y > 3 3x y− −< 1 1 3 3x y< ( ) ( )2 2ln 1 ln 1x y+ < + 1 5 2 5 3 5 4 5 α β γ / /α β A． ， B． ， C． ， D． 内有不共线的三点到 的距离相等 7．已知函数 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 8．为迎接学校的文艺汇演，某班准备编排一个小品，需要甲、乙、丙、丁四位同学扮演主角、配角小生、 快递员四个角色，他们都能扮演其中任意一个角色，下面是他们选择角色的一些信息：①甲和丙均不扮演 快递员，也不扮演配角；②乙不扮演配角；③如果甲不扮演小生，那么丁就不扮演配角．若这些信息都 是正确的，由此推断丙同学选择扮演的角色是 A．主角 B．配角 C．小生 D．快递员 9．以双曲线 右焦点为圆心，与双曲线的渐近线相切的圆方程为 A． B． C． D． 10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如 图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋 转一周用时 60 秒，经过 t 秒后，水斗旋转到点 ，其纵坐标满足 ， ，则函数 的解析式为 A． B． C． D． 11．疫情期间，某医药公司用 A、B 两种原材料生产甲、乙两类抗病毒药物，每生产一件甲药需要 4 个单位 A 材料，耗时 1 小时，每生产一件乙药需要 4 个单位 B 材料，耗时 2 小时，该厂每天最多可以从原材 α γ⊥ β γ⊥ l α⊥ l β⊥ / /l α / /m β α β ( ) x xf x e e−= − ( ) ( )2 1 2f x f x− < − ( 1),−∞ (1, )+∞ ( )1,1− ( ), 1−∞ − 2 2 113 yx − = 2 3( 2) 3x y+ − = 2 2( 2) 9x y− + = 2 2( 2) 3x y− + = 2 2( 2) 3x y++ = (2 2, 2 2)M − ( ),N x y ( ) sin( )y f t R tω ϕ= = + π0, 0,| | 2t ω ϕ ≥ > > ( ,0)2 aM 1/ /PO F B ABC 2 sin cos 4sinc A C B= sin 3 4B = 2 3BCDS =  CD AC = 中 8 7 4 差 -4 0 2 但表格中有一格数据被墨迹污损，好在当时调查的数据频数分布表还在，其中大量种植的 100 户农民 在市场销量好的情况下收入情况如表 2： 收入（万元） 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 频数（户） 5 10 15 10 15 20 10 10 5 （1）若该地区年销量在 10 千吨以下表示销量差，在 10 千吨至 30 千吨之间表示销量中，在 30 千吨以 上表示销量好，试根据频率分布直方图计算销量分别为好、中，差的概率（以频率代替概率）； （2）根据表 2 所给数据，请计算在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的平均收益，并补全表 1． 18．（12 分） 已知数列 的前 n 项和 ，其中 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 为等比数列 的前三项，求数列 的通项公式． 19．（12 分） 图 1 是直角梯形 ABCD， ， ， ， ， ，点 E 在 DC 上， ，以 BE 为折痕将 折起，使点 C 到达 的位置，且 ，如图 2． （1）证明：平面 平面 ABED； （2）求点 B 到平面 的距离． 20．（12 分） { }na ( )1 1nS n n + += *n∈N { }na ( )* 2 2 3 2, ,k ka a a k+ + ∈N { }nb { }nb / /AB DC 90D∠ = ° 2AB = 3DC = 3AD = 2CE ED= BCE 1C 1 6AC = 1BC E ⊥ 1AC D 设函数 ． （1）当 时，判断函数 的单调性； （2）当 时，若 恒成立，求 的最大值． 21．（12 分） 已知抛物线 的焦点为 F，B、C 为抛物线 T 上两个不同的动点，当 B，C 过 F 且与 x 轴平行时，BC 长为 1． （1）求抛物线 T 的标准方程； （2）分别过 B，C 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 M，N，若 ，求 BC 中点的轨迹方程． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（10 分）．选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 C 与极轴所在直线围成图形的面积； （2）设曲线 C 与曲线 交于 A，B 两点，求 ． 23．（10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 ， ． （1）若 ，求 的最小值； （2）求证 ． 重庆 2020 级高三第九次教学质量检测考试·文科数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合 题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2( ) ,f x kx lnx x k= − − ∈R 1k = ( )f x 0k = ( ) ( , )bf x a x a bx + ≤ − ∈R 1ae b− − 2: 2 ( 0)T x py p= > 2MNF BCFS S=   3 ,0 22sin 6 1, 2 πθπθρ π θ π  ≤ 0b > 1a b+ = 1 4 a b + a b a b b a + ≥ + A C B C A B D A C A C D 10．解析：易知 ，因旋转一周用时 60 秒，即 ， 又由题意知 ∴ ，∴ 12．解析：设 ，由 得 解得 ，记 ， 则 ，所以 单调递减， 所以 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 14． 15． 16． 16．解析：由题 ， 结合正弦定理、余弦定理得： ∴ ，从而 ， 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解析：（1）由频率分布直方图可知，市场销量好的概率为 ， 2R = 260T π ω= = 30 πω∴ = (0) 2f = − 2sin( ) 2ϕ− = − 4 πϕ = − ( ) 2sin( )30 4f t t π π= − ( ),P x y OA OP OBλ µ= +   2 1 ex xλ µ λ µ = +  = − 3 e 3e 1e x x x x x λ µ  = +  = − + 3(1 ) 1 x x e x e λ µ −− = ++ 3(1 )( ) 1 x x eh x x e −= ++ 2 3 3( ) 0( ) x x xeh x x e − −′ = ( ) 0f x′ = 1x = ( )0,1x ∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0,1 ,( )1x ∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (1, )+∞ 0k = ln 0bx ax + − ≥ ln( ) x bh x ax = + − 2 2 1( ) ( 0)b x bx xx xh x −= − = >′ 0b ≤ 0x +→ ln( ) xx b axh x x + −= ( )h x → −∞ 0b > ( ) 0h x′ = x b= ( )0,x b∈ ( ) 0h x′ < ( )h x ,( )x b∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x min( ) ( ) ln 1h x h b b a= = + − ln 1 0b a+ − ≥ 1ln 1 ab a e b−≥ − ⇒ ≤ 1 0ae b− − ≤ 1ae b− − ( , )2 pB p ( , )2 pC p− 2 1BC p= = 2x y= ( ) ( )2 2 1 1 2 2, , ,B x x C x x ( )0,Q m 1 2 1 | |2MNFS OF x x= ⋅ −  1 2 1 | |2BCFS QF x x= −  故由 得： ∴ ， 或者 即 或 设 BC 的中点 ，则 ①当 时，由 得： ，∴ ②当 时，同理可得： ， 故 BC 中点的轨迹方程为 或 22．解：（1）由于 C 的极坐标方程为 由 ， 得：曲线 C 的极坐标方程为： 当 时， ． 当 时， 则曲线 C 与极轴所在直线围成图形是半径为 1 的 圆周及一个两直角分别为 1 与 的直角 三角形， ∴围成图形的面积 （2）由 得 ，其直角坐标 ， 2MNF BCFS S=   2OF QF= 1 12 | |4 4m − = 3 8m = 1 8m = 1(0, )8Q 3(0, )8Q ( ),R x y 1 2 2BCk x x x= + = 1(0, )8Q / /QR BC  2 12 8x y= − 2 12 8y x= + 3(0, )8Q 2 32 8y x= + 2 12 8y x= + 2 32 8y x= + 3 ,0 22sin 6 1, 2 πθπθρ π θ π  ≤