1.1.2 四种命题
课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．
1．四种命题的概念：
(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，
那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原
命题的逆命题．
(2) 对 于 两 个 命 题 ， 如 果 一 个 命 题 的 条 件 和 结 论 恰 好 是 另 一 个 命 题 的
______________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命
题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
(3) 对 于 两 个 命 题 ， 如 果 一 个 命 题 的 条 件 和 结 论 恰 好 是 另 一 个 命 题 的
______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一
个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
2．四种命题的结构：
用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用綈 p，綈 q 分别表示 p 和 q 的否定，四种形
式就是：
原命题：若 p 成立，则 q 成立．即“若 p，则 q”．
逆命题：________________________.即“若 q，则 p”．
否命题：______________________.即“若綈 p，则綈 q”．
逆否命题：________________________.即“若綈 q，则綈 p”．
一、选择题
1．命题“若 a>－3，则 a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个
数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．命题“若 A∩B＝A，则 A⊆B”的逆否命题是( )
A．若 A∪B≠A，则 A⊇B
B．若 A∩B≠A，则 A B
C．若 A B，则 A∩B≠A
D．若 A⊇B，则 A∩B≠A
3．对于命题“若数列{an}是等比数列，则 an≠0”，下列说法正确的是( )
A．它的逆命题是真命题
B．它的否命题是真命题
C．它的逆否命题是假命题
D．它的否命题是假命题
4．有下列四个命题：
①“若 xy＝1，则 x、y 互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若 b≤－1，则方程 x2－2bx＋b2＋b＝0 有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则 A⊇B”的逆否命题．
其中的真命题是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
5．命题“当 AB＝AC 时，△ABC 为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，
真命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．0
⊆
⊆6．命题“若函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则 loga20，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若 loga20，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若 loga2≥0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若 loga20，a≠1)在其定义域内是减函数
题号 1 2 3 4 5 6
答案
二、填空题
7．命题“若 x>y，则 x3>y3－1”的否命题是________________________．
8．命题“各位数字之和是 3 的倍数的正整数，可以被 3 整除”的逆否命题是
________________________；逆命题是______________________；否命题是
________________________．
9．有下列四个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②若 a2＋b2＝0，则 a，b 全为 0；
③命题“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实根”的逆否命题；
④命题“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆命题．
其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
三、解答题
10．把下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命
题．
(1)正数的平方根不等于 0；
(2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0；
(3)对顶角相等．
11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
能力提升
12．命题“若 f(x)是奇函数，则 f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若 f(x)是偶函数，则 f(－x)是偶函数
B．若 f(x)不是奇函数，则 f(－x)不是奇函数
C．若 f(－x)是奇函数，则 f(x)是奇函数
D．若 f(－x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数
13．命题：已知 a、b 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋ax＋b≤0 有非空解集，则 a2－
4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若 p 则 q”的形式后再进行转
换．
2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题
和逆否命题．
1．1.2 四种命题 答案
知识梳理
1．(1)结论和条件 (2)条件的否定和结论的否定 (3)结论的否定和条件的否定
2．若 q 成立，则 p 成立 若綈 p 成立，则綈 q 成立
若綈 q 成立，则綈 p 成立
作业设计
1．B [由 a>－3⇒a>－6，但由 a>－6 a>－3，
故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选 B.]
2．C [先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]
3．D 4.C
5．C [原命题和它的逆否命题为真命题．]
6．A [由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若 loga2≥0，则函数
f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]
7．若 x≤y，则 x3≤y3－1
8．不能被 3 整除的正整数，其各位数字之和不是 3 的倍数
能被 3 整除的正整数，它的各位数字之和是 3 的倍数
各位数字之和不是 3 的倍数的正整数，不能被 3 整除
9．②③
10．解 (1)原命题：“若 a 是正数，则 a 的平方根不等于 0”．
逆命题：“若 a 的平方根不等于 0，则 a 是正数”．
否命题：“若 a 不是正数，则 a 的平方根等于 0”．
逆否命题：“若 a 的平方根等于 0，则 a 不是正数”．
(2)原命题：“若 x＝2，则 x2＋x－6＝0”．
逆命题：“若 x2＋x－6＝0，则 x＝2”．
否命题：“若 x≠2，则 x2＋x－6≠0”．
逆否命题：“若 x2＋x－6≠0，则 x≠2”．
(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．
逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．
否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．
11．解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．
(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．
12．B [命题“若 p，则 q”的否命题为“若綈 p，则綈 q”，而“是”的否定是“不是”，故选
B.]
13．解 逆命题：已知 a、b 为实数，若 a2－4b≥0，则关于 x 的不等式 x2＋ax＋b≤0
有非空解集．
否命题：已知 a、b 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋ax＋b≤0 没有非空解集，则 a2－
⇒4b
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